新高考数学二轮复习讲练专题16 妙解离心率问题（12大题型）（练习）（解析版）_第1页
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专题16妙解离心率问题目录01顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题 202焦点三角形顶角范围与离心率 603共焦点的椭圆与双曲线问题 804椭圆与双曲线的4a通径体 1105椭圆与双曲线的4a直角体 1406椭圆与双曲线的等腰三角形问题 1907双曲线的4a底边等腰三角形 2108焦点到渐近线距离为b 2509焦点到渐近线垂线构造的直角三角形 2910以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题 3211渐近线平行线与面积问题 3612数形结合转化长度角度 3801顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题1．（2024·安徽宣城·高三统考期末）已知椭圆SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0关于原点的对称点为点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为其右焦点，若SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则该椭圆的离心率SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由题意设椭圆的左焦点为N，连接AN，BN，因为AF⊥BF，所以四边形AFBN为长方形，再根据椭圆的定义化简得SKIPIF1<0，得到离心率关于SKIPIF1<0的函数表达式，再利用辅助角公式和三角函数的单调性求得离心率的范围.由题意椭圆SKIPIF1<0SKIPIF1<0上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为N，连接AN，BN，因为AF⊥BF，所以四边形AFBN为长方形．根据椭圆的定义：SKIPIF1<0，由题∠ABF＝α，则∠ANF＝α，所以SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即椭圆离心率SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，故选B.2．（2024·河北唐山·高三统考期末）已知椭圆SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0关于原点的对称点为点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为其右焦点，若SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则该椭圆的离心率SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】设椭圆SKIPIF1<0的左焦点为：SKIPIF1<0,根据SKIPIF1<0，得到四边形为SKIPIF1<0为矩形，再由SKIPIF1<0，结合椭圆的定义得到SKIPIF1<0，然后由SKIPIF1<0求解.设椭圆SKIPIF1<0的左焦点为：SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0，所以四边形为SKIPIF1<0为矩形，所以SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0由椭圆的定义得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：B3．（2024·江西南昌·高三南昌十中校考期末）已知椭圆SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0关于原点的对称点为SKIPIF1<0点，SKIPIF1<0为其右焦点，若SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则该椭圆的离心率的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0和SKIPIF1<0关于原点对称，SKIPIF1<0SKIPIF1<0也在椭圆上，设左焦点为SKIPIF1<0，根据椭圆的定义：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0

（1）又原点是SKIPIF1<0的斜边中点，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0

（2）SKIPIF1<0

（3）将（2）（3）代入（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以椭圆的离心率的取值范围为SKIPIF1<0，故选：A4．（2024·黑龙江大庆·高三铁人中学校考期末）已知双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）右支上非顶点的一点SKIPIF1<0关于原点SKIPIF1<0的对称点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为其右焦点，若SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0离心率的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】如图所示，设双曲线的左焦点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0为矩形．所以SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故双曲线离心率的取值范围是SKIPIF1<0，故选：D．02焦点三角形顶角范围与离心率5．（2024·河南南阳·高三郑州一中阶段练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的左右两个焦点，P为椭圆上的一点，且SKIPIF1<0，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】设点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因此有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以椭圆的离心率的取值范围为SKIPIF1<0.故选：D6．（2024·黑龙江·校联考）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，是双曲线SKIPIF1<0的两个焦点，若点Р为椭圆SKIPIF1<0上的动点，当P为椭圆的短轴端点时，SKIPIF1<0取最小值，则椭圆SKIPIF1<0离心率的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】假设点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上方，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由已知得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0考虑对勾函数SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0为椭圆的短轴端点时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0取最小值，即SKIPIF1<0取最小值，SKIPIF1<0也取最小值，此时SKIPIF1<0，∵函数在SKIPIF1<0上单调递减，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.即椭圆SKIPIF1<0离心率的取值范围为SKIPIF1<0.故选：SKIPIF1<0.7．（2024·贵州·高三凯里一中校考期末）已知椭圆SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为椭圆的左右焦点，若椭圆SKIPIF1<0上存在点SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若椭圆SKIPIF1<0上存在点SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选D8．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）使得SKIPIF1<0，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】根据题意作图如下：由图可得：当点P在椭圆的上（下）顶点处时，SKIPIF1<0最大，要满足椭圆C上存在点SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）使得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴得到：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴椭圆离心率的取值范围为SKIPIF1<0，故选:B．03共焦点的椭圆与双曲线问题9．（2024·安徽·校联考）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且两条曲线在第一象限的交点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为底边的等腰三角形，若SKIPIF1<0，椭圆与双曲线的离心率分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0满足的关系是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由椭圆与双曲线定义得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，选B.10．（多选题）（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）有公共焦点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且两条曲线在第一象限的交点为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为底边的等腰三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的离心率分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AD【解析】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的焦距为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共焦点知SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0正确；△SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为底边的等腰三角形知SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0在第一象限知：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0错；由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0正确．故选：SKIPIF1<0．11．（2024·湖北孝感·高三统考期末）已知椭圆和双曲线有共同的焦点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是它们的一个交点，且SKIPIF1<0，记椭圆和双曲线的离心率分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【解析】不妨设SKIPIF1<0为第一象限的点，SKIPIF1<0为左焦点，设椭圆的长半轴长为SKIPIF1<0，双曲线的实半轴长为SKIPIF1<0，则根据椭圆及双曲线的定义可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在△SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时等号成立．故答案为：SKIPIF1<012．（2024·江苏苏州·高三江苏省苏州第十中学校校考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点SKIPIF1<0分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且SKIPIF1<0，记椭圆和双曲线的离心率分别为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于．【答案】SKIPIF1<0【解析】设椭圆长半轴长为SKIPIF1<0，双曲线实半轴长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为两曲线在第一象限的交点，SKIPIF1<0为两曲线在第三象限的交点.由椭圆和双曲线定义知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由椭圆和双曲线对称性可知：四边形SKIPIF1<0为平行四边形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.13．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考期末）已知椭圆和双曲线有共同的焦点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是它们的一个交点，SKIPIF1<0，记椭圆和双曲线的离心率分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是.【答案】SKIPIF1<0【解析】不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设两曲线的焦距为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，取等号，则SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.04椭圆与双曲线的4a通径体14．（2024·河南·高三统考阶段练习）已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，左、右焦点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的直线与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】设SKIPIF1<0，椭圆的焦距为SKIPIF1<0，由题意得出SKIPIF1<0，椭圆的离心率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.由椭圆的定义可得SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，由椭圆的定义可得SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.故选D.15．（2024·全国·高三校联考阶段练习）已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左､右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(如图)，过SKIPIF1<0的直线交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入椭圆方程知SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0又点SKIPIF1<0在椭圆上，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0故选：D16．（2024·云南·校联考模拟预测）已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（如图），过SKIPIF1<0的直线交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的离心率为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】设椭圆SKIPIF1<0的半焦距为SKIPIF1<0，由题意可得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，且点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：A.17．（2024·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）已知椭圆E:SKIPIF1<0的左，右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（如图），过SKIPIF1<0的直线交E于P，Q两点，且SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】依题意设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，化为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0故选：A05椭圆与双曲线的4a直角体18．（2024·全国·高三校联考阶段练习）已知椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的直线交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则椭圆SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】运用特殊值法进行求解.不妨设SKIPIF1<0，利用勾股定理、余弦定理，结合椭圆的定义和离心率公式进行求解即可.不妨设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故选：C19．（2024·重庆·校联考）已知双曲线SKIPIF1<0的左右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的直线交双曲线C的左支于P，Q两点，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0，则双曲线C的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由双曲线定义知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选：A.20．（2024·广西桂林·高三统考期末）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，过点SKIPIF1<0的直线交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则椭圆SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理，得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，化简可得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等腰直角三角形，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴椭圆的离心率SKIPIF1<0.故选：D.21．（2024·湖南·校联考）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0上的三个点，直线SKIPIF1<0经过原点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0经过右焦SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则该双曲线的离心率为A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】如图，因为SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0为矩形，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以得离心率SKIPIF1<0，选择A22．（2024·湖北·高三开学考试）已知SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0上的三个点，SKIPIF1<0经过原点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0经过右焦点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则该双曲线的离心率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】设左焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0

，连接SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0经过原点SKIPIF1<0所以四边形SKIPIF1<0为矩形在Rt△SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0化简得SKIPIF1<0所以在Rt△SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0化简得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以选B23．（2024·山东聊城·统考）已知A，B，C是双曲线SKIPIF1<0上的三点，直线AB经过原点O，AC经过右焦点F，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则该双曲线的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】设双曲线的左焦点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0由题意知SKIPIF1<0∴四边形SKIPIF1<0为矩形，令SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0将SKIPIF1<0带入可得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0故选：D06椭圆与双曲线的等腰三角形问题24．（2024·江西上饶·高三阶段练习）已知双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的直线与双曲线SKIPIF1<0的右支相交于SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则双曲线的离心率SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为等腰直角三角形，所以SKIPIF1<0,由双曲线定义可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相加得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：A.25．（2024·北京海淀·校考模拟预测）双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0SKIPIF1<0的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线C的右支在第一象限的交点为A，与y轴的交点为B，且△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0为等边三角形，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选：B26．（2024·安徽·高三校联考阶段练习）如图，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左右焦点，过SKIPIF1<0的直线与双曲线SKIPIF1<0的左支交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则双曲线的离心率为（

）A．2 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】设SKIPIF1<0，由双曲线的定义可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为等腰三角形，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，在△SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，化为SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．07双曲线的4a底边等腰三角形27．（2024·四川成都·石室中学校考）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0的左，右焦点，过点SKIPIF1<0作斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与双曲线的左，右两支分别交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，以SKIPIF1<0为圆心的圆过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】取MN中点A，连AF2，由已知令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，如图：因点M，N为双曲线左右两支上的点，由双曲线定义得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令双曲线半焦距为c，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以双曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0.故选：B28．（2024·江西九江·统考）设双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线分别交双曲线左、右两支于点P，Q，点M为线段PQ的中点，若P，Q，F1都在以M为圆心的圆上，且SKIPIF1<0，则双曲线C的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．2SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2SKIPIF1<0【答案】C【解析】以PQ为直径的圆经过点F1，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，可知PQ⊥MF1，则|PF1|＝|QF1|，故三角形PF1Q是等腰直角三角形，设|PF1|＝t，则|PQ|SKIPIF1<0t，由双曲线的定义可知：|PF2|＝t+2a，|QF2|＝t﹣2a，可得|PQ|＝4a，则SKIPIF1<0t＝4a，即t＝2SKIPIF1<0a，则：|PF2|SKIPIF1<0，在Rt△MF1F2中，|MF1|SKIPIF1<02a，|MF2|＝|PF1|﹣|PM|＝2SKIPIF1<0a，由勾股定理可知|F1F2|＝2SKIPIF1<0a＝2c，则双曲线C的离心率为：eSKIPIF1<0．故选：C．29．（2024·安徽合肥·校联考模拟预测）设双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与双曲线左右两支交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，以SKIPIF1<0为直径的圆过SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则双曲线C的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因为SKIPIF1<0即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0在三角形SKIPIF1<0中，有余弦定理可得：SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0因为以MN为直径的圆经过右焦点F2，所以SKIPIF1<0，又|MF2|＝|NF2|，可得△MNF2为等腰直角三角形，设|MF2|＝|NF2|＝m，则|MN|SKIPIF1<0m，由|MF2|﹣|MF1|＝2a，|NF1|﹣|NF2|＝2a，两式相加可得|NF1|﹣|MF1|＝|MN|＝4a，即有m＝2SKIPIF1<0a，在直角三角形HF1F2中可得4c2＝4a2+（2a+2SKIPIF1<0a﹣2a）2，化为c2＝3a2，即eSKIPIF1<0．故选：B．30．（2024·河北石家庄·统考）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，点SKIPIF1<0是椭圆上位于第一象限内的点，延长SKIPIF1<0交椭圆于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则椭圆的离心率为A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.因SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，整理得到SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故选A.31．（2024·山东烟台·统考）已知双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的右支上，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0知：△SKIPIF1<0为等腰直角三角形且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，而在△SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选：B.08焦点到渐近线距离为b32．（2024·四川泸州·高三统考期末）已知F1，F2为双曲线C：SKIPIF1<0＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，且与C的右支交于点Q，若SKIPIF1<0（O为坐标原点），则C的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．3【答案】A【解析】根据对称性不妨设P为第一象限的点，∵O为F1F2的中点，又SKIPIF1<0，∴Q为PF2的中点，又F2（c，0）到SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，∴|PF2|＝b，∴|QF2|＝SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又|F1F2|＝2c，∵PO的斜率为SKIPIF1<0，又QF2⊥PO，∴QF2的斜率为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在△QF2F1中，由余弦定理可得：SKIPIF1<0，化简可得a＝b，∴双曲线C的离心率为SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0.故选：A.33．（2024·安徽滁州·高三统考期末）设F1，F2分别是双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点，过F2作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为H，若|HF1|=3|HF2|，则双曲线的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由题设条件推导出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0的坐标，由两点间的距离公式得SKIPIF1<0，计算求出离心率SKIPIF1<0．由题设知双曲线C：SKIPIF1<0的一条渐近线方程为SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，∵右焦点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，平方化简得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故得SKIPIF1<0，故选：D.34．（2024·辽宁葫芦岛·统考）设F1，F2是双曲线C：SKIPIF1<0（a>0，b>0）的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝3|OP|，则C的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

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