云南省昆明市2024-2025学年高三高考适应性月考卷(四)数学检测试卷(含解析)_第1页
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云南省昆明市2024-2025学年高三高考适应性月考卷(四)数学检测试卷注意事项:1.答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分,考试用时120分钟.一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求)1.在复平面内,复数,则虚部为()A.1 B. C. D.2.已知,为单位向量,且在上的投影向量为,则()A.5 B. C.3 D.3.已知函数,若,则()A2 B.1 C.0 D.4.在中,,则()A. B. C. D.5.已知等比数列前n项和为,且,若,,则()A.550 B.520 C.450 D.4256.下列不等关系正确的是()A. B.C. D.7.已知函数的图象的一条对称轴是,且在上恰有两个根,则的最大值是()A. B. C. D.8.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为,,点Px1,y1是A. B. C. D.二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)9.云南的鲜花饼不仅是一种美味的糕点,更是一件艺术品,它表达了人们对生活的热爱,可以让人们在繁忙的都市生活中,感受春天的味道.因此,三朵玫瑰一个饼,深受人们的喜爱,由于现烤鲜花饼的保质期较短,为了提升品质,能让顾客吃到更新鲜的饼,某商店老板统计了该商店六月份整个月的销售量,如下表:()日销量/个天数57945A.该商店六月份鲜花饼日销售量的第70%分位数是550B.该商店六月份平均每天销售鲜花饼500个(同一组数据用该组区间中点值为代表)C.若当天准备550个鲜花饼,则全部售完的概率为D.若当天准备450个鲜花饼,则没有全部售完的概率为10.数列满足,,则下列结论正确的是()A.若,则为等比数列B.若,则等差数列C.D.11.如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,平面,,,,已知点在平面上运动,点在平面上运动,则下列说法正确的是()A.若点到的距离等于其到平面的距离,则点的轨迹为抛物线的一部分B.若,则点的轨迹为圆的一部分C.若与所成的角为30°,则点的轨迹为椭圆的一部分D.若与平面所成的角为30°,则点的轨迹为双曲线的一部分三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)12.集合,则的真子集个数为______个.13.若曲线在处的切线也是曲线的切线,则______.14.在中,内角,所对的边分别为,已知,,且,则的最大值为______.四、解答题(本大题共5小题,共77分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)15.近几年,我国促进新能源汽车产业发展的政策频出,积极推动新能源汽车市场的迅速发展.某新能源汽车公司为了解其对A型充电桩进行投资后所获得的利润y(单位:百万元)关于投资金额x(单位:百万元)之间的关系,统计后得到10组样本数据,根据统计数据计算得到,,利润的方差,投资金额的方差,以及样本相关系数.(1)根据样本相关系数r判断利润y与投资x的相关性强弱,并求出y关于x的经验回归方程(精确到0.01);(2)为了解使用A型充电桩的车主性别与使用满意度(分为满意与不满意)的情况,该公司又随机调查了该地区150名使用A型充电桩的车主,其中男性车主有60名对A型充电桩的使用表示满意,有30名对A型充电桩的使用表示不满意;女性车主中有60%对A型充电桩的使用表示满意.将频率视为概率,用样本估计总体.已知该地区一位车主对A型充电桩的使用表示满意,求这位车主是男性的概率.附:(ⅰ)样本相关系数,当时,相关性较强,当时,相关性一般;(ⅱ)经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,;(ⅲ).16.已知是正项递增的等比数列,且,.数列是等差数列,且.(1)分别求数列和数列的通项公式;(2)设,求数列前n项和.17.如图,在四棱台中,底面为等腰梯形,,平面平面,平面平面.(1)证明:平面;(2)若,,,求平面与平面夹角余弦值.18.已知双曲线的左、右焦点分别为,,且焦距为4,左顶点为E,过右焦点的动直线l交C于A,B两点,当l垂直于x轴时,.(1)求C的方程;(2)若动直线l与C的左支交于点A,右支交于点B,求的取值范围.19.设是定义域为D且图象连续不断的函数,若存在区间和,使得在上单调递增,在上单调递减,则称为“山峰函数”,为“峰点”,称为的一个“峰值区间”.(1)判断是否是山峰函数?若是,请指出它的一个峰值区间;若不是,请说明理由;(2)已知,是山峰函数,且是它的一个峰值区间,求m的取值范围;(3)设,函数.设函数是山峰函数,是它的一个峰值区间,并记的最大值为.若,且,,求的最小值.(参考数据:)云南省昆明市2024-2025学年高三高考适应性月考卷(四)数学检测试卷注意事项:1.答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分,考试用时120分钟.一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求)1.在复平面内,复数,则的虚部为()A.1 B. C. D.【正确答案】B【分析】计算出,得到共轭复数,求出虚部.【详解】复数,则z的共轭复数,所以的虚部为.故选:B.2.已知,为单位向量,且在上的投影向量为,则()A.5 B. C.3 D.【正确答案】D【分析】先确定与的夹角,再求,进而可解出.【详解】解:因为在上的投影向量为,所以与的夹角为,所以,所以,所以.故选:D.3.已知函数,若,则()A.2 B.1 C.0 D.【正确答案】A【分析】构造奇函数,利用函数的平移,可得函数的对称性,可得答案.【详解】设,由于,故为R上的奇函数,则的图象关于原点对称.又,所以的图象关于对称,即,由,所以,故选:A.4.中,,则()A. B. C. D.【正确答案】B【分析】利用,结合,可求出,进而解出.【详解】解:因为,所以,即,所以,又因为,所以,于是,故选:B.5.已知等比数列的前n项和为,且,若,,则()A.550 B.520 C.450 D.425【正确答案】D【分析】由等比数列前n项和的性质可得答案.【详解】由等比数列前n项和的性质可得,,,,成等比数列,则,设,则,∵等比数列中,,∴解得,,故,∴,故选:D.6.下列不等关系正确的是()A. B.C. D.【正确答案】C【分析】对于A,利用中间量即可比较三个数的大小;对于B,利用中间量即可比较三个数的大小;对于C,对三个数进行分子有理化处理,再比较大小即可;对于D,借助基本不等式比较大小即可.【详解】对于A,,,,,A错误;对于B,,,,,B错误;对于C,,,,,,即,C正确;对于D,由于,所以,即,所以,即;同理,,所以,D错误,故选:C.7.已知函数的图象的一条对称轴是,且在上恰有两个根,则的最大值是()A. B. C. D.【正确答案】B【分析】从函数在上恰有两个根可得出,又函数图象的一条对称轴是,可得出,进而求得的最大值.【详解】解:由题意可得,函数fx由于,所以;又由在上恰有两个根,所以,解得;又因为函数图象的一条对称轴是,所以,即,又且,所以当时,,故选:B.8.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为,,点Px1,y1是A. B. C. D.【正确答案】A【分析】由点Px1,y1在上,结合两点之间的距离公式和椭圆的定义求出即,再利用内切圆的性质得到,即可求出的离心率.【详解】设,则F1−c,0,;由点Px1,y1在上,则有所以;又,所以,,则;如图1,由焦点的内切圆可得:,,,所以;又,所以,即,故选:A.关键点点睛:本题的关键点是推理出二级结论:点Px1,y1在椭圆上,则,,再结合内切圆的性质,建立关于的等量关系二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)9.云南的鲜花饼不仅是一种美味的糕点,更是一件艺术品,它表达了人们对生活的热爱,可以让人们在繁忙的都市生活中,感受春天的味道.因此,三朵玫瑰一个饼,深受人们的喜爱,由于现烤鲜花饼的保质期较短,为了提升品质,能让顾客吃到更新鲜的饼,某商店老板统计了该商店六月份整个月的销售量,如下表:()日销量/个天数57945A.该商店六月份鲜花饼日销售量的第70%分位数是550B.该商店六月份平均每天销售鲜花饼500个(同一组数据用该组区间中点值为代表)C.若当天准备550个鲜花饼,则全部售完的概率为D.若当天准备450个鲜花饼,则没有全部售完的概率为【正确答案】AD【分析】根据第70%分位数的定义,结合古典概型运算公式逐一判断即可.【详解】∵,∴该商店六月份鲜花饼日销售量的第70%分位数是550,A正确;六月份平均每天销售鲜花饼个,B错误;根据销售数据得:日销售量大于550个的概率为,C错误;日销售量小于450个的概率为,D正确,故选:AD10.数列满足,,则下列结论正确的是()A.若,则为等比数列B.若,则为等差数列C.D【正确答案】ABD【分析】将两边同除,变形转化可求出是等差数列,进而求出.进而分别结合等比数列、等差数列定义研究A、B项,利用求和公式研究D项.【详解】由,,两边同除,得:,即,且,所以是公差为2,首项为1的等差数列,所以,所以,则可知C错误;因为,,所以,且,所以是等比数列,则可知A正确;对于B:,,故数列为等差数列,则可知B正确;对于D:,则可知D正确.故选:ABD.11.如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,平面,,,,已知点在平面上运动,点在平面上运动,则下列说法正确的是()A.若点到的距离等于其到平面的距离,则点的轨迹为抛物线的一部分B.若,则点的轨迹为圆的一部分C.若与所成的角为30°,则点的轨迹为椭圆的一部分D.若与平面所成的角为30°,则点的轨迹为双曲线的一部分【正确答案】BCD【分析】A,过点作交于点,由立体几何知识可得点H到平面的距离为,即可判断选项正误;BCD,建立如图3所示的空间直角坐标系,设,由题分别算出所在的曲线的表达式,即可判断选项正误.【详解】对于A:如图2,过点作交于点,则点到的距离为;过点作交于点,由于平面,平面,则,,,平面,所以平面,则点到平面的距离为;∵且点到的距离等于其到平面的距离,∴点在的垂直平分线上,故A错误;建立如图所示的空间直角坐标系:设,A0,0,0,,,.对于B:∵,,,平面,∴平面,即,同理:,又∵,∴,∴,即,化简得,即点M的轨迹为圆的一部分,故B正确;对于C,,,因为与所成的角为30°,所以,化简得,的轨迹为椭圆的一部分,故C正确;对于D:作,则,平面,所以与平面所成的角即为,所以,,即,化简得:,则点M的轨迹为双曲线的一部分,故D正确.故选:BCD.关键点睛:对于立体几何中轨迹问题,可建立适当坐标系,求出相应轨迹方程.三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)12.集合,则的真子集个数为______个.【正确答案】【分析】根据整除且,可逐个求出,进而求出集合A的真子集个数.【详解】解:因为,所以,又因为,即整除,所以,,,所以,,,故集合,所以集合的真子集个数为个.故答案为.13.若曲线在处的切线也是曲线的切线,则______.【正确答案】【分析】由题可得曲线在处的切线,然后设切线与曲线相切的切点为,利用两条切线相同可得答案.【详解】设,则,,所以曲线在点处的切线方程为,化为.设,则,又设切线与曲线相切的切点为,由题,得,解得,则切点为.因为切点在切线上,则.故14.在中,内角,所对的边分别为,已知,,且,则的最大值为______.【正确答案】##【分析】首先通过角化边和正余弦定理,根据题中条件得到,再对进行化简,换元,借助导函数研究其最大值即可.【详解】由正弦定理,,则有,由于,所以,由余弦定理得,,则,又由正弦定理,得,即,则有,即.因为,所以,故,则,,设,,则,令,得,或(舍),当时,,则在上单调递增,当时,,则在上单调递减,故当时,取最大值,故最大值为.故答案为.关键点点睛:本题的关键是对进行减少变量的处理,用一个角表示,再通过换元,转变成函数定区间求最大值的问题.四、解答题(本大题共5小题,共77分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)15.近几年,我国促进新能源汽车产业发展的政策频出,积极推动新能源汽车市场的迅速发展.某新能源汽车公司为了解其对A型充电桩进行投资后所获得的利润y(单位:百万元)关于投资金额x(单位:百万元)之间的关系,统计后得到10组样本数据,根据统计数据计算得到,,利润的方差,投资金额的方差,以及样本相关系数.(1)根据样本相关系数r判断利润y与投资x的相关性强弱,并求出y关于x的经验回归方程(精确到0.01);(2)为了解使用A型充电桩的车主性别与使用满意度(分为满意与不满意)的情况,该公司又随机调查了该地区150名使用A型充电桩的车主,其中男性车主有60名对A型充电桩的使用表示满意,有30名对A型充电桩的使用表示不满意;女性车主中有60%对A型充电桩的使用表示满意.将频率视为概率,用样本估计总体.已知该地区一位车主对A型充电桩的使用表示满意,求这位车主是男性的概率.附:(ⅰ)样本相关系数,当时,相关性较强,当时,相关性一般;(ⅱ)经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,;(ⅲ).【正确答案】(1)(2)【分析】(1)由相关系数定义可判断相关性强弱,由r及计算公式间联系可得,后结合题意可得回归方程;(2)设该地区“一位车主对A型充电桩的使用表示满意”记作事件A,“车主是男性”记作事件B,由题意结合条件概率知识可得答案.【小问1详解】由于,由题可知利润y与投资金额x相关性较强,又,,,所以;又,,所以,由题,得,,所以,则y关于x的经验回归方程为.【小问2详解】设该地区“一位车主对A型充电桩的使用表示满意”为事件A,“车主是男性”为事件B,则该地区一位车主对A型充电桩的使用表示满意,且这位车主是男性的概率为.又男性对充电桩满意的概率为,车主对充电桩满意概率为则这位车主是男性的概率为.16.已知是正项递增的等比数列,且,.数列是等差数列,且.(1)分别求数列和数列的通项公式;(2)设,求数列前n项和.【正确答案】(1),(2)【分析】(1)应用等比数列通项公式建立方程组可解出,利用待定系数法可求出;(2)应用等比数列求和公式与裂项相消方法可求出.【小问1详解】解:设等比数列的公比为q,且有,由于解得所以数列的通项公式为.由于是等差数列,设,则有,所以,解得所以数列的通项公式为.【小问2详解】解:由(1)知,,所以.17.如图,在四棱台中,底面为等腰梯形,,平面平面,平面平面.(1)证明:平面;(2)若,,,求平面与平面夹角的余弦值.【正确答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)在平面内构造一点,分别向、作垂线,应用面面垂直的性质证出垂直于平面内两条相交线,再应用线面垂直的判定定理即可证明;(2)以点为坐标原点,为z轴建立适当的空间直角坐标系,应用空间向量法解出两面夹角余弦即可.【小问1详解】证明:如图4,在平面上任取一点H,作交于点E,作交于点F,由于平面平面,平面平面,,所以平面,又因为平面,所以;同理:可得,又因为且平面,平面,所以平面.【小问2详解】解:由(1)知:平面,过A点作交于点G,故可建立如图所示的空间直角坐标系,由于,,所以A0,0,0,,,,A10,0,4,在四棱台中,由于,可得;同理,由于,可得;所以,,,设平面的法向量,由,即,可取;设平面的法向量,由,即,可取,所以,所以平面与平面夹角的余弦值为.18.已知双曲线的左、右焦点分别为,,且焦距为4,左顶点为E,过右焦点的动直线l交C于A,B两点,当l垂直于x轴时,.(1)求C的方程;(2)若动直线l与C的左支交于点A,右支交于点B,求的取值范围.【正确答案】(1)(2)【分析】(1)求出焦点坐标,结合,可求出点坐标,再利用双曲线方程与,即可求出C的方程;(2)将面积之比转化为,纵坐标的比值问题,联立直线与双曲线方程,利用韦达定理可得出,进而求得的取值范围.【小问1详解】设,由题意知,焦距为4,故,所以,,又因为当l垂直于x轴时,,所以可得.把代入C中得,①,又②,则联立①②方程解得,,.所以双曲线C的方程为.【小问2详解】如图,由双曲线C的性质可得:,.设Ax1,则,,所以.设,联立得,,则Δ=所以,,由于l与C交于异支,则,解得:;又y1且.令,且

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