新高考数学二轮复习讲练专题11 平面向量小题全归类（13大核心考点）（讲义）（解析版）

专题11平面向量小题全归类【目录】 ④三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等．2、奔驰定理：若，则；3、垂心定理：三角形三边上的高相交于一点故点O是的垂心，则一定有．，即，以此类推即可证明．4、外心向量定理：（1），；；（2），，；（3），，5、内心定理①角平分线的交点，到三条边的距离相等；②；③例34．（多选题）（2023·黑龙江哈尔滨·高一哈九中校考期末）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是内的一点，，，的面积分别为、、，则有，设O是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的是（

）．A．若，则O为的重心B．若，则C．若O为（不为直角三角形）的垂心，则D．若，，，则【答案】ABC【解析】对于A，设的中点为D，则，即三点共线，则，设为的中点，同理可得，故O为的重心，A正确；对于B，若，结合，可知，B正确；对于C，，，，又O为（不为直角三角形）的垂心，设延长后交与G，则,同理，则，即，同理，故，同理，又，，又O为（不为直角三角形）的垂心，则，故，即，同理，则，同理，故，又，可得，C正确；对于D，中，，，则，又，故，则，故，D错误，故选：ABC例35．（多选题）（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）点，分别是的外心､垂心，则下列选项正确的是（

）A．若且，则B．若，且，则C．若，，则的取值范围为D．若，则【答案】BCD【解析】A.由，可知，点共线，又可知，点在的角平分线上，所以为的角平分线，与不一定相等，故A错误；B.若，则点是的中点，点又是的外心，所以，，故B正确；C.因为，所以，如图，建立平面直角坐标系，设，，，因为，所以，得，，，，，，则，故C正确；D.因为，所以，即，则，同理，，所以，设，因为，所以，即，则，，即，则，，，故D正确.故选：BCD例36．（多选题）（2023·福建漳州·高一统考期末）已知的重心为，外心为，内心为，垂心为，则下列说法正确的是（

）A．若是中点，则B．若，则C．与不共线D．若，则【答案】ABD【解析】对于A，连接交于点，则点是的中点，是中点，连接，所以，所以，可得，故A正确；对于B，取的中点，连接、，因为点为外心，所以，所以，若，则，所以，故B正确；对于C，因为点为垂心，所以，因为，所以，而，所以与共线，故C错误；对于D，分别做、交、于、点，连接延长交于点，可得，设内切圆半径为，则，所以，，所以，即①，，所以，即②，由①②可得，在中由余弦定理可得，因为，可得，所以，故D正确.故选：ABD.例37．（多选题）（2023·辽宁·高三朝阳市第一高级中学校联考阶段练习）在所在的平面上存在一点，，则下列说法错误的是（

）A．若，则点的轨迹不可能经过的外心B．若，则点的轨迹不可能经过的垂心C．若，则点的轨迹不可能经过的重心D．若，，则点的轨迹一定过的外心【答案】ABD【解析】若，根据向量共线的推论知：共线，即在直线上，中，则的中点为三角形外心，故有可能为外心，A错；中或，则或为三角形垂心，故有可能为垂心，B错；若为的重心，必有，此时，C对；若，，结合，则点在一个以AB、AC为邻边的平行四边形内（含边界），为锐角三角形，其外心在内，则必过外心；为直角三角形，其外心为斜边中点，则必过外心；为钝角三角形且，其外心在外，即边的另一侧，如下图示，点在平行四边形内（含边界），此时，当外心在内（含边界），则必过外心；当外心在外（如下图为的中垂线），则不过外心；所以，，，的轨迹不一定过的外心，D错.故选：ABD例38．（多选题）（2023·福建福州·高一福建省福州格致中学校考期末）已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（

）A．若为的垂心，，则B．若为锐角的外心，且，则C．若，则点的轨迹经过的重心D．若，则点的轨迹经过的内心【答案】ABC【解析】对于A选项，因为，，又因为为的垂心，所以，所以，故正确；对于B选项，因为且，所以，整理得：，即，设为中点，则，所以三点共线，又因为，所以垂直平分，故，正确；对于C选项，由正弦定理得，所以，设中点为，则，所以，所以三点共线，即点在边的中线上，故点的轨迹经过的重心，正确；对于D选项，因为，设中点为，则，所以，所以，所以，即，所以，故在中垂线上，故点的轨迹经过的外心，错误.故选：ABC考点十一：阿波罗尼斯圆问题在平面上给定两点A，B，设点在同一平面上且满足，当且时，点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆（时点的轨迹是线段AB的中垂线）．例39．（2023·江西·高三校联考阶段练习）已知向量，满足，，则的最大值为（

）A． B．2 C． D．4【答案】D【解析】因为，所以，即，整理得，又，所以，即，所以，即，又，所以当与反向时，取得最大值，且最大值为.故选：D.例40．（2023·贵州贵阳·高二校联考阶段练习）阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P与A、B距离之比为，当面积最大时，（

）A． B． C．8 D．16【答案】B【解析】由题意，以的中点为原点，以所在直线为轴，以过垂直于直线的直线为轴，建立坐标系，则，设，故，则，整理可得：，即的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，如下图：由共线，则当时，的面积最大，不妨设在第一象限，此时，可得，，.故选：B.例41．（2023·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A，B间的距离为3，动点满足，则的范围为.【答案】【解析】以中点为原点，以所在直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，因为，所以，.设，因为，所以，整理得，即..又，则，则.故答案为：考点十二：平行四边形大法1、中线长定理2、为空间中任意一点，由中线长定理得：两式相减：例42．如图，C，D在半径为1的上，线段是的直径，则的取值范围是_________.【答案】【解析】以点O为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设点，，则，，则，其中，所以的最大值为：，则当时，取得最大值，最小值为，则当时，取得最小值，综上，的取值范围为.故答案为：.例43．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）半径为的两圆和圆外切于点，点是圆上一点，点是圆上一点，则的取值范围为_______.【答案】【解析】设点关于点的对称点为，则点在圆上，所以，，因为，所以，，因为，当且仅当、同向且、反向时，，当时，则，所以，，所以，，所以，，因为，则，故当且四边形为菱形时，，因此，.故答案为：.例44．如图，圆是半径为1的圆，，设，为圆上的任意2个点，则的取值范围是___________.【答案】【解析】连接，，设是线段的中点，连接，则有.设为和的夹角.则，，（当即时取等）因为，所以当时，有最小值.，（当即时取等）当时，有最大值为3，即有最大值3，所以的取值范围是.故答案为：考点十三：向量对角线定理例45．已知平行四边形，，，，与交于点，若记，，，则（）B．C．D．【答案】C【解析】由对角线向量定理得，所以，而，所以，选择C．例46．如图，在圆中，若弦，弦，则的值是（） B． C． D．【答案】D【解析】如图所示，由对角向量定理得所以选D．例47．如图，在四边形ABCD中，，若，，，则等于（）A．