2025年新高考数学一轮复习：多元函数最值与双重变量最值问题（十三大题型）（学生版+解析）

拔高点突破04多元函数最值与双重变量最值问题

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................2

题型一：消元法..................................................................2

题型二：判别式法................................................................2

题型三：基本不等式法............................................................2

题型四：辅助角公式法............................................................3

题型五：柯西不等式法............................................................3

题型六：权方和不等式法..........................................................3

题型七：拉格朗日乘数法..........................................................4

题型八：三角换元法..............................................................4

题型九：构造齐次式..............................................................5

题型十：数形结合法..............................................................5

题型十一：向量法................................................................5

题型十二：琴生不等式法.........................................................22

题型题型十三：双重变量最值问题.................................................24

03过关测试.....................................................................6

亡法牯自与.柒年

//\\

解决多元函数的最值问题不仅涉及到函数、导数、均值不等式等知识，还涉及到消元法、三角代换法、

齐次式等解题技能.

㈤2

题型归纳与总结

题型一：消元法

【典例1-1】已知正实数无，y满足lnx=ye*+lny,则的最大值为.

【典例1-2】己知实数私〃满足：“泌=伽-1)1陋-1)=9。)，则加党的最大值为-----------.

【变式1-1］对任给实数尤>V>0，不等式x2-2y2<cx(y-x)恒成立，则实数c的最大值为.

题型二：判别式法

【典例2-1】(2024•广东茂名•二模)已知实数a,b满足lga+lgb=lg(a+2b),则。+6的最小值是.

【典例2-2】已知为，£〃，且储+>2+必=1,则b的取值范围是.

【变式2”】(2024・浙江•二模)设氏6£兄，A>0,^a2+Ab2=4,且Q+〃的最大值是百，贝I

Z=.

ax+b

【变式2・2】设非零实数人满足〃2+/=4,若函数y=存在最大值M和最小值徵，则

x2+1

M—m=.

题型三：基本不等式法

【典例3-1］已知V+J+z?=1,则指盯+yz的最小值为.

【典例3-2】已知正实数〃，b,。满足仍+。。+。〃=16323),贝!］2a+b+c的最小值为

【变式3-1】已知无ywR,3%2+y2=3,则4/+孙+的最大值为.

X+Y+]

【变式3-2](2024.河南郑州.模拟预测)己知x>0,y>0,尤+2y=l,则.J的最小值为

2xy

题型四：辅助角公式法

【典例4-1】设A民C是一个三角形的三个内角，则cosA(3sinB+4sinC)的最小值为.

【典例4-2】曲线/+个-/=1上的点到坐标原点的距离的最小值等于—.

【变式4-11已知上一3到+2y2=l(x,yeR),则#+/的最小值为.

题型五：柯西不等式法

【典例5-1】实数x、y满足/+丁=20,则孙+8x+y的最大值是

【典例5-2]函数/(x)=j2020-x+Jx-2010的最大值与最小值之积为

【变式5-1】已知xxzeR,f+V+z?=2,贝i]x+2y+2z的最大值为

【变式5-2]已知尤>0,y>0,—+y2=l,则受x+0y的最大值是—.

42

题型六：权方和不等式法

1Q

【典例6-1】已知。为锐角，则一二+3的最小值为一.

sin0cose

【典例6-2】求尤)=A/尤2-3x+2+j2+3x-尤2的最大值为

【变式6-1】已知x+2y+3z+4〃+5V=30,求x?+2/+3z?+4/+5声的最小值为

【变式6-2](2024・四川•模拟预测)“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名

的.其具体内容为：设例>0,%>0,”eN*,7〃>0,贝IJ

7H+1771+17H+1〉(〃]+%+/++%)

64-2^^3C^3吟时,等号成立.根

------------1--------------1--------------1-尤一何+%+◎+.+〃广,当且仅当

肉惊好瓦b2b3

据权方和不等式，若xe[o,g],当取得最小值时，X的值为()

\)sirixcosx

71兀5兀

A.B.一D.

126n

题型七：拉格朗日乘数法

【典例7-1】x>0,y>0，xy+x+y=17,求X+2y+3的最小值.

ff

Fx=l-Ay-A=O9Fy=2-Ax-A=0,F/=-(xy+x+y)+ll=0,

【典例7・2】设羽y为实数，若4炉+/+孙=i,则2%+y的最大值是.

【变式7-1】已知a,。为非负数,"=/+/,4+沙=1,求”的最值.

题型八：三角换元法

【典例8-1]函数y=Jx-4+J15-3x的值域为.

尤

【典例8-2】函数〃x）=7；~下的值域是____.

（1+x）——

【变式8-1]函数>="7+标1的值域是区间—.

【变式8-2】若羽yeR,且3尤2+2/=6无，贝|二元函数/（尤,〉）=2/+3/一以一6）；的取值范围是（）

A.1-3V6,|+3V6B.[5,10]

C.[276-1,2^6+1]D.[7-2指,7+2«]

题型九：构造齐次式

【典例9-1】已知尤>0,y>0,贝Q?/+2/的最大值是.

【典例9-2】已知实数名>>0,若a+乃=l,则当+：的最小值为（）

bab

A.12B.2A/3C.6A/3D.8

【变式9-1］（2024.天津南开.高三统考期中）己知正实数a,b,c满足/一2仍+9片-c=0,则或的最大

C

值为.

题型十：数形结合法

（典例10-11“y+（y—l）2+#4一1『+（k5『的最小值为（）

A.5B.2+V17C.6D.1+726

【典例10-2】（2024・高三・山西太原•期末）已知函数y=^的最大值为Af,最小值为加，则

2的值为

M

1「V3D.也

A.-B.；

4223

【变式10-1］（2024.湖北.模拟预测）设J(x—a)2+(e"-2GY+O+1,其中e*2.71828,则。的最小

值为（）

A.y/2B.V2+1c.GD.6+1

【变式10-2】已知点”（七,乂）在直线4：y=x+2,点M%,%）在直线4：y=x上，且MNU，

2

Jx；+E-4）2+7（x2-5）+yf的最小值为（）

A.述B.C.同一&D.5

22

题型十一：向量法

【典例11-1］（2024•上海金山.二模）已知平面向量。、b、c满足：|a|=|b|=l，a.c=b-c=l,则+J

的最小值为.

【变式13-2]（2024•全国•模拟预测）设max{a,6,c}为实数a,瓦c中最大的数.若，x>0,y>0,z>0,则

,11V1生日I/土、『

max〈xz-\—,XH----,—I"一\的琅小值为___.

IVyzxzj

过盘试

1.已知直线/与抛物线C：y=4x相交于A,8两点，若。4。8=-4,贝”4犷的最小值为（）

A.4B.4&C.8D.16

2.函数/（无）=J2无一尤2+x的值域为.

3.函数〃x）=VT与+J12-3X的值域为一.

r2V2Z2

4.已知正数无，儿2满足x+y+z=l,则—^+――+二^的最小值为

y+2zz+2xx+2y

5.（2024•辽宁大连.模拟预测）已知羽y,z均为正实数，则丑小辰的最大值为

x+2y+z

6.已知实数b,。满足a?+/+。2=1,则ab+bc+2ca的最大值为

7.（2024・贵州•三模）以maxM（minM）表示数集M中最大（小）的数.设a>0,Z?>0,c>0,已知

8.已知正实数x,y满足4y2+4盯+1=上，则工+x-3y的最小值为.

XX

9.向量a,Z?,c满足H81=2,||=2,|2。-。|=有，则|c-b|的最大值为.

10.（2024•河北沧州•模拟预测）已知单位向量a,向量b与。不共线，且«-力,£）=g,则W的最大值

为一

11.已知两个非零间量机"满足网=2,仍+2司=2,则|21+司+|同的最大值是_.

12.设a,b,c为正数，a+b+4c2=1,则C+VF+0c的最大值是

13.函数y=2jl-x+J2x+1的最大值为_.

14.已知实数公，尤2，%，为满足：工；+才=2,*+货=2,占%-%々=2,则忖+%-[+,+2|的最大值

是—•

15.已知圆知（％-4）2+;/=5,4,8是。上的两个动点,且|AB|=2.设S（x2,y2）,则

_y+2|+,—%+2的最大值为

已知实数x,y满足（x-2y+（y-l）2=l,贝壮=5的最大值和最小值分别为—和—.

16.

X

17.函数max｛同，瓦,+2Z?-4|｝的最小值为.（其中max卜,y｝表示九,y中较大者）

18.（2024.湖北.一模）记器学〃无）｝，把第〃力｝分别表示函数〃尤）在刃上的最大值和最小值.则

y>°,M=min卜,;：+则M的最大值为一.

19.记min｛x,y,z｝表示x、y、z中的最小值.若x,

20.已知将%,%2，%3,，，%中最小数记为min｛%,%2，七,，七｝,最大数记为max（%,X2，％3，，%），若

।21653

«>0,Z?>0,c>0,贝"min<maxJ2a,3b,4c,—+—+—

拔高点突破04多元函数最值与双重变量最值问题

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................2

题型一：消元法..................................................................2

题型二：判别式法................................................................2

题型三：基本不等式法............................................................2

题型四：辅助角公式法............................................................3

题型五：柯西不等式法............................................................3

题型六：权方和不等式法..........................................................3

题型七：拉格朗日乘数法..........................................................4

题型八：三角换元法..............................................................4

题型九：构造齐次式..............................................................5

题型十：数形结合法..............................................................5

题型十一：向量法................................................................5

题型十二：琴生不等式法.........................................................22

题型题型十三：双重变量最值问题.................................................24

03过关测试.....................................................................6

亡法牯自与.柒年

//\\

解决多元函数的最值问题不仅涉及到函数、导数、均值不等式等知识，还涉及到消元法、三角代换法、

齐次式等解题技能.

题型归纳与总结

题型一：消元法

【典例1-1】已知正实数x,y满足lnx=ye"+lny,则>-匕一"的最大值为.

【答案】~/e~2

e

【解析】由lnx=ye”+lny得In二=ye'所以2ln±=xe',则%e』n'e%,

yyyy

x%

因为九>0,ex>0,所以In—>0,

4/(x)=xex(x>0),则f(x)=e'(x+l)>0,所以/(x)在(0,+向上单调递增,

所以由无e'ln土e%,即=/In-,得x=ln土，所以了=三，

yIyj>e

-x1x-1

所以y—ex=—-=

eee

丫—1O—Y

令g(x)=—^(x>0),贝l]g'O)=—

令g'(x)>0,得0Vx<2；令g'(x)<0,得x>2,

所以g(x)在(0,2)上单调递增，在(2,+s)上单调递减，

所以8(初侬=8(2)=4,即丫--工的最大值为3.

ee

故答案为：.

e

【典例1-21已知实数%〃满足：m-ew=(n-l)ln(n-l)=/(r>0),则的最大值为

【答案】-

e

【解析】由己知得，m>0,n-l>0,ln(n-l)>0,

令/(x)=xe*(x>0),则/'(%)=(%+1户>。,

\/(对在(0,+功上单调递增，

又因为加=(n-1)In(n-l),

所以/(〃?)=

则当飞(0,e)时，g«)〉0,g«)单调递增；当，£(e,+s)时，g«)<0,g«)单调递减；

所以g(，)max=g(e)=L

e

故答案为：-.

e

2

【变式1-11对任给实数尤>y>0,不等式x-2y2<cx(y-x)恒成立，则实数c的最大值为.

【答案】20-4

【解析】因为对任给实数x>y>0.不等式x2-2y2<cx(y-尤)恒成立，

Xr2_r\

令厂>1，mc<—=f^,

7-41+2«-2+扬（1-2-忘）

当/>2+应时，函数/⑺单调递增；当1><2+应时,函数/⑺单调递减,

所以当"2+血时，%)取得最小值，/(2+V2)=2A/2-4,

所以实数c的最大值为2&-4

故答案为：20-4

题型二：判别式法

【典例2-1】(2024.广东茂名.二模)已知实数a,b满足lga+lgb=lg(a+2b),则。+6的最小值是.

【答案】3+20

【解析】因为实数mb满足lga+lgb=lg(a+2b),

所以a>0,Z?>0,且必=a+2b.

令u=a+b,贝！J〃>0,所以a=〃一b,

代入"=a+»,贝!J有+

所以关于b的一元二次方程。2-(〃-l)b+"=0有正根，

只需A=(〃-1)~-4a20,解得：a23+20.

此时，关于。的一元二次方程廿一l)b+"=0的两根6也=〃>0,所以两根同号，只需々+4="-1>。，

解得u>l.

综上所述：u>3+2y/2.

即a+〃的最小值是3+2行(此时A=0,解得：a=2+A/2,Z>=1+A/2).

故答案为：3+2A/2.

【典例2-2】己知a,6e7?,且4+加+必=1,则6的取值范围是.

…、.-2^32疔

【答案】一:，丁

【解析】因为02+无+他=1,所以/+46+/—1=。.

又因为a,bwR,

所以公=廿一4仅2—1)20,解得一竿乎.

故答案为:卜当,用.

【变式2-1](2024・浙江・二模)设a"e7?,2>0,若"+几6=人且的最大值是石，则

2=.

【答案】4

f+Z?=d

【解析】令〃+人=d,由〈Q2”2/消去[得：(d-Z?)2+%匕2=4,gp(2+1)Z?2-2db+J2-4=0,

\a+Ab=4

而beR,2>0,贝l|△=(2d)2-4(/l+l)(/-4)20,^^4(2+1)

依题意2用^=布,解得2=4.

故答案为：4

【变式2-2】设非零实数°,6满足/+廿=4,若函数/=第）存在最大值M和最小值〃％贝I

X+1

M-m=.

【答案】2

【解析】化简得到丫/_依+丫一6=0,根据ANO和4+加=4得至U"解得答案.丫=空土苫,

22x+1

则yx2-ax+y-b=Q,则八二/_4y（y_》）20,

2222

即4y之一4y。一/<0,a+b=4»r^4y-4yb+b-4<0,

[2y-(Z>+2)][2y-(Z>-2)]<0,即年WyW，，艮|Jm=—,M=等，

M—m=2.

故答案为：2.

题型三：基本不等式法

【典例3-1］已知Y+y2+z2=1,则血盯+yz的最小值为.

【答案】-1

Q1

【解析】.X2+/+Z2=1,X2+-/+-/+Z2=1,

44

%2++Z2=1

2222

.-A=x+^y+^y+z>-^xy-yz,当且仅当x=-£y时等号成立.

442

1

I2，

/.y/3xy+yz>-1,/.y/3xy+yz的最小值为一1.

故答案为：-1

【典例3・2】已知正实数。，b,。满足ab+6c+ca=16（Q>3）,贝lj2〃+Z?+c的最小值为

【答案】10

【解析】解析：易知恒等式。之+ab+Z?c+ca=（a+bX〃+。），而

2a+b+c>2J(a+b)(a+c)=2doi+16>2^9+16=10,

当且仅当。=3,b=c=2时，等号成立.

故答案为：10.

【变式3-1】已知x,yeR,3/+y2=3,则4/+孙+y?的最大值为.

【答案】|9

9当且仅当=y=±^-时取到等号.

【解析】4x2+xy+y2<4x2++/x

22

9

故答案为：—.

X2+X+]

【变式3-2](2024•河南郑州•模拟预测)已知尤>0,j>0,x+2y=l,则一^—的最小值为

2xy

【答案】3+273/2^+3

【解析】因为x+2y=l,

必+x+lxx+1Xx+VX11

所以-------=——+----=——+——-=——+—+-

2xy2y2xy2yxy2yyx

Xx+2y।x+2y㈡।

=-------1-

2yyX

73-1

3x_2y

尤—一2一，

当且仅当,方一:’即，「时等号成立,

x+2y=1,3-V3

所以、了+1的最小值为3+2^3.

2xy

故答案为：3+2月.

题型四：辅助角公式法

【典例4-1】设A,民C是一个三角形的三个内角，则cosA(3sinB+4sinC)的最小值为.

【答案】一生后

108

[解析]cosA(3sinB+4sinC)=cosA[3sinB+4sin(兀一A-3)]=cosA(3sinB+4sinAcosB+4cosAsin5)

=cosA[(3+4cosA)sinB+4sinAcosB~\^,

令3+4cosA=a,b=4sinA,

所以cosA(3sinB+4sinC)=cosA(asinB+bcosB)=y/a2+b2cosAsin(6+3),

要想cosA(3sinB+4sinC)有最小值，显然A为钝角，即cosA<0,

于是有yja2+b2cosAsin(6+B^>yja2+b2cosA,

设/(A)=cosA-A/9+24COSA+16cos2A+16sin2A=cosA-j25+24cosA,

因为cosA<0,

所以〃A)=-V25COS2A+24COS3A

令cosA="—1</<0),即/⑺=251+24/,—l<f<0n_f(f)=50/+72/2=2t(25+36t),

当一1<'<一三时，r⑺>°，函数单调递增,

当一3<f<o时，r«)<o,函数单调递减,

36

7525?x25

因此当"-蜷时，函数了⑺有最大值了

36?x3

所以/(A)的最小值为匡H=_受亘,

V362X3108

I”“2571”3兀,2,J671

此时cosA=—-=>—<A<—,a=3+4cosA=—,b--------

362499

即存在。©TT

tan0="I'>1,兀兀,显然存在2,使得B+6=g,

24J2

即cosA(3sinB+4sinC)的最小值为

故答案为：-至8

108

【典例4-2】曲线尤2+叩一9=1上的点到坐标原点的距离的最小值等于

【答案】

【解析】由己知，^x=rcos3,y=rsin0(r>0),贝ijr[cos2e+gsin2e]=l,

cos2^+—sin20=~~~s^n(2。+0)W

2

【变式4・1]已知f—3冲+2/=l(x,y£R),则产+产的最小值为

【答案】2M-6/-6+2加

【解析】设工=/85夕，y=rsind,则炉+产二/，而％2_3孙+23?=i(%,y6R),显然rwO,

22

因止匕/+2=_______:_______________匚__________

|x2-3孙+2y2||r2cos20-3r2cos8sin8+2r2sin20\

_______________1_______________________2_________

=1+COS20一3sin2~+i-cos2djl3-(3sin2d+cos2e)|

22

21

二|3一9m(2限)「其中锐角"由tan°=3确定'

函数y=3—A/iUsin(29+°),当sin(26+e)=-l时，=3+V10,当sin(26+°)=1时，=3-A/10,

因此。＜|3-Min(20+R)区3+如即有右篇昕而^=2(技-3)，

所以f+J?的最小值为2-6.

故答案为：2J18-6

题型五：柯西不等式法

【典例5-1】实数x、y满足/+产=20,则孙+8x+y的最大值是

【答案】42

【解析】注意孙<!/+丁，8x4尤2+16,y<ly2+l,这三者相加即得孙+8元+y<尤之+产)+17=42.

444V7

当％=4,丁=2时等号成立，所以盯+8x+y的最大值是42.

也可以直接用柯西(Cauchy)^^(xy+8^+y)2<(x2+82+y2)(/+x2+l2)=84x21=422,得到最大值

为42.

故答案为42

【典例5-2］函数/(x)=「2020-x+Jx-2010的最大值与最小值之积为.

【答案】100

【解析】函数八无)的定义域为［2010,2020］,

一方面，V2020-X+Jx-2010>7(2020-x)+(x-2010)=V10,

等号当x=2010,2020时取得；

另一方面，J2020-x+Jx-2010V万J(2020-x)+(x-2010)=而,

当且仅当x=2015时等号成立，

于是最大值为而，最小值为M，所求乘积为10日.

故答案为：io底.

【变式5-1］已知x,y,zeR,V+y2+Z?=2,则x+2y+2z的最大值为

【答案】3亚

【解析】由柯西不等式，(f+y2+z2)(12+22+22)N(龙+2y+2z)2,

贝lj(x+2y+2z)242x9=18,

所以x+2y+2zW30，当且仅当>=z=2x时，等号成立，

所以x+2y+2z的最大值为3亚

故答案为：3亚.

r2历

【变式5-2］已知x>0,y>0,—+y2=1,则彳x+VIy的最大值是

【答案】2

【解析】由柯西不等式得［,+y］(12+巧…gxl+yxi：=g+y)2

所以lx2..《+y)2,当卷='，即x=0,y=*时等号成立.

所以鼻+为血，即乎x+忘y的最大值是2

题型六：权方和不等式法

1Q

【典例64】已知e为锐角，则一二+—的最小值为

sin"cos0

【答案】5^5

33；

18P41(1+4)-3

【解析】-----1------=--------------------j-2-----------------j-=5万=5百

sin8cos3卜五仔(cos?再仅id夕+cod6产

当且仅当磊=京即秋吟字8S”竽时取

故答案为：56

【典例6-2】求/(无)=一3x+2+j2+3x-Y的最大值为

【答案】2亚

\_

—3x+22

+

1技「

【解析】

<=2^/2

1

(1+1尸

当且仅当Y—3%+2=2+3%-％2,即％=0或尤=3时取等号

故答案为：2&.

【变式6-1】已知％+2y+3z+4沈+5u=30,求f+2y2+3z?+4/+5寸的最小值为

【答案】60

一（2y『（3z『（4/（502

222

光2+2y2+3z+4w+5v=—।---------------1-------------------1-----------------1--------------

12345

【解析】

1+2+3+4+515

当且仅当％=》=2=〃="时取等号

故答案为：60

【变式6・2】（2024.四川.模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名

的.其具体内容为:设%>0,b〃>0,neN\m>0,则

,7n+lm+1m+1।4；川〉(〃]+42+“3++〃〃)"”

^^3=，时，等号成立.根

--------1----------1----------F，当且仅当1/r

坪缪好以一（―++年广

据权方和不等式，若无71当'取得最小值时，的值为（

x)

2sinxcosx

71兀-5兀

A.—B.-D.—

12612

【答案】C

【解析】由题意得，sinx>0,cosx>0,

333

3A/3132P(3+1)23

贝I二一十丁+丁=4』,

sinxcosx

(sin2xy(cos2%)，(sin2x+cos2x2

3117T

当且仅当,即cosx=2时等号成立，所以％=5

sin2xcos2x

故选：C.

题型七：拉格朗日乘数法

【典例7・1】x>0,y>0,xy+x+y=17,求X+2y+3的最小值.

［解析］令F(x,y,㈤=%+2y+3—A(xy+尤+y—17)

ff

Fx=l-Ay-A=O,Fy=2-Ax-A=0,工，=—(孙+x+y)+17=0,

联立解得%=5,y=2,X=g,故x+2y+3最小为12.

【典例7・2】设%y为实数，若4—+/+孙=i,则2x+y的最大值是—.

【答案】率

［解析］令L=2x+y+A(4x2+y2+xy-l),

,710

£%=2+8/lx—3Ay=0x=±--

10

由<4=1+24y—3/lx=0,解得v

L=4x2+y2+xy-l=0工屈

AJ=±-

所以2x+y的最大值是2•吟+孚=平

【变式7・1】已知〃,7为非负数,M=〃4+b4,Q+b=l,求M的最值.

【解析】T§.F^a,b,A^=a4+b4+A,{l—a—b),

3

F'=4a-A=0,［a=L

解得j

F'=l-a-b=0,b=-

［"I2

.,.当a=1,。=’时，机取最值且M=-.

228

又a,6为非负数，且a+b=l,

故a=04=1或。=1/=0为“可能取最值处，则M=l.

综上可知"max=LMmm="

O

题型八：三角换元法

【典例8-1】函数y=«ZZ+J15-3x的值域为.

【答案】口，2]

Jx-4=sm0sin。2077

【解析】令I—,由得6w2^,—+2^,

YJ5-X=CGS9cos^>0

贝ljy=sin8+石•cos。=2sin16+g],9e2k兀,7T%+2k7i,

2

所以昨［1,2］.

故答案为：［1,2］.

x-x3

【典例8-2】函数〃x)=的值域是.

1+x2}T

\_£

【答案】

4?4

【解析】

x=tana,贝ij/=—sin2cr-cos2cr=—sin4of,

24

由此，十/〈当，…哈t呜时两边分别取得等号.

故答案为:

4?4

【变式8-1】函数y=+百7的值域是区间—.

【解析】显然函数定义域为％E［-9,7］,在此区间内y〉0,

由于（7—x）+（9+x）=16,即=

lolo

jrI'sHW9+x

故有角a0,-使得------=cosa.

1616

71

于是台~~~~-sin。+cosa=&sinCLH---

4

因为“，若，则$a+5子.

在此范围内也71

<sin6T+—<1,则有1W后sin|a+二<71.

2I44

因此(当x=7时，＞min=4；当兀=一1时，=4a)

故答案为［4,4及］

【变式8-2］若x,yeR,且3/+2y2=6x,贝|二元函数/(x,y)=2f+3/—4彳一6)的取值范围是()

A.|-3A/6,1+3^B.[5,10]

C.+D.[7-2而7+2码

【答案】A

(\2

【解析】配方得(x-l)，+=1

"2==sin。(一%<04%)口

令x-l=cos，，[3,贝Ijx=l+cos8,y二匕sin。

从而，/(x,y)=gsineb,其中，-iWsinOWl

由此易知/(x,V)的值域为g-+3#]选A.

题型九：构造齐次式

【典例9-1］已知尤>0,y>0,则J/的最大值是.

7

【答案】I

2xyxy_3xiy+12xy3_yx

【解析】由题意,

22224224

x+8yx+2yx+10xy+16y(32+]6())2十]0

yx

3(，竺)3e+曳)

yx_yx

(一)2+2=(，%+

yxyXXI4y

yx

设，=2+也，则/=己+曳22口•包=4,当且仅当土=曳，即尤=2y取等号,

yxj%\yxyx

2

又由〉=/+一在［4,+8）上单调递增,

t

2929

所以i+7的最小值为万，即，+77，

所以2f2+2裳2的最大值是|.

x+4yx+2y3

7

故答案为：—.

【典例9-2】已知实数若a+乃=l,则学+4的最小值为（）

bab

A.12B.2^C.673D.8

【答案】A