云南省昆明市2024-2025学年高三高考适应性月考卷（四）数学检测试卷（含解析）

云南省昆明市2024-2025学年高三高考适应性月考卷（四）数学检测试卷注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）1.在复平面内，复数，则虚部为（）A.1 B. C. D.2.已知，为单位向量，且在上的投影向量为，则（）A.5 B. C.3 D.3.已知函数，若，则（）A2 B.1 C.0 D.4.在中，，则（）A. B. C. D.5.已知等比数列前n项和为，且，若，，则（）A.550 B.520 C.450 D.4256.下列不等关系正确的是（）A. B.C. D.7.已知函数的图象的一条对称轴是，且在上恰有两个根，则的最大值是（）A. B. C. D.8.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为，，点Px1,y1是A. B. C. D.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.云南的鲜花饼不仅是一种美味的糕点，更是一件艺术品，它表达了人们对生活的热爱，可以让人们在繁忙的都市生活中，感受春天的味道．因此，三朵玫瑰一个饼，深受人们的喜爱，由于现烤鲜花饼的保质期较短，为了提升品质，能让顾客吃到更新鲜的饼，某商店老板统计了该商店六月份整个月的销售量，如下表：（）日销量/个天数57945A.该商店六月份鲜花饼日销售量的第70%分位数是550B.该商店六月份平均每天销售鲜花饼500个（同一组数据用该组区间中点值为代表）C.若当天准备550个鲜花饼，则全部售完的概率为D.若当天准备450个鲜花饼，则没有全部售完的概率为10.数列满足，，则下列结论正确的是（）A.若，则为等比数列B.若，则等差数列C.D.11.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面，，，，已知点在平面上运动，点在平面上运动，则下列说法正确的是（）A.若点到的距离等于其到平面的距离，则点的轨迹为抛物线的一部分B.若，则点的轨迹为圆的一部分C.若与所成的角为30°，则点的轨迹为椭圆的一部分D.若与平面所成的角为30°，则点的轨迹为双曲线的一部分三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.集合，则的真子集个数为______个．13.若曲线在处的切线也是曲线的切线，则______．14.在中，内角，所对的边分别为，已知，，且，则的最大值为______．四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.近几年，我国促进新能源汽车产业发展的政策频出，积极推动新能源汽车市场的迅速发展．某新能源汽车公司为了解其对A型充电桩进行投资后所获得的利润y（单位：百万元）关于投资金额x（单位：百万元）之间的关系，统计后得到10组样本数据，根据统计数据计算得到，，利润的方差，投资金额的方差，以及样本相关系数．（1）根据样本相关系数r判断利润y与投资x的相关性强弱，并求出y关于x的经验回归方程（精确到0.01）；（2）为了解使用A型充电桩的车主性别与使用满意度（分为满意与不满意）的情况，该公司又随机调查了该地区150名使用A型充电桩的车主，其中男性车主有60名对A型充电桩的使用表示满意，有30名对A型充电桩的使用表示不满意；女性车主中有60%对A型充电桩的使用表示满意．将频率视为概率，用样本估计总体．已知该地区一位车主对A型充电桩的使用表示满意，求这位车主是男性的概率．附：（ⅰ）样本相关系数，当时，相关性较强，当时，相关性一般；（ⅱ）经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，；（ⅲ）．16.已知是正项递增的等比数列，且，．数列是等差数列，且．（1）分别求数列和数列的通项公式；（2）设，求数列前n项和．17.如图，在四棱台中，底面为等腰梯形，，平面平面，平面平面．（1）证明：平面；（2）若，，，求平面与平面夹角余弦值．18.已知双曲线的左、右焦点分别为，，且焦距为4，左顶点为E，过右焦点的动直线l交C于A，B两点，当l垂直于x轴时，．（1）求C的方程；（2）若动直线l与C的左支交于点A，右支交于点B，求的取值范围．19.设是定义域为D且图象连续不断的函数，若存在区间和，使得在上单调递增，在上单调递减，则称为“山峰函数”，为“峰点”，称为的一个“峰值区间”．（1）判断是否是山峰函数？若是，请指出它的一个峰值区间；若不是，请说明理由；（2）已知，是山峰函数，且是它的一个峰值区间，求m的取值范围；（3）设，函数．设函数是山峰函数，是它的一个峰值区间，并记的最大值为．若，且，，求的最小值．（参考数据：）云南省昆明市2024-2025学年高三高考适应性月考卷（四）数学检测试卷注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）1.在复平面内，复数，则的虚部为（）A.1 B. C. D.【正确答案】B【分析】计算出，得到共轭复数，求出虚部.【详解】复数，则z的共轭复数，所以的虚部为.故选：B．2.已知，为单位向量，且在上的投影向量为，则（）A.5 B. C.3 D.【正确答案】D【分析】先确定与的夹角，再求，进而可解出.【详解】解：因为在上的投影向量为，所以与的夹角为，所以，所以，所以.故选：D．3.已知函数，若，则（）A.2 B.1 C.0 D.【正确答案】A【分析】构造奇函数，利用函数的平移，可得函数的对称性，可得答案.【详解】设，由于，故为R上的奇函数，则的图象关于原点对称．又，所以的图象关于对称，即，由，所以，故选：A．4.中，，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】利用，结合，可求出，进而解出.【详解】解：因为，所以，即，所以，又因为，所以，于是，故选：B．5.已知等比数列的前n项和为，且，若，，则（）A.550 B.520 C.450 D.425【正确答案】D【分析】由等比数列前n项和的性质可得答案.【详解】由等比数列前n项和的性质可得，，，，成等比数列，则，设，则，∵等比数列中，，∴解得，，故，∴，故选：D．6.下列不等关系正确的是（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】对于A，利用中间量即可比较三个数的大小；对于B，利用中间量即可比较三个数的大小；对于C，对三个数进行分子有理化处理，再比较大小即可；对于D，借助基本不等式比较大小即可.【详解】对于A，，，，，A错误；对于B，，，，，B错误；对于C，，，，，，即，C正确；对于D，由于，所以，即，所以，即；同理，，所以，D错误，故选：C．7.已知函数的图象的一条对称轴是，且在上恰有两个根，则的最大值是（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】从函数在上恰有两个根可得出，又函数图象的一条对称轴是，可得出，进而求得的最大值.【详解】解：由题意可得，函数fx由于，所以；又由在上恰有两个根，所以，解得；又因为函数图象的一条对称轴是，所以，即，又且，所以当时，，故选：B．8.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为，，点Px1,y1是A. B. C. D.【正确答案】A【分析】由点Px1,y1在上，结合两点之间的距离公式和椭圆的定义求出即，再利用内切圆的性质得到，即可求出的离心率.【详解】设，则F1−c,0，；由点Px1,y1在上，则有所以；又，所以，，则；如图1，由焦点的内切圆可得：，，，所以；又，所以，即，故选：A．关键点点睛：本题的关键点是推理出二级结论：点Px1,y1在椭圆上，则，，再结合内切圆的性质，建立关于的等量关系二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.云南的鲜花饼不仅是一种美味的糕点，更是一件艺术品，它表达了人们对生活的热爱，可以让人们在繁忙的都市生活中，感受春天的味道．因此，三朵玫瑰一个饼，深受人们的喜爱，由于现烤鲜花饼的保质期较短，为了提升品质，能让顾客吃到更新鲜的饼，某商店老板统计了该商店六月份整个月的销售量，如下表：（）日销量/个天数57945A.该商店六月份鲜花饼日销售量的第70%分位数是550B.该商店六月份平均每天销售鲜花饼500个（同一组数据用该组区间中点值为代表）C.若当天准备550个鲜花饼，则全部售完的概率为D.若当天准备450个鲜花饼，则没有全部售完的概率为【正确答案】AD【分析】根据第70%分位数的定义，结合古典概型运算公式逐一判断即可.【详解】∵，∴该商店六月份鲜花饼日销售量的第70%分位数是550，A正确；六月份平均每天销售鲜花饼个，B错误；根据销售数据得：日销售量大于550个的概率为，C错误；日销售量小于450个的概率为，D正确，故选：AD10.数列满足，，则下列结论正确的是（）A.若，则为等比数列B.若，则为等差数列C.D【正确答案】ABD【分析】将两边同除，变形转化可求出是等差数列，进而求出.进而分别结合等比数列、等差数列定义研究A、B项，利用求和公式研究D项.【详解】由，，两边同除，得：，即，且，所以是公差为2，首项为1的等差数列，所以，所以，则可知C错误；因为，，所以，且，所以是等比数列，则可知A正确；对于B：，，故数列为等差数列，则可知B正确；对于D：，则可知D正确.故选：ABD．11.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面，，，，已知点在平面上运动，点在平面上运动，则下列说法正确的是（）A.若点到的距离等于其到平面的距离，则点的轨迹为抛物线的一部分B.若，则点的轨迹为圆的一部分C.若与所成的角为30°，则点的轨迹为椭圆的一部分D.若与平面所成的角为30°，则点的轨迹为双曲线的一部分【正确答案】BCD【分析】A，过点作交于点，由立体几何知识可得点H到平面的距离为，即可判断选项正误；BCD，建立如图3所示的空间直角坐标系，设，由题分别算出所在的曲线的表达式，即可判断选项正误.【详解】对于A：如图2，过点作交于点，则点到的距离为；过点作交于点，由于平面，平面，则，，，平面，所以平面，则点到平面的距离为；∵且点到的距离等于其到平面的距离，∴点在的垂直平分线上，故A错误；建立如图所示的空间直角坐标系：设，A0,0,0，，，.对于B：∵，，，平面，∴平面，即，同理：，又∵，∴，∴，即，化简得，即点M的轨迹为圆的一部分，故B正确；对于C，，，因为与所成的角为30°，所以，化简得，的轨迹为椭圆的一部分，故C正确；对于D：作，则，平面，所以与平面所成的角即为，所以，，即，化简得：，则点M的轨迹为双曲线的一部分，故D正确.故选：BCD．关键点睛：对于立体几何中轨迹问题，可建立适当坐标系，求出相应轨迹方程.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.集合，则的真子集个数为______个．【正确答案】【分析】根据整除且，可逐个求出，进而求出集合A的真子集个数.【详解】解：因为，所以，又因为，即整除，所以，，，所以，，，故集合，所以集合的真子集个数为个．故答案为.13.若曲线在处的切线也是曲线的切线，则______．【正确答案】【分析】由题可得曲线在处的切线，然后设切线与曲线相切的切点为，利用两条切线相同可得答案.【详解】设，则，，所以曲线在点处的切线方程为,化为．设，则，又设切线与曲线相切的切点为，由题，得，解得，则切点为．因为切点在切线上，则．故14.在中，内角，所对的边分别为，已知，，且，则的最大值为______．【正确答案】##【分析】首先通过角化边和正余弦定理，根据题中条件得到，再对进行化简，换元，借助导函数研究其最大值即可.【详解】由正弦定理，，则有，由于，所以，由余弦定理得，，则，又由正弦定理，得，即，则有，即．因为，所以，故，则，，设，，则，令，得，或（舍），当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，故当时，取最大值，故最大值为．故答案为.关键点点睛：本题的关键是对进行减少变量的处理，用一个角表示，再通过换元，转变成函数定区间求最大值的问题.四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.近几年，我国促进新能源汽车产业发展的政策频出，积极推动新能源汽车市场的迅速发展．某新能源汽车公司为了解其对A型充电桩进行投资后所获得的利润y（单位：百万元）关于投资金额x（单位：百万元）之间的关系，统计后得到10组样本数据，根据统计数据计算得到，，利润的方差，投资金额的方差，以及样本相关系数．（1）根据样本相关系数r判断利润y与投资x的相关性强弱，并求出y关于x的经验回归方程（精确到0.01）；（2）为了解使用A型充电桩的车主性别与使用满意度（分为满意与不满意）的情况，该公司又随机调查了该地区150名使用A型充电桩的车主，其中男性车主有60名对A型充电桩的使用表示满意，有30名对A型充电桩的使用表示不满意；女性车主中有60%对A型充电桩的使用表示满意．将频率视为概率，用样本估计总体．已知该地区一位车主对A型充电桩的使用表示满意，求这位车主是男性的概率．附：（ⅰ）样本相关系数，当时，相关性较强，当时，相关性一般；（ⅱ）经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，；（ⅲ）．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）由相关系数定义可判断相关性强弱，由r及计算公式间联系可得，后结合题意可得回归方程；（2）设该地区“一位车主对A型充电桩的使用表示满意”记作事件A，“车主是男性”记作事件B，由题意结合条件概率知识可得答案.【小问1详解】由于，由题可知利润y与投资金额x相关性较强，又，，，所以；又，，所以，由题，得，，所以，则y关于x的经验回归方程为．【小问2详解】设该地区“一位车主对A型充电桩的使用表示满意”为事件A，“车主是男性”为事件B，则该地区一位车主对A型充电桩的使用表示满意，且这位车主是男性的概率为.又男性对充电桩满意的概率为，车主对充电桩满意概率为则这位车主是男性的概率为．16.已知是正项递增的等比数列，且，．数列是等差数列，且．（1）分别求数列和数列的通项公式；（2）设，求数列前n项和．【正确答案】（1），（2）【分析】（1）应用等比数列通项公式建立方程组可解出，利用待定系数法可求出；（2）应用等比数列求和公式与裂项相消方法可求出.【小问1详解】解：设等比数列的公比为q，且有，由于解得所以数列的通项公式为．由于是等差数列，设，则有，所以,解得所以数列的通项公式为．【小问2详解】解：由（1）知，，所以．17.如图，在四棱台中，底面为等腰梯形，，平面平面，平面平面．（1）证明：平面；（2）若，，，求平面与平面夹角的余弦值．【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）在平面内构造一点，分别向、作垂线，应用面面垂直的性质证出垂直于平面内两条相交线，再应用线面垂直的判定定理即可证明；（2）以点为坐标原点，为z轴建立适当的空间直角坐标系，应用空间向量法解出两面夹角余弦即可.【小问1详解】证明：如图4，在平面上任取一点H，作交于点E，作交于点F，由于平面平面，平面平面，，所以平面，又因为平面，所以；同理：可得，又因为且平面，平面，所以平面．【小问2详解】解：由（1）知：平面，过A点作交于点G，故可建立如图所示的空间直角坐标系，由于，，所以A0,0,0，，，，A10,0,4，在四棱台中，由于，可得；同理，由于，可得；所以，，，设平面的法向量，由,即，可取；设平面的法向量，由，即，可取，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为．18.已知双曲线的左、右焦点分别为，，且焦距为4，左顶点为E，过右焦点的动直线l交C于A，B两点，当l垂直于x轴时，．（1）求C的方程；（2）若动直线l与C的左支交于点A，右支交于点B，求的取值范围．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）求出焦点坐标，结合，可求出点坐标，再利用双曲线方程与，即可求出C的方程；（2）将面积之比转化为，纵坐标的比值问题，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理可得出，进而求得的取值范围.【小问1详解】设，由题意知，焦距为4，故，所以，，又因为当l垂直于x轴时，，所以可得．把代入C中得，①，又②，则联立①②方程解得，，．所以双曲线C的方程为．【小问2详解】如图，由双曲线C的性质可得：，．设Ax1,则，，所以．设，联立得，，则Δ=所以，，由于l与C交于异支，则，解得：；又y1且．令，且