2025年新高考数学一轮复习：重难点突破 抽象函数模型归纳总结（八大题型）（学生版+解析）

重难点突破01抽象函数模型归纳总结

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳总结.................................................................3

题型一：一次函数模型..........................................................................3

题型二：二次函数模型..........................................................................4

题型三：幕函数模型............................................................................4

题型四：指数函数模型..........................................................................5

题型五：对数函数模型..........................................................................5

题型六：正弦函数模型..........................................................................6

题型七：余弦函数模型..........................................................................6

题圜I：正切函数模型..........................................................................7

03过关测试.....................................................................7

//\\

一次函数

(1)对于正比例函数=(kwO),与其对应的抽象函数为〃x±y)=/(x)±/(y).

(2)对于一次函数〃司=丘+可左#0),与其对应的抽象函数为/(x±y)=/(x)±/(y)干小

二次函数

(3)对于二次函数/(X)=加+Zzx+c(a/0),与其对应的抽象函数为

f(x+y)=f(x)+f(y)+2axy-c

塞函数

(4)对于塞函数〃%)=%",与其对应的抽象函数为/(肛)=/(力/(田.

xn，其抽象函数还可以是/{2]=44.

(5)对于暴函数/(%)=

UJf(y)

指数函数

(6)对于指数函数“九)=/与其对应的抽象函数为/(x+y)=/(x)/(y).

(7)对于指数函数/(x)=a*,其抽象函数还可以是/(x-

其中(〃〉0,awl)

对数函数

(8)对于对数函数/(九)=log。％,与其对应的抽象函数为/(冲)=/(x)+/(y).

(9)对于对数函数/(x)=logaX,其抽象函数还可以是7-=f(x)-f(y).

W7

(10)对于对数函数/(x)=log0x,其抽象函数还可以是/(x")=W(x).

其中(〃〉0,〃wl)

三角函数

(11)对于正弦函数〃x)=sinx,与其对应的抽象函数为/(x+y)〃x—y)=/2⑺一/(y)

注：此抽象函数对应于正弦平方差公式：sin2a-sin2/?=sin(or+yff)sin(«-/?)

与其对应的抽象函数为/(x)+/(y)=24苫)

(12)对于余弦函数/(x)=cosx,

ccBcc—B

注：此抽象函数对应于余弦和差化积公式：cosa+cos/3=2cos-----cos...-

22

(13)对于余弦函数/(x)=cosx,其抽象函数还可以是/(x)/(y)=g[/(x+y)+/(x—y)]

cos(cr+/?)+COS(6T-/?)

注：此抽象函数对应于余弦积化和差公式：cosacosj3=

2

(14)对于正切函数/(X)=tanx,与其对应的抽象函数为7(x土y)=J

注：此抽象函数对应于正切函数和差角公式：tan(a±0=tana±tan一

1+tanoftan/?

题型一：一次函数模型

【例1】已知/(x+y)=/(x)+/(y)—1且/⑴=2,则/⑴+〃2)+L+/(〃)不等于

A./(l)+2/(l)+L+nf(l)--B.f+n-l

C.〃2；3〃D.小+1)

【变式1-1】已知函数/(X)的定义域为R,且，£|工。，若F(x+y)+〃x)〃y)=4^,则下列结论错误

的是()

A.小J。B.啊=-2

C.函数，是偶函数D.函数[x+j是减函数

【变式1-2](2024.河南新乡•一模)已知定义在R上的函数/⑴满足V无,yeR,

“2孙-l)=/(x>/(y)+/(y)+2x-3,/(0)=-1,则不等式/(力>3-2,的解集为()

A.(1,+co)B.(-1,+co)C.(-81)D.(-oo,-l)

【变式1-3】已知定义在R上的单调函数/(x),其值域也是R,并且对于任意的尤,yeR,都有

/("))=孙,则|〃2022)|等于()

A.0B.1C.20222D.2022

题型二：二次函数模型

【例2】(2024.高三.河北保定.期末)已知函数了⑺满足：Vx,yeZ,y)=f(x)+f(y)+2孙+1成

立，且f(-2)=1,则”2〃)(〃eN*)=()

A.4"+6B.8n-lC.W+2n-lD.8n2+2/1-5

【变式2-1](2024•山东济南三模)已知函数/(x)的定义域为R,且才⑴-灯'(y)=^(x-y),则下列结

论一定成立的是()

A.f(l)=lB./⑴为偶函数

C./(x)有最小值D.“X)在[0,1]上单调递增

【变式2-2](2024・陕西西安・模拟预测)已知函数/(x)的定义域为R,且满足

/(%)+f(J)=/(-x+y)-2xy+2,/(I)=2,则下列结论正确的是()

A./(4)=12B.方程/(尤)=》有解

C.+是偶函数D.是偶函数

【变式2-3](2024•河南三模)已知函数/⑴满足：/⑴23,且Vx,yeR,

9

/(x+y)=/(x)+/(y)+6到，则2/(，)的最小值是()

Z=1

A.135B.395C.855D.990

题型三：幕函数模型

【例3】已知函数〃x)的定义域为(y,0)U(0,y),且由x)=(y+l)〃y+l),则()

A./«>0B./(1)=1C./(x)是偶函数D./(无)没有极值点

【变式3-1](2024.河北.模拟预测)己知定义在(y,0)U(0,M)上的函数〃尤)满足

9)=J+3+L则(

)

yxxy

A./(x)是奇函数且在(0,+8)上单调递减

B.是奇函数且在(-8,0)上单调递增

C./(x)是偶函数且在(0,+8)上单调递减

D./（x）是偶函数且在（-8,0）上单调递增

题型四：指数函数模型

【例4】（多选题）（2024.山西晋中.三模）已知函数/（x）的定义域为R,满足

〃x+y）=〃x）〃y）+〃x）+〃y）,且〃0）H-1,/（1）>-1,则下列说法正确的是（）

A./(0)=0B./（x）为非奇非偶函数

C.若/⑴=1,则"4)=15D./（">-1对任意》€川恒成立

【变式4-1】已知函数/（尤）满足，/（p+q）=〃p）•/⑷J⑴=3,则

/⑴+“2）r2）+〃4）*3）+〃6）/（4）+〃8）/（5）+〃10）

的值为（)

“1）”3）/（5）/（7）/（9）

A.15B.30C.60D.75

【变式4-2】如果/（“+b）=/（a）/㈤且/⑴=2,贝4铝+米+霏=（）

1237

A.—B.—C.6D.8

55

【变式4-3】已知函数〃尤）对一切实数。力满足“。+3=/（。/仅），且"1）=2,若

%则数列｛%｝的前几项和为（）

J1/

A.〃B.2〃C.4〃D.8〃

题型五：对数函数模型

【例5】（多选题）已知函数/（尤）的定义域为R,/（^）=r/W+x7（y）,则（）.

A./（0）=0B."1）=0

c.“X）是偶函数D.尤=0为/（尤）的极小值点

【变式5-1】已知定义在（0,+⑹上的函数/（x）,满足〃刈）+l=〃x）+/（y）,且=则/（2"）=

A.1B.11C.12D.-1

【变式5・2】（2024•四川凉山三模）已知〃”为定义在R上且不恒为零的函数，若对Vx,”R,都有

/（盯）=4⑴+必⑺成立，则下列说法中正确的有（）个.

①〃0）=/。）=。；

②若当x>l时，/（x）>o,则函数g（x）=?在（0,+⑹单调递增；

③对VweN*,=

④若=则£牛=2-2.

A.1B.2C.3D.4

【变式5・3】（2024.山西.一模）已知函数/（“是定义在｛xlxwO｝上不恒为零的函数，若

〃孙）=少+少,则（）

y%

A./⑴=1B./（-1）=1

C./（x）为偶函数D./（x）为奇函数

题型六：正弦函数模型

【例6】（多选题）（2024.辽宁•模拟预测）已知函数Ax）的定义域为R,且

f（x+y）f（x-j）=f\x）-f\y\/（I）=2,/（2）=0,则下列说法中正确的是（）

2024

A./（尤）为偶函数B./⑶=—2C./（-1）=/（5）D.£于*）=-2

左=2

【变式6-1］（多选题）（2024•全国•模拟预测）已知函数“X）的定义域为R,且

/（工+田/（工一丫）=尸。）-尸（）；）,〃1）=1,/（2）=。，则下列说法中正确的是（）

2023

A./(x)为偶函数B.〃3)=-1C./(-1)--/(5)D.工于*)=1

k=\

题型七：余弦函数模型

【例7】(多选题)己知定义域为R的函数“X)满足/(x+y)=f(x)"(y)-f(2-x)/(2-y),且

/(0)^0,/(-2)=0,则()

A./(2)=1

B.是偶函数

C.[/(X)]2+[/(2+X)]2=1

D.〃1)+〃2)+〃3)+…+”2024)=1

【变式7-11(多选题)(2024•辽宁.二模)已知定义城为R的函数/(x).满足

/(x+y)=/(x)/(y)-/(l-x)/(l-y),且〃0)*0,/(-1)=0,则()

A.f(l)=0B./(x)是偶函数

2024

c.[/(A-)]2+[/(1+<=ID.=

【变式7-2](2024.吉林•模拟预测)已知函数/⑺的定义域为R,且/(x+y)+/(尤-y)=2/(无)/(y),

2024

f(0)=l,/(3^+l)=-/(-3x+l),则£/伏)=()

斤=0

A.-2B.-1C.0D.1

【变式7-3](2024•安徽•模拟预测)若定义在R上的函数/(x),满足2/(x+y)/(x-y)=/(2x)+/(2y),

且/(1)=-1,则〃0)+〃1)+〃2)+…+”2024)=()

A.0B.-1C.2D.1

题型八：正切函数模型

【例8】定义在(-1,1)上的函数“X)满足：〃无)一〃>)=/二]£|，当x«T，0)时，有/(力>0,且

/1力=1.设一+…J,心2,—N*,则实数加与-1的大小关系为()

A.m<-\B.m=-lC.m>-\D.不确定

【变式8・1】(2024・浙江・二模)已知函数”“满足对任意的x,y<l,w)且尤J都有

=

f[Y~f~f~，若。〃=/(_—\£N*,贝!J%+%+。3+…+%024=()

U-孙J{yj+5n+5J

A-"/2丽531IB-/253、C/」〔篇2531D-」253、

1.已知函数〃x)对于一切实数均有/(x+y)-/(y)=x(x+2y+l)成立，且/⑴=0,则当时,

不等式〃尤)+2<log.x恒成立，则实数。的取值范围是().

2.设函数f：R-R满足f(O)=l,且对任意尤,yeR,都有/(孙+1)=/(力〃H_/(丫)_%+2,贝|

7(2017)=()

A.0B.2018C.2017D.1

3.满足对任意的实数都有〃a+b)=〃a)・〃6),且/⑴=2,则

“2)"4)/(6),/(2018)

------------------r•••d-()

/(I)/(3)/(5)--------/(2017)

A.2017B.2018C.4034D.4036

4.如果函数/(x)对任意满足/(。+。)=/(。)/(力)，且/⑴=2,则与引+。^+4^+…+彳占3=

A.4032B.2016C.1008D.504

5.设函数〃X)的定义域为R,对任意实数x,y,只要尤+尸0,就有/(盯成立,则函

数/(X)()

A.一定是奇函数B.一定是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数

6.(2024.全国•模拟预测)已知函数的定义域为R,f{x)f{y}-f[x)=xy-y,则()

A./(0)=0B.f(-l)=l

C./(x+1)为偶函数D./(x+1)为奇函数

7.设函数y=/(x)的定义域为((),+◎,/(孙)=/(x)+/(y),若"9)=6,则/(3也)等于()

399

A.—B.2C.—D.—

242

8.(多选题)(2024•全国•模拟预测)已知函数〃力的定义域为R,Vx,yeR,

=且=则()

A./(%)为偶函数

B.却比)

C./⑴+2/(2)+3/⑶+…+2023/(2023)=1

—_2

D."(x)f+1-可=1

9.(多选题)已知函数的定义域为R,/(x+y)-f(x-y)=f^+|p^+|^f(0)^0,则()

A./f|KoB./(0)=-2

2022(八

c.八元)的一个周期为3D.£/-=2

k=\u

10.(多选题)(2024•江西九江•二模)已知函数/(尤)的定义域为R,Vx,yeR,

f(xy)+xy=xf(y)+yf(x),则下列命题正确的是()

A./(%)为奇函数B.“X)为R上减函数

C.若x#0,则4一+—"X)为定值D.若"2)=2,贝|士/(叫=2046

\XJxk=\

11.(多选题)(2024•江苏南京•二模)已知函数/a)满足〃x)/(y)=y(孙)+kl+lyl,贝I()

A./(0)=1B./(D=-lC./*)是偶函数D./⑴是奇函数

12.(多选题)(2024・广西・二模)已知函数y=/(x)的定义域与值域均为。+,且

=+产(y)+时(y)(feN*),则()

A.41)=1B,函数〃X)的周期为4

C./(X)=X2(XGQ+)D.t=2

13.(多选题)已知非常数函数””的定义域为R,且〃x)〃y)=/3)+孙(％+y),则()

A./(0)=0B./(1)=-2或/(1)=1

C./H是｛x|xeR且％20｝上的增函数D.〃尤)是R上的增函数

14.(多选题)己知/(无)是定义在R上的函数，VxeR,/(x)>0,且/(肛)=〃x>/(y)-V-必，则

()

A./(1)=1

B./(无)是偶函数

C.7(尤)的最小值是1

D.不等式“a2)<10的解集是(-1,5)

15.(多选题)已知函数"X)满足F(x+y)=/(x)+f(y),x,yeR,则()

A./(0)=0B.f(k)=kf(V),keZ

C./(工)="力,(左70)D./(-x)f(%)<0

16.(多选题)(2024・高三.云南昆明•开学考试)已知函数"X)的定义域为R,且

f[x-y)=f(rx)+f[y)-2xy,则()

A./(0)=0

B./⑵=4

C.y=f(x)-2x是奇函数

D.y=/(x)-2/是偶函数

17.(多选题)(2024•重庆•三模)函数/(尤)是定义在R上不恒为零的可导函数，对任意的无，yeR均满足:

(x+y)-f(x)f(y)=xy-f{x+y),f(1)=2,则()

A./(0)=0B."2)=8

C./'(1)=4D.£/(Q=(wT)-2向+2

k=\

18.(多选题)(2024全国•模拟预测)已知函数〃尤)的定义域为R,且

〃x+y)=/(x)/(y)+/(x)+/(y)，x>o时,/(%)>o,42)=3,则()

A./(1)=1

B.函数在区间(0,+功单调递增

C.函数是奇函数

D.函数〃x)的一个解析式为=

19.(多选题)已知函数y=/(x),对于任意x,yeR,需=/(》一>),则()

A."0)=1B./(x2)=27(%)

C./(x)>0D.亨j

20.(多选题)(2024・高三・辽宁•期中)已知函数的定义域为〃无)一〃y)=/二二且

=当xe(O,l)时，/(x)>0,则()

A./(0)=0

B./(无)是偶函数

C.当A,B是锐角AABC的内角时，/(sinA)</(cosB)

11X21

D.当匕>0,且——=L，&=不时，/(Z)=2i

加2斗2

21.(多选题)函数/(x)的定义域为R,若〃x+y)+/(x)〃y)=4孙，则下列选项正确的有

A./[-JoB,=

C.函数(x+j是增函数D.函数是奇函数

22.(多选题)定义在(0,+8)上的函数〃尤)，对Vx,y>0,均有〃个)=#(y)+0'(x),当x>l时，

〃力<0,令g(x)=#,则下列说法正确的是()

A.g⑴=0B.g(x)gQ^j>0

C.Va>0,g(a)<g(a+l)D.X/a>0,"eN*,g(a")=〃g(a)

23.(多选题)已知定义在(0,+")上的函数满足：对Vx,ye(O,M),都有/(孙)=/(x)+/(y),贝U

对于Vx,yw(O,y),〃eN*,下式成立的有()

A./(x+y)=/(x)/(y)B.,。="司-/3

C./(%")=«/1(%)D./(五)=/(无)

24.(2024.山西临汾.三模)已知函数“X)的定义域为R,且/(x+y)+/(x—y)=/(x)/(y),/(1)=1,

贝厅(2024)=一

25.已知函数/")的定义域为R,且/(x+y)+/(x-y)=2/(x)/(y),/(0)=1,请写出满足条件的一个

〃x)=—(答案不唯一).

/、/、/(0.5)/(I)/(0.5n)-*

26.已知函数y=/(x),xeR,且“0)=2,了⑼=2)(05)=工…7(05("1))="""，则函数

y=/(力的一个解析式为.

27.(2024・高三.江苏扬州.开学考试)写出满足/(x-y)=/(尤)+/3-2到的函数的解析式.

28.(2024・高三・河南•开学考试)已知函数/(x)满足：①对V机，力>0,/(，〃)+/(")=f(aw)；②

=T.请写出一个符合上述条件的函数/(x)=—.

29.已知函数y=/(x),xeR,且〃。)=2,3=2,温J=2,…，/血/尸,〃入，

则满足条件的函数/(无)的一个解析式为—.

30.若函数/⑺满足V.yeRJ(孙)=〃x)〃y),写出一个符合要求的解析式/(尤)=.

31.同时满足下列两个条件：①/(/)="(可力>()；②[〃石)一〃无2)](%-%)>。的函数可以为

重难点突破01抽象函数模型归纳总结

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳总结.................................................................3

题型一：一次函数模型..........................................................................3

题型二：二次函数模型..........................................................................4

题型三：幕函数模型............................................................................4

题型四：指数函数模型..........................................................................5

题型五：对数函数模型..........................................................................5

题型六：正弦函数模型..........................................................................6

题型七：余弦函数模型..........................................................................6

题型八：正切函数模型..........................................................................7

03过关测试.....................................................................7

亡法牯自与.柒年

//\\

一次函数

⑴对于正比例函数/(%)=依(4#0),与其对应的抽象函数为/(x±y)=/(x)±/(y).

(2)对于一次函数/(%)=日+可左#0),与其对应的抽象函数为了(尤士y)=/(x)±/(y)干》.

二次函数

(3)对于二次函数/(%)=依2+Jx+c(a彳0),与其对应的抽象函数为

f(x+y)=f(x)+f(y)+2axy-c

塞函数

(4)对于嘉函数/(尤)=%",与其对应的抽象函数为〃肛)=/(x)/(y).

M/W

(5)对于幕函数/(%)=xn,其抽象函数还可以是了=

<y)〃y)

指数函数

(6)对于指数函数/(%)=",与其对应的抽象函数为/(x+y)=/(x)/(y).

(7)对于指数函数/(%)=优，其抽象函数还可以是/(x—丁)=彳］.

其中(〃>0,QWl)

对数函数

(8)对于对数函数/(x)=log〃x,与其对应的抽象函数为/(盯)=/(x)+/(y).

(9)对于对数函数/(X)=log/,其抽象函数还可以是/：=/(%)-/(y).

(10)对于对数函数/(x)=log/,其抽象函数还可以是/(x')=d(x).

其中(Q>0,QW1)

三角函数

(11)对于正弦函数〃%)=sinx,与其对应的抽象函数为/(x+y)/(x—丁)=产(%)—尸什)

注：此抽象函数对应于正弦平方差公式：sin2cr-sin2/?=sin(6/+/?)sin(6/-^)

x+y

(12)对于余弦函数〃x)=cosx,与其对应的抽象函数为“%)+〃y)=2/

22

注：此抽象函数对应于余弦和差化积公式：cosa+cos尸=2cos~~~~cos

(13)对于余弦函数/(x)=cosx,其抽象函数还可以是/(力/")=3[/"+田+/卜—y)]

cos(cr+/?)+cos(cr-/?)

注：此抽象函数对应于余弦积化和差公式：cosacos分=

2

(14)对于正切函数/(%)=tarn;,与其对应的抽象函数为7•(%土y)=1c

注：此抽象函数对应于正切函数和差角公式：tan(a±0=tana±tan.

1+tanortan/?

题型一：一次函数模型

【例1】已知/(x+y)=/(x)+/(y)—l且"1)=2,贝叶⑴+/(2)+L+/(〃)不等于

A./(l)+2/(l)+L+硬⑴B.f+n-l

万n2+3〃n/,

C.---D.几

【答案】C

【解析】Q/(x+y)=/(x)+/(^)-l,.•./(x+y)-l=[/(x)-l]+[/(y)-l],

构造函数g(x)=/(x)—l,则g(x+y)=g(x)+g(y),旦g(l)=/⑴—1=1,

令%=g(w)=/(九)一1，则q=/(l)T=l,

令％=",y=l,得g(“+l)=g(〃)+g⑴，

an+l=。〃+4=。“+1，即an+l~an=1，

所以，数列｛〃〃｝为等差数列，且首项为1,公差为1,.=1+(〃-1)x1=%

f｛n)-\=n,贝!=〃+

2

〃/l)、+〃/2、)+L+"〃/)、=2+3+L+(/〃+1、)=，〃(2+〃_+1)2=〃(几+3)n+3n，

(、/、/、n(n-\\+/、n(n-\\/、n(n-i\n2+3n人▼匚工打

f(i)+2/(i)+L+^(i)—==合乎题意;

H(H+1)n(n+i)"+3〃

+n—1\』+〃T=一-一，合乎题思;

2

故选D.

【变式1-1】已知函数/（无）的定义域为R,且/弓卜°，若/（x+y）+f（x）/（y）=4D,则下列结论错误的

D.函数/?是减函数

是偶函数

【答案】A

【解析】对于A,令x=jk。，则有d，+/gjx〃O）=dJ［l+〃O）］=O,

又/6/。，故1+/（。）=0,即/（0）=-1,

1

令了=；、、=-：，则有了4x-x

2

即/⑼+了3了T，由/（0）=-1,可得了0,

乂故4-£|=。，故A正确；

对于C,令y=-g，贝第（x-J+〃x）/U=4xx（-J,

贝=故函数一是奇函数，故C错误；

对于D,W/^+1_=-2（x+l）=—2,x—2,g|J/=—lx-2,

则函数/［x+gj是减函数，故D正确；

对于B,由一；］=-2x,令无=1,W/Q^=-2xl=-2,故B正确.

故选：C

【变式1-2］（2024•河南新乡•一模）已知定义在R上的函数/（尤）满足Vx,yeR,

f（2xy-l）=/（x）-f（y）+f（y）+2x-3,/（0）=-1,则不等式/'（x）>3-2氏的解集为（）

A.(l,+oo)B.(-l,+oo)C.(-8,1)D.(-oo,-l)

【答案】B

【解析】令尤=y=0,/(-I)=/(0)-/(0)+/(0)-3--3.

令产。,得/(T)=/(元)f(0)+/(0)+2x-3,解得f(x)=21,

贝U不等式/(X)>3-2,转化为2尤+2*-4>0,

因为，=2x+2'-4是增函数，且2xl+2i-4=0,

所以不等式/«>3-2'的解集为(1,+®).

故选：A

【变式1-3】已知定义在R上的单调函数/(%),其值域也是R,并且对于任意的x,yeR,都有

/H(y))=个，则/(2022)1等于()

A.0B.1C.20222D.2022

【答案】C

【解析】由于/⑺在R上单调，且值域为R,则必存在为eR,使得〃%)=1,

令y=x>得,f(V(y0))=^y0,即/(x)=%x,

于是V尤,yeR,/H(y))=f3oy)=%3oy)=y：^=Ay,则%=±1,

从而〃x)=±x,有V(2022)=2022.

故选：D

题型二：二次函数模型

[例2](2024•高三•河北保定•期末)已知函数/(x)满足：Vx,yeZ,

」(x+y)=/(x)+/(y)+2»+l成立,且〃-2)=1,贝4(2〃)(〃eN*)=()

A.4几十6B.8n-lC.4n2+2n-lD.8n2+2n-5

【答案】A

【解析】令尤=y=o,则/(o)=/(o)+/(o)+i,所以〃0)=—1,

令x=yr贝0/(一2)=/(—1)+/(—1)+2+1=2/(—1)+3=1,

所以/(T=T，

令x=l,y=T,则/(0)=/(1)+/(-1)-2+1=/。)—2=—1,所以"1)=1,

令x=〃,y=l,〃eN",贝=/(〃)+/(1)+2/1+1=f(n)+2n+2,

所以小+1)-*”)=2〃+2,

则当“22时，f(n)-f(n-l)=2n,

则/(")=〃")一〃"T)+〃"T)一〃九一2)+…+〃2)—+

=2n+(2n-2)+---+4+l=^2，i+^W-^+l=M2+n-l,

当〃=1时，上式也成立，

所以/(〃)="2+〃-K〃eN*),

所以/(2zj)=4/z2+2〃—1(〃eN*).

故选：C.

【变式2-1](2024•山东济南•三模)已知函数〃尤)的定义域为R,且才(》)-W(，)=孙卜-y),则下

列结论一定成立的是()

A./(1)=1B./(x)为偶函数

C./")有最小值D./(X)在[0』上单调递增

【答案】A

【解析】由于函数“X)的定义域为R,且才⑴-犷(y)="(x-y),

令y=i,则/⑺-犷⑴=x(x-i),得〃同=尤2+[/⑴_i]尤，

x=l时，/■⑴=产+[/。)一1]恒成立，无法确定/⑴=1,A不一定成立；

由于"1)=1不一定成立，故〃尤)=尤2+[〃1)-1卜不一定为偶函数，B不确定；

由于〃同=/+"⑴-l]x的对称轴为x=与[0』的位置关系不确定，

故/(%)在[0,1]上不一定单调递增，D也不确定，

由于〃尤)=炉+"⑴-l]x表示开口向上的抛物线，故函数/(无)必有最小值，C正确，

故选：C

【变式2-2](2024•陕西西安•模拟预测)已知函数/(x)的定义域为R,且满足

/(X)+f(y)=/(-X+y)-2xy+2,/(I)=2,则下列结论正确的是()

A./(4)=12B.方程/(x)=x有解

C./(x+g)是偶函数D.是偶函数

【答案】A

【解析】对于A,因为函数/5)的定义域为R,且满足f(x)+/(y)=/(x+y)-2q+2，Al)=2,

取x=y=l,得+/•⑴=/(2)-2+2,则/(2)=4,

取x=y=2,得/(2)+/(2)=/(4)—8+2,则"4)=14,故A错误；

对于B,取》=1,得/(x)+/(l)=f(x+l)-2x+2,贝|/(x+l)-/(x)=2x,

所以〃x)-f(x-1)=2(x-l),/(x-1)-f{x-2)=2(x-2),-,/(2)-/(I)=2,

以上各式相加得/(X)_/⑴」2(x_1)；2].(x_1)=:7,

所以/(x)=x2-x+2,

f(x)=X2-x+2=X,得％2_2%+2=0,此方程无解，故B错误.

对于CD,由B知/(x)=x2-x+2,

所以/[x+；[=[x+g：_1x+；]+2=x2+：是偶函数，

=(尤-g]-(x-；)+2=x2-2x+?不是偶函数，故C正确，D错误.

故选：C.

【变式2-3](2024•河南•三模)已知函数满足：/。)23,且V元,yeR,

9

/(x+y)=/(x)+/(y)+6xy,贝U£/(。的最小值是()

1=1

A.135B.395C.855D.990

【答案】A

【解析】由/(x+y)=/(x)+/(y)+6孙，得〃x+y)-3(x+y)2=/(x)-3/+/()；)-3y:令

g(%)=f(x)-3x2,得g(x+y)=g(x)+g(y),

令x=",y=l,得ge+i)_g(〃)=g⑴，

故g(〃)=[g(〃)_g(〃T)]+[g(〃T)_g(〃_2)]+--+|^2)_g(l)]+g(l)=〃g(l),又g⑻=/(〃)-3〃2,

所以/'(")=g(")+3"=3〃2+[/(1)一3]",

9999

所以2〃i)=3Z『+[〃i)_3]£i=855+45[〃l)-3],因为〃1)23,当〃1)=3时,Z〃力)的最小值

f=l1=1Z=1Z=1

为855.

故选：C.