2024-2025学年北京市海淀区高三10月月考数学质量检测试卷（含解析）

2024-2025学年北京市海淀区高三10月月考数学质量检测试卷说明：本试卷21道题，共150分；考试时间120分钟；请在答题卡上填写个人信息，并将条形码贴在答题卡的相应位置上．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.下列函数中，在定义域上为奇函数，且在上递减的是（）A. B. C. D.3.已知，以下四个数中最大的是（）A.b B. C. D.4.已知角的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点，则角的一个可能值为（）A B. C. D.5.已知函数，则的解集为（）A. B. C. D.6.已知定义域为R的函数满足是奇函数，是偶函数，则下列各数一定是零点的是（）A.2019 B.2022 C.2025 D.20287.深度学习的神经网络优化模型之一是指数衰减的学习率模型：，其中，L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知，某个指数衰减学习率模型的初始学习率为，衰减速度为．经过轮迭代学习时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下所需要的训练迭代轮数至少为（）（参考数据：）A. B. C. D.8.已知均为正实数．则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件9.音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”.它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次.如图所示，某一条葫芦曲线的方程为，其中x表示不超过x的最大整数.若该条曲线还满足，经过点.则该条葫芦曲线与直线交点的纵坐标为（）A. B. C. D.10.如图所示，直线与曲线y=fx相切于两点，其中．若当时，，则函数在0,+∞上的极大值点个数为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）11.函数的定义域为______12.函数的值域为______．13.已知对任意实数x，均有，写出一组满足条件的______．14.已知函数有两个零点，则的取值范围为______．15.已知函数fx=x+1+ax−2①的最小值为1；②的最大值为3；③在上单调递减；④a只有唯一值使得y=fx的图象有一条垂直于x其中所有正确结论的是：______．三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．请在答题纸上的相应位置作答．）16.已知数列的前n项和为．（1）求的通项公式：（2）若等比数列满足，求的前n项和．17.已知函数．（1）若，求的值；（2）已知在上单调递减，，从以下三个条件中选一个作为已知，使得函数唯一确定，求值．①是曲线的一个对称中心；②；③在上单调递增；18.已知函数（1）若，求曲线的斜率为的切线方程；（2）求函数的单调递增区间；（3）若函数在上恰有1个零点，直接写出a的取值集合．19.海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现测得某港口某天的时刻与水深的关系表如下所示：（3.1时即为凌晨3点06分）时刻：x（时）03.16.29.312.415.518.621.724水深：y（米）5.07.45.02.65.07.45.02.64.0（1）根据以上数据，可以用函数来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，求出这个函数的解析式；（2）某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米．安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长．20.已知函数，记其在点处切线方程为：．定义关于x的函数．（1）求解析式；（2）当时，判断函数的单调性并说明理由；（3）若a满足当时，总有成立，则称实数a为函数一个“Q点”，求的所有Q点．21.已知集合，对于任意，操作一：选择中某个位置（某两个数之间或第一个数之前或最后一个数之后），插入连续个或连续个，得到；操作二：删去中连续个或连续个，得到；进行一次操作一或者操作二均称为一次“月变换”，在第次“月变换”的结果上再进行次“月变换”称为第次“月变换”．（1）若对进行两次“月变换”，依次得到，．直接写出和的所有可能情况．（2）对于和至少要对进行多少次“月变换”才能得到？说明理由．（3）证明：对任意，总能对进行不超过次“月变换”得到．

2024-2025学年北京市海淀区高三10月月考数学质量检测试卷说明：本试卷21道题，共150分；考试时间120分钟；请在答题卡上填写个人信息，并将条形码贴在答题卡的相应位置上．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1.已知集合，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】先求出集合，将其中非负整数代入，即可判断是否属于集合，进而结合交集的定义求解即可.【详解】根据题意，，则集合中的整数为，当时，，当时，，当时，，当时，，所以.故选：D2.下列函数中，在定义域上为奇函数，且在上递减的是（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据函数奇偶性的定义、单调性的判断方法进行判断即可．【详解】解：A．fx=1xB．为偶函数，不符合题意；C．，函数为奇函数，在上递减，符合题意；D．，函数为奇函数，在上递增，不符合题意；故选：C．3.已知，以下四个数中最大的是（）A.b B. C. D.【正确答案】D【分析】首先得，而、都是正数，故只需让它们的平方作差与0比较大小即可.【详解】由题意，所以，由基本不等式可得，同时注意到，所以，a2而、都是正数，所以.故选：D.4.已知角的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点，则角的一个可能值为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】由题意可求得，结合选项可得结论.【详解】因为的终边经过点，所以，所以角的一个可能值为.故选：B.5.已知函数，则的解集为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】求导后可得单调性，结合零点可求得结果.【详解】由题意知：定义域为0,+∞，，当时，f'x>0；当时，f'∴fx在上单调递增，在上单调递减，又，当时，，即的解集为.故选：B.6.已知定义域为R的函数满足是奇函数，是偶函数，则下列各数一定是零点的是（）A.2019 B.2022 C.2025 D.2028【正确答案】B【分析】由已知条件确定函数周期，再逐项判断即可.【详解】因为是奇函数，所以且，令，可得：因为是偶函数，且，所以，所以，所以定义域为R的函数一个周期为8，所以无法判断，，，无法判断.，无法判断.故选：B7.深度学习的神经网络优化模型之一是指数衰减的学习率模型：，其中，L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知，某个指数衰减学习率模型的初始学习率为，衰减速度为．经过轮迭代学习时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下所需要的训练迭代轮数至少为（）（参考数据：）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据已知条件列方程，可得，再由，结合指对数关系和对数函数的性质求解即可．【详解】由于，所以，依题意，则，则，由，得到，所以，所以所需的训练迭代轮数至少为74次，故选：D.8.已知均为正实数．则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件【正确答案】A【分析】根据给定条件，结合不等式的性质，利用充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】由均为正实数，得，则，即；当时，即，而均为正实数，则有或，即或，所以“”是“”充分不必要条件.故选：A9.音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”.它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次.如图所示，某一条葫芦曲线的方程为，其中x表示不超过x的最大整数.若该条曲线还满足，经过点.则该条葫芦曲线与直线交点的纵坐标为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据曲线方程上的点可得，将代入计算可得纵坐标.【详解】将点代入葫芦曲线的方程可得，即，由可得，因此曲线方程为，当时，可得，所以交点的纵坐标为.故选：C10.如图所示，直线与曲线y=fx相切于两点，其中．若当时，，则函数在0,+∞上的极大值点个数为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据斜率为的切线条数，结合图象直接判断即可.【详解】根据图象，可分别作出斜率为的另外三条切线：，切点分别为，如图所示：当时，；当时，；设，则，在上单调递增，在上单调递减，有，和三个极大值点.故选：D.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）11.函数的定义域为______【正确答案】【分析】根据对数的真数为正和二次根号下非负可求定义域.【详解】由题设有，故，故函数的定义域为，故答案为.12.函数的值域为______．【正确答案】【分析】分别求出每一段函数的值域，再求并集即可.【详解】当时，，在上单调递减，所以；当时，，在上单调递增，所以；综上所述，，故答案为.13.已知对任意实数x，均有，写出一组满足条件的______．【正确答案】（答案不唯一）【分析】根据诱导公式变形即可求解.【详解】注意到，故可以直接让，事实上，根据函数周期性可知.故（答案不唯一）.14.已知函数有两个零点，则的取值范围为______．【正确答案】【分析】令，得到，构造函数，，根据条件，数形结合得到，从而有，通过换元，得到，再求出在的取值范围，即可求解.【详解】易知函数的定义域为，令，得到，令，，图象如图所示，因为函数有两个零点，由图易知，，且，得到，所以，令，则，又易知在区间上单调递减，所以，即的取值范围为，故答案为.15.已知函数定义域为R，最小值记为，给出以下四个结论：①的最小值为1；②的最大值为3；③在上单调递减；④a只有唯一值使得y=fx的图象有一条垂直于x其中所有正确结论的是：______．【正确答案】②③④【分析】分类讨论后可得，故可求，故可判断①②的正误，结合的形式可判断C的正误，对于④，结合解析式的形式可得若对称则，可证明此时图像对称.【详解】由题设可得，当时，，此时当时，，此时故的值域为，故①错误，②正确；当时，，因，故在上单调递减，故③正确；因为互不相等，若y=fx的图象有一条垂直于x轴的对称轴，则即，此时，，故为的图象的对称轴，故④正确；故②③④.三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．请在答题纸上的相应位置作答．）16.已知数列的前n项和为．（1）求的通项公式：（2）若等比数列满足，求的前n项和．【正确答案】（1），（2）【分析】（1）借助关系式，即可求解；（2）根据（1）的结论可求出等比数列bn中的，进而求出公比，代入等比数列前n项和公式即可求出.【小问1详解】因为数列an的前n项和为，当时，；当时，；又因为，符合，所以an的通项公式为：，.【小问2详解】设等比数列bn的公比为.因为等比数列bn满足，即，，所以，所以，所以bn的前n项和.17.已知函数．（1）若，求值；（2）已知在上单调递减，，从以下三个条件中选一个作为已知，使得函数唯一确定，求的值．①是曲线的一个对称中心；②；③在上单调递增；【正确答案】（1）；（2）选择条件，答案见解析.【分析】（1）逆用差角的正弦公式化简函数，借助特殊角的三角函数值求出.（2）根据给定条件，结合单调区间及最小值可得，且，选择①结合对称中心求出；选择②结合特殊角的三角函数值求出值，矛盾；选择③，由最大值点求出.【小问1详解】依题意，函数，由，得，即，而，解得，所以的值是.【小问2详解】由在上单调递减，得函数的最小正周期，解得，由，得，又，而，即，，因此，选择①，是曲线的一个对称中心，而，则函数的最小正周期，解得，由，得，函数唯一确定，经验证符合题意，所以.选择②，，即，化简得，又，，，于是，联立，解得，不符合题意，函数不能确定.选择③，在上单调递增，，则函数的最小正周期，解得，由，得，函数唯一确定，经验证符合题意，所以.18.已知函数（1）若，求曲线的斜率为的切线方程；（2）求函数的单调递增区间；（3）若函数在上恰有1个零点，直接写出a的取值集合．【正确答案】（1）和；（2）；（3）.【分析】（1）设斜率为的直线与y=fx相切于，求导得，令，解得或，求出切点坐标，再利用点斜式即可得切线方程；（2）求导得，令f'x（3）将问题转化为直线与的图象在上只有一个交点，利用导数求出的单调区间、最值，作出图象，结合图象求解即可.【小问1详解】解：因为，所以，，设斜率为的直线与y=fx相切于，令，解得或，当时，切点为，此时切线方程为；当时，切点为,此时切线方程为：，即；综上，所求切线方程为：和；【小问2详解】解：因为，所以，令f'x>0，得或所以函数的单调递增区间为；【小问3详解】解：令，则，令，则，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，又，，又因为函数在上恰有1个零点，即直线与的图象在上只有一个交点，如图所示：由此可得或，解得或，所以实数a的取值集合为19.海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现测得某港口某天的时刻与水深的关系表如下所示：（3.1时即为凌晨3点06分）时刻：x（时）03.16.29.312.415.518.621.724水深：y（米）5.07.45.02.65.07.45.02.64.0（1）根据以上数据，可以用函数来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，求出这个函数的解析式；（2）某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米．安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长．【正确答案】（1）（2）最早可行的进港时间为1时2分，5时10分出港；这条货船一天中最多可以在港口中停靠的总时长为8小时16分.【分析】（1）由公式可求，由表格可得周期，进而求，代入最高点可求；（2）由题意可知进港条件为，解不等式即可.【小问1详解】由表格可知y的最大值为7.4，最小值为2.6，所以，由表格可知，所以，所以，将点代入可得：，所以，解得，因为，所以，所以.【小问2详解】货船需要的安全水深为米,所以进港条件为.令,即,所以,解得,因为，所以时，,k=1时，因为（时）=1时2分,（时）时10分.（时）时26分，（时）时34分.因此，货船可以在1时2分进港，早晨5时10分出港；或在下午13时26分进港，下午17时34分出港.则该货船最早进港时间1时2分，停靠总时长为8小时16分钟.20.已知函数，记其在点处的切线方程为：．定义关于x的函数．（1）求的解析式；（2）当时，判断函数单调性并说明理由；（3）若a满足当时，总有成立，则称实数a为函数的一个“Q点”，求的所有Q点．【正确答案】（1）（2）当时，在上单调递减；在上单调递增（3）的所有Q点为或【分析】(1)先求出的导函数f'x，然后求出的值，再根据点斜式即可求出切线方程；(2)求出的导函数，判断在时的符号，即可判断函数的单调性；(3)根据题意，当时，总有成立，即与同号，即可找到满足条件的值.【小问1详解】，当时，，，故在处的切线方程为：，即，；【小问2详解】由知：，令，则，令，则，当时，φ'x<0，当时，φ'x>0，故，，∴ea+即恒成立，即ℎ'x即ℎx在上单调递增，又，故当时，，即，单调递减；当时，，即，单调递增；综上所述：当时，在上单调递减；在上单调递增；【小问3详解】当时，总有成立，故与同号，即当时，，当时，，又，即在上单调递增，即恒成立，由知：，即，故当时，恒成立，，解得：或，当时，恒成立，解得：，故或，故的所有Q点为或.方法点睛：本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及利用导数研究函数的零点问题，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．21.已知集合，对于任意，操作一：选择中某个位置（某两个数之间或第一个数之前或最后一个数之后），插入连续个或连续个，得到；操作二：删去中连续个或连续个，得到；进行一次操作一或者操作二均称为一次“月变换”，在第次“月变换”的结果上再进行次“月变换”称为第次“月变换”．（1）若对进行两次“月变换”，依次得到，．直接写出和的所有可能情况．（2）对于和至少要对进行多少次“月变换”才能得到？说明理由．（3）证明：对任意，总能对进行不超过次“月变换”得到．【正确答案】（1），，或，，或，.（2）（3）证明见解析【分析】（1）直接根据定义得到所有可能的情况即可；（2）先对段落数估计，证明一定需要次操作，然后构造次操作的例子，即可说明至少需要的操作次数为；（3）先给出具体的操作方式，然后证明该操作方式下操作的总次数不会超过.【小问1详解】由于对进行一次“月变换”后就得到了，说明一定含有个相同且相邻的数，从而只可能是，，，对应的分别是，1,0，0,1.【小问2详解】对每个中的元素，将其所有连续的和连续的各自记为一个段落，则容易得到：若对某个进行一次操作一得到，则的段落数或者和的段落数相等，或者比的段落数多，或者比的段落数多；若对某个进行一次操作二得到，则的段落数或者和的段落数相等，或者比的段落数少，或者比的段落数少.这表明，每次“月变换”下，变换前后元素的段落数之差的绝对值不超过.现在，的段落数为，的段落数为.故若对