2025年湘教新版高二数学下册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年湘教新版高二数学下册阶段测试试卷458考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、已知函数其导函数图象如图1所示，则函数的极小值是（*）A.B.C.D.2、函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在（a，b）内的极大值点有（）

A.4个。

B.3个。

C.2个。

D.1个。

3、【题文】若则向量与的夹角为（）A.B.C.D.4、【题文】在中，若则()A.B.C.D.5、如图所示，墙上挂有一边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧。某人向此板投镖；假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是（）

A.B.C.D.与a的取值有关6、曲线y=x3﹣2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（）A.30°B.45°C.60°D.120°7、“a=1

”是“复数a2鈭�1+(a+1)i(a隆脢R,i

为虚数单位)

是纯虚数”的(

)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8、将甲、乙、丙、丁四名学生分配到三个不同的班，每个班至少一名，则不同分法的种数为(

)

A.18

B.24

C.36

D.72

评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)9、若A，B是双曲线8x2-y2=8的两焦点，点C在该双曲线上，且△ABC是等腰三角形，则△ABC的周长为____．10、【题文】一钟表的分针长5cm，经过40分钟后，分针外端点转过的弧长是________cm11、【题文】____12、【题文】某小组中有6名女同学和4名男同学，从中任意挑选3名同学组成环保志愿者宣传队，则这个宣传队由2名女同学和1名男同学组成的概率是________（结果用分数表示）．13、【题文】14、【题文】五对夫妻要排成一列，则每一位丈夫总是排在他妻的后面（可以不相邻）的概率为____。15、已知f（x）=ax3+3x2-1存在唯一的零点x0，且x0＜0，则实数a的取值范围是______．16、过点（1，0）且与直线x+3y-1=0垂直的直线方程的一般式是______．评卷人得分三、作图题(共6题，共12分)17、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

18、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）19、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）20、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）21、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）22、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共3题，共15分)23、在相同条件下对自行车运动员甲；乙两人进行了6次测试；测得他们的最大速度（单位：m/s）的数据如下：

。甲273830373531乙332938342836（1）用茎叶图表示甲；乙两个成绩；

（2）根据茎叶图分别计算两个样本的平均数和方差s2；并根据计算结果估计哪位运动员的成绩比较稳定．

24、【题文】已知数列满足：且．

（1）令判断是否为等差数列，并求出

（2）记的前项的和为求．25、求函数f(x)=x3鈭�32x2+5

在区间[鈭�2,2]

上的最大值与最小值．评卷人得分五、计算题(共3题，共9分)26、已知等式在实数范围内成立，那么x的值为____．27、1.（本小题满分12分）已知函数在处取得极值.(1)求实数a的值；(2)若关于x的方程在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；(3)证明：(参考数据：ln2≈0.6931).28、解不等式组：．评卷人得分六、综合题(共2题，共20分)29、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．30、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S3=0．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、D【分析】【解析】【答案】D2、D【分析】

结合函数图象；根据极大值的定义可知在该点处从左向右导数符号先正后负；

从图象上可看出符合条件的有1点；

故选D．

【解析】【答案】结合图象；根据导数大于零，即导函数的图象在x轴上方，说明原函数在该区间上是单调递增，否则为减函数，极大值点两侧导数的符号，从左往右，先正后负，因此根据图象即可求得极大值点的个数．

3、B【分析】【解析】

试题分析：∵∴∴∵∴

∴∴

考点：1.夹角公式；2.向量运算.【解析】【答案】B4、D【分析】【解析】解：因为中，若利用正弦定理可知sinB=选D【解析】【答案】D5、A【分析】【分析】因为基本事件总数无限，所以考虑几何概型求概率，

故选A。6、B【分析】【解答】解：y/=3x2﹣2，切线的斜率k=3×12﹣2=1．故倾斜角为45°．故选B．

【分析】欲求在点（1，3）处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知k=y′|x=1，再结合正切函数的值求出角α的值即可．7、C【分析】解：当a=1

时；复数a2鈭�1+(a+1)i=2i

为纯虚数，满足充分性；

当a2鈭�1+(a+1)i

是纯虚数时；有a2鈭�1=0

且a+1鈮�0

解得a=1

满足必要性．

综上；“a=1

”是“复数a2鈭�1+(a+1)i(a隆脢R)i

为虚数单位)

是纯虚数”的充要条件；

故选：C

．

利用纯虚数的定义；先判断充分性再判断必要性．

该题考查复数的基本概念、充要条件.

属基础题．【解析】C

8、C【分析】解：根据题意；分2

步进行分析：

垄脵

将4

名学生分成3

组；其中1

组2

人，其余2

组各1

人，有C42=6

种分组方法；

垄脷

将分好的3

组全排列；对应3

个班级，有A33=6

种情况；

则有6隆脕6=36

种不同的分法；

故选：C

．

根据题意；分2

步进行分析：垄脵

将4

名学生分成3

组，其中1

组2

人，其余2

组各1

人，垄脷

将分好的3

组全排列，对应3

个班级，由分步计数原理计算可得答案．

本题考查分步计数原理的应用，注意题目要求“每个班至少一名”学生．【解析】C

二、填空题(共8题，共16分)9、略

【分析】

8x2-y2=8化为标准方程：x2-=1，则c2=1+8=9；即c=3；

所以焦点A（-3；0），B（3，0）；

△ABC为等腰三角形有三种情况：AC=BC；AB=AC，AB=BC；

（1）AC=BC；这在双曲线中是不可能的，因为双曲线满足|AC-BC|=2a；

显然AC不可能等于BC；

（2）AB=AC；因为AB=6，所以AC=6，由第一定义：|AC-BC|=2a=2，得BC=8或4

所以周长为16或20；

（3）AB=BC；根据对称性，结果同（2）；

所以；△ABC的周长为16或20

故答案为：16或20．

【解析】【答案】首先将方程转化成标准方程；然后求出焦点坐标，△ABC为等腰三角形有三种情况：AC=BC，AB=AC，AB=BC，当AC=BC时，这在双曲线中是不可能的，当AB=AC时，根据双曲线定义得出|AC-BC|=2a，求出BC的长，即可求出周长；当AB=BC时，根据对称性，求出结果．

10、略

【分析】【解析】

试题分析：分针每60分钟转一周；

故每分钟转过的弧度数是

分针经40分钟，分针的端点所转过的角的弧度数为2π×=

代入弧长公式l=αr，得出分针的端点所转过的长为×5=（cm）．

故答案为：

考点：弧度制下弧长公式的计算。

点评：中档题，弧长等于弧长所对圆心角的弧度数乘以半径，弧长公式l=αr中α的数值应为圆心角的弧度数。【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】

试题分析：由于二倍角余弦公式可知，故可知答案为

考点：二倍角的余弦公式。

点评：主要是考查了二倍角余弦公式的运用，属于基础题。【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】

试题分析：从6+4=10人中任意挑选3名同学，共有种基本事件，选2名女同学和1名男同学共有种基本事件，因此概率是

考点：古典概型概率【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】1.814、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】15、略

【分析】解：（i）当a=0时，f（x）=-3x2+1，令f（x）=0，解得x=函数f（x）有两个零点，舍去．

（ii）当a≠0时，f′（x）=3ax2+6x=3ax（x+），令f′（x）=0，解得x=0或-．

①当a＜0时，-＞0，当x＞-或x＜0，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当0＜x＜-时；f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．

∴故x=-是函数f（x）的极大值点；0是函数f（x）的极小值点．

∵函数f（x）=ax3+3x2-1存在唯一的零点x0，且x0＜0，则f（-）=-+-1=-1＜0；

即a2＞4得a＞2（舍）或a＜-2．

②当a＞0时，-＜0，当x＜-或x＞0时；f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；

当-＜x＜0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．

∴x=-是函数f（x）的极大值点；0是函数f（x）的极小值点．

∵f（0）=-1＜0；

∴函数f（x）在（0；+∞）上存在一个零点，此时不满足条件．

综上可得：实数a的取值范围是（-∞；-2）．

故答案为：（-∞；-2）．

讨论a的取值范围；求函数的导数判断函数的极值，根据函数极值和单调性之间的关系进行求解即可．

本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的零点，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．【解析】（-∞，-2）16、略

【分析】解：设与直线x+3y-1=0垂直的直线方程的一般式是3x-y+m=0；

把点（1；0）代入可得：3+m=0，解得m=-3．

因此所求的方程为：3x-y-3=0．

故答案为：3x-y-3=0．

设与直线x+3y-1=0垂直的直线方程的一般式是3x-y+m=0；把点（1，0）代入即可得出．

本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解析】3x-y-3=0三、作图题(共6题，共12分)17、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

18、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．19、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．20、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．21、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．22、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共3题，共15分)23、略

【分析】

（1）由题意可得：这两组数据的茎叶图为：

（2）由茎叶图可得：

∵S乙2＜S甲2

∴乙比较稳定。

∴确定乙的成绩比较稳定．

【解析】【答案】（1）根据茎叶图的特征可得茎的部分是十位；叶的部分是个位．

（2）由茎叶图结合均值与方差的公式；计算出甲乙两人的均值与方差，进而得到答案．

24、略

【分析】【解析】

试题分析：（1）注意从出发；确定。

数列中相邻项的关系，得到再根据为首项，以为公差的等差数列；确定通项公式．

（2）研究发现是以为首项，以为公比的等比数列；

是以为首项，以为公差的等差数列；因此，应用“分组求和法”，计算等比；等差数列数列的和．

解得本题的关键是确定数列的基本特征．

试题解析：（1）

即4分。

是以为首项，以为公差的等差数列5分。

6分。

（2）对于

当为偶数时，可得即

是以为首项，以为公比的等比数列；8分。

当为奇数时，可得即

是以为首项，以为公差的等差数列10分。

12分。

考点：等差数列、等比数列的通项公式及其求和公式．【解析】【答案】（1）是以为首项，以为公差的等差数列，

（2）．25、略

【分析】

求出函数的导数；解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可．

本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．【解析】解：f隆盲(x)=3x2鈭�3x=3x(x鈭�1)

令f隆盲(x)>0

解得：x>1

或x<0

令f隆盲(x)<0

解得：0<x<1

故f(x)

在[鈭�2,0)

递增；在(0,1)

递减，在(1,2]

递增；

而f(鈭�2)=鈭�9f(0)=5f(1)=92f(2)=7

故函数f(x)max=7f(x)min=f(鈭�2)=鈭�9

．五、计算题(共3题，共9分)26、略

【分析】【分析】先移项并整理得到=，然后两边进行6次方，求解即可．【解析】【解答】解：原式可化为=；

6次方得，（x-1）3=（x-1）2；

即（x-1）2（x-2）=0；

∴x-1=0；x-2=0；

解得x=1或x=2．

故答案为：1或2．27、略

【分析】【解析】

(1)f'(x)＝1＋，由题意，得f'(1)＝0Þa＝02分(2)由(1)知f(x)＝x－lnx∴f(x)＋2x＝x2＋bóx－lnx＋2x＝x2＋bóx2－3x＋lnx＋b＝0设g(x)＝x2－3x＋lnx＋b(x＞0)则g'(x)＝2x－3＋＝4分当x变化时，g'(x)，g(x)的变化情况如下表。x(0，)(，1)1(1，2)2g'(x)＋0－0＋G(x)↗极大值↘极小值↗b－2＋ln2当x＝1时，g(x)最小值＝g(1)＝b－2，g()＝b－－ln2，g(2)＝b－2＋ln2∵方程f(x)＋2x＝x2＋b在[，2]上恰有两个不相等的实数根高考+资-源-网由ÞÞ＋ln2≤b≤28分(3)∵k－f(k)＝lnk∴nk＝2ó(n∈N，n≥2)设Φ(x)＝lnx－(x2－1)则Φ'(x)＝－＝当x≥2时，Φ'(x)＜0Þ函数Φ(x)在[2，＋∞)上是减函数，∴Φ(x)≤Φ(2)＝ln2－＜0Þlnx＜(x2－1)∴当x≥2时，∴＞2[(1－)