中考数学总复习提升专项知识二次函数的应用(练习)含答案及解析

第三章函数第14讲二次函数的应用TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u👉题型01最大利润问题👉题型02方案解决问题👉题型03行程问题👉题型04拱桥问题👉题型05隧道通车问题👉题型06喷水问题👉题型07投球问题👉题型08利用图像构建函数模型解决问题👉题型09图形问题👉题型10动点问题👉题型01最大利润问题1．（2024·广东湛江·模拟预测）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系：y=−2x+60．(1)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？(2)设销售这种文具每天获利w（元），求w关于x的函数关系式（写出自变量的取值范围），并求出当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？2．（2023·江苏扬州·一模）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量n（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表：销售价格x（元/千克）3035404550日销售量n（千克）6004503001500(1)请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定n与x之间的函数表达式，并直接写出n与x的函数表达式为______；(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？(3)农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元a>0的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．（日获利=日销售利润−日支出费用）3．（2024·贵州遵义·模拟预测）某数学兴趣小组在暑假开展社会实践活动，销售某品牌书包，平均每天可以销售20个，每个盈利12元，为了扩大销售，增加盈利，该小组决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每个书包每降价1元，平均每天可以多卖5个．(1)若每个书包降价x元，则可多卖__________个，每个盈利__________元；(2)若该兴趣小组同学想要一天盈利300元，每个书包应降价多少元；(3)该兴趣小组同学想要一天盈利最大，应降价多少元，所得最大利润是多少元？4．（2024·湖北黄冈·模拟预测）大学生小丽暑假期间从小商品批发市场批发了一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销，她发现每月的销售量会因售价的调整而不同，若设每月的销售量为y件，售价为x元/件.(1)当售价在40—50元/件时，每月的销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元?(2)当售价在50—70元/件时，每月的销售量与售价的关系如图所示，求y与x的关系式；(3)小丽决定每卖出一件商品就向福利院捐赠m(m为整数)元，若要保证小丽每月获利仍随x的增大而增大，请你帮她计算m的最小值是多少，并求此时售价为多少元时，她每月获利最大.👉题型02方案解决问题5．（2024·山东潍坊·一模）某无人机租赁方案有50架某种型号的无人机对外出租，该方案有两种租赁方案：方案A：如果每架无人机月租费300元，那么50架无人机可全部租出．如果每架无人机的月租费每增加5元，那么将少租出1架无人机．另外，方案为每架租出的无人机支付月维护费20元．方案B：每架无人机月租费350元，无论是否租出，方案均需一次性支付月维护费共计185元．说明：月利润=月租费-月维护费．设租出无人机的数量为x架，根据上述信息，解决下列问题：(1)当x=10时，按方案A租赁所得的月利润是__________元，按方案B租赁所得的月利润是__________元；(2)如果按两种方案租赁所得的月利润相等，那么租出的无人机数量是多少？(3)设按方案A租赁所得的月利润为yA，按方案B租赁所得的月利润为yB，记函数w=y6．（2024·湖北宜昌·模拟预测）某商场计划用5400元购买一批商品，若将进价降低10%，则可以多购买该商品30件．市场调查反映：售价为每件25元时，每天可卖出250件．如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．(1)求该商品原来的进价；(2)在进价没有改变的条件下，若每天所得的销售利润为2000元，且销售量尽可能大时，该商品的售价是多少元/件？(3)在进价没有改变的条件下，商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案．方案A：每件商品涨价不超过5元；方案B：每件商品的利润至少为16元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．7．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）呼和浩特素有“召城”之称，塞上老街是一个重要的旅游街区，不仅有各式传统文化遗物向游人诉说着历史，更有新兴的现代手工制品吸引着世人的目光，现塞上老街某文创专卖店在旅游文化节期间准备购进甲、乙两种围巾，其中乙种围巾的进价比甲种围巾的进价少10元，已知甲种围巾的售价为每条120元，乙种围巾的售价为每条100元，若用2000元购进甲种围巾的数量与用1800元购进乙种围巾的数量相同．(1)求甲、乙两种围巾每条的进价；(2)要使购进的甲、乙两种围巾共300条的总利润不少于4000元，且不超过4100元，问该文创专卖店有几种进货方案；(3)文创专卖店准备对甲种围巾进行价格调整，甲种围巾每星期可卖出40条，市场调查反映，如调整价格，甲种围巾每降价1元，每星期可多卖出10条，乙种围巾售价不变，若该专卖店一星期要购进甲、乙共200条围巾且全部售出，如何给甲种围巾定价才能使一星期总利润最大，此时甲、乙两种围巾各卖出多少条?8．（2024·陕西西安·一模）有一建筑的一面墙近似呈抛物线形，该抛物线的水平跨度OQ=8m，顶点P的高度为4m，建立如图所示平面直角坐标系．现计划给该墙面安装门窗，已经确定需要安装矩形门框ABCD（点B，C在抛物线上，边AD方案一：在门框的两边加装两个矩形窗框（点G，H在抛物线上），AE=DF=1m方案二：在门框的上方加装一个矩形的窗框（点G，H在抛物线上），BE=CF=1m

(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若要求门框AB的高度为3m，判断哪种方案透光面积（窗框和门框的面积和）较大？（窗框与门框的宽度忽略不计）👉题型03行程问题9．（2024·浙江·模拟预测）问题情境：如图1，两条宽为16米、互相垂直的马路组成十字路口，为中心对称图形，两交通白线AB，CD间的距离与EF，GH间的距离均为64米，双向安装红绿灯．安全条件：当绿灯亮时的最后一秒（即绿灯读数为0），甲从交通白线AB骑出，能及时穿过路口，不与另一方向绿灯亮时从交通白线EF出来的汽车相撞，即可保证交通安全．实验数据：测试时，甲沿BC骑行，汽车按公路中线行驶．当绿灯亮起，汽车起步后的速度v（米/秒）、行驶距离s（米）关于时间t（秒）的函数图象分别为图2、图3，已知s=a(t−1)解决问题：(1)求图3中m的值．(2)当t>4时，求s关于t的函数表达式．(3)如图1，若甲骑车速度为5米/秒，汽车与摩托车长度忽略不计，设红绿灯时间差为T秒．当T要满足什么条件时，才能使汽车与甲不相撞？试通过计算说明．10．（2024·浙江杭州·一模）如图，小车从点A出发，沿与水平面成30°角光滑斜坡AB下滑，在下滑过程中小车速度逐渐增加，设小车出发点A离水平地面BE的高度为h，小车从点A滑行到最低点B所用的时间为t（秒），小车滑行到点B时的速度为v（厘米/秒）．速度v与时间t满足关系：v=10t，高度h与时间t满足关系：ℎ=12gt2（g≠0，g是常数），当小车出发点小车出发点A离水平地面BE(1)当小车出发点A离水平地面BE的高度为45（厘米）时，小车滑到最低点B需要几秒钟？此时小车到达B点时的速度是多少？(2)小车继续在粗糙的水平地面BE上滑行，设滑行的距离为s（厘米），小车从斜坡滑行到点B时速度为v（厘米/秒），小车在水平地面BE上滑行的时间为T（秒），若s与v，T之间满足以下关系：g=−12aT2+vT（a≠0，a是常数），当v=20（厘米/秒）时，s=50（厘米），T=5（秒）．如果把小车出发点A离水平地面BE的距离11．（2024·安徽宿州·二模）赛龙舟是我国传统的体育竞技项目，有着悠久的历史和广泛的群众基础．某龙舟队进行800米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程s(m)与时间t(s)的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为s=kt2(k≠0)

(1)求出k的值，并写出启航阶段自变量t的取值范围；(2)已知途中阶段龙舟速度为5m/s，当t=90(3)冲刺阶段，加速期龙舟用时1s将速度从5m/12．（2022·湖北武汉·中考真题）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，此时白球在黑球前面70cm小聪测量黑球减速后的运动速度v（单位：cm/s）、运动距离y（单位：cm）随运动时间t（单位：s）变化的数据，整理得下表．运动时间t01234运动速度v109.598.58运动距离y09.751927.7536小聪探究发现，黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系．(1)直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）(2)当黑球减速后运动距离为64cm(3)若白球一直以2cm/s👉题型04拱桥问题13．（2024·广东·模拟预测）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16m，AE=8m，抛物线的顶点C到ED的距离是11m，以ED所在的直线为x(1)根据题意，填空：①顶点C的坐标为；②点B的坐标为(2)求抛物线的解析式．(3)已知从某时刻开始的40h内，水面与河底ED的距离l(单位：m)随时间t(单位：h)的变化满足函数关系l=−1128t−19214．（2024·河南驻马店·模拟预测）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线是全等的，正常水位时，大孔水面宽AB为20m，顶点M距水面8m（即MO=8m），小孔顶点N距水面6(1)求出大孔抛物线的解析式；(2)航管部门设定警戒水位为正常水位上方2m处，汛期某天水位正好达到警戒水位，有一艘顶部高出水面3m，顶部宽(3)当水位上涨到刚好淹没小孔时，则大孔的水面宽度EF=m．15．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图1，悬索桥两端主塔塔顶之间的主索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主索之间用垂直吊索连接．已知两端主塔之间水平距离为800m，两主塔塔顶距桥面的高度为42m，主索最低点P离桥面的高度为2m，若以桥面所在直线为x(1)求这条抛物线对应的函数表达式；(2)若在抛物线最低点P左下方桥梁上的点M−30,−1处放置一个射灯，该射灯光线恰好经过点P和右侧主索最高点D（i）求主索到射灯光线的最大竖直距离；（ii）现将这个射灯沿水平方向向右平移，并保持光线与原光线平行，若要保证该射灯所射出的光线能照到右侧主索．则最多向右平移___________米．👉题型05隧道通车问题16．（2024·贵州六盘水·一模）如图①，桐梓隧道位于遵义市桐梓县境内，是贵州省高速公路第一长隧道．如图②是桐梓隧道的部分截面，图③是其截面简化示意图，由矩形ABCD和抛物线的一部分CED构成，矩形ABCD的边AB=12m，AD=2m，抛物线的最高点E离地面8m．以AB的中点为原点、AB所在直线为x(1)求抛物线的解析式，并注明自变量的取值范围；(2)为了行驶安全，现要在隧道洞口处贴上黄黑立面标记．已知将该抛物线向上平移1m所扫过的区域即为贴黄黑立面标记的区域，则贴黄黑立面标记的区域的面积为m(3)该隧道为单向双车道，且规定车辆必须在距离隧道边缘大于等于2m范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于117．（2024·河南平顶山·三模）小明发现有一处隧道的截面由抛物线的一部分和矩形构成，他对此展开研究：测得矩形的宽为OC=2m，长为OA=8m，最高处点P到地面的距离PQ为6m，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y=ax−ℎ²+k，其中ym表示抛物线上任一点到地面(1)求抛物线的解析式．(2)为了保障货车在道路上的通行能力及行车安全，根据我国交通运输部的相关规定，普通货车的宽度应在2m−2.55m之间，高度应在3.8m−4.2m之间，小明发现隧道为单行道，一货车EFGH沿隧道中线行驶，宽FG为18．（2024·湖北·模拟预测）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段A．表示水平的路面，O为AB的中点，以O为坐标原点，以AB所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：抛物线底面宽度AB=12米，该抛物线的顶点P到AB的距离为9米．(1)求抛物线的解析式；(2)现需在这一隧道内整上同一高度安装照明灯，即在该抛物线上的点M，N处分别安装照明灯．已知照明灯M，N的水平距离为10米，求照明灯距地面的高度；(3)如图，现需在隧道上方安装一块高度为1米、宽度为3米的LED电子显示屏CDEF，为确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少6米，并且距左右墙紧需各留至少1米的安全距离，试通过计算说明能否满足安装设计要求．👉题型06喷水问题19．（2024·陕西西安·模拟预测）一所大学在刚进入校门的广场处修建了一个喷泉，在水池中央垂直于地面处安装了柱子，在柱子顶端A处安装了一个喷头向外喷水．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图是该喷泉其中一股水流的平面示意图．以柱子底部为坐标原点，以水平地面为x轴，过原点且垂直于x轴的直线为y轴建立平面直角坐标系．已知柱子在水面以上的部分OA的高度为1.25m，为使水流形状较为漂亮，要求水流在距离柱子1m处达到距水平面最高，且最高为(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若不计其他因素，当喷泉池的半径为2.8米时，喷出的水流是否会落到池外？20．（2024·河南信阳·模拟预测）小华在走读淮河文化园游玩，发现公园的草地自动浇水装置喷洒出的水流呈抛物线型，小华通过多次测量数据，在平面直角坐标系中绘制了水流喷出的高度ym与距离浇水装置的水平距离xm之间的函数图象，如图所示，已知点A0,1(1)求水流所形成的抛物线的表达式．(2)小华通过观察发现距离喷水装置5 m(3)通过与园区工作人员交谈，小华发现这个喷水装置还可以上下移动，且移动之后水流的形状、大小保持不变，若想让（2）中的古树能被此浇水装置浇到，则此喷水装置需要向上移动的最小距离是多少？请直接写出答案．21．（2024·贵州贵阳·二模）某公园要在圆形水池上修建喷泉，在池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的水柱呈抛物线型，如图所示，线段OA表示圆形水池的半径，以O为坐标原点，以线段OA所在直线为x轴，以水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．按照设计师的设计，水管的高度为2.25m，且抛物线型水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，且高度为

(1)求抛物线型水柱的解析式；(2)若此时有一个工人在清理水池，已知工人的身高为1.8m，求他站在距离A(3)为了使喷泉更加美观，如图所示，设计人员计划在中心水管上面延长一段增加一个喷水头，并使得该喷水头喷出的抛物线型水柱也在与池中心的水平距离为1m处达到最高，且比原抛物线水柱高1.5m，且落地处B点与点O的距离比OA短22．（2024·河南商丘·模拟预测）大自然中有一种神奇的鱼——射水鱼，它能以极快的速度从口中射出水柱击落昆虫来捕食，射出的水柱呈抛物线形．如图，以射水鱼所在的位置为原点O建立平面直角坐标系，设水柱距水面的高度为ydm，与射水鱼的水平距离为xdm,y与x的函数表达式为y=a(1)求y关于x的函数表达式．(2)一只昆虫位于点A3,16323．（2024·山东临沂·一模）消防汽车自从上世纪初问世以后，经过不断的发展完善，很快成了消防工作的主力军，也彻底改变了人类与火灾斗争的面貌，随着现代建筑水平的提高，高层建筑越来越多、越来越高，消防车也随之发生了变化，云梯消防车出现了，云梯消防车的水枪固定在云梯上，水枪可在云梯打开的过程中升高或平移，在一次消防演练中，模拟建筑物AB某楼层发生火灾，此时消防车停放在火灾楼AB正前方的点O处，O到AB的水平距离35米，在不打开消防云梯的状态下，水枪出水口D距地面高度DO为4米，喷出水的路线近似为抛物线，水离出水口水平距离20米时，水柱达到最大高度，此时离水平地面68米，如图1，以DO所在的直线为y轴，以OB所在的水平线为x轴建立直角坐标系，（注：若水枪出水口位置发生改变，喷出水的路线的抛物线开口大小不变）(1)求出水口在D点时抛物线的解析式:(2)若着火楼层的窗户的顶端C到地面B的高度为80米，窗户的底端E到地面B的高度为76米，打开云梯后，水枪的出水口到达点F，点F距离y轴10米，距离x轴19米，如图2，问此时水能否射进着火窗户CE内？(3)若火源的中心在距离窗口CE水平距离5米的地面上，调整水枪的位置，使水柱的最高点恰好沿着窗户的上边缘C处射进窗户，问射进里的水能否正好击中地面火源的中心位置？请说明理由.👉题型07投球问题24．（2023·安徽合肥·二模）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，将发石车置于山坡底部O处，以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线y=ax−202+k的一部分，山坡OA上有一堵防御墙，其竖直截面为ABCD，墙宽BC=2米，BC与x轴平行，点B与点O的水平距离为28(1)若发射石块在空中飞行的最大高度为10米，①求抛物线的解析式；②试通过计算说明石块能否飞越防御墙；(2)若要使石块恰好落在防御墙顶部BC上（包括端点B、C），求a的取值范围，25．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）掷实心球是南京市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1，一名女生投掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度ym与水平距离xm之间的函数关系如图2所示，已知掷出时起点处高度为53m，当水平距离为(1)求y关于x的函数表达式；(2)根据南京市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.9m26．（2023·河南三门峡·一模）如图，在某中学的一场篮球赛中，李明在距离篮圈中心5.5m（水平距离）处跳起投篮，球出手时离地面2.2m，当篮球运行的水平距离为3m时达到离地面的最大高度4(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式；(2)场边看球的小丽认为，李明投出的此球不能命中篮圈中心．请通过计算说明小丽判断的正确性；(3)在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽．但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守方球员张亮前来盖帽，已知张亮的最大摸球高度为3.2m27．（2024·湖北武汉·模拟预测）乒乓球被誉为中国国球。2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的。甲乙两人训练打乒乓球，让乒乓球沿着球台的中轴线运动。图为从侧面看乒乓球台的视图，MN为球台，EF为球网，点E为MN的中点，MN=274cm，EF=15.25cm，甲从M正上方的A处击中球完成发球，球沿直线撞击球台上的B处再弹起到另一侧的C处，从C处再次弹起到P，乙再接球。以M为原点，MB所在直线为x轴，MA所在直线为y轴，1cm为单位长度建立平面直角坐标系，将乒乓球看成点，两次弹起的路径均为抛物线且形状不变，BC段抛物线的解析式为y1=−1(1)当球在球网左侧距球网17cm时到达最高点，求y1(2)球从B处弹起至最高点后下落过程中，球刚好擦过球网EF，视为网球重发，求m的值；(3)若球第二次的落点C在球网右侧53cm处，球再次弹起最高为12.5cm，乙的球拍（看作线段GH）在N的正上方8cm处，GH=15cm，若将球拍向前水平推出n（cm）可接住球（不包括球刚好碰到边沿点G、H👉题型08利用图像构建函数模型解决问题28．（2024·浙江·模拟预测）某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体OA上，另一端固定在墙体BC上，其横截面有2根支架DE，FG，相关数据如图1所示，其中支架DE=BC，

为增加棚内空间，农场决定将图1中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，如图2所示，调整后C与E上升相同的高度，增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），需要增加的经费不超过32000元．(1)分别以OB和OA所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．①求出改造前的函数解析式．②当CC'=1(2)只考虑经费情况下，求出CC29．（2024·陕西安康·二模）如图1，这是一款智能浇灌系统，水管OP垂直于地面并可以随意调节高度（OP的最大高度不超过1.5m）．浇灌花木时，喷头P会向四周喷射水流形成固定形状的抛物线，水流的落地点M与点O的距离即为最大浇灌距离，各方向水流的落地点形成一个以点O为圆心，OM为半径的圆形浇灌区域（区域内均能被浇灌到）．当喷头P位于地面与点O重合时，某一方向的水流上边缘形成了如图2所示的抛物线．经测量，OM=2m(1)在图中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．(2)当调节水管OP的高度时，圆形浇灌区域的面积会发生变化，请你求出圆形浇灌区域的最大面积．（结果保留π）30．（2024·辽宁鞍山·一模）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．图2是图1所示乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度（距离球台的高度）OA为28.75cm的点A乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：cm）．测得如下数据：水平距离x0105090130170230竖直高度y28.7533454945330(1)如图3，在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点x,y，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象．(2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是______cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是______cm．②求满足条件的抛物线的表达式．(3)技术分析：如果只上下调整击球高度OA，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出OA的取值范围，以利于有针对性的训练，如图2，乒乓球台长OB为270cm，球网高CD为15.25cm．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度OA的值约为1.27cm．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B31．（2024·河南信阳·一模）如图1所示的藉车是中国古代一种远程火攻武器，将某加强版藉车置于山坡底部O处（原点O处），抛出物从藉车竖直方向上的点C处被抛出，OC=5米，将发射出去的抛出物当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，当抛出物飞行的水平距离为50米时，达到最大高度25米．

(1)求抛物线的表达式；(2)为了阻挡抛出物的飞行，守城方在斜坡上的点A处建有防御工事M，其最高点B与O点的水平距离为45米，与斜坡的竖直距离AB=16米，斜坡的坡比i=1:6.25，通过计算说明抛出物能否飞越防御工事M．👉题型09图形问题32．（2023·湖北武汉·三模）某家禽养殖场，用总长为200m的围栏靠墙（墙长为65m）围成如图所示的三块矩形区域，矩形EAGH与矩形HGBF面积相等，矩形EAGH面积等于矩形DEFC面积的二分之一，设AD长为xm，矩形区域ABCD的面积为

(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？(3)现需要在矩形EAGH和矩形DEFC区域分别安装不同种类的养殖设备，单价分别为40元/平方米和20元/平方米，若要使安装成本不超过30000元，请直接写出x的取值范围．33．（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙(墙的长度为18m)，另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为32m，设矩形场地的长为xm，宽为y(1)分别求出y与x，s与x的函数解析式；(2)当x为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？(3)若购买的篱笆总长增加8m，矩形场地的最大总面积能否达到100m234．（2024·广西·模拟预测）在锐角△ABC中，BC=6,SΔABC=12，矩形MPQN的两个顶点M，N分别在AB,AC上，另两个顶点P,Q均在BC上，高AD交MN于点E，设MN的长为x，矩形(1)求AD的长，并用含x的式子表示线段AE的长；(2)请求出y关于x的函数解析式；(3)试求y的最大值．35．（2022·浙江宁波·二模）如图1是一架菱形风筝，它的骨架由如图2的4条竹棒AC，BD，EF，GH组成，其中E，F，G，H分别是菱形ABCD四边的中点，现有一根长为80cm的竹棒，正好锯成风筝的四条骨架，设AC＝xcm，菱形ABCD(1)写出y关于x的函数关系式：(2)为了使风筝在空中有较好的稳定性，要求25cm≤AC≤43BD👉题型10动点问题36．（2024·吉林·二模）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=4cm．动点E，F分别从点A，B同时出发，点E沿折线A→C→B向终点B运动，在AC上的速度为2cm/s，在CB上的速度为22cm/s，点F以1cm/s的速度沿线段BA向终点A运动，连接EF，BE．设运动时间为x（s），△BEF的面积为y（cm2）（(1)AE的长为______cm（用含x的代数式表示）．(2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．(3)当△BEF为钝角三角形时，直接写出x的取值范围．37．（2024·四川资阳·二模）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与C，B重合），且保持∠APQ=∠ABC．(1)若P在线段CB上，求证：△ABP∽(2)设BP=x、CQ=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．38．（2024·天津红桥·二模）在平面直角坐标系中，O为原点，矩形OABC的顶点A4,0，C0,33，等边三角形ODE(1)填空：如图①，点B的坐标为______________，点D的坐标为______________；(2)将△ODE沿x轴向右平移，得△O'D'E'，点O，D，E的对应点分别为O',D①如图②，当△O'D'E'与矩形OABC重叠部分为五边形时，边O'D'与AB相交于点F，边D'E②当1≤t≤6时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．39．（23-24九年级上·重庆江津·期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，CE⊥AB于点E，AE=8，BE=CE=4，DC=2．动点P从点A出发，沿A→B方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点E出发，沿折线E→C→D方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点Q到达点D时，P、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，△PEQ的面积为y．(1)请直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)结合函数图象，直接写出△PEQ的面积为4时x的值．1．（2024·山东潍坊·中考真题）【问题提出】在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为18m说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为rm的圆面．喷洒覆盖率ρ=ks，s【数学建模】这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题．【探索发现】（1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为9m的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率ρ=（2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为92m的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为3m的自动喷洒装置；⋅⋅⋅⋅⋅⋅，以此类推，如图5，设计安装n2（3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率ρ=1．已知正方形ABCD各边上依次取点F，G，H，E，使得AE=BF=CG=DH，设AE=xm，⊙O1的面积为ym2，求y关于x【问题解决】（4）该公司现有喷洒半径为32m的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率2．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决．(1)如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为78米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道ACB(2)如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离OE=12米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离DE不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称．①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线BD的解析式；②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；(3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架MN，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架BM．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与BM平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架MN上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）．3．（2024·山西·中考真题）大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．刘叔叔计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图1是其横截面的示意图，其中AB，CD为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为9米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑．已知骨架的一端固定在离地面3.5米的墙体A处，另一端固定在墙体D处，骨架最高点P到墙体AB的水平距离为2米，且点P离地面的高度为3.75米．

数学建模（1）在图1中，以B为原点，水平直线BC为x轴，AB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．设大棚顶部骨架上某处离地面的高度为y（米），该处离墙体AB的水平距离为x（米），求y与x之间的函数关系式；问题解决（2）为了大棚顶部更加稳固，刘叔叔计划在棚顶安装“丁”字形铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段AE，FG组成，其中点E，F在顶棚抛物线形骨架上，FG⊥AE于点G．为不影响耕作，将点E到地面的距离定为1.5米．①点E的坐标为______，AE的长为______；②请你计算做一个“丁”字形支架所需铝合金材料的最大长度．（结果精确到0.1米．参考数据：17≈4.124．（2023·江苏泰州·中考真题）某公司的化工产品成本为30元/千克．销售部门规定：一次性销售1000千克以内时，以50元/千克的价格销售；一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价0.01元．考虑到降价对利润的影响，一次性销售不低于1750千克时，均以某一固定价格销售．一次性销售利润y（元）与一次性销售量x（千克）的函数关系如图所示．

(1)当一次性销售800千克时利润为多少元？(2)求一次性销售量在1000～(3)当一次性销售多少千克时利润为22100元？5．（2023·广东深圳·中考真题）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB=3m，BC=4m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，若以O点为原点，BC所在直线为x轴，OE为请回答下列问题：(1)如图，抛物线AED的顶点E0,4

(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，SMNR，若FL=NR=0.75m，求两个正方形装置的间距GM

(3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为BK，求BK的长．

6．（2023·湖北武汉·中考真题）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：m）以、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化的数据如下表．飞行时间t02468…飞行水平距离x010203040…飞行高度y022405464…探究发现：x与t，y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．问题解决：如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．

（1）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；（2）在安全线上设置回收区域MN,AM=125m,MN=5m．若飞机落到MN1．（2024·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度ℎ（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是ℎ=30t−5t①小球从抛出到落地需要6 s②小球运动中的高度可以是30 m③小球运动2 s时的高度小于运动5其中，正确结论的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（2024·山东烟台·中考真题）如图，水平放置的矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，菱形EFGH的顶点E，G在同一水平线上，点G与AB的中点重合，EF=23cm，∠E=60°，现将菱形EFGH以1cm/s的速度沿BC方向匀速运动，当点E运动到CD上时停止，在这个运动过程中，菱形EFGH与矩形ABCDA． B．C． D．3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=12，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接EF，以EF为边向下做正方形EFGH，设点E运动的路程为x0<x<12，正方形EFGH和等腰Rt△ABC重合部分的面积为y，下列图像能反映y与xA． B． C．D．4．（2023·天津·中考真题）如图，要围一个矩形菜园ABCD，共中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB,BC,CD用篱笆，且这三边的和为40m．有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2③菜园ABCD面积的最大值为200m2其中，正确结论的个数是（

）

A．0 B．1 C．2 D．35．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB=4，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线AB，射线BC的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接DM，MN，ND．设点M运动的路程为x0≤x≤4，△DMN的面积为S，下列图像中能反映S与x之间函数关系的是（

A．

B．

C．

D．

6．（2024·广西·中考真题）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是74m，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m，高度是4m．若实心球落地点为M，则7．（2024·甘肃·中考真题）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱AO的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=−0.02x2+0.3x+1.6的图象，点B6，2.68在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长8．（2024·四川自贡·中考真题）九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙AB⊥CD于点O（如图），其中AB上的EO段围墙空缺．同学们测得AE=6.6m，OE=1.4m，OB=6m，OC=5m，OD=3m．班长买来可切断的围栏16m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是m29．（2023·山东滨州·中考真题）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管高度应为10．（2023·湖北襄阳·中考真题）如图，一位篮球运动员投篮时，球从A点出手后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高度y(m)与篮球距离出手点的水平距离x(m)之间的函数关系式是①篮球行进过程中距离地面的最大高度为3.5m；②篮球出手点距离地面的高度为2.25m．

11．（2023·吉林长春·中考真题）2023年5月8日，C919商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为80米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面20米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A'、B'到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H'

12．（2023·湖北十堰·中考真题）“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒，设每盒售价为x元，日销售量为p盒．(1)当x=60时，p=__________；(2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？(3)小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大，”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价x的范围为60≤x≤80．”你认为他们的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论．13．（2024·湖北·中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长80m．设垂直于墙的边AB长为x米，平行于墙的边BC为y米，围成的矩形面积为S(1)求y与x,s与x的关系式．(2)围成的矩形花圃面积能否为750m2，若能，求出(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值．14．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．(1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？15．（2024·广东·中考真题）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币）16．（2024·贵州·中考真题）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．销售单价x/元…1214161820…销售量y/盒…5652484440…(1)求y与x的函数表达式；(2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值．17．（2024·河南·中考真题）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度ℎm满足关系式ℎ=−5t2+v(1)小球被发射后_________s时离地面的高度最大（用含v0(2)若小球离地面的最大高度为20m(3)按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为3s．”已知实验楼高15

第三章函数第14讲二次函数的应用TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u👉题型01最大利润问题👉题型02方案解决问题👉题型03行程问题👉题型04拱桥问题👉题型05隧道通车问题👉题型06喷水问题👉题型07投球问题👉题型08利用图像构建函数模型解决问题👉题型09图形问题👉题型10动点问题👉题型01最大利润问题1．（2024·广东湛江·模拟预测）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系：y=−2x+60．(1)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？(2)设销售这种文具每天获利w（元），求w关于x的函数关系式（写出自变量的取值范围），并求出当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？【答案】(1)销售单价为18元；(2)w=−2x2+80x−60010≤x≤19,【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用等知识，掌握相关知识是解题的关键．（1）根据每天的获利=每件的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）根据每天的获利=每件的利润×每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．【详解】（1）解：根据题意得：x−10整理得：x解得：x1答：销售单价为18元；（2）解：根据题意得：w=x−10∵−2<0,∴当x<20时，w随x的增大而增大，∵10≤x≤19,∴当x=19时，w取得最大值，最大值为：−2×19−20∴w关于x的函数关系式为：w=−2当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元．2．（2023·江苏扬州·一模）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量n（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表：销售价格x（元/千克）3035404550日销售量n（千克）6004503001500(1)请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定n与x之间的函数表达式，并直接写出n与x的函数表达式为______；(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？(3)农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元a>0的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．（日获利=日销售利润−日支出费用）【答案】(1)n=−30x+1500(2)这批农产品的销售价格定为40元/千克，才能使日销售利润最大(3)2【分析】本题主要考查一次函数，二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，销售问题中数量关系是解题的关键．（1）先判断n与x成一次函数关系，设n与x之间的函数表达式为n=kx+bk≠0（2）设日销售利润为w元，由题意得：w=nx−30（3）设日获利为w元，由题意得：W=nx−30−a【详解】（1）解：根据表格中的数据可知：销售价格每增加5元，日销售量减少150kg∴n与x成一次函数关系，设n与x之间的函数表达式为n=kx+bk≠0将30,600，30k+b=60040k+b=300解得：k=−30b=1500∴n=−30x+1500；（2）解：设日销售利润为w元，由题意得：w=n==−30=−30x−40∵a=−30<0，抛物线开口向下，∴当x=40时，w有最大值3000．∴这批农产品的销售价格定为40元/千克，才能使日销售利润最大；（3）解：设日获利为W元，由题意得：W=n==−30x对称轴为x=−2400+30a当0<a≤10时，40<40+12a≤45，则当x=40+12W=301当W=2430时，2430=301解得a1当a>10，40+12a>45，则当x=40时，WW=−30×=−48000+96000+1200a−1500a−45000=−300a+3000当W=2430时，2430=−300a+3000，解得：a1综上所述，a的值为2．3．（2024·贵州遵义·模拟预测）某数学兴趣小组在暑假开展社会实践活动，销售某品牌书包，平均每天可以销售20个，每个盈利12元，为了扩大销售，增加盈利，该小组决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每个书包每降价1元，平均每天可以多卖5个．(1)若每个书包降价x元，则可多卖__________个，每个盈利__________元；(2)若该兴趣小组同学想要一天盈利300元，每个书包应降价多少元；(3)该兴趣小组同学想要一天盈利最大，应降价多少元，所得最大利润是多少元？【答案】(1)5x，12−x(2)每个书包降价6元(3)当降价4元时利润最大，最大利润为320元【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解决本题的关键是：（1）根据每个书包降价x元，利用每个书包每降价1元，平均每天可以多卖5个，即可得出降价后书包多卖5x个，每个盈利(12−x)元；（2）利用书包降价后每天盈利=每个的利润×卖出的个数=(12−降低的价格）×(20+增加的件数），把相关数值代入即可求解；（3）由（2）得关系式：y=−5x【详解】（1）解：若每个书包降价x元，则可多卖5x个，每个盈利(12−x)元；故答案为：5x，(12−x)；（2）设每个书包降价x元，可盈利300元，则(12−x)(20+5x)=300，解得：x1=2（舍去），∴每个书包降价6元；（3）设每个书包降价x元，最大利润为y元，则y=(12−x)(20+5x)=−5x=−5(=−5(x−4)∴当x=4时，y有最大值，最大值为320；答：当降价4元时利润最大，最大利润为320元．4．（2024·湖北黄冈·模拟预测）大学生小丽暑假期间从小商品批发市场批发了一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销，她发现每月的销售量会因售价的调整而不同，若设每月的销售量为y件，售价为x元/件.(1)当售价在40—50元/件时，每月的销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元?(2)当售价在50—70元/件时，每月的销售量与售价的关系如图所示，求y与x的关系式；(3)小丽决定每卖出一件商品就向福利院捐赠m(m为整数)元，若要保证小丽每月获利仍随x的增大而增大，请你帮她计算m的最小值是多少，并求此时售价为多少元时，她每月获利最大.【答案】(1)每月的总利润最多是1200元(2)y=−2x+160(50≤x≤70)(3)m的最小值是30，售价为70元时，她每月获利最大【分析】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，列出相应的函数关系式是解题关键．（1）根据题意得出总利润w=60x−1800，再由一次函数的性质即可求解；（2）当售价在50≤x≤70元时，设每月销售量y=kx+b，利用待定系数法进行计算即可；（3）求出二次函数解析式，再根据二次函数的定义进行计算即可．【详解】（1）解：当售价在40≤x≤50元时，每月的总利润为w元.则总利润w=60(x−30)=60x−1800，∵60>0，∴当x=50时，总利润最多，为60×50−1800=1200(元)，∴每月的总利润最多是1200元；（2）解：当售价在50≤x≤70元时，设每月销售量y=kx+b，∴50k+b=60解得k=−2b=160∴每月销售量y=−2x+160(50≤x≤70)．（3）解：当售价在50≤x≤70元时，设每月的总利润为z元.∴每月的总利润z=(x−30−m)y=(x−30−m)(−2x+160)=−2x2+220x−4800+2mx−160m=−2x∵−2<0，且要保证小丽每月获利仍随x的增大而增大，∴55+m2≥70∴m的最小值是30，此时z=−2∴当x=70时，z取得最大值，最大值为200元，∴m的最小值是30，此时售价为70元时，她每月获利最大．👉题型02方案解决问题5．（2024·山东潍坊·一模）某无人机租赁方案有50架某种型号的无人机对外出租，该方案有两种租赁方案：方案A：如果每架无人机月租费300元，那么50架无人机可全部租出．如果每架无人机的月租费每增加5元，那么将少租出1架无人机．另外，方案为每架租出的无人机支付月维护费20元．方案B：每架无人机月租费350元，无论是否租出，方案均需一次性支付月维护费共计185元．说明：月利润=月租费-月维护费．设租出无人机的数量为x架，根据上述信息，解决下列问题：(1)当x=10时，按方案A租赁所得的月利润是__________元，按方案B租赁所得的月利润是__________元；(2)如果按两种方案租赁所得的月利润相等，那么租出的无人机数量是多少？(3)设按方案A租赁所得的月利润为yA，按方案B租赁所得的月利润为yB，记函数w=y【答案】(1)4800，3315(2)如果按两种方案租赁所得的月利润相等，那么租出的无人机数量是37架；(3)w的最大值为1805元．【分析】本题考查了二次函数的实际应用．（1）用甲方案未租出的无人机数量算出每辆车的租金，再乘以10，减去维护费用可得甲方案的月利润；乙方案租出的无人机租金乘以10，减去维护费用可得乙方案的月利润；（2）先求出两个方案月利润函数关系式，再求y甲=y（3）根据题意得到函数w=y【详解】（1）解：50−10×5+300当每个方案租出的无人机为10辆时，甲方案的月利润是48000元；乙方案的月利润为350×10−185=3315元，故答案为：4800，3315；（2）解：设甲方案的月利润为y甲，乙方案的利润为yy甲乙方案的利润为y乙当y甲−5x解得x=37或x=答：如果按两种方案租赁所得的月利润相等，那么租出的无人机数量是37架；（3）解：由题意得w==−5=−5x−18∵−5<0，∴函数有最大值，又0<x≤50，∴当x=18时，w有最大值，为1805元．6．（2024·湖北宜昌·模拟预测）某商场计划用5400元购买一批商品，若将进价降低10%，则可以多购买该商品30件．市场调查反映：售价为每件25元时，每天可卖出250件．如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．(1)求该商品原来的进价；(2)在进价没有改变的条件下，若每天所得的销售利润为2000元，且销售量尽可能大时，该商品的售价是多少元/件？(3)在进价没有改变的条件下，商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案．方案A：每件商品涨价不超过5元；方案B：每件商品的利润至少为16元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．【答案】(1)该商品原来的进价为20元；(2)商品的售价是每件30元；(3)综上所述，方案B最大利润更高．【分析】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意利用函数性质得出最值是解题关键．（1）利用销量×每件利润=总利润，进而求出即可；（2）利用二次函数的性质得出销售单价；（3）分别求出两种方案的最值进而比较得出答案．【详解】（1）解：设该商品原来的进价为x元．由题意：5400x+30=5400经检验，x=20是原方程的解，答：该商品原来的进价为20元；（2）解：设提价x元，根据题意得：(25+x−20)(250−10x)=2000，解得x=15或5，∵销量尽可能大，∴x=5，∴商品的售价是每件30元；（3）解：w=(25+x−20)(250−10x)=−10x∵−10<0，抛物线对称轴是直线x=10，开口向下，对称轴左侧w随x的增大而增大，对称轴右侧w随x的增大而减小，方案A：根据题意得，x≤5，则0≤x≤5，当x=5时，利润最大，最大利润为w=−10×52+200×5+1250=2000方案B：根据题意得，25+x−20≥16，解得：x≥11，则11≤x≤25，故当x=11时，利润最大，最大利润为w=−10×112+200×11+1250=2240∵2240>2000，∴综上所述，方案B最大利润更高．7．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）呼和浩特素有“召城”之称，塞上老街是一个重要的旅游街区，不仅有各式传统文化遗物向游人诉说着历史，更有新兴的现代手工制品吸引着世人的目光，现塞上老街某文创专卖店在旅游文化节期间准备购进甲、乙两种围巾，其中乙种围巾的进价比甲种围巾的进价少10元，已知甲种围巾的售价为每条120元，乙种围巾的售价为每条100元，若用2000元购进甲种围巾的数量与用1800元购进乙种围巾的数量相同．(1)求甲、乙两种围巾每条的进价；(2)要使购进的甲、乙两种围巾共300条的总利润不少于4000元，且不超过4100元，问该文创专卖店有几种进货方案；(3)文创专卖店准备对甲种围巾进行价格调整，甲种围巾每星期可卖出40条，市场调查反映，如调整价格，甲种围巾每降价1元，每星期可多卖出10条，乙种围巾售价不变，若该专卖店一星期要购进甲、乙共200条围巾且全部售出，如何给甲种围巾定价才能使一星期总利润最大，此时甲、乙两种围巾各卖出多少条?【答案】(1)甲、乙两种围巾每条的进价分别为100元和90元(2)11种(3)甲、乙两种围巾分别卖出70条和130条【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，二次函数的应用．熟练掌握分式方程的应用，一元一次不等式的应用，二次函数的应用是解题的关键．（1）设乙种围巾的进价为x元，则甲种围巾的进价为(x+10)元，依题意得：2000x+10（2）设购进甲种围巾a条，则购进乙种围巾(300−a)条，依题意得，4000≤(120−100)a+(100−90)(300−a)≤4100，计算求解，然后作答即可；（3）设甲种围巾降了y元，则每星期可多卖出10y条，且0≤y≤16，该文创专卖店一星期的总利润为w元，依题意得，w=(120−100−y)(40+10y)+(100−90)(200−40−10y)，整理得：w=−10y【详解】（1）解：设乙种围巾的进价为x元，则甲种围巾的进价为(x+10)元，依题意得：2000x+10解得：x=90，经检验，x=90是原分式方程的解且满足题意，∴x+10=100（元），答：甲、乙两种围巾每条的进价分别为100元和90元．（2）解：设购进甲种围巾a条，则购进乙种围巾(300−a)条，依题意得，4000≤(120−100)a+(100−90)(300−a)≤4100，解得：100≤a≤110，∵a为正整数，∴该文创专卖店有11种进货方案；（3）解：设甲种围巾降了y元，则每星期可多卖出10y条，且0≤y≤16，该文创专卖店一星期的总利润为w元，依题意得，w=(120−100−y)(40+10y)+(100−90)(200−40−10y)，整理得：w=−10y∵−10<0，∴当y=3时，w有最大值，此时，甲种围巾的售价为：120−3=117（元），甲种围巾售出：40+10×3=70（条），乙种围巾售出：200−70=130（条），∴甲、乙两种围巾分别卖出70条和130条．8．（2024·陕西西安·一模）有一建筑的一面墙近似呈抛物线形，该抛物线的水平跨度OQ=8m，顶点P的高度为4m，建立如图所示平面直角坐标系．现计划给该墙面安装门窗，已经确定需要安装矩形门框ABCD（点B，C在抛物线上，边AD方案一：在门框的两边加装两个矩形窗框（点G，H在抛物线上），AE=DF=1m方案二：在门框的上方加装一个矩形的窗框（点G，H在抛物线上），BE=CF=1m

(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若要求门框AB的高度为3m，判断哪种方案透光面积（窗框和门框的面积和）较大？（窗框与门框的宽度忽略不计）【答案】(1)y=−(2)方案一透光面积较大，见解析【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据点的坐标求出小矩形的边长．（1）由题意可知，抛物线的顶点P的坐标4，4，设所求抛物线的解析式为y=ax−4（2）将y=3代入解析式求出A、B两点的坐标，再根据已知条件分别求出方案一和方案二中小矩形的长和宽，求出面积比较即可．【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点P的坐标4，设所求抛物线的解析式为y=a把0，0代入解析式y=ax−4解得：a=−所以该抛物线的表达式为y=−1（2）解：当y=3时，即3=−解得：x1所以点A的坐标为2，0，点B的坐标为2，方案一：EF=BC−BE−CF=2m∵AE=DF=1m∴点E的坐标为1，∴点G的横坐标为1，当x=1时，y=−∴EG=∴S∴S方案二：∵BE=CF=1m∴点E的坐标为3，∴点G的横坐标为3，当x=3时，y=−∴EG=∴S∵72∴方案一透光面积较大．👉题型03行程问题9．（2024·浙江·模拟预测）问题情境：如图1，两条宽为16米、互相垂直的马路组成十字路口，为中心对称图形，两交通白线AB，CD间的距离与EF，GH间的距离均为64米，双向安装红绿灯．安全条件：当绿灯亮时的最后一秒（即绿灯读数为0），甲从交通白线AB骑出，能及时穿过路口，不与另一方向绿灯亮时从交通白线EF出来的汽车相撞，即可保证交通安全．实验数据：测试时，甲沿BC骑行，汽车按公路中线行驶．当绿灯亮起，汽车起步后的速度v（米/秒）、行驶距离s（米）关于时间t（秒）的函数图象分别为图2、图3，已知s=a(t−1)解决问题：(1)求图3中m的值．(2)当t>4时，求s关于t的函数表达式．(3)如图1，若甲骑车速度为5米/秒，汽车与摩托车长度忽略不计，设红绿灯时间差为T秒．当T要满足什么条件时，才能使汽车与甲不相撞？试通过计算说明．【答案】(1)m=22.5(2)s=15t−37.5(3)T大于3.9秒才能使车人不相撞，见解析【分析】本题主要考查了二次函数的应用，一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，理解摩托车与汽车不相撞的条件，列出不等式关系式即可求解．（1）将题干中已知坐标3,10代入解析式求出a的值，再令t=4，即可求出m的值．（2）观察图二可发现，当t>3时，速度始终为15m/s，理解题意，将速度代入关系式中，即可得出s关于t的函数表达式．（3）根据已知条件，需要求出另一侧绿灯亮时，摩托车通过路口的行驶时间，再求出汽车到路口MN行驶时间，摩托车通过路口要比汽车通过MN线要早一些方可避免碰撞事故，所以满足摩托车通过路口的行驶时间大于汽车到路口MN行驶时间即可．【详解】（1）解：（1）将3,10代入s=a(t−1)∴10=4a，∴a=2.5，即s与t的关系式为s=2.5(t−1)∴m=2.5(4−1)（2）由题意得，当t＞4时，∴s=22.5+(t−4)×15=15t−37.5．（3）BM=FN=(64−16)÷2=24（米），当绿灯亮时骑车出发到另一侧绿灯亮时，摩托车可骑行路程BP=5T，此时摩托车到FG线的剩余路程为（40−5T），需要骑行时间40−5T5又∵汽车到路口MN行驶路程FN=24米＞22.5米，∴当s=24时，15t−37.5=24，解得t=4.1，∴汽车到路口MN行驶时间t=4.1秒．∵要保证安全，摩托车需及时通过路口，∴8−T≤4.1，解得T≥3.9，∴T大于3.9秒才能使车人不相撞．10．（2024·浙江杭州·一模）如图，小车从点A出发，沿与水平面成30°角光滑斜坡AB下滑，在下滑过程中小车速度逐渐增加，设小车出发点A离水平地面BE的高度为h，小车从点A滑行到最低点B所用的时间为t（秒），小车滑行到点B时的速度为v（厘米/秒）．速度v与时间t满足关系：v=10t，高度h与时间t满足关系：ℎ=12gt2（g≠0，g是常数），当小车出发点小车出发点A离水平地面BE(1)当小车出发点A离水平地面BE的高度为45（厘米）时，小车滑到最低点B需要几秒钟？此时小车到达B点时的速度是多少？(2)小车继续在粗糙的水平地面BE上滑行，设滑行的距离为s（厘米），小车从斜坡滑行到点B时速度为v（厘米/秒），小车在水平地面BE上滑行的时间为T（秒），若s与v，T之间满足以下关系：g=−12aT2+vT（a≠0，a是常数），当v=20（厘米/秒）时，s=50（厘米），T=5（秒）．如果把小车出发点A离水平地面BE的距离【答案】(1)当小车出发点A离水平地面BE的高度为45（厘米）时，小车滑到最低点B需要3秒钟，此时小车到达B点时的速度是30厘米/秒(2)小车在水平地面BE上滑行的距离为168【分析】本题考查二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，准确求出函数解析式是解题关键．（1）先根据已知条件求出g的值，求出高度h与时间t的函数解析式，再把ℎ=45代入解析式求出t，再把t的值代入y=10t求出速度v；（2）先把v=20，s=50，T=5代入s=−12aT2+vT求出【详解】（1）解：当t=2，ℎ=20时，解得g=10，∴ℎ=1∴当ℎ=45时，5t解得t=3或t=−3（舍去），此时v=10×3=30cm/s答：当小车出发点A离水平地面BE的高度为45（厘米）时，小车滑到最低点B需要3秒钟，此时小车到达B点时的速度是30厘米/秒；（2）把v=20，s=50，则50=−1解得a=4，∴s=−2T当ℎ=125时，5t解得t=5或t=−5（舍去），∴v=10×5=50cm/s∴s=−2×4答：小车在水平地面BE上滑行的距离为168cm11．（2024·安徽宿州·二模）赛龙舟是我国传统的体育竞技项目，有着悠久的历史和广泛的群众基础．某龙舟队进行800米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程s(m)与时间t(s)的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为s=kt2(k≠0)

(1)求出k的值，并写出启航阶段自变量t的取值范围；(2)已知途中阶段龙舟速度为5m/s，当t=90(3)冲刺阶段，加速期龙舟用时1s将速度从5m/【答案】(1)k=18(2)400(3)158.5【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法，根据条件准确得到表达式是解题关键．（1）把A(20,50)代入s=kt2得出（2）设s=5t+b，把(20,50)代入，得出50=5×20+b，求得b=−50，当t=90时，求出s=400，则可得出答案；（3）由（1）可知k=18，把(90,400)代入s=18(t−70)【详解】（1）解：把A(20,50)代入s=kt2，得50=400k，解得∴启航阶段总路程s关于时间t的函数表达式为s=1（2）解：设s=5t+b，把(20,50)代入，得50=5×20+b，解得b=−50，∴s=5t−50．当t=90时，s=450−50=400．∴当t=90s时，该龙舟划行的总路程为400（3）解：由（1）可知k=18，把(90,400)代入s=1∴函数表达式为s=把t=91代入s=18(t−70)∴(800−405.125)÷5.85=67.5(s∴91+67.5=158.5(s答：该龙舟队完成训练总程所需时间为158.5s12．（2022·湖北武汉·中考真题）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，此时白球在黑球前面70cm小聪测量黑球减速后的运动速度v（单位：cm/s）、运动距离y（单位：cm）随运动时间t（单位：s）变化的数据，整理得下表．运动时间t01234运动速度v109.598.58运动距离y09.751927.7536小聪探究发现，黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系．(1)直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量