中考数学总复习提升专项知识章节综合训练五四边形(测试)含答案及解析

章节综合训练五四边形（考试时间：120分钟试卷满分：120分）一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（2024·山东青岛·中考真题）为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形ABCDE和正方形CDFG中，CF，DG的延长线分别交AE，AB于点M，N，则∠FME的度数是（

）A．90° B．99° C．108° D．135°2．（2024·江苏南通·中考真题）如图，直线a∥b，矩形ABCD的顶点A在直线b上，若∠2=41°，则∠1的度数为（

）A．41° B．51° C．49° D．59°3．（2024·山西·中考真题）在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，EG，FH交于点O．若四边形ABCD的对角线相等，则线段EG与FH一定满足的关系为()A．互相垂直平分 B．互相平分且相等C．互相垂直且相等 D．互相垂直平分且相等4．（2024·山东济南·中考真题）如图，在正方形ABCD中，分别以点A和B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线EF，再以点A为圆心，以AD的长为半径作弧交直线EF于点G（点G在正方形ABCD内部），连接DG并延长交BC于点K．若BK=2，则正方形ABCD的边长为（A．2+1 B．52 C．3+55．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是CD的中点，则sin∠EBC的值为（

A．35 B．75 C．21146．（2024·山东东营·中考真题）如图，四边形ABCD是平行四边形，从①AC=BD，②AC⊥BD，③AB=BC，这三个条件中任意选取两个，能使▱ABCD是正方形的概率为（

）A．23 B．12 C．137．（2023·四川绵阳·中考真题）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形ABCD的底边BC取中点E，以E为圆心，线段DE为半径作圆，其与底边BC的延长线交于点F，这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG，称其为黄金矩形．若CF=4a，则AB=（

）A．5−1a B．25−2a 8．（2024·山东日照·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠B=120°，点O是对角线AC的中点，以点O为圆心，OA长为半径作圆心角为60°的扇形OEF，点D在扇形OEF内，则图中阴影部分的面积为（

）A．π2−34 B．π−9．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=6，点M是AB边的中点，点N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N'，则△MBN'A．15 B．5+55 C．10+5210．（2024·山东东营·中考真题）如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，H为AB延长线上的一点，且BH=BD，连接DH，分别交AC，BC于点E，F，连接BE，则下列结论：①CFBF=32；②tan∠H=3−1其中正确结论的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（2024·四川巴中·中考真题）五边形从某一个顶点出发可以引条对角线．12．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，四边形ABCD为平行四边形，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交BC边于点E，连接AE，AB=1，∠D=60°，则BE的长l=（结果保留π）．13．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将矩形纸片ABCD沿边EF折叠，使点D在边BC中点M处．若AB=4，BC=6，则CF=．14．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线AC，BD相交与点O，点E在BC延长线上，OE与CD相交与点F．若∠ACD=2∠OEC，OFFE=56，则菱形15．（2024·江苏南通·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=5．正方形DEFG的边长为5，它的顶点D，E，G分别在△ABC的边上，则BG的长为16．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形OMNP顶点M的坐标为3,0，△OAB是等边三角形，点B坐标是1,0，△OAB在正方形OMNP内部紧靠正方形OMNP的边（方向为O→M→N→P→O→M→⋯）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为A1，A1的坐标是2,0；第二次滚动后，A1的对应点记为A2，A2的坐标是2,0；第三次滚动后，A2的对应点记为A3，A三．解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23题9分，24题10分，25题13分）17．（2024·山东德州·中考真题）如图，▱ABCD中，对角线AC平分∠BAD．

(1)求证：▱ABCD是菱形；(2)若AC=8，∠DCB=74°，求菱形ABCD的边长．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，18．（2024·西藏·中考真题）在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高度”的探究作业．如图，次仁在A处测得山顶C的仰角为30°；格桑在B处测得山顶C的仰角为45°．已知两人所处位置的水平距离MN=210米，A处距地面的垂直高度AM=30米，B处距地面的垂直高度BN=20米，点M，F，N在同一条直线上，求小山CF的高度．（结果保留根号）

19．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）在Rt△ACB中，∠ACB=90°，BC=12，AC=8，以BC为边向△ACB外作有一个内角为60°的菱形BCDE，对角线BD，CE交于点O，连接OA20．（2024·山东日照·中考真题）如图，以▱ABCD的顶点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点E，再分别以点A，E为圆心，大于12AE的长为半径画弧，两弧交于点F，画射线BF，交AD于点G，交CD的延长线于点(1)由以上作图可知，∠1与∠2的数量关系是_______(2)求证：CB=CH(3)若AB=4，AG=2GD，∠ABC=60°，求△BCH的面积．21．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD=DC=12BC，E甲：若连接AE，则四边形ADCE是菱形；乙：若连接AC，则△ABC是直角三角形．请选择一名同学的结论给予证明．22．（2024·山东济南·中考真题）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．（一）拓展探究如图1，在△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB，垂足为D．（1）兴趣小组的同学得出AC∵∠ACB=90°∴∠A+∠B=90°∵CD⊥AB∴∠ADC=90°∴∠A+∠ACD=90°∴∠B=①______∵∠A=∠A∴△ABC∽△ACD∴AB∴A请完成填空：①______；②______；（2）如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E，连接CE，当∠ACE=∠AFC时，请判断△AEB的形状，并说明理由．（二）学以致用（3）如图3，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°,AC=2,BC=26，平面内一点D，满足AD=AC，连接CD并延长至点E，且∠CEB=∠CBD，当线段BE的长度取得最小值时，求线段CE23．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB>2AD，点E，F分别在边AB，CD上．将△ADF沿AF折叠，点D的对应点G恰好落在对角线AC上；将△CBE沿CE折叠，点B的对应点H恰好也落在对角线求证：(1)△AEH≌△CFG；(2)四边形EGFH为平行四边形．24．（2024·广东·中考真题）【问题背景】如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线y=axa>0上第一象限内的两个动点OD>OB，以线段BD为对角线作矩形ABCD，AD∥x轴．反比例函数y=kx【构建联系】（1）求证：函数y=kx的图象必经过点（2）如图2，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为1,2时，求k的值．【深入探究】（3）如图3，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接AC交BD于点P．以点O为圆心，AC长为半径作⊙O．若OP=32，当⊙O与△ABC的边有交点时，求k25．（2024·江苏宿迁·中考真题）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动【操作判断】操作一：如图①，对折正方形纸片ABCD，得到折痕AC，把纸片展平；操作二：如图②，在边AD上选一点E，沿BE折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕BE；操作三：如图③，在边CD上选一点F，沿BF折叠，使边BC与边BA重合，得到折痕BF把正方形纸片展平，得图④，折痕BE、BF与AC的交点分别为G、H．根据以上操作，得∠EBF=________°．【探究证明】（1）如图⑤，连接GF，试判断△BFG的形状并证明；（2）如图⑥，连接EF，过点G作CD的垂线，分别交AB、CD、EF于点P、Q、M．求证：EM=MF．【深入研究】若AGAC=1k，请求出

章节综合训练五四边形（考试时间：120分钟试卷满分：120分）一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（2024·山东青岛·中考真题）为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形ABCDE和正方形CDFG中，CF，DG的延长线分别交AE，AB于点M，N，则∠FME的度数是（

）A．90° B．99° C．108° D．135°【答案】B【分析】本题考查的是正多边形内角和问题，熟记正多边形的内角的计算方法是解题的关键．根据正五边形的内角的计算方法求出∠CDE、∠E，根据正方形的性质分别求出∠CDF、∠CFD，根据四边形内角和等于360°计算即可．【详解】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠CDE=∠E=5−2∵四边形CDFG为正方形，∴∠CDF=90°，∠CFD=45°，∴∠FDE=108°−90°=18°，∠DFM=180°−45°=135°，∴∠FME=360°−18°−135°−108°=99°，故选：B．2．（2024·江苏南通·中考真题）如图，直线a∥b，矩形ABCD的顶点A在直线b上，若∠2=41°，则∠1的度数为（

）A．41° B．51° C．49° D．59°【答案】C【分析】本题考查矩形的性质，平行线的判定和性质，过点B作BE∥a，得到BE∥a∥b，推出∠ABC=∠1+∠2，进行求解即可．【详解】解：∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，过点B作BE∥a，∵a∥b，∴BE∥a∥b，∴∠1=∠ABE,∠2=∠CBE，∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=∠1+∠2，∵∠2=41°，∴∠1=90°−41°=49°；故选C．3．（2024·山西·中考真题）在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，EG，FH交于点O．若四边形ABCD的对角线相等，则线段EG与FH一定满足的关系为()A．互相垂直平分 B．互相平分且相等C．互相垂直且相等 D．互相垂直平分且相等【答案】A【分析】本题主要考查了中点四边形、菱形的判定与性质及三角形的中位线定理，根据题意画出示意图，得出中点四边形的形状与原四边形对角线之间的关系即可解决问题．【详解】解：如图所示，连接BD，AC，∵点H和点E分别是AD和AB的中点，∴HE是△ABD的中位线，∴HE=1同理可得，GF=1∴HE=GF，HE∥∴四边形HEFG是平行四边形．∵HE=12BD，HG=∴HE=HG，∴平行四边形HEFG是菱形，∴EG与HF互相垂直平分．故选：A．4．（2024·山东济南·中考真题）如图，在正方形ABCD中，分别以点A和B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线EF，再以点A为圆心，以AD的长为半径作弧交直线EF于点G（点G在正方形ABCD内部），连接DG并延长交BC于点K．若BK=2，则正方形ABCD的边长为（A．2+1 B．52 C．3+5【答案】D【分析】连接AG，设EF交AB于点H，正方形边长为2x，由作图知，AG=AD=2x，EF垂直平分AB，得到AH=BH=x，∠AHG=90°，由勾股定理得到GH=3x，证明AD∥GH∥BC，推出DG=GK，推出GH=x+1，得到3x=x+1【详解】连接AG，设EF交AB于点H，正方形边长为2x，由作图知，AG=AD=2x，EF垂直平分AB，∴AH=BH=12AB=x∴GH=A∵∠BAD=90°，∴AD∥GH，∵AD∥BC，∴AD∥GH∥BC，∴DGGK∴DG=GK，∵BK=2，∴GH=1∴3x=x+1∴x=3∴2x=3故选：D．【点睛】本题主要考查了正方形和线段垂直平分线综合．熟练掌握正方形性质，线段垂直平分线性质，勾股定理解直角三角形，平行线分线段成比例定理，梯形中位线性质，是解决问题的关键．5．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是CD的中点，则sin∠EBC的值为（

A．35 B．75 C．2114【答案】C【分析】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，解题的关键是掌握菱形四边都相等，以及正确画出辅助线，构造直角三角形求解．延长BC，过点E作BC延长线的垂线，垂足为点H，设BC=CD=x，易得∠ABC=∠DCH=60°，则CE=12CD=12x，进而得出【详解】解：延长BC，过点E作BC延长线的垂线，垂足为点H，∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，AB∥∴∠ABC=∠DCH=60°，设BC=CD=x，∵E是CD的中点，∴CE=1∵EH⊥BH，∴EH=CE⋅sin∴BH=BC+CH=5BE=∴sin∠EBC=故选：C．6．（2024·山东东营·中考真题）如图，四边形ABCD是平行四边形，从①AC=BD，②AC⊥BD，③AB=BC，这三个条件中任意选取两个，能使▱ABCD是正方形的概率为（

）A．23 B．12 C．13【答案】A【分析】本题考查了正方形的判定，用概率公式求概率，掌握正方形的判定方法和概率公式是解题的关键．根据从①AC=BD，②AC⊥BD，③AB=BC，这三个条件中任意选取两个，共有①②、①③、②③，3种方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有2种可判定平行四边形是正方形．再根据概率公式求解即可．【详解】解：从①AC=BD，②AC⊥BD，③AB=BC，这三个条件中任意选取两个，共有①②、①③、②③，3种方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有2种可判定平行四边形是正方形．∴▱ABCD，从①AC=BD，②AC⊥BD，③AB=BC，这三个条件中任意选取两个，能使▱ABCD是正方形的概率为23故选：A．7．（2023·四川绵阳·中考真题）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形ABCD的底边BC取中点E，以E为圆心，线段DE为半径作圆，其与底边BC的延长线交于点F，这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG，称其为黄金矩形．若CF=4a，则AB=（

）A．5−1a B．25−2a 【答案】D【分析】本题主要考查了黄金分割点、正方形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．设AB=2x，根据题意得出CE=x,DE=x+4a，在Rt△CDE中，由勾股定理，可得C【详解】解：设AB=2x，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=2x,∠BCD=90°，∵点E为BC中点，∴CE=BE=1又∵CF=4a，∴DE=FE=EC+CF=x+4a，∴在Rt△CDE中，由勾股定理，可得C即x2整理可得x2解得：x1∴AB=2x=(25故选：D．8．（2024·山东日照·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠B=120°，点O是对角线AC的中点，以点O为圆心，OA长为半径作圆心角为60°的扇形OEF，点D在扇形OEF内，则图中阴影部分的面积为（

）A．π2−34 B．π−【答案】A【分析】连接OD，将OD绕点O顺时针旋转60°得到OD'．证明△MDO≌△ND'O【详解】解：如图，连接OD，将OD绕点O顺时针旋转60°得到OD∵∠MOD+∠DON=∠NOD'∴∠MOD=∠NOD∵在菱形ABCD中，点O是对角线AC的中点，∠B=120°，∴∠ADC=∠B=120°，OD⊥AC，∴∠MDO=∠COD=1∵∠DOD∴∠DD∴∠DD∵OD=OD，∴△MDO≌△ND∴S∵∠CDO=60°，∴DO=CD⋅cos∴S故选：A．【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定与性质，解直角三角形，扇形的面积，作出辅助线，构造三角形全等，利用S阴影9．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=6，点M是AB边的中点，点N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N'，则△MBN'A．15 B．5+55 C．10+52【答案】B【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，确定点N'的轨迹是解题的关键．由旋转的性质结合AAS证明△AMN≌△GMN'，推出MG=AM=5，得到点N'在平行于AB，且与AB的距离为5的直线上运动，作点M关于直线EF的对称点M'，连接M'B【详解】解：过点N'作EF∥AB，交AD、BC于E、F，过点M作MG⊥EF∵矩形ABCD，∴AB∥∴AB∥∴四边形AMGE和BMGF都是矩形，∴∠A=∠MGN由旋转的性质得∠NMN'=90°∴∠AMN=90°−∠NMG=∠GMN∴△AMN≌△GMN∴MG=AM=5，∴点N'在平行于AB，且与AB作点M关于直线EF的对称点M'，连接M'B交直线EF于点N'，此时∵BM=12AB=5∴BM+BM故选：B．10．（2024·山东东营·中考真题）如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，H为AB延长线上的一点，且BH=BD，连接DH，分别交AC，BC于点E，F，连接BE，则下列结论：①CFBF=32；②tan∠H=3−1其中正确结论的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据正方形的性质结合勾股定理可知，AB=BD=CD=AD=a，BD=2AB=2a，AB∥CD，AC与BD互相垂直且平分，进而可求得AH=2+1a，根据正切值定义即可判断②；由AB∥CD，可知△DCF∽△HBF，由相似三角形的性质即可判断①；由BH=BD，可求得∠H=∠BDH=22.5°，再结合AC与BD【详解】解：在正方形ABCD中，AB∥CD，AB=BD=CD=AD=a，∠BAD=90°，∠ABD=∠CBD=∠DAC=∠BAC=45°，AC与BD互相垂直且平分，则BD=A∵BH=BD=2a，则∴tanH=∵AB∥CD，则∠H=∠CDF，∠DCF=∠HBF，∴△DCF∽△HBF，∴CFBF∵BH=BD，∴∠H=∠BDH，∵∠H+∠BDH=∠ABD=45°，∴∠H=∠BDH=22.5°，又∵AC与BD互相垂直且平分，∴DE=BE，∴∠DBE=∠BDE=22.5°，则∠CBE=∠CBD−∠DBE=22.5°，∴∠DBE=∠CBE，∴BE平分∠CBD，故③正确；由上可知，∠DBE=∠H=22.5°，∴△BDE∽△HDB，∴BDDH=DE又∵BD=2∴2AB综上，正确的有③④，共2个，故选：B．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（2024·四川巴中·中考真题）五边形从某一个顶点出发可以引条对角线．【答案】2【分析】本题考查多边形的对角线，根据对角线定义，一个五边形从某一顶点出发，除去它自己及与它相邻的左右两边的点外，还剩下2个顶点可以与这个顶点连成对角线，熟记对角线定义是解决问题的关键．【详解】解：五边形从某一个顶点出发可以引2条对角线，故答案为：2．12．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，四边形ABCD为平行四边形，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交BC边于点E，连接AE，AB=1，∠D=60°，则BE的长l=（结果保留π）．【答案】13π【分析】本题考查弧长的计算，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，关键是判定ΔABE是等边三角形，得到∠BAE=60°由平行四边形的性质推出∠B=∠D=60°，判定△ABE是等边三角形，得到∠BAE=60°，由弧长公式即可求出BE⏜【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D=60°，由题意得：AB=AE，∴△ABE是等边三角形，∴∠BAE=60°，∵AB=1，∴l=60π×1故答案为：1313．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将矩形纸片ABCD沿边EF折叠，使点D在边BC中点M处．若AB=4，BC=6，则CF=．【答案】78/【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，关键是由勾股定理列出关于x的方程．由矩形的性质推出CD=AB=4，∠C=90°，由线段中点定义得到CM=12BC=3，由折叠的性质得到：MF=DF，设FC=x，由勾股定理得到4−x2=【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=4，∠C=90°，∵M是BC中点，∴CM=1由折叠的性质得到：MF=DF，设FC=x，∴FD=4−x，∴MF=4−x，∵MF∴4−x2∴x=7∴FC=7故答案为：7814．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线AC，BD相交与点O，点E在BC延长线上，OE与CD相交与点F．若∠ACD=2∠OEC，OFFE=56，则菱形【答案】96【分析】此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识．作OH∥BC交CD于点H，则△DOH∽△DBC，求得OH=12BC=5，再证明△OFH∽△EFC，求得EC=6，再证明∠OEC=∠COE【详解】解：作OH∥BC交CD于点H，则∵四边形ABCD是边长为10的菱形，对角线AC，BD相交于点∴BC=10，OD=OB=12BD，OA=OC∴OHBC=OD∴OH=1∵OH∥BC，∴△OFH∽△EFC，∴OHEC∴EC=6∵四边形ABCD是菱形，且∠ACD=2∠OEC，∴∠ACB=∠ACD=2∠OEC=∠COE+∠OEC，∴∠OEC=∠COE，∴OC=EC=6，∴OB=B∴BD=2OB=16，AC=2OC=12，∴S菱形故答案为：96．15．（2024·江苏南通·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=5．正方形DEFG的边长为5，它的顶点D，E，G分别在△ABC的边上，则BG的长为【答案】3【分析】过点G作GH⊥AC，易得△AHG为等腰直角三角形，设AH=HG=x，得到CH=AC−AH=5−x，证明△GHD≌△DCE，得到CD=GH，进而得到CD=x，DH=5−2x，在Rt△DHG中，利用勾股定理求出x的值，根据平行线分线段成比例，求出BG【详解】解：过点G作GH⊥AC，则：∠AHG=∠GHD=90°，∴∠DGH+∠HDG=90°，∵∠ACB=90°，AC=BC=5，∴AB=52∴∠AGH=45°=∠A，∴AH=HG，设AH=HG=x，则：CH=AC−AH=5−x，∵正方形DEFG，∴DG=DE,∠GDE=90°，∴∠HDG+∠CDE=90°，∴∠HGD=∠CDE，∵∠C=∠GHD=90°，∴△GHD≌△DCE，∴CD=GH=x，∴DH=CH−CD=5−2x，在Rt△GHD中，由勾股定理，得：G∴52=5−2x∴AH=2,CH=3，∵∠C=∠AHD=90°，∴HG∥BC，∴AGBG∴BG=3故答案为：32【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，平行线分线段成比例，解题的关键是添加辅助线构造特殊图形和全等三角形．16．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形OMNP顶点M的坐标为3,0，△OAB是等边三角形，点B坐标是1,0，△OAB在正方形OMNP内部紧靠正方形OMNP的边（方向为O→M→N→P→O→M→⋯）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为A1，A1的坐标是2,0；第二次滚动后，A1的对应点记为A2，A2的坐标是2,0；第三次滚动后，A2的对应点记为A3，A【答案】1,3【分析】本题考查了点的坐标变化规律，正方形性质，等边三角形性质，根据三角形的运动方式，依次求出点A的对应点A1，A2，⋯⋯，【详解】解：∵正方形OMNP顶点M的坐标为3,0，∴OM=MN=NP=OP=3,∵△OAB是等边三角形，点B坐标是1,0，∴等边三角形高为32由题知，A1的坐标是2,0A2的坐标是2,0A3的坐标是3−继续滚动有，A4的坐标是3,2A5的坐标是3,2A6的坐标是5A7的坐标是1,3A8的坐标是1,3A9的坐标是3A10的坐标是0,1A11的坐标是0,1A12的坐标是1A13的坐标是2,0；⋯⋯不断循环，循环规律为以A1，A2，⋯⋯∵2024÷12=168⋯⋯8，∴A2024的坐标与A8的坐标一样为故答案为：1,3．三．解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23题9分，24题10分，25题13分）17．（2024·山东德州·中考真题）如图，▱ABCD中，对角线AC平分∠BAD．

(1)求证：▱ABCD是菱形；(2)若AC=8，∠DCB=74°，求菱形ABCD的边长．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，【答案】(1)见解析(2)5【分析】此题考查平行四边形性质和菱形的判定和性质，等腰三角形的判定，解直角三角形．（1）根据平行四边形性质得出∠BAC=∠ACD，再结合角平分线的定义及等腰三角形的判定即可得出∠DAC=∠ACD，AD=CD，根据邻边相等的平行四边形是菱形进而得出结论；（2）连接BD，由菱形性质可知∠COB=90°，OA=OC=12AC=4，∠ACB=【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∴∠BAC=∠ACD．∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠BAC．∴∠DAC=∠ACD．∴AD=CD．∴四边形ABCD是菱形．（2）连接BD，交AC于点O，

∵四边形ABCD是菱形．AC=8，∠DCB=74°，∴∠COB=90°，OA=OC=12AC=4∴BC=OC即菱形ABCD的边长为5．18．（2024·西藏·中考真题）在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高度”的探究作业．如图，次仁在A处测得山顶C的仰角为30°；格桑在B处测得山顶C的仰角为45°．已知两人所处位置的水平距离MN=210米，A处距地面的垂直高度AM=30米，B处距地面的垂直高度BN=20米，点M，F，N在同一条直线上，求小山CF的高度．（结果保留根号）

【答案】1003【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，解直角三角形的应用，证明四边形AMFD和四边形BNFE为矩形，得出DF=AM=30米，BN=EF=20米，MF=AD，FN=BE，设CD=x，则CE=CD+DE=x+10米，解直角三角形得出AD=CDtan30°=x33=【详解】解：根据题意可得：∠AMF=∠DFM=∠ADF=90°，∠BEF=∠EFN=∠BNF=90°，∴四边形AMFD和四边形BNFE为矩形，∴DF=AM=30米，BN=EF=20米，MF=AD，FN=BE，∴DE=DF−EF=30−20=10（米），设CD=x，则CE=CD+DE=x+10∵∠CAD=30°，∠ADC=90°，∴AD=CD∵∠CBE=45°，∠CEB=90°，∴BE=CE∴MF=AD=3x，∵MN=210米，∴3x+x+10=210解得：x=1003∴CF=CD+DF=100319．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）在Rt△ACB中，∠ACB=90°，BC=12，AC=8，以BC为边向△ACB外作有一个内角为60°的菱形BCDE，对角线BD，CE交于点O，连接OA【答案】图形见解析，△AOC的面积为12或36．【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质以及勾股定理．分两种情况讨论，作OF⊥BC，垂足为F，利用直角三角形的性质以及勾股定理分别求得CF的长，再利用三角形面积公式即可求解．【详解】解：当∠CBE=60°时，所作图形如图，作OF⊥BC，垂足为F，∵菱形BCDE，∠CBE=60°，∴∠COB=90°，∠CBO=30°，∠OCB=60°，∵BC=12，∴OC=1∵∠OCB=60°，∴∠COF=30°，∴CF=1∴△AOC的面积为12当∠BCD=60°时，所作图形如图，作OF⊥BC，垂足为F，∵菱形BCDE，∠BCD=60°，∴∠COB=90°，∠BCO=30°，∵BC=12，∴OB=12BC=6∴OF=12OC=3∴△AOC的面积为12综上，△AOC的面积为12或36．20．（2024·山东日照·中考真题）如图，以▱ABCD的顶点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点E，再分别以点A，E为圆心，大于12AE的长为半径画弧，两弧交于点F，画射线BF，交AD于点G，交CD的延长线于点(1)由以上作图可知，∠1与∠2的数量关系是_______(2)求证：CB=CH(3)若AB=4，AG=2GD，∠ABC=60°，求△BCH的面积．【答案】(1)∠1=∠2(2)证明见解析(3)9【分析】本题考查了角平分线定义，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键．（1）根据作图可知，BF为∠ABC的角平分线，即可得到答案；（2）根据平行四边形的性质可知∠1=∠H，结合∠1=∠2，从而推出∠2=∠H，即可证明；（3）过点H作BC的垂线交BC的延长线于点M，根据平行四边形的性质AB=CD=4，∠HCM=∠ABC=60°，ABDH=AGGD，结合AG=2GD，推出DH=12AB，从而得到CH【详解】（1）解：由作图可知，BF为∠ABC的角平分线∴∠1=∠2故答案为：∠1=∠2（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形∴AB∥CD∴∠1=∠H∵∠1=∠2∴∠2=∠H∴CB=CH（3）解：如图，过点H作BC的垂线交BC的延长线于点M∵四边形ABCD为平行四边形，AB=4∴AB∥CD，AB=CD=4∴∠HCM=∠ABC=60°，△ABG∽△DHG∴又∵AG=2GD∴∴∴DH=∴CH=DH+CD=6∴BC=CH=6∴HM=CH⋅∴S21．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD=DC=12BC，E甲：若连接AE，则四边形ADCE是菱形；乙：若连接AC，则△ABC是直角三角形．请选择一名同学的结论给予证明．【答案】见解析【分析】选择甲：由AD=DC=12BC，E是BC的中点．得CE=12BC=AD，从而得四边形ADCE是平行四边形，再根据AD=CD，即可证明结论成立；选择乙：连接AE、DE，DE交AC于O，分别证明四边形ABED是平行四边形，四边形【详解】证明：选择甲：如图1，∵AD=DC=12BC，E∴CE=1∵AD∥BC，∴四边形ADCE是平行四边形，∵AD=CD，∴四边形ADCE是菱形；选择乙：如图2，连接AE、DE，DE交AC于O，∵AD=DC=12BC，E∴BE=CE=1∵AD∥BC，∴四边形ADCE是平行四边形，四边形ABED是平行四边形，∵AD=CD，∴四边形ADCE是菱形；∴AC⊥DE，∴∠EOC=90°∵四边形ABED是平行四边形，∴DE∥AB∴∠BAC=∴△ABC是直角三角形．【点睛】本题主要考查了菱形、平行四边形的判定及性质、垂线定义、平行线的性质，熟练掌握菱形、平行四边形的判定及性质是解题的关键．22．（2024·山东济南·中考真题）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．（一）拓展探究如图1，在△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB，垂足为D．（1）兴趣小组的同学得出AC∵∠ACB=90°∴∠A+∠B=90°∵CD⊥AB∴∠ADC=90°∴∠A+∠ACD=90°∴∠B=①______∵∠A=∠A∴△ABC∽△ACD∴AB∴A请完成填空：①______；②______；（2）如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E，连接CE，当∠ACE=∠AFC时，请判断△AEB的形状，并说明理由．（二）学以致用（3）如图3，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°,AC=2,BC=26，平面内一点D，满足AD=AC，连接CD并延长至点E，且∠CEB=∠CBD，当线段BE的长度取得最小值时，求线段CE【答案】（1）①∠ACD；②ACAD；（2）△AEB是直角三角形，证明见解析；（3）【分析】（1）根据余角的性质和三角形相似的性质进行解答即可；（2）证明△ACF∽△AEC，得出ACAF=AEAC，证明（3）证明△CEB∽△CBD，得出CECB=CBCD，求出CD⋅CE=CB2=262=24，以点A为圆心，2为半径作⊙A，则C,D都在⊙A上，延长CA到E0，使CE0=6，交⊙A于D0，连接E0E，证明△ECE0∽△D0【详解】解：（1）∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠B=∠ACD，∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，∴AB∴AC（2）△AEB是直角三角形；理由如下：∵∠ACE=∠AFC,∠CAE=∠FAC∴△ACF∽△AEC，∴AC∴AC由（1）得AC∴AF⋅AE=AD⋅AB，∴AF∵∠FAD=∠BAE，∴△AFD∽△ABE，∴∠ADF=∠AEB=90°，∴△AEB是直角三角形．（3）∵∠CEB=∠CBD,∠ECB=∠BCD，∴△CEB∽△CBD，∴CE∴CD⋅CE=CB如图，以点A为圆心，2为半径作⊙A，则C,D都在⊙A上，延长CA到E0，使CE0=6，交⊙A于则CD∵CD0为∴∠CDD∴CD∴CD∵∠ECE∴△ECE∴∠CDD∴点E在过点E0且与C过点B作BE'⊥E0∵垂线段最短，∴当点E在点E'处时，BE即BE的最小值为BE∵∠CE∴四边形CE∴BE在Rt△CE0即当线段BE的长度取得最小值时，线段CE的长为215【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，圆周角定理，矩形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法．23．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB>2AD，点E，F分别在边AB，CD上．将△ADF沿AF折叠，点D的对应点G恰好落在对角线AC上；将△CBE沿CE折叠，点B的对应点H恰好也落在对角线求证：(1)△AEH≌△CFG；(2)四边形EGFH为平行四边形．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．【分析】（1）由矩形的性质可得AD=BC，∠B=∠D=90°，AB∥CD，即得∠EAH=∠FCG，由折叠的性质可得AG=AD，CH=CB，∠CHE=∠B=90°，∠AGF=∠D=90°，即得CH=AG，∠AHE=∠CGF=90°，进而得AH=CG，即可由ASA证明（2）由（1）得∠AHE=∠CGF=90°，△AEH≌△CFG，即可得到EH∥FG，本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，掌握矩形和折叠的性质是解题的关键．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠B=∠D=90°，AB∥∴∠EAH=∠FCG，由折叠可得，AG=AD，CH=CB，∠CHE=∠B=90°，∠AGF=∠D=90°，∴CH=AG，∠AHE=∠CGF=90°，∴AH=CG，在△AEH和△CFG中，∠EAH=∠FCGAH=CG∴△AEH≌△CFGASA（2）证明：由（1）知∠AHE=∠CGF=90°，△AEH≌△CFG，∴EH∥FG，∴四边形EGFH为平行四边形．24．（2024·广东·中考真题）【问题背景】如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线y=axa>0上第一象限内的两个动点OD>OB，以线段BD为对角线作矩形ABCD，AD∥x轴．反比例函数y=kx【构建联系】（1）求证：函数y=kx的图象必经过点（2）如图2，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为1,2时，求k的值．【深入探究】（3）如图3，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接AC交BD于点P．以点O为圆心，AC长为半径作⊙O．若OP=32，当⊙O与△ABC的边有交点时，求k【答案】（1）证明见解析；（2）k=163【分析】（1）设Bm,ma，则Am,km，用含m,k的代数式表示出（2）先由点B的坐标和k表示出DC=k−2，再由折叠性质得出2=DEBE，如图，过点D作DH⊥y轴，过点B作BF⊥y轴，证出△DHE∽△EFB，由比值关系可求出HF=2+k（3）当⊙O过点B时，如图所示，过点D作DH∥x轴交y轴于点H，求出k的值，当⊙O过点A时，根据A，C关于直线OD对轴知，⊙O必过点C，如图所示，连AO，CO，过点D作DH∥x轴交y轴于点H，求出k的值，进而即可求出k的取值范围．【详解】（1）设Bm,ma，则A∵AD∥x轴，∴D点的纵坐标为km∴将y=km代入y=ax中得：∴x=k∴Dk∴Ck∴将x=kam代入y=k∴函数y=kx的图象必经过点（2）∵点B1,2在直线y=ax∴a=2，∴y=2x，∴A点的横坐标为1，C点的纵坐标为2，∵函数y=kx的图象经过点A，∴Ck2，∴Dk∴DC=k−2，∵把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E，∴BE=BC=k2−1∴DCBC如图，过点D作DH⊥y轴，过点B作BF⊥y轴，∵AD∥x轴，∴H，A，D三点共线，∴∠HED+∠BEF=90°，∠BEF+∠EBF=90°，∴∠HED=∠EBF，∵∠DHE=∠EFB=90°，∴△DHE∽△EFB，∴DHEF∵BF=1，DH=∴HE=2，EF=k∴HF=2+k由图知，HF=DC，∴2+k∴k=16（3）∵把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E，当点E，A重合，∴AC⊥BD，∵四边形ABCD为矩形，∴四边形ABCD为正方形，∠ABP=∠DBC=45°，∴AB=BC=CD=DA=APsin45°=2∵BC∥x轴，∴直线y=ax为一，三象限的夹角平分线，∴y=x，当⊙O过点B时，如图所示，过点D作DH∥x轴交y轴于点H，∵AD∥x轴，∴H，A，D三点共线，∵以点O为圆心，AC长为半径作⊙O，OP=32∴OP=OB+BP=AC+BP=2AP+AP=3AP=32∴AP=2∴AB=AD=2AP=2，BD=2AP=22∵AB∥y轴，∴△DHO∽△DAB，∴HOAB∴HO2∴HO=HD=4，∴HA=HD−DA=4−2=2，∴A2,