2025年新高考数学一轮复习：直线、平面平行的判定与性质（八大题型）（练习）（学生版+解析）

第03讲直线、平面平行的判定与性质

目录

01模拟基础练..................................................................2

题型一：平行的判定.............................................................2

题型二：线面平行构造之三角形中位线法...........................................3

题型三：线面平行构造之平行四边形法.............................................4

题型四：利用面面平行证明线面平行...............................................5

题型五：利用线面平行的性质证明线线平行.........................................6

题型六：面面平行的证明.........................................................8

题型七：面面平行的性质.........................................................9

题型八：平行关系的综合应用....................................................10

02重难创新练.................................................................11

03真题实战练.................................................................16

题型一：平行的判定

1.（多选题）（2024•辽宁•模拟预测）己知名月是两个不同的平面，/,根是两条不同的直线，则（）

A.若lua,mu/3,a//J3,则〃B.若m〃l,m〃a,laa,贝！|/〃

C.若a_L尸,，"ua,则m_1_尸D.若ILa,m〃l,mu0,则a_L/7

2.（多选题）如图，在长方体ABC。-中，点M，N,E,尸分别在棱A4，A.,B£,GR上,

且平面AACV〃平面EEDB,下列结论正确的是（）

DiF

'C

A.MNEFB.EF//BD

C.AN//DFD.BE〃平面AAW

3.（多选题）已知直线/，加，平面。，尸，则下列说法错误的是（）

A.mlH,Hla,则帆//or

B.Z///?.m///?,Z<=a,m<=<z,则（Z〃，

C.II0,则a///

D.111fl,mlIf!,lua,mua,l\rn=M,贝［］a〃4

4.设a、夕是两个平面，m、”是两条直线，且=下列四个命题:

①若〃z//〃，则〃〃<z或〃〃尸②若〃zJ_w,贝1|"_Lor,"J_夕

③若"〃a,且〃〃乃，贝！］④若"与a和4所成的角相等，贝队"_1_"

其中所有真命题的编号是（）

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

题型二：线面平行构造之三角形中位线法

5.(2024•新疆昌吉•高三校考学业考试)如图，在正方体中，E是棱。。的中点.

(1)证明：平面A£C；

(2)若正方体棱长为2,求三棱锥。-AEC的体积.

6.(2024•黑龙江大庆•统考二模)如图所示，在正四棱锥尸-ABCD中，底面的中心为O,PD边

上的垂线BE交线段尸。于点区PF=2FO.

(1)证明：EO〃平面PBC；

7.如图，四棱锥尸—ABCO中，四边形ABC。为梯形，AB//CD,ADJ.AB,AB=AP=2DC=4,

PB=2AD=4垃,PD=2娓,M,N分别是PD,尸2的中点.

(1)求证：直线MN//平面ABC£)；

题型三：线面平行构造之平行四边形法

8.《九章算术》是我国古代数学专著，书中将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称为“垫堵”.如

图，在垫堵A3C—A31G中，已知AC=3C,且点Af,N,尸分别是A3,AG,5c边的中点.

⑴求证：C/〃平面肱VC；

9.(2024•天津滨海新•高三校考期中)如图，四棱锥尸-ABCD的底面是菱形，平面上底面AB8,

E,尸分别是AB,PC的中点，AB=6,DP=AP=5,ABAD=60°.

(1)求证：E尸〃平面PA。；

TT

10.如图，四棱台ABCD-E尸GH的底面是菱形，且ZBAO=§,DH_L平面ABCD,EH=2,0/7=3,AD=4.

(1)求证：AE〃平面5DG；

(2)求三棱锥尸-BZX7的体积.

题型四：利用面面平行证明线面平行

11.(2024•全国•模拟预测)如图，在多面体ABCDMP中，四边形A38是菱形，且有NDAB=60。,

AB=DM=1,尸3=2,尸3_1_平面ABCZ>,PB//DM.

(1)求证：A"//平面尸BC；

12.(2024•江西赣州•统考模拟预测)如图，在三棱柱ABC-4局G中，侧面的。。是矩形，侧面

是菱形，ZB,BC=60,D、E分别为棱43、8£的中点，下为线段QE的中点.

(1)证明：A尸〃平面AQE；

13.（2024•上海•模拟预测）直四棱柱A8CD-44G2，ABDC,AB±AD,48=2,AD=3,DC=

题型五：利用线面平行的性质证明线线平行

14.(2024•广东•三模)如图，边长为4的两个正三角形ABC,BCD所在平面互相垂直，E,尸分别为3C,

C。的中点，点G在棱AD上，AG=2GD,直线43与平面EFG相交于点H.

⑴证明：BD//GH；

15.如图，在三棱柱ABC-44G中，AC=BC，AC=AB,侧面BBCC为矩形.

(1)记平面Aj8G与平面A8C交线为/,证明：AC//Z；

16.如图，在四棱锥尸—ABCO中，AB=BD=BP=下,PA=PD=^2,NAP£>=90。，E、尸分别是棱

PA,AD的中点，且8Er〃平面尸CD.证明：BF//CD.

17.如图，空间六面体ABCDEFGH中，AD//BC,EH//FG,平面ABCD〃平面£FGH,C£)HG为正方形,

求证：AE//BF；

题型六：面面平行的证明

18.(2024•江西鹰潭•模拟预测)如图，在四棱锥尸-ABCD中，PA=3,AB=2,四边形ABCD为菱形,

JT.

ZABC=-,以，平面ABC。，E,F,。分别是8C,PC,的中点.

(1)证明：平面跖0//平面尸.；

19.(2024•陕西安康•模拟预测)如图，在圆台。。中，AAB均为轴截面，AB=2A4=4,NAA8=6。，C

为下底面圆周上一点，斤为下底面圆。内一点，AE垂直下底面圆。于点E,/COF=/ER9.

(1)求证：平面Q0C〃平面AEF；

20.如图，在六面体A5cDE厂中，DE//CF,四边形ABCD是平行四边形，DE=2CF.

(1)证明：平面ADE//平面BCF.

(2)若G是棱3c的中点，证明：AE//FG.

21.如图，在正方体中，M,N分别是A3,A。的中点，AB=2.

(1)若4/中点为。，求证：平面MNQ〃平面AAD；

⑵求点C到平面ABD的距离.

题型七：面面平行的性质

22.如图，在正方体中，作截面E/G/7(如图)交G。，A.B,,AB,8分别于E,F,

G,H,则四边形E尸GH的形状为()

A.平行四边形B.菱形C.矩形D.梯形

23.（2024•全国•模拟预测）设机,〃是两条相交直线，。，乃是两个互相平行的平面，且"〃夕，贝广加//"

是“加//尸”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

24.已知正方体平面MC与平面的交线为/,贝U（）

A.1〃ADB.1//B.Dc.I〃C\DD.I〃DQ

题型八：平行关系的综合应用

25.如图所示，在棱长为1的正方体ABC。-A百GR中，点耳尸分别是棱BC,CG的中点，尸是侧面水夕瓦

内一点，若AP〃平面AE尸，则线段AP长度的取值范围是（）

3A/2叵D.[/，君]

4FC.

26.（2024•贵州•模拟预测）在三棱锥中，AC_L平面88,尸是43上一点，且3AB=43尸，连

接CP与D尸，。为。尸中点.

⑴过。点的平面平行于平面皿且与交于点M，求需

27.（2024•湖南长沙•三模）如图，在四棱锥尸-ABCD中，X4JL平面ABCD,24=2,底面ABCD为

直角梯形，ABAD=90°,AB=2,CD=AD=X,N是尸8的中点，点V,。分别在线段尸£）与”上，且

DM=AMP.AQ=juQP.

(1)若平面粉V。〃平面ABC©,求;I、M的值;

2

⑵若MQ〃平面P8C,求匕的最小值.

A

28.如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABC。是矩形，点分别在棱AB,尸。上，其中E是A3的中点,

连接ME.

(1)若M为PC的中点，求证：ME//平面PAD；

⑵若ME〃平面B4D,求点〃的位置.

1.(2024•四川•模拟预测)设《能为两条不同的直线，％,%为两个不同的平面，下列说法正确的是()

A.若4〃4,lj/ax,则/"/4

B.若，1，，2与生所成的角相等，则4//，2

Z//，2

C.若名2a2,则4,

D.若%_L_L,4，％，则/1，，2

2.（2024•四川乐山•三模）在三棱柱A5C-44G中，点。在棱3片上，且与旦=3a）,点"在棱AC上，

NB

且M为AG的中点，点N在直线5片上，若MN〃平面ADG，则徜=（）

IV鸟

A.2B.3C.4D.5

3.（2024•山东•二模）《蝶恋花・春景》是北宋大文豪苏轼所写的一首词作.其下阙为：“墙里秋千墙外道，

墙外行人，墙里佳人笑，笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼”.如图所示，假如将墙看作一个平面，墙外的道

路、秋千绳、秋千板看作是直线.那么道路和墙面线面平行，秋千静止时，秋千板与墙面线面垂直，秋千绳

与墙面线面平行.那么当佳人在荡秋千的过程中，下列说法错误的是（）

A.秋千绳与墙面始终平行

B.秋千绳与道路始终垂直

C.秋千板与墙面始终垂直

D.秋千板与道路始终垂直

4.已知平面。，力和直线加，〃,若加ua,nca,则“m//尸,〃〃尸”是“a〃夕”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.（2024•陕西商洛•模拟预测）如图，正三棱柱43C-A4G的底面边长是2,侧棱长是2百，M为4G

的中点，N是侧面BCC4内的动点，且〃平面A8G，则点N的轨迹的长度为（）

G

A.V6B.2C.72D.4

6.（2024•贵州黔东南•二模）平面a过直三棱柱ABC-A4G的顶点用，平面。//平面ABC-平面々

平面即GC=，，且招二相;如，AB±BC,则A?与/所成角的正弦值为（）

A.@B.变C.-D.B

2223

7.（2024•内蒙古•三模）设a,夕是两个不同的平面，m,/是两条不同的直线，且a用=/贝「机/〃”

是“优///且〃2//”的（）

A.充分不必要条件B.充分必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

8.（2024•江西•二模）已知正方体ABCD-的棱长为4,点M满足C.M=3MC，若在正方形A与GR

内有一动点尸满足BP〃平面AM2,则动点尸的轨迹长为（）

A.4B.V17C.5D.4A/2

9.（多选题）（2024啧州贵阳•二模）设a,6,7是三个不同的平面，友c是两条不同的直线,在命题“ap=b,

cuy,且__________.则b〃c”中的横线处填入下列四组条件中的一组，使该命题为真命题，则可以填入

的条件有（）

A.a//B.b//Y,c//P

C.c〃/3,buyD.a//Y，c//p

10.（多选题）（2024•河南新乡•三模）已知明"，/为空间中三条不同的直线，a,p,7为空间中三个

不同的平面，则下列说法中正确的是（）

A.若=则

B.若加ua,〃（za,则加与"为异面直线

C.若acB=l,/3cy=ca=n,且/m=P,贝

D,若加」〃7,则夕//[

11.（多选题）（2024•全国•模拟预测）在四棱锥尸-ABCD中，已知底面A8CD为正方形，平面R4B、

平面尸AD都与平面ABCD垂直，P4=2AB=2,点S,T分别为PAP。的中点，点E在棱尸C上，贝U（）

A.四边形BCTS为等腰梯形

B.不存在点E,使得SE〃平面比）7

C.存在点E,使得AOE

D.点石到5。两点的距离和的最小值为我

6

12.（2024•西藏拉萨•二模）如图，正四棱锥尸-ABCD的所有棱长都为2,E为尸C的中点，/是底面ABCZJ

内（包括边界）的动点，且EM〃平面E4B,则长度的取值范围是.

p

£

A

13.（2024•浙江•模拟预测）三棱锥A-3co的所有棱长均为2,E,尸分别为线段BC与的中点，M,

N分别为线段AE与CF上的动点，若MN//平面A8O,则线段长度的最小值为

14.（2024•浙江宁波•一模）在棱长均相等的四面体ABCD中，尸为棱AD（不含端点）上的动点，过点

A的平面&与平面PBC平行.若平面a与平面平面A8的交线分别为以"，则列〃所成角的正弦值

的最大值为.

15.（2024•四川达州•二模）如图，在直角梯形中，AD//BC,AB^BC,AB=3,BC=2AD=4,把

梯形ABCD绕AB旋转至ABCR,E,F分别为AB,CC,中点.

⑴证明:所〃平面C7AA；

7T

⑵若ZDADt=-,求点3到平面CDD£的距离.

16.（2024•内蒙古赤峰•三模）如图，在三棱台中，和VABC都为等边三角形,

且边长分别为2和4,CG=2,NACG=N8Ca=90o,G为线段AC的中点，H为线段3c上的点,

\BH平面GGH

(1)求证：点X为线段BC的中点;

(2)求三棱锥3-A1A〃的体积.

17.(2024•西藏拉萨•二模)如图，在四棱台A8CD-44GR中，平面ABCA,两底面均为正方

形，AB=D1D=4,AiB1=2,点E在线段8。上，且上=3£».

(1)证明：RE//平面ABC；

(2)求点用到平面ABq的距离.

18.(2024•陕西榆林•二模)如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面四边形是边长为亚的正方形,

AC与BD交于点O,底面ABC。，侧棱与底面所成角的余弦值为巫.

⑴求。到侧面的距离；

(2)若E为BC的中点，尸为尸。的中点，证明：跖//平面A2P.

㈤3

I1真题实战练\\

1.(2024年北京高考数学真题)如图，在四棱锥尸-ABCO中，BC//AD,AB=BC=\,A£>=3,点E在

A少上，且PE=DE=2.

(1)若歹为线段PE中点，求证：8尸〃平面PCD.

2.（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）如图，ABI/CD,CD//EF,AB=DE=EF=CF=2,

CD=4,AD=BC=y/lO,AE=2百，"为8的中点.

(1)证明：EN//平面3C厂;

⑵求点V到AT比的距离.

3.（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）如图，在以A,B,C,D,E,尸为顶点的五面体中，四边形

ABC。与四边形ADEF均为等腰梯形，EF//AD,BC//AD,AD=4,AB=3C=EP=2,ED=M,FB=2«,

M为AD的中点.

（1）证明：氏W//平面C£）E；

4.（2024年天津高考数学真题）已知四棱柱ABCD-4月G2中，底面ABCD为梯形，AB//CD,44,平

面ABCZ),ADJ.AB,其中AB=A4,=2,AD=DC=1.N是4G的中点，/是D"的中点.

（1）求证AN〃平面C4M；

5.（2024年新课标全国I卷数学真题）如图，四棱锥尸-ABCD中，底面ABC。，PA=AC=2,

BC=I,AB=6.

p

(1)证明：£F〃平面ADO；

8.(2023年天津高考数学真题)如图，在三棱台ABC-44G中，平面

ABC,AB±AC,AB=AC=A^=1,^=1,〃■为3C中点.，N为A2的中点,

(1)求证：4N//平面AMG；

(3)求点C到平面AMG的距离.

9.(2022年新高考全国II卷数学真题)如图，尸。是三棱锥尸-ABC的高，PA=PB,AB工AC,E是PB

的中点.

⑴证明：OE7/平面PAC；

10.（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包

装盒如图所示：底面A3CD是边长为8（单位：cm）的正方形，EAB^FBC,GCD,HDA均为正三角形，

且它们所在的平面都与平面A5co垂直.

（1）证明：跖〃平面AB8；

（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）.

第03讲直线、平面平行的判定与性质

目录

01模拟基础练..................................................................2

题型一：平行的判定.............................................................2

题型二：线面平行构造之三角形中位线法...........................................3

题型三：线面平行构造之平行四边形法.............................................4

题型四：利用面面平行证明线面平行...............................................5

题型五：利用线面平行的性质证明线线平行.........................................6

题型六：面面平行的证明.........................................................8

题型七：面面平行的性质.........................................................9

题型八：平行关系的综合应用....................................................10

02重难创新练.................................................................11

03真题实战练.................................................................16

题型一：平行的判定

1.（多选题）（2024•辽宁•模拟预测）已知a,月是两个不同的平面，/,根是两条不同的直线，则（

A.若Iua,inu/3,a〃/3,则/〃机B.若m〃l,m〃a,laa,贝

C.若则D.若ILa,m〃/,mu0,则a_L£

【答案】BD

【解析】对于A项，若lua,mu/3,a〃/3,贝心〃根或/与机异面，A项错误；

对于B项，因为〃〃/6z,则maue,7〃〃a,且7找〃/,可得

又因为aua,/<za,所以/〃ar,B项正确；

对于C项，当tz_L/?,〃zua时，加_1■尸或机//月或〃zu6或机与尸相交，C项错误；

对于D项，若1La,m〃I,则〃?J_a,又mu0,所以a_L6，D项正确.

故选：BD.

2.（多选题）如图，在长方体ABCO-A8IG2中，点M，N,E,尸分别在棱A耳，ADi-B£,G，上,

且平面AAW〃平面EFDB,下列结论正确的是（）

A.MN\\EFB.EF//BD

C.AN//DFD.跖〃平面4VW

【答案】ABD

【解析】因为平面AMN〃平面£7加8,

平面ABCQi与平面EFDB和平面41W的都相交，MMEF是交线，

所以MNEF,故A正确；

因为长方体ABCO-AQGR,

所以平面ABGR〃平面ABCD,而平面EEDB与这两个平行平面的都相交,

EF,BD是交线,所以所〃①），故B正确，

如图，连接此时平面与平面ABiGA和平面A3CZ）的都相交,

D4,MF是交线，所以ZM〃MF,

而DA〃2A，=Z）［A,

所以MF〃AA，

又因为〃尸〃〃A，

所以四边形26明是平行四边形，

所以板=RA，MF=DA,

所以四边形DM是平行四边形，

所以3尸〃AM,

因为AMAN=A,

所以⑷V与。P不平行，

故C错误；

如图，连接AE,由长方体性质得面BCC内〃面A4,，，

此时平面NEBA与这两个平面的都相交，NA,EB是交线,

所以BE〃AN,

又因为ANu面AMN,BEU面AMN,

所以BE〃平面AMN,

故D正确.

故选：ABD

3.（多选题）已知直线平面名£,则下列说法错误的是（）

A.mlll,llla,则

B.I/1B，m/1B，luajnua,则C〃夕

C.IUm,lua,mu。，贝[]a//?

D.I/1/3jn//）3,1ua,mua,lm=M,则a〃夕

【答案】ABC

【解析】选项A中，机可能在a内，也可能与。平行，故A错误；

选项B中，0与夕也可能相交，故B错误；

选项C中，a与夕也可能相交，故C错误；

选项D中，依据面面平行的判定定理可知a//月，故D正确.

故选：ABC.

4.设口、月是两个平面，相、“是两条直线，且e/3=m.下列四个命题：

①若7或〃“，则〃〃dr或"〃②若〃zJ_7z,则"J_a,nV/3

③若且〃〃/，贝！]〃〃/“④若"与。和£所成的角相等，则相_!_〃

其中所有真命题的编号是（）

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

【答案】A

【解析】对于①：若"ua,因为相〃“，“zu，，贝I」九〃/7,

若nu0,因为7找〃〃，mua,贝5],

若〃不在a也不在户内，因为相〃“，mua,mcz/3,

所以M/c且〃〃夕，故①正确；

对于②：若根，〃，贝产与a,£不一定垂直，也有可能相交但不垂直，故②错误;

对于③：过直线〃分别作平面，与夕分别相交于直线“，直线b,

因为〃//e,过直线〃的平面与平面a相交于直线a,所以〃//a,

同理可得“//》，所以。//b,

因为aua,buB,则a〃夕，因为aua,a\\P=m,则〃//加,

又因为〃//a,则加〃〃，故③正确；

对于④：“与a和夕所成的角相等，则加和〃不一定垂直，比如:

正方体ABCD-4与G2中，平面ABCD，平面ADD^=AD,

DBi与平面所成角为/BQB,

DB,与平面ADD^所成角为/片图，

tan/B\DB=tan.-=——■,

所以/瓦02=/用必，但。耳与仞不垂直，故④错误;

综上只有①③正确.

故选：A.

题型二：线面平行构造之三角形中位线法

5.（2024•新疆昌吉•高三校考学业考试）如图，在正方体ABCD-A4GA中，E是棱。口的中点.

（1）证明：BR//平面AEC；

（2）若正方体棱长为2,求三棱锥D-AEC的体积.

【解析】（1）连接3。交AC于O,连接OE,如图,

因为在正方体A3C。-A旦中，底面ABCD是正方形，则。是3D的中点,

又E是。2的中点，则OE是的中位线，故OEI!BD\,

又OEu面A£C,■BAZ面A£C,所以8口〃平面A£C.

(2)因为正方体ABCD-AqG2中，平面DCG2，

所以%.的=匕-啊=京阻-4)=卜3义0以8"0=卜3以2'2=|.

6.(2024•黑龙江大庆•统考二模)如图所示，在正四棱锥P-ABCD中，底面A8CD的中心为O,PD边

上的垂线BE交线段P。于点RPF=2FO.

(1)证明：石。〃平面尸5G

【解析】(1)证明：如图，延长尸。至点“，使FO=OM,连接MO,

'・•底面ABC。的中心为。，・・・尸01平面458,APO±BD,

'：BO=OD,ZFOB=ZDOM,

:•_FOBWDOM,

.PFPE

:.ZFBO=ZMDO:,FB〃DM,AEF//DM,

f''FM-ED

而PF=2尸O=FM,：.PE=ED,：.EO//PB,

•・•尸5u平面P5C,石。0平面尸5C,.I石。//平面尸BC；

M

7.如图，四棱锥P—ABCD中，四边形ABC。为梯形，AB//CD,ADJ.AB,AB=AP=2DC=4,

PB=2AD=4五,PD=2瓜M,N分别是尸。，P5的中点.

D

c

(1)求证：直线MN//平面ABC。；

【解析】(1)连接3，M,N分别是尸。，尸5的中点.

/.MN//BD,

又二肱V(Z平面ABCD,BDU平面ABCD

「•直线MN//平面ABCD

题型三：线面平行构造之平行四边形法

8.《九章算术》是我国古代数学专著，书中将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称为“垫堵”.如

图，在垫堵ABC-AAG中，已知AC=3C,且点M,N,P分别是AB,AG,BC边的中点.

(1)求证：GP//平面MVC；

【解析】连结MP,因为M,P分别是4B,BC的中点,

所以MP〃AC,^.MP=-AC,

2

因为点N是AG的中点，所以NCJ/AC,且NG=《AC,

所以NCJ/M尸，且NG=M尸，

所以四边形MPGN是平行四边形，

所以GP//MN,

且GPN平面MNC,跖Vu平面MNC,

所以GP〃平面MNC；

9.(2024•天津滨海新•高三校考期中)如图，四棱锥P-ABCD的底面是菱形，平面底面ABCD,

E,F分别是AB,PC的中点，AB=6,DP=AP=5,ZR4D=60°.

(1)求证：EFH平面PAD；

【解析】(1)证明：取尸。中点G,连接46所，因为尸,3分别是「。,尸。的中点，所以尸6〃8,尸3=：。，

又因为底面ABCD是菱形，E是A3的中点，所以AE〃CD,AE=ga»,

所以尸G〃AE,bG=AE,所以四边形的'G是平行四边形，所以跖〃/G,

又EFZ平面PAD,AGu平面PAD,所以EF〃平面MD.

.…7T

10.如图，四棱台ABCD-5FGF/的底面是菱形，且/BAO=1,斯_L平面ABCD,EH=2,DH=3,AD=4.

(1)求证：A£7/平面BOG；

(2)求三棱锥尸-血7的体积.

【解析】(1)连接AC交3。于点。，连接EG,GO,

・-几何体ABCD-E尸GH为四棱台，；.A,C,G,E四点共面，且EGu平面EFG",ACu平面ABCD,

平面EFGH//平面ABCD,EG//AC；

TT

一四边形石/心”和A3co均为菱形，ZBAD=-,EH=2,AD=4,

:.EG=-AC=AO=Zr^3,；.四边形AOGE为平行四边形，/.AE//GO,

2

又GOu平面BPG,AE<Z平面BZ)G,；.AE〃平面80G.

(2)连接GE交FH于K,

Q£>〃_!_平面ABCD,平面ABCD〃平面£FG",:.DH_L平面EFGH,

又GEi平面跳G”,:.GE±DH,

GE工FH,DHcFH=H,DH,FHu平面BDHF,GEJ_平面3DHF；

四边形ER3H为菱形，NFEH=NBAD=gEF=2,;.GK=B

^F-BDG~^G-BDF=§,BDF，GK=jX-x4x3xA/3=2A/3.

题型四：利用面面平行证明线面平行

11.（2024•全国•模拟预测）如图，在多面体ABCDMP中，四边形A3CD是菱形，且有NZMB=60。,

AB=DM=1,PB=2,P8_L平面ABCD,PB//DM.

（1）求证：AM//平面PBC；

【解析】（1）因为四边形A3CD是菱形，

所以AD〃BC,

又ADN平面P3C,3Cu平面尸3C,

所以AD〃平面P3C,

因为JPB〃DM,Mu平面PBC,DMZ平面尸BC,

所以DM//平面P3C,

又因为ADI=">,MDu平面,

所以平面ADA/〃平面PBC,

又AMu平面AMD,

所以A"//平面P3C.

12.（2024•江西赣州•统考模拟预测）如图，在三棱柱ABC-AAG中，侧面441GC是矩形，侧面3BCC

是菱形，ZB,BC=60,。、E分别为棱48、4G的中点，尸为线段GE的中点.

A

（1）证明：AF〃平面

【解析】（1）证明：取AG的中点〃，连接AM、EM、FM,

因为招//24且9=84,故四边形为平行四边形，所以，AB//A旦且AB=4月，

因为。为43的中点，则AD〃A与且=与，

因为“、E分别为4G、的中点，所以，EM//4用且£70=^44,

所以，AD〃砚T且AD=EM,故四边形ADEM为平行四边形，所以，AM!IDE,

因为平面，DEu平面AQE,所以，AM〃平面4。石，

因为“、尸分别为4G、GE的中点，所以，FM//A.E,

因为平面ADE,AEU平面A。后,所以，FM〃平面

因为=AM,HV/u平面A™,所以，平面〃平面

因为AFu平面A/加，故AF〃平面

13.（2024•上海•模拟预测）直四棱柱A3CD-ABC。］,ABDC,ABLAD,AB=2,AD=3,DC=4

（1）求证：AB〃面DCCQ；

【解析】（1）由题意得A4/RD，AB//CD,

4442<2平面。。。，。0,0）匚平面20）,

AtA//平面DXCD,ABH平面DXCD

而4AAB=A,，平面AA8〃平面2cO,

又・，43u平面AAB,.•.AB〃平面DCCQ

题型五：利用线面平行的性质证明线线平行

14.（2024•广东•三模）如图，边长为4的两个正三角形A3C,38所在平面互相垂直，E,P分别为

BC,。的中点，点G在棱AD上，AG=2GD,直线AB与平面ERG相交于点H.

⑴证明：BDHGH；

【解析】（1）因为E、P分别为BC、。的中点，所以EF//BD,

又500平面£FG,EFu平面£FG,则BD〃平面跳6,

又BDu平面平面ABDc平面EBG=GH,所以BD//GH.

15.如图，在三棱柱ABC-44G中，AC=BC,AiC=AlB,侧面8片C。为矩形.

（1）记平面与平面A3c交线为/,证明：AC//1；

【解析】（1）因为在三棱柱ABC-430]中，AC//AQ,

由于AC<z平面ABC，4Gu平面A^G，

所以AC//平面ABC1，

又因为ACu平面A3C,平面ABC,平面ABC|=/,

所以ACV〃

16.如图，在四棱锥尸—ABCD中，AB=BD=BP=5PA=PD=y[i,ZAPD=90°,E、/分别是棱外,

AZ）的中点，且BE〃平面PCD.证明：BF//CD.

【解析】连接。，如图,

.；E、产分别是24、AD中点，

，£产为△”口中位线，EFIIPD.

£歹O平面PDC,PDu平面PDC,：.EFH平面PCD.

又：3£7/平面PCD,BEEF=E,BE,EFu平面EFB,

二平面EFBH平面PCD.

又,/平面ABCD1平面EFB=BF,平面ABC。「平面PCD=CD,：.BF//CD.

17.如图，空间六面体ABCDEFG〃中，AD//BC,EH//FG,平面ABC。//平面EFG〃,COHG为正方形,

求证：AEHBF；

B

【解析】因为AD//3cAOu平面BCGfBCu平面BCGb,

所以AD//平面3CGF.

又因为CDHG为正方形，则HD//CG,

且HDa平面BCGF,CGu平面BCGF,可得HD//平面BCGF.

ADc/TO=D,ADu平面AOHE,m)u平面ADHE,

所以平面ADHE11平面BCGF.

且平面ADHEc平面ABFE=AE,平面3CG/c平面ABFE=3厂,

所以AE//郎.

题型六：面面平行的证明

18.（2024•江西鹰潭•模拟预测）如图，在四棱锥尸-ABCD中，"1=3,AB=1,四边形488为菱形,

TT

ZABC=-,PA^^ABCD,E,F,Q分别是BC,PC,尸。的中点.

P

⑴证明：平面EF。//平面aB；

【解析】（1）因为四边形ABCD为菱形，所以AB〃CD,

又E,F,。分别是8C,PC,PO的中点，

所以FQ//CD,EF//PB,故网2//AB,

因为EFO平面上4B,PBu平面上4B,

所以所〃平面同理可得尸Q〃平面

因为£FcbQ=F,EF,尸Qu平面EF。，

所以平面EF。〃平面R4B.

19.（2024•陕西安康•模拟预测）如图，在圆台。。中，AAB瓦为轴截面，AB=2A4=4,，AA8=60,C

为下底面圆周上一点，斤为下底面圆。内一点，4E垂直下底面圆。于点E,NCOF=/ER9.

C

（1）求证：平面O0C//平面A]EF；

【解析】（1）证明：由于&E垂直下底面圆。，

故AE〃OQ，AE=OQ,

OO]U平面O0C,4后<2平面0[0<^,所以AE〃平面OQC

又ZCOF=ZEFO,所以OC//EF,

OCu平面O0C,平面O0C,所以FEV/平面O0C

AEAEF=E，AE,EFu平面A,EF，所以平面O0C//平面AE尸

20.如图，在六面体ABCDE户中，DE//CF,四边形ABCD是平行四边形，DE=2CF.

(1)证明：平面ADE//平面尸.

(2)若G是棱BC的中点，证明：AE//FG.

【解析】(1)由，ABCD,得3C/MD,而ADu平面AED,BCu平面平面AED,则BC〃平面ABD,

由DE//CF,。尸。平面AED,DEu平面AED,得CF〃平面AED,

又BCcCF=C,BC,CFu平面BCF,所以平面ADE//平面BCF.

(2)延长所,AG与0c的延长线分别交于点a，

由DE//CF,DE=2.CF,得CO]=CD,由,G是棱8C的中点，C02=CD,

因此点。”。2重合，记为O,显然平面AOEc平面=平面AOEc平面3c尸=FG,

由(1)知，平面ADE//平面3c/，所以AE7/尸G.

21.如图，在正方体ABCD-A4CQ1中，M,N分别是AB,AC的中点，AB=2.

（1）若中点为Q,求证：平面MNQ〃平面A|A£）；

（2）求点C到平面48。的距离.

【解析】（1）为AB的中点，〃是A3的中点，...M。〃的，

又MQC平面4AO,A4tu平面AAO,，知。〃平面AA。，

：N是AC的中点，。为A田的中点，.•."〃"？，

,?BC//AD,QN//AD,

•••QNC平面A，AD,Mu平面AA。，二。"〃平面AA。，

QN,MQl平面MNQ,NQMQ=Q,.•.平面MAQ〃平面

（2）根据题意可得AQ=BD=A3=2直，

•••S摩=；x2&x20x*=2。

SBCD=-X2X2=2,

设C点到面的距离为无，

根据等体积法匕一ABD=%TS可得;SBDAi-h=^SBCD'M，

：.-x2y/3h=-x2x2,解得〃=亚，

333

.•.点C到平面\BD的距离为2叵

3

题型七：面面平行的性质

22.如图，在正方体ABC。-AAG2中，作截面（如图）交CQ,A4,AB,CD分别于E,F,G,

H,则四边形E产的形状为（）

DiEC,

A.平行四边形B.菱形C.矩形D.梯形

【答案】A

【解析】在正方体中，可得平面ABCD〃平面A]B1G2，

且平面EFGH1平面ABCD=GH,平面EFGH1平面A4CQ=EF,

所以EF//GH,同理可证：EH//FG,

所以四边形EFG”的形状一定为平行四边形.

故选：A.

23.（2024•全国•模拟预测）设%"是两条相交直线，名夕是两个互相平行的平面，且九〃夕，贝「加〃0”

是“加//月”的（）

A.充分不必要条件