数理统计课件：矩估计

矩估计3.2.1矩估计的基本思想设总体X的分布为若总体X为连续型，

表示密度函数.若总体X为离散型，

表示分布列.则总体X的k阶原点矩为它们一般均为参数

的函数.样本的k阶原点矩为根据大数定律自然想到用样本k阶原点矩估计相应的总体k阶原点矩，即用我们可以用上述想法来估计总体中的未知参数，这就是矩估计法的基本思想.矩估计法是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的.其基本思想是用样本矩估计总体矩.定义3.2.1设为一参数分布族，其中Θ为参数空间.3.2.2矩估计的定义和例子X1,X2,…,Xn是从该分布族中的某总体抽取的样本，假设总体的k阶矩αk存在有限，令取k=1,2,…,m，并让上面的近似式改写成等式，得到如下方程组一矩估计的定义解此方程组，其解记为分别称为的矩估计量，矩估计量的观察值

分别称为的矩估计值.在不引起混淆的情况下，统称为矩估计.我们也可以用样本k阶中心矩估计相应的总体k阶中心矩，即用进一步估计未知参数，由此得到的参数估计也称为矩估计.这两种方法得到的矩估计可能不同.若要估计的是参数的某个函数，则用去估计，由此定出的估计量称为的矩估计.矩估计的具体做法如下.矩估计方法的基本思想是利用样本矩代替总体矩.矩估计的具体做法(1)根据未知参数的个数，求出总体的各阶矩.设总体X~f(x,θ1,θ2

,…,θk

),X1,

X2,…,Xn为样本.X

为连续型X

为离散型总体X的密度函数总体X的分布列(3)用样本矩估计相应的总体矩，得到

l的矩估计量(2)解方程(组)，得(4)g(

1,

,

m)的矩估计量为例3.2.1

设总体X的均值μ和方差σ2都存在，且σ2>0，但μ和σ2均未知，设X1,

X2,…,Xn是来自总体X的样本，求总体均值μ

和总体方差

σ2的矩估计量.解：第一步：求总体的一阶矩和二阶矩第二步：解方程组二矩估计的例子第三步：分别以A1,A2代替α1,α2得到μ,σ2的矩估计量分别为说明：总体均值的矩估计是样本均值，总体方差的矩估计不是样本方差而是样本二阶中心矩.设X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本，由例3.2.1可以推出如下几个结论：(1)设总体X~B(1,p)，其中

0<p<1，为未知参数，因此p的矩估计为(2)设总体X~B(N,p)，其中N，p(0<p<1)

为未知参数，因为列方程组解得N，p

的矩估计为(3)设总体X~P(

)，其中

>0为未知参数，因为因此

的矩估计为或者说明：一个参数

有两个不同的矩估计，实际中，在用矩估计法求参数估计时一般选用低阶矩.本例中，选用作为参数

的矩估计.(4)设总体X~U[

1,

2

],其中

1<

2

均为未知参数，因为列方程组得到

1,

2

的矩估计为(5)设总体X~N(μ,

σ2)，其中-∞<µ<∞,σ2>0均为未知参数，因为得到

μ,

σ2的矩估计为解：

(1)第一步：求总体的一阶矩例3.2.2设X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本，且总体X的密度函数为其中

>−1是未知参数，求(1)参数

的矩估计；(2)g(

)=(

+1)/

的矩估计.第二步：解方程第三步：用

代替μ1，得

的矩估计为(2)用

代替

，得g(

)=(

+1)/

的矩估计为解：

(1)第一步：求总体均值和总体方差分别为例3.2.3设X1,X2,…,Xn是来自伽玛分布的一个样本，且密度函数为其中α>0,

>0是未知参数，求参数α

和

的矩估计.第二步：令第三步：

解得

α

和

的矩估计分别为解：记例3.2.4设(X1,Y1),(X2,Y2),…,(Xn,Yn)

是来自二维总体(X,Y)的样本，

求X与Y的相关系数

XY的矩估计.且当n充分大时，有因此相关系数

XY的矩估计为因为例3.2.5甲乙两个校对员彼此独立对同一本书的样稿进行校对，校完后，甲发现a个错字，乙发现b个错字，其中共同发现的错字有c个，试用矩估计法对如下两个未知参数进行估计(1)该书样稿的总错字个数；(2)未被发现的错字数.解:(1)设该书样稿中总错字个数为

甲校对员识别出错字的概率为p1乙校对员识别出错字的概率为p2由于甲乙是彼此独立的进行校对，则同一错字能被甲乙同时识别的概率为p1p2解得由频率替换思想，得到由独立性，得矩估计方程(2)未被发现的错字数的估计等于总错字数的估计减去甲乙发现的错字数，即若设a=120,b=124,c=80,则该书样稿中错字总数的矩估计为未被发现的错字个数的矩估为例如：186－120－124＋80=22个例3.2.6设X1,X2,…,Xn是来自总体X的样本，且X的密度函数为求

1,

2的矩估计.其中

1,

2为未知参数，且-1<

1<∞,

2>0.解:由于分别以A1,A2代替α1，α2，本例说明不是所有的矩估计都有解析表达式.在实际问题中，给不出矩估计量的解析表达式是常见的情形.其解就是

1,

2的矩估计，但是此处得不出矩估计的简单解析表达式，而只能用数值方法.注1：矩估计对总体分布的假定少，只需要总体相应的各阶矩存在，故可视其为非参数方法.注2：不适用情况:矩估计方法要求