2025年中考数学复习：已知整点个数求取值范围

已知整点个数求取值范围

方法突破练

1.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx+zn-3与x轴交于点A,B.若线段AB上（包含端点）有

且只有5个点的横坐标为整数，求m的取值范围.

第1题图

2.在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点.抛物线y=mx2-2mx-与x

轴的交点为A,B,抛物线与线段AB所围成的区域记为W（不含边界）.若区域W内有2个整点,求m的取值范围.

y

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第2题图

3.在平面直角坐标系xOy中,我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点.抛物线y=必—2以+/的顶点为

A,直线y=-%+3与抛物线交于点B,C（点B在点C的左侧）,抛物线与线段BC围成的封闭区域（不含边界）记

为W.若区域W内有2个整点，求a的取值范围.

设问进阶练

例在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y^x2-2x+m-2,我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.

⑴若抛物线与直线y=-%+2所围成的封闭区域Wi(不含边界)内恰好有4个整点，求m的取值范围；

y

4

1!2131TX

例题图①

(2)若抛物线与双曲线y=斤围成的封闭区域勿2(不含边界)内有2个整点，求m的取值范围；

r

X

例题图②

(3)创新题・抛物线旋转考整点将抛物线绕点旋转180。彳导到新抛物线旷,，新抛物线y”与y轴交于点

C.若线段OC上的整点个数小于4,求m的取值范围.

4

-Tx

-「

例题图③

综合强化练

L如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ad+版+c与x轴交于0(0,0),A(4,0)两点与直线y=kx{k

丰0)交于点B,抛物线顶点C的纵坐标为-3.

⑴求抛物线的解析式；

(2)当k＜。且SAOC=2s4OB时，求k的值；

⑶我们把横、纵坐标均为整数的点叫做整点.将线段OB,OA及抛物线上的AB段围成的封闭区域(不含边界)

记为M,若区域M内恰好没有整点，求k的取值范围.

备用图①

备用图②

2.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边OA,OC分别在x轴和y轴的正半轴上，我们把横、纵坐

标都为整数的点叫做整点.反比例函数y=|(»0)的图象经过边BC的中点，已知抛物线y=-(%-a)2+2a+1.

⑴若抛物线经过点B,求抛物线的解析式；

(2)当抛物线与反比例函数的图象及x轴所围成的封闭区域内恰好只有2个整点(不包含抛物线与坐标轴上的

点),且落在正方形内或边上，求a的取值范围.

备用图②

一阶方法突破练

1.解:,二y=mx2-2mx+m-3=m[x2—2%+1^—3=m(x-1)2—3,

二抛物线的顶点坐标为(1,-3),抛物线的对称轴为直线x=1(由二次函数解析式确定顶点坐标及对称轴),

1•线段AB上有且只有5个点的横坐标为整数，

，这些整数为-1,0,1,2,3(使区域内整点个数接近题目所给的整点个数)，

1•抛物线顶点坐标为(1,-3),且抛物线与x轴相交于点A,B,，m>0,

二抛物线与x轴的右边交点横坐标3<x<4,

当x=3时,y=4m-340,；.m43/4,

当x=4时,y=9m-3>0,

rn>来找临界点代入解析式中确定字母的取值范围),.-.m的取值范围为I<m<J

2.解：如解图，当m=l时，区域W内有1个整点，且抛物线的顶点为(1,-2),

•.•抛物线的对称轴为直线尤=-琛=1是确定的,

.,抛物线的顶点在对称轴上上下移动，

当抛物线顶点过Q,-3)时,m=2,区域W内有2个整点，

结合函数图象，m的取值范围为l<ms2.

3.解:1•抛物线y=%2—2ax+a?=(%—a/a(a，0),如解图,当抛物线经过(0,2)且区域W内有1个整

点,止匕时a=V2,

当抛物线经过(0,1)且区域W内有2个整点，此时a=l,

由函数图象可知，如果区域W内有2个整点，a的取值范围为1Wa<VI

r-F-n

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I--4—bi

L.±.r2,

-3

第3题解图

二阶设问进阶练

例解：(1)由抛物线y=x2—2久+m—2可得，

抛物线的对称轴为直线x=l,顶点坐标为(1,m-3),如解图①，当抛物线的顶点为(1,-2)时，此时抛物线与

直线y=-x+2所围成的区域W]内(不含边界)有4个整点分别为(O,O),(O,1),Q,O),(L-1),

则m-3=-2,解得m=l,

当抛物线的顶点为(1,-1)时，此时抛物线与直线y=-x+2所围成的区域Wi内(不含边界)有2个整点，分别为

(0,1),(1,0),

则m-3=-l,解得m=2,

，综上所述，m的取值范围为l<m<2;

-2的对称轴为直线x=l,顶点坐标为(l,m-3),

如解图②，当m-3=-3,即m=0时，抛物线为y=2,此时抛物线与双曲线y=围成的封闭区域W2内

(不含边界)的整点个数为0；

若m-3=-4,即m=-l时，抛物线为y=一一2%-3,此时抛物线与双曲线y=-:围成的封闭区域W2内(不含边

界)有2个整点分别为(1,-3)(2,-2);

•.m的取值范围为

(3)1•原抛物线顶点为(1,m-3),将抛物线绕点M(-1,O)旋转180°,

，新抛物线y'的顶点为(-3,3-m),

二新抛物线y'的解析式为y=-(X+3)2+3-m=-%2-6%-6-m.点C的坐标为(0,-6-m)..

1•线段OC上的整点个数小于4,

.,.|-6-^11<3,解得-9<111<-3.

•.当-6-m=0时，线段OC不存在,，ma6.

.■.m的取值范围为-9<m<-3且m/-6.

三阶综合强化练

1.解:⑴・.•抛物线y=ax2+bx+C过点0(0,0),A(4,0)，,y=ax2+如C点横坐标为2,

C点纵坐标为-3,“点坐标为亿-3),将A,C两点的坐标代入.y=2+故中得［°=］于:柴，解得

1—3=4a+

3

a=4f

b=-3

..抛物线的解析式为y=#一3久；

(2)【思路点拨】设出点B的坐标，根据S40c=2SAA0B求出点B的横坐标，由点B在直线y=kx上求解即可.

■.点A的坐标为(4,0),.QA=4,

二点C的坐标为((2,一3),SA0C=［x4x3=6,设点B坐标为-3m),

22

SA0B=-x4x|-m-3m|=2x|-m-3m\,

6=2x2x1-m2—3m\,

­,•||m2-3m|=I，

•・•-m2—3m<0,・•・-m2—3m=-

442’

解得m=2±V2,

,.0<m<4,

m=2—/或m=2+企，

当？n=2-―时，将8(2-&‘-|)代入y二kx,解得k=-三-号,

当爪=2+&时，将B(2+/，一|)代入y=kx,解得k=一|+乎，

・•.k的值为-|-4或-|+9；

(3)【思路点拨】根据整点的定义再结合区域M内没有整点，由正比例函数y=kx上点的坐标特征找出临界

点，画出草图求解即可.

如解图，当k<0时直线y=kx过(3,-1)时，区域M内没有整点，此时fc=-|,

二当k2—弼，区域M内没有整点，

当k>0时，直线y=kx过(4,1)时，区域M内没有整点，此时k=\,

，当k4时，区域M内没有整点，

二当—三k<0或0<kW［时，区域M内没有整点.

第1题解图

2.解：(1)【思路点拨】设出正方形的边长，根据反比例函数的图象经过边BC的中点，可以确定点B的坐

标，将点B的坐标代入抛物线的解析式求解即可.

设正方形的边长为2m,则BC的中点坐标为(m,2m),由题意得m-2m=2,解得m=1(负值已舍去)，，正方形的

边长为2,B(2,2),

把点B(2,2)代入y=—(%—a)2+2a+1,解得a=l或a=5,

抛物线的解析式为y=-(乂-1)2+3或y=-(%一5)2+11；

(2)【思路点拨】求出反比例函数图象与正方形的交点坐标，画出草图，找到x的取值范围，确定整点个数，

寻找临界值即可.

・••反比例函数y=(外0),正方形的边长为2,

，反比例函数图象与正方形一边的交点为(1,2),

①如解图①，当点(1