2024-2025学年江苏省宿迁市高三上册第一次月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年江苏省宿迁市高三上学期第一次月考数学检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.2.已知，是两个平面，，是两条不同的直线，则下列说法正确的是（）A若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则3.设向量，，若，则（）A.0或-6 B.4或 C.2或 D.0或4.生物丰富度是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中生物种类数和生物个体总数.生物丰富度指越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2.85提高到3.8，则（）A B.C. D.5.已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（）A. B.C D.6.若函数在上单调递减，则实数取值范围是（）A. B.C. D.7.设矩形的周长为12，把沿向折叠，折过去后交于点，则（）A.周长为定值，面积有最大值 B.周长为定值，面积有最小值C.面积为定值，周长有最大值 D.面积为定值，周长有最小值8.已知，，，则，，的大小关系是（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.命题“，”的否定是“，”B.函数的最小值是4C.“且”是“”的充分不必要条件D.关于的不等式的解集是，则10.已知，且，则（）A.的最小正周期是B.是偶函数C.的图象关于直线对称D.若在上有且仅有两个零点，则11.在长方体中，，点满足，其中，，则（）A.若与平面所成角为，则点的轨迹长度为B.当时，面C.当时，有且仅有一个点，使得D.当时，的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.求值：__________．13.若，，，则的最小值为______．14.函数，若对于任意，都有成立，则实数的值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数为上的偶函数，且.（1）求；（2）求在处的切线方程.16.已知，，分别为三个内角A，，的对边，且．（1）求；（2）若，是中点，，求的面积．17.如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，为的中点．（1）证明：平面，并求直线和平面的距离；（2）求二面角的余弦值；（3）试在线段上确定一点，使与所成角为．18.已知函数，．（1）当时，求的单调区间；（2）若时，，求的取值范围；（3）对于任意的且，证明：19.已知集合，若存在数阵满足：①；②；则称为“好集合”，并称数阵为的一个“好数阵”．（1）已知数阵是的一个好数阵，试写出，，，的值；（2）若集合为“好集合”，证明：集合的“好数阵”必有偶数个；（3）判断是否为“好集合”．若是，求出满足条件所有“好数阵”；若不是，说明理由．2024-2025学年江苏省宿迁市高三上学期第一次月考数学检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】先通过解三角不等式求出集合，再根据集合间的运算即可求解.【详解】解：由，解得：，即，故.故选：A.2.已知，是两个平面，，是两条不同的直线，则下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则【正确答案】B【分析】根据空间中平行关系或垂直关系的转化逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于A，若，，则，故A错误；对于B，若，，则在平面内存在直线，使得，而，故，则，故B成立；对于C，若，，则或，故C错误；对于D，若，，则，故D错误，故选：B.3.设向量，，若，则（）A.0或-6 B.4或 C.2或 D.0或【正确答案】B【分析】根据共线的坐标关系即可求解.【详解】，，，故，解得或，故选：B4.生物丰富度是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中生物种类数和生物个体总数.生物丰富度指越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2.85提高到3.8，则（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】根据条件列出关于，的关系式，化简即可.【详解】由题意：.故选：C5.已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】根据可排除BD，根据函数值的符号可排除A.【详解】由图可得，而B中函数满足，D中函数满足，故排除BD，对于A函数：当时，，而，故，故当时，，故排除A，故选：C.6.若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】设，由复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，且，再根据二次函数的性质即可求解.【详解】设，由题意可知，函数在上单调递减，且，函数的对称轴为，所以，解得.故选.7.设矩形的周长为12，把沿向折叠，折过去后交于点，则（）A.周长为定值，面积有最大值 B.周长为定值，面积有最小值C.面积为定值，周长有最大值 D.面积为定值，周长有最小值【正确答案】A【分析】设，，分析可得，，即可得周长为定值，根据勾股定理可得，利用基本不等式求面积的最大值.【详解】如图所示：设，，则，由题意可知：，则，可得的周长为，为定值；因为，则，即，整理可得，即，可得的面积为，当且仅当，即时，等号成立，所以的面积有最大值；综上所述：周长为定值，面积有最大值.故选：A.8.已知，，，则，，的大小关系是（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】利用中间量即可得到，再根据正余弦函数的性质即可比较出，则得到答案.详解】，因为，则，而，，故.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.命题“，”的否定是“，”B.函数的最小值是4C.“且”是“”的充分不必要条件D.关于的不等式的解集是，则【正确答案】BCD【分析】选项A：利用全称量词命题的否定判断；选项B：由基本不等式可判断；选项C：由不等式的性质可判断；选项D：利用二次不等式的解集是求参数即可判断.【详解】选项A：命题“”是一个全称量词命题，所以该命题的否定是：“"，错误；选项B：，当且仅当，即时取等号，故正确；选项C：当且时，易知，当时，取，此时且不成立，故“且”是“”的充分不必要条件，正确；选项D：因为关于的不等式的解集是，则2和是方程的两个实数根，所以，解得，所以，正确.故选：BCD.10.已知，且，则（）A.的最小正周期是B.是偶函数C.的图象关于直线对称D.若在上有且仅有两个零点，则【正确答案】ABD【分析】根据题意，求得，结合最小正周期的计算公式，可得判定A正确；由函数，可得判定B正确；由，结合三角函数的性质，可得判定C不正确；由，根据，得出不等式，可得判定D正确.【详解】由函数，因为，可得，解得，所以，因为，可得，所以，对于A中，由，可得的最小正周期为，所以A正确；对于B中，由，此时函数是偶函数，所以B正确；对于C中，由，令，解得，可得对称轴的方程为，所以不是的对称轴，所以C不正确；对于D中，由函数，当，可得，则，要使得在上有且仅有两个零点，则满足，解得，所以D正确.故选：ABD.11.在长方体中，，点满足，其中，，则（）A.若与平面所成角为，则点的轨迹长度为B.当时，面C.当时，有且仅有一个点，使得D.当时，的最小值为【正确答案】BCD【分析】由平面，得到点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，可判定A错误；当时，得到点在线段，证得平面和平面，得到平面平面，可得判定B正确；当时，得到点在线段上运动,由线面垂直得P的轨迹为圆，可判定C正确；当时，得到点在线段上运动，沿着将直角和平面展在一个平面上，结合余弦定理，求得，可判定D正确.【详解】对于A中，连接，在长方体中，可得平面，所以即为与平面所成的角，即，在直角中，可得，所以点轨迹为以为圆心，半径为的圆，其周长为，所以A错误；对于B中，当时，因为，且点满足，所以点在线段，连接，在长方体中，可得，因为平面，且平面，所以平面，同理可证平面，又因为，且平面，所以平面平面，因为平面，所以平面，所以B正确；对于C中，当时，因为，且点满足，取的中点，连接，可得点在线段上运动，若，因为平面，且平面，所以，平面,故平面，又平面，故,所以点在以为直径的圆上，又因为，可得线段与以为直径的圆只有一个交点，所以当点与重合时，即当且仅当为的中点时，能使得，所以C正确；对于D中，当时，因为，且点满足，取的中点，连接，可得点在线段上运动，沿着将直角和平面展在一个平面上，如图所示，在中，，由余弦定理得，所以，即的最小值为，所以D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.求值：__________．【正确答案】1【分析】利用三角函数切化弦，辅助角公式与诱导公式求解即可.【详解】．故．13.若，，，则的最小值为______．【正确答案】【分析】根据题意整理可得，利用基本不等式结合一元二次不等式运算求解.【详解】因为，，，则，又因为，即，整理可得，解得或（舍去），当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.故答案为.14.函数，若对于任意，都有成立，则实数的值为______．【正确答案】9【分析】根据给定条件，按分段讨论，分离参数，构造函数并利用导数求出最值即得.【详解】对于任意，都有恒成立，当时，恒成立，则；当时，，当时，，令，，求导得，若，即，当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，，因此，若，即，恒有，函数在上单调递减，，因此，所以.故9关键点点睛：解决本题的关键是利用分段讨论的思想，分离参数并构造函数求出最值.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数为上的偶函数，且.（1）求；（2）求在处的切线方程.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）由偶函数的定义可得，代入化简可得的值.（2）由导数的几何意义可得是在处的切线斜率，进而结合得到切线的点斜式方程，化简可得结果.【小问1详解】因为函数为上的偶函数，所以有，当时，，即，，，解得，此时，经检验，为上的偶函数，所以.【小问2详解】由（1）得，所以，则，则，又，所以在处的切线方程为：，即.16.已知，，分别为三个内角A，，的对边，且．（1）求；（2）若，是中点，，求的面积．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换化简计算即可；（2）利用等腰三角形的性质及勾股定理、三角形的面积公式计算即可.【小问1详解】由正弦定理知，又，所以，即，所以，所以，，故；【小问2详解】由，所以知为等腰三角形，取中点N，连接AN，则，不妨设，则，由勾股定理知，即，所以面积为.17.如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，为的中点．（1）证明：平面，并求直线和平面的距离；（2）求二面角的余弦值；（3）试在线段上确定一点，使与所成角为．【正确答案】（1）证明见解析；.（2）（3）在线段上且.【分析】（1）建立空间直角坐标系，用空间向量求证线面平行和点到平面的距离.（2）在（1）的基础上，用空间向量求二面角的余弦.（3）先设点坐标，根据两向量所成的角的计算公式，确定点的位置.【小问1详解】∵平面平面，平面平面，平面，且，∴平面.又平面，∴，.又四边形为正方形，所以.故可以为原点，建立如图空间直角坐标系.则A0,0,0，，，，，，.∴，，，设平面的法向量为：m=x,y,z则，可取.∵，且点平面，所以平面.又，所以点到平面的距离为，即直线和平面的距离为.【小问2详解】易知是平面的法向量，设二面角为，则.故所求二面角的余弦为.【小问3详解】∵点在线段上，故可设，（）.则，又，与所成角为，所以，解得或（舍去）.此时，点在线段上，且.18.已知函数，．（1）当时，求的单调区间；（2）若时，，求取值范围；（3）对于任意的且，证明：【正确答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为（2）（3）证明见解析【分析】（1）直接利用导数计算研究函数单调性即可；（2）含参讨论的单调性，结合端点值计算即可；（3）利用（2）的结论得出，结合累加法即可证明.【小问1详解】当时，，显然时，，此时在单调递增，时，，此时在单调递减，即的单调递增区间为，单调递减区间为；【小问2详解】由题意知，若，此时在定义域上单调递减，即，不符合题意，若，则，易知上，此时单调递减，则，不符合题意，若，则，在上，，此时单调递增，所以，符合题意，综上【小问3详解】由（1）、（2）可知，所以，即，所以，累加得，证毕.关键点睛：解答本题的关键是得出不等式，进而推出，利用累加法求解.19.已知集合，若存在数阵满足：①；②；则称为“好集合”，并称数阵为的一个“好数阵”．（1）已知数阵是的一个好数阵，试写出，，，的值；（2）若集合为“好集合”，证明：集合的“好数阵”必有偶数个；（3）判断是否为“好集合”．若