北京市朝阳区2024-2025学年高三上册10月月考数学检测试题（含解析）

北京市朝阳区2024-2025学年高三上学期10月月考数学检测试题一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，则（）A. B.C. D.2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（）A. B. C. D.3.下列函数中，在区间上单调递减的是（）A. B.C. D.4.已知实数满足，则下列不等式中正确的是（）A. B.C. D.5.欧拉公式（为虚数单位）是有由瑞士数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，特别是当时，被认为是数学中最优美的公式，数学家们评价它是“创造的公式”.根据欧拉公式可知，在复平面中位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.已知函数，那么不等式的解集为（）A. B. C. D.7.设，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.8.若，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.已知函数，设，若存在，使得，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.10.恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就.其中对数的发明曾被十八世纪法国数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数N的70次方是一个83位数，则由下面表格中部分对数的近似值（精确到0.001），可得N的值为（）M23711130.3010.4770.84510411.114A.13 B.14 C.15 D.16二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域是______.12.已知是定义在上偶函数，且当时，，则______.13.设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为______.14.对于三次函数，给出定义：是函数的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若，根据这一发现，函数的对称中心是______.15.已知函数给出下列四个结论：①当时，的最小值为0；②当时，存在最小值；③当时，在上单调递增；④的零点个数为，则函数的值域为.其中所有正确结论的序号是______.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.设函数.（1）若，求的值；（2）已知在区间上单调递增，，，求，的值.17.中，．（1）求；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．18.某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竟答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：性别人数获奖人数一等奖二等奖三等奖男生200101515女生300252540假设所有学生的获奖情况相互独立．（1）分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到2名学生都获一等奖的概率；（2）用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以X表示这2名学生中获奖的人数，求X的分布列和数学期望；（3）用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一女生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为，试比较与的大小．（结论不要求证明）19.已知函数.（1）若，求曲线在点处切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）若，证明：当时，.20.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，证明：函数在区间上有且仅有一个零点；（3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．21.已知数列：，，…，满足：（，2，…，，），从中选取第项、第项、…、第项称数列，，…，为的长度为的子列.记为所有子列的个数.例如：0，0，1，其.（1）设数列A：1，1，0，0，写出A的长度为3的全部子列，并求；（2）设数列：，，…，，：，，…，，：，，…，，判断，，的大小，并说明理由；（3）对于给定的正整数，（），若数列：，，…，满足：，求的最小值.北京市朝阳区2024-2025学年高三上学期10月月考数学检测试题一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，则（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】先化简集合，然后根据交集的定义计算.【详解】由题意，，，根据交集的运算可知，.故选：A2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】首先表示出，再根据复数代数形式的乘法运算计算可得.【详解】因为复数对应的点的坐标是，所以，则.故选：B3.下列函数中，在区间上单调递减的是（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】根据基本初等函数的单调性判断即可.【详解】对于A：在定义域上单调递增，故A错误；对于B：因为在定义域0,+∞上单调递增，所以在定义域0,+∞上单调递减，故B正确；对于C：在0,+∞上单调递增，故C错误；对于D：，所以在上先减后递增，故D错误.故选：B4.已知实数满足，则下列不等式中正确的是（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】由可知A正确；通过反例可知BCD错误.【详解】对于A，（当且仅当时取等号），，A正确；对于B，当，时，，B错误；对于C，当，时，，，则，C错误；对于D，当，时，，，则，D错误.故选：A.5.欧拉公式（为虚数单位）是有由瑞士数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，特别是当时，被认为是数学中最优美的公式，数学家们评价它是“创造的公式”.根据欧拉公式可知，在复平面中位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【正确答案】A【分析】根据定义把写成三角形式，即可得出对应点的坐标，从而得其象限．【详解】由题意，对应点坐标为，而，点在第一象限．故选：A．6.已知函数，那么不等式的解集为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】分别作出y=fx及的图象后，借助图象分析即可得.【详解】分别作出y=fx及的图象如下：由图可知不等式的解集为1,4.故选：C.7.设，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可.【详解】因为，即，又，，所以.故选：D8.若，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可.【详解】解法一：因为，且，所以，即，即，所以.所以“”是“”的充要条件.解法二：充分性：因为，且，所以，所以，所以充分性成立；必要性：因为，且，所以，即，即，所以.所以必要性成立.所以“”是“”的充要条件.解法三：充分性：因为，且，所以，所以充分性成立；必要性：因为，且，所以，所以，所以，所以，所以必要性成立.所以“”是“”的充要条件.故选：C9.已知函数，设，若存在，使得，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】根据题意，求得函数的值域为，结合题意转化为，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，作出函数图象，如图所示，所以，当时，；当时，，可函数的值域为，设，若存在，使得成立，即，只需，即对于，满足成立，即，解得，所以实数的取值范围为.故选：A.10.恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就.其中对数的发明曾被十八世纪法国数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数N的70次方是一个83位数，则由下面表格中部分对数的近似值（精确到0.001），可得N的值为（）M23711130.3010.4770.8451.0411.114A.13 B.14 C.15 D.16【正确答案】C【分析】利用对数的运算公式计算即可.【详解】由题意知，的70次方为83位数，所以，则，即，整理得，根据表格可得，，所以，即.故选：C.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域是______.【正确答案】【分析】根据函数解析式建立不等式组，可解得答案.【详解】由题意可得，解得.故答案为.12.已知是定义在上的偶函数，且当时，，则______.【正确答案】【分析】根据偶函数的性质及指数对数恒等式计算可得.【详解】因为是定义在上的偶函数，且当时，，所以.故13.设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为______.【正确答案】【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，从而求得所求面积.【详解】因为，所以，则，所以该切线方程为，即，令，则，令，则，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积.故答案为.14.对于三次函数，给出定义：是函数的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若，根据这一发现，函数的对称中心是______.【正确答案】【分析】根据所给定义，求出函数的一阶导数与二阶导数，再，求出，即可得解.【详解】因为，所以，则，令，解得，又，所以函数的对称中心是.故15.已知函数给出下列四个结论：①当时，的最小值为0；②当时，存在最小值；③当时，在上单调递增；④的零点个数为，则函数的值域为.其中所有正确结论的序号是______.【正确答案】①④【分析】对于①，写出此时函数解析式，得到当时，取得最小值，最小值为0；对于②，举出反例；对于③，两分段均单调递增，但端点处，左端点的函数值不一定小于右端点的函数值，故③错误；对于④，对进行分类讨论，结合零点存在性定理得到函数的值域为.【详解】对于①，当时，，当时，，当时，，综上，当时，取得最小值，最小值0，①正确；对于②，不妨设，此时，当时，，当时，，故，此时函数不存在最小值，②错误；对于③，在上单调递增，且，当时，在上单调递增，且，当时，，故当时，在R上不单调递增，③错误；对于④，，在上单调递增，当时，设，显然单调递增，又，故存在，使得，当时，无解，即在上无零点，此时有两个零点，和，故此时，当时，在上有1个零点，此时有两个零点，和，故此时，当时，，由①知，此时有1个零点，即，当时，在上无零点，在上也无零点，此时，则函数的值域为，④正确.故①④函数零点问题处理思路：（1）直接令函数值为0，代数法求出零点；（2）将函数零点问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，简化了思维难度；三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.设函数.（1）若，求的值；（2）已知在区间上单调递增，，，求，的值.【正确答案】（1）（2），【分析】（1）借助两角和的正弦公式化简后代入计算即可得；（2）由题意可得函数周期，即可得，而后借助正弦函数性质代入计算即可得.【小问1详解】，，故，又，故；【小问2详解】由题意可得，故，又，故，由，则，解得，又，故.17.在中，．（1）求；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．【正确答案】（1）（2）答案见解析【分析】（1）根据题意，利用余弦定理求得，即可求解；（2）根据题意，若选择①②，求得，由正弦定理求得，再由余弦定理求得，结合面积公式，即可求解；若①③：先求得，由，利用正弦定理求得，结合面积公式，即可求解；若选择②③，利用余弦定理，列出方程求得，不符合题意.【小问1详解】解：因为，由余弦定理得，又因为，所以.【小问2详解】解：由（1）知，若选①②：，，由，可得，由正弦定理，可得，解得，则，又由余弦定理，可得，即，解得或（舍去），所以面积为.若选①③：且，由，可得，因为，可得，由正弦定理，可得，解得，所以的面积为.若选：②③：且，因为，可得，整理得，解得，不符合题意，（舍去）.18.某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竟答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：性别人数获奖人数一等奖二等奖三等奖男生200101515女生300252540假设所有学生的获奖情况相互独立．（1）分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；（2）用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以X表示这2名学生中获奖的人数，求X的分布列和数学期望；（3）用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一女生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为，试比较与的大小．（结论不要求证明）【正确答案】（1）（2）分布列见解析，期望（3）【分析】（1）直接计算概率；（2）的所有可能取值为0,1,2，求出高一男生获奖概率和高一女生获奖概率，再计算概率得到分布列，最后计算期望即可；（3）计算出，，比较大小即可.【小问1详解】设事件为“分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名,抽到的2名学生都获一等奖”，则，【小问2详解】随机变量的所有可能取值为0,1,2.记事件为“从该地区高一男生中随机抽取1名,该学生获奖”,事件为“从该地区高一女生中随机抽取1名,该学生获奖”.由题设知,事件,相互独立,且估计为估计为.所以,,.所以的分布列为012故的数学期望【小问3详解】，理由：根据频率估计概率得，由（2）知，，故，则.19.已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）若，证明：当时，.【正确答案】（1）（2）答案见解析（3）证明见解析【分析】（1）借助导数的几何意义计算可得其切线斜率，即可得其切线方程；（2）分及，结合导数讨论即可得；（3）构造函数，多次求导研究其单调性即可得.【小问1详解】当时，，则，，则，即曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为即；【小问2详解】，当时，f′x<0恒成立，故在0,+当时，若，则f′x<0，若，则f′故在上单调递减，在上单调递增；【小问3详解】令，，令，则，令，则恒成立，故在1,+∞上单调递增，则，故在1,+∞上单调递增，则，故1,+∞上单调递增，则，即.20.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，证明：函数在区间上有且仅有一个零点；（3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．【正确答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率，结合可得切线方程；（2）令，求导后可知，由此确定在上单调递增，结合零点存在定理可得结论；（3），将问题转化为恒成立；求导后，分析可知当时，单调递增；当时，利用零点存在定理可说明在上单调递减，由此可得，知不合题意；当时，可得，知单调递增，满足题意；当时，采用放缩法得，结合时的结论可知其满足题意；综合三种情况可得结果.【小问1详解】当时，，则，，又，在点处的切线方程为：，即.【小问2详解】当时，令，则；当时，，，即，在上单调递增，又，，在上有唯一零点，即在上有且仅有一个零点.【小问3详解】令，则对任意，恒成立；又，令，则；当时，若，则，，，在上恒成立，则在上单调递增；①当时，，，，使得，且当时，，在上单调递减，此时，不合题意；②当时，；当时，，则在上单调递增，恒成立，满足题意；③当时，，由②知：对任意，，满足题意；综上所述：实数