山东省淄博市淄川中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学（理）试题

淄川中学2016级高二下学期期中考试理科数学试卷一、选择题1.已知,i是虚数单位，若，则a=（A）1或1（B）（C）（D）2.设有下面四个命题：若复数满足，则；：若复数满足，则；：若复数满足，则；：若复数，则.其中的真命题为A. B． C． D．3．已知函数，则的值为()A． B．C．D．04.若复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是（A）（–∞，1）（B）（–∞，–1）（C）（1，+∞）（D）（–1，+∞）5．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是()①y＝cosx(x∈R)是三角函数；②三角函数是周期函数；③y＝cosx(x∈R)是周期函数．A．①②③ B．②①③C．②③① D．③②①6.展开式中的系数为A．15 B．267．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是()A． B．C． D．8.安排4名志愿者完成5项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A．120种B．180种C．240种D．36种9．已知,其导函数的图象如图所示,则的值为A． B．C． D．10．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是()A．[0．4,1] B．(0,0．4]C．(0,0．6] D．[0．6,1)11.设是定义在上的奇函数，且,当时，有恒成立，则不等式的解集为（）A．B．C．D．12．若存在过点O(0,0)的直线l与曲线和都相切，则a的值是()．A．1B．eq\f(1,64)C．1或eq\f(1,64)D．1或－eq\f(1,64)二、填空题13．设随机变量的概率分布列为，则=。14.曲线在点处的切线的倾斜角的余弦值为15.已知多项式32=，则=________．16．函数，则的值为17.用数字0,1，2，3，4，组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为18.在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为eq\f(65,81)，则事件A在一次试验中发生的概率为三、解答题19.甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是eq\f(1,3)，eq\f(2,5)，eq\f(1,2)．(1)现3人各投篮1次，求3人至少一人投进的概率；(2)用ξ表示乙投篮4次的进球数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望Eξ．20.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为.（1）若a=1，求判断C与l的位置关系；（2）若C上的点到l的距离的最大值为2，求.21.设函数(x∈R)，已知是奇函数，且F(1)＝－11.(1)求的值；(2)求F(x)的单调区间与极值.22.对于n∈N*，用数学归纳法证明：1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1＝eq\f(1,6)n(n＋1)(n＋2)．23.已知函数（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）如果当且时，恒成立，求实数的范围．

淄川中学2016级高二下学期期中考试理科数学答案一、选择题ADACBBCCBABC二、填空题13.14.15.3216.6+17.7018.三、解答题19.（1）记“甲投篮1次投进”为事件a，“乙投篮1次投进”为事件b，“丙投篮1次投进”为事件c；“至少一人投进”为事件A。P（A）=1P(a)P(b)P(c)=（2）随机变量的可能取值为：0,1,2，3，4；且所以，（k=0，1，2，3，4）故，随机变量的概率分布为：01234PE（）=0*+1*+2*+3*+4*=20.（1）解：曲线C的参数方程为（θ为参数），化为标准方程是：+y2=1；

a=1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y5=0；

联立方程，

解得:；所以椭圆C和直线l相切．

（2）l的参数方程（t为参数）化为一般方程是：x+4y﹣a﹣4=0，

椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），

所以点P到直线l的距离d为：

d==，φ满足tanφ=，

又d的最大值dmax=2，

所以|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|的最大值为34，因为a>0；

得：或﹣5﹣a﹣4=﹣34，

即a=25．

21．解因为f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d，所以f′(x)＝3x2＋2bx＋c.从而F(x)＝x3＋bx2＋cx＋d－(3x2＋2bx＋c)＝x3＋(b－3)x2＋(c－2b)x＋(d－c)，由F(x)是一个奇函数，所以F(0)＝0，F(－x)＝－F(x)，得d－c＝0，b－3＝0，故b＝3，d＝c.又由F(1)＝－11可得1＋(b－3)＋(c－2b)＋(d－c)＝－11，即b－d＝9，所以d＝c＝－6.B+2C3D=9(2)由(1)知F(x)＝x3－12x，从而F′(x)＝3x2－12，令3x2－12＝0，得x＝±2，由F′(x)＝3x2－12＞0，得x＞2或x＜－2，由F′(x)＝3x2－12＜0，得－2＜x＜2.故(－∞，－2)和(2，＋∞)是函数F(x)的单调递增区间，(－2,2)是函数F(x)的单调递减区间．F(x)在x＝－2时取得极大值，极大值为16，F(x)在x＝2时取得极小值，极小值为－16.22.证明：设f(n)＝1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1.(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立；(2)设当n＝k时等式成立，即1·k＋2·(k－1)＋3·(k－2)＋…＋(k－1)·2＋k·1＝eq\f(1,6)k(k＋1)(k＋2)，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝1·(k＋1)＋2[(k＋1)－1]＋3[(k＋1)－2]＋…＋[(k＋1)－2]·3＋[(k＋1)－1]·2＋(k＋1)·1＝f(k)＋1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＝eq\f(1,6)k(k＋1)(k＋2)＋eq\f(1,2)(k＋1)(k＋1＋1)＝eq\f(1,6)(k＋1)(k＋2)(k＋3)．∴由(1)(2)可知当n∈N*时等式都成立．23、已知函数（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）如果当且时，恒成立，求实数的范围．解：（1）定义域为2分设①当时，对称轴，，所以在上是增函数4分②当时，，所以在上是增函数6分③