初中数学 勾股定理 导学案

第十七章勾股定理

17.1勾股定理

第1课时勾股定理

学习目标：1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用

面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想；

2.会用勾股定理进行简单的计算.

重点：用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想.

难点：会用勾股定理进行简单的计算.

教学过程

一、要点探究

勾股定理的认识及验证

我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，观察朋友家

用等腰直角三角形地砖铺成的地面（如图）：

问题1试问正方形A、B、C面积之间有什么样的数量关系？

问题2图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？

问题3在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C是否也有

类似的面积关系？（每个小正方形的面积为单位1）

思考：这两幅图中A,B的面积都好求，该怎样求C的面积呢？

方法1：补形法（把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形）：

右图：\-J'；

方法2：分割法（把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形）：

左图：\=4»'1«：2«3'*1>|=|3

右图：1x1=25

根据前面求出的C的面积直接填出下表:

A的面积B的面积C的面积

左图

思考正方形A、B、C所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？

你能结合字母表示出来吗？

命题：如果直角三角形的两条直角边长分别为°力，斜边长为c,那么a2+b2=c2。

b

二、小组活动

以小组为单位，剪4个完全相同的直角三角形，类比探究思考中求解正方形C的面积方法,

拼一拼，摆一•摆，看看能否得到一个正方形，并利用等面积法证明勾股定理.

借助数字教材中的拼图，学生上台展示。

活动2

证法1让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图,再用所拼的图形证明命题吧.

c*=4x—+—=a*+Z>*

：.c2=a2+b2

赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.

因此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽.

证法2毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析

其面积关系后证明吧.

证明：

222

S*i73-®=(a+b)=a+b+2ab,

22

S大正方彩=4S直角三角彩+S小正方彩=4x—ab+c=c+2ab

2

a2+b2+2ab=c2+2ab,

a2+b2=c2.

证法3美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”.

如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2+b2=c2.

a

b

证明：

梯形=1(a+b)(a-b)

S梯形=2ab+iab+2C?

a2+b2=c2

三、归纳总结

勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为。力,斜边长为c,那么a2+b2=c2.

公式变形：<7=A/C2-Z>2,c=-\JcT+tr.

小贴士：在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股

我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称

为“弦”.

四、利用勾股定理进行计算

游戏竞赛环节：两名学生上台进行游戏竞赛。

五、典例精析

例1如图，在RtZX/BC中，ZC=90°.

⑴若a=b=5,求c;

(2)若a=l,c=2,求A

例2已知NACB=90°,CD_LAB,AC=3,BC=4.求CD的长.

方法总结:由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的

积，它常与勾股定理联合使用.

变式题2在中，N3=4,AC=3,求3c的长.

方法总结:当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是

直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解.

六、当堂检测

1.求下列图中未知数x、y的值:

A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2

B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方

C.在Rt448C中，ZC=90°，所以/+62=02

D.在中，ZB=90°，所以次+62j2

3.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为,

8cm

4.在△/8C中，ZC=90°.

(1)若a=15,b=8,则c=.

(2)若c=13,b=12,则所.

5.若直角三角形中，有两边长是5和7,则第三边长的平方为.

6.如图，在△48C中，AD±BC,ZB=45°,ZC=30°,40=1,求△Z2C的周长.

七、课堂小结

如果直角三角形的两直角边长

内容修分别为a,b,斜边长为c,那么

a2+b2=c2.

I勾股定理

在直角三角形中

看清哪个角是直角

已知两边没有指明是直角边