2024-2025学年广东省佛山市高二上学期1月期末教学质量检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省佛山市高二上学期1月期末教学质量检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知点A(1,y1)，B(2,y2)在斜率为A.−3 B.−33 2.抛物线x2+8y=0的焦点到准线的距离为A.2 B.4 C.8 D.163.已知双曲线的一条渐近线方程是y=2x，虚轴的一个端点坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为(

)A.x2−y24=1 B.x4.下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是A.x23+y22=1 B.5.已知数列{an}的通项公式为an=n2A.(−∞,−2] B.[−2,+∞) C.(−3,+∞) D.(−∞,−3)6.甲乙两名同学参加羽毛球单打比赛，比赛规则是3局2胜制．现通过设计模拟实验估算概率，用1，3，5表示一局比赛甲获胜，用2，4表示一局比赛乙获胜．利用计算机产生20组随机数：423

123

423

344

114

453

525

332

152

342534

443

512

541

125

432

334

151

314

254由此估计甲赢得比赛的概率为(

)A.0.6 B.0.65 C.0.7 D.0.757.已知圆O1和圆O2都和x轴正半轴相切，且圆心都在直线y=x上，半径之差为4，则|A.42 B.43 C.8.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是3，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，则MN的最小值为

A.2 B.3 C.3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.抛掷一枚质地均匀的硬币两次，设事件A=“第一次正面朝上”，事件B=“第二次反面朝上”，则A.A与B互斥 B.A与B相互独立 C.A与B相等 D.P(A)=P(B)10.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上异于A，B的动点，PA⊥平面ABC，M为PA的中点，且PA=3，AB=7，则

A.BC的长等于点B到直线PC的距离

B.∠ACB为二面角A−PC−B的平面角

C.当AC=3时，BP与平面PAC所成角为30°

D.过M作平面α/​/平面ABC，则平面α与11.已知抛物线C：y2=2px(p>0)和椭圆Γ：x2a2+y2a2−1=1(a>1)有相同的焦点F，且交于M，A.存在a<2，使△FPQ为等边三角形

B.存在a>1，使四边形PQNM为正方形

C.任意a>1，点M总在圆F：(x−1)2+y2=1外

D.任意三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在空间直角坐标系Oxyz中，平面α的法向量n=(1,2,2)，点P(3,4,5)在α内，则原点O到α的距离为__________．13.已知F1，F2分别为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F2作斜率为14.已知点P(1,−3)关于直线y=kx的对称点在圆C：x2+(y−4四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知A(−2,4)，B(5,5)，C(6,−2)是圆P上的三点，D(−1,5)．(1)判断A，B，C，D四点是否共圆，并说明理由；(2)过点D的直线l被圆P截得的弦长为8，求直线l的方程．16.(本小题15分)如图，在多面体ABCDEF中，平面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=π3，AC∩BD=O，DF⊥平面ABCD，DF/​/BE，(1)求证：OF⊥平面EAC；(2)求平面AEF与平面CEF夹角的大小．17.(本小题15分)甲同学参加立定投篮训练活动．规则如下：每投中一球得1分，投不进得−1分．已知甲每次的投篮命中率为12，前6(1)求甲投完第8次球后得分依旧为6分的概率．(2)若甲最多有10次投篮机会，得分不少于7分则为优秀．为了使获得优秀的概率最大，甲选择的投篮次数应该是多少次？18.(本小题17分)已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l：y=kx+b，其中k≥b≥12，直线l与抛物线有且只有一个公共点P，直线(1)当k=b时，求|PQ|的值；(2)求△OPQ面积的取值范围．19.(本小题17分)已知长为3的线段的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，且BP=2(1)求动点P的轨迹方程；(2)记F(1,0)，动点P的轨迹为曲线C，过点D(4,0)的直线交曲线C于M、N两点，分别过点M、F作y轴和x轴的垂线交于点Q，求证直线QN恒过定点，并求该定点坐标．

参考答案1.D

2.B

3.A

4.D

5.C

6.B

7.A

8.B

9.BD

10.AC

11.ACD

12.7

13.3

14.2−15.解：(1)设圆P的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，

将A，B，C三点的坐标代入，得20−2D+4E+F=050+5D+5E+F=040+6D−2E+F=0,

解得D=−4E=−2F=−20,

所以圆P的方程为x2+y2−4x−2y−20=0，

将D(−1,5)代入得1+25+4−10−20=0，

所以点D在圆P上，

所以A，B，C，D四点共圆；

(2)由(1)知圆P的方程为x−22+(y−1)2=25，圆心P(2,1)，半径r=5，

设直线被圆P截得的弦长为l，则(l2)2+d2=r2，

即42+d2=25，

所以d=3，

①若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=−1，此时圆心P(2,1)到直线l的距离为3，满足题意;

②16.(1)证明：由题意，△FAD≌△FCD，

所以FA=FC．

因为平面ABCD是边长为2的菱形，AC∩BD=O，

所以O是AC的中点，

所以OF⊥AC，

在梯形BDFE中，因为DF⊥平面ABCD，

BD⊂平面ABCD，所以DF⊥BD，

因为DF/​/BE，BE⊥BD，

BE=2DF=6，OB=OD=3，

得OE=3，OF=322，EF=362，

所以EF2=OE2+OF2，(2)解：以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，过点O作DF的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

则A(0,−1,0)，C(0,1,0)，E(3,0,6)，F(−3,0,62)，

所以AE=(3,1,6)，AF=(−3,1,62)，

设平面AEF的一个法向量为n=(x,y,z)，

所以n⋅

17.解：(1)依题意，记Ai=“接下来第i次投中”，i=1，2，3，4，

B=“甲投完第8次球后甲得分为6分”，

则B=A1A2∪A1A2，且A1A2与A1A2互斥，

根据概率的加法公式和事件独立性定义，

得P(B)=P(A1A2∪A1A2)=P(A1A2)+P(A1A2)=P(A1)P(A2)+P(A1)P(A2)

=12×12+12×12=12

(2)18.解：(1)当k=b时，由l：y=kx+k，与y2=4x联立，

消去y，整理可得k2x2+(2k2−4)x+k2=0，

因为直线l与抛物线有且只有一个公共点P，

所以Δ=(2k2−4)2−4k4=0，解得k2=1．

因为k≥b≥12，所以k=1，得P(1,2)．

注意到点F坐标为(1,0)，所以PF⊥x轴，点Q坐标为(1,−2)，

故弦长|PQ|=4．

(2)由l：y=kx+b，与y2=4x联立，

消去y，整理可得k2x2+(2kb−4)x+b2=0，

因为直线l与抛物线有且只有一个公共点P，

所以Δ=(2kb−4)2−4k2b2=0，

所以kb=1，P(1k2,2k).

当k≠1时，

则直线PQ的方程为y=2k1k2−1(x−1)，即y=2k1−k2(x−1)，

与y2=4x联立，19.解：(1)由题可设A(a,0)，B(0,b)，P(x,y)，

因为BP=2PA，所以(x,y−b)=2(a−x,−y)，则x=2(a−x)y−b=−2y，

解得a=3x2，b=3y，

又|AB|=3，可得a2+b2=9，即(3x2)2+(3y)2=9，化简得x24+y2=1，

所以动点P的轨迹方程为x24+y2=1．

(2) ①当直线MN