2025年中考数学专项复习：特殊三角形（13类重点考向）（解析版）

专题15特殊三角形

目录一览

知识目标（新课程标准提炼）

中考解密（分析考察方向，精准把握重难点）

重点考向（以真题为例，探究中考命题方向）

A考向一等腰三角形的性质与判定

A考向二三角形的内角和

A考向三全等三角形的判定与性质

A考向四含30。角的直角三角形

A考向五直角三角形斜边上的中线

A考向六勾股定理

A考向七勾股定理的证明

A考向八勾股数

A考向九勾股定理的应用

A考向十勾股定理一最短路径问题

A考向十一等腰直角三角形

A考向十二三角形中位线定理

A考向十三三角形的综合题

最新真题荟萃（精选最新典型真题，强化知识运用，优化解题技巧）

知识目标

1.了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、

中线及顶角平分线互相重合；探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形；

2.探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60。，及等边三角形的判定定理：三个角都相等的

三角形（或有一个角是60。的等腰三角形）是等边三角形.

3.了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余；直角三角形

斜边上的中线等于斜边的一半；掌握有两个角互余的三角形是直角三角形;

4.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.

3中考解密

该板块内容重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，分值为10分左右，预计

2024年各地中考还将出现，并且在选择、填空题中考查等腰（等边）三角形和勾股定理与中位线性质、三

角形全等、三角形内外角性质、尺规作图等知识点结合考察，这部分知识需要学生扎实地掌握基础，并且

会灵活运用.在解答题中会出现等腰三角形与直角三角形的性质和判定,这部分知识主要考查基础。

也重点考向

A考向一等腰三角形的性质与判定

解题技巧/易错易混

1.等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴.

2.等腰直角三角形的两个底角相等且等于45。.

3.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.

b

4.等腰三角形的三边关系：设腰长为a,底边长为b,则一＜a.

2

]80°—NA

5.等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为NA,底角为NB、/C,则/A=18012/B,/B=/C=-------------.

2

6.等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等

关系的重要依据.

7.底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形.

1.（2023•河北）四边形ABC。的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化.当AABC

为等腰三角形时，对角线AC的长为（）

【思路点拨】分两种情况，由三角形的三边关系定理：三角形两边的和大于第三边，即可解决问题.

【规范解答】解：:△ABC为等腰三角形，

：.AB=AC^,AC=BC,

当AC=BC=4时，AD+C£）=AC=4,此时不满足三角形三边关系定理，

当AC=4B=3时.满足三角形三边关系定理，

：.AC=3.

故选：B.

【真题点拨】本题考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理，关键是掌握三角形的三边关系定理.

2.（2023•大庆）某建筑物的窗户如图所示，上半部分AABC是等腰三角形，AB=AC,AF：BF=3：4,点

G、H、尸分别是边AB、AC、的中点；下半部分四边形BCDE是矩形，BE//IJ//MN//CD,制造窗户

框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设米，8E=y米.

（1）求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；

（2）当尤为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积.

【思路点拨】（1）根据等腰三角形的性质求出CF的长，即可求出BC的长，根据AF：BF=3：4即可

求出的长，再根据勾股定理求出A8的长，AC的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一

半求出尸G、尸H的长，根据矩形的性质求出ED=8C=2x米，BE=IJ=MN=CD=y米,最后根据制造

窗户框的材料总长为16米列出方程即可得到y与尤之间的函数关系式；

（2）根据窗户的面积等于AABC的面积加上矩形BCDE的面积计算，再根据配方法求二次函数的顶点坐

标即可.

【规范解答】解：（1）••.△ABC是等腰三角形，尸是BC的中点，

：.BF=CF,AF±BC,AB=AC,

,:BF=x（米），

CF=x（米），BC=2BF=2x（米），

VAF：BF=3：4,

AF^yx（米），

4

在RtA4尸B中，由勾股定理得AB=VAF2+BF2=J（*X）2+X2=/X（米），

*'-AC=AB=7-X（米）,

4

:点G、H分别是边AB、AC的中点，ZAFB=ZAFC=9O°,

FG=4-AB=-|-X（米），FH=4-AC=f-x（米）,

ZoZo

•..四边形8C0E是矩形，

：.ED=BC=2x（米），BE=CD=y（米），

"：BE//IJ//MN//CD,

：.BE=IJ=MN=CD=y（米），

•••制造窗户框的材料总长为16米，

：.AB+AC+FG+FH+AF+BC+ED+BE+IJ+MN+CD=16（米），

喘x争得x得x++2x+2x+4y=l£，

整理得y=-^x+4；

O

x>0

由题意得♦-^■x+4〉0

O

解得0<x〈普

⑵；SaABC寺、州卷2亭玉2,S矩形BCDE=BC・BE=2X・17八172c

Tx+4）=^-^-x+8x，

设窗户的面积为W平方米，

贝IW=S^ABC+S矩形8CQE

32172.

=-X+8x

7,8.232

有最大值,

当萼米时，卬最大，最大值为丝平方米.

77

【真题点拨】本题考查了等腰三角形的性质，矩形的性质，二次函数的应用，根据材料总长用含X的式

子表示y,从而运用函数性质求最大值是解题的关键.

3.（2023•潍坊）如图，在AABC中，C。平分NACB,AE±CD,垂足为点E,过点E作E/〃8C,交AC

于点RG为BC的中点，连接EG.求证：FG^^AB.

2

【思路点拨】由角平分线的定义及平行线的性质可得NACO=NbEC,即可证明EF=CF,再利用直角

三角形的性质可证明即可得Gb是△ABC的中位线，进而可证明结论.

【规范解答】证明：・・・CO平分NAC3,

・•・NACD=NBCD,

■:EF//BC,

:・/FEC=NBCD,

：.ZACD=ZFEC,

：.EF=CF,

VAEXCD,

・•・NARM90。，

：.ZEAC^-ZACD=90°,ZAEF+ZFEC=90°,

：.ZEAC=ZAEF,

：.AF=EF,

:.AF=CF9

•・・G是8C的中点，

・・・G尸是△A5C的中位线，

：.FG^—AB.

2

【真题点拨】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，

三角形的中位线等知识的综合运用，证明G尸是△A3C的中位线是解题的关键.

A考向二三角形的内角和

解题技巧/易错易混

1.等边三角形具有等腰三角形的一切性质.

2.等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴.

3.等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合.

4.在等腰三角形中，只要有一个角是60。，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形.

5.等腰（等边）三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底

边上的高重合.

4.（2023•绵阳）如图，在等边A48C中，8。是AC边上的中线，延长8C至点E,使CE=CD,若DE=4\/应，

则AB=(

【思路点拨】先由等边三角形的性质，WBDLAC,AD=CD=^AC,ZABD=ZCBD=30°,再根据CE

2

=CD,得NE=NCDE,进而得/CBO=/E=30。，则然后在RtAAB。中，由勾股定

理求出AB即可.

【规范解答】解：：△ABC为等边三角形，

.*.AC=AC=BC,ZABC^ZACB=60°,

;瓦）是AC边上的中线，

：.BD±AC,AD=CD=—AC,ZABD=ZCBD=30°,

2

：.AB=2AD,

,:CE=CD,

：.ZE=ZCDE,

ZACB=ZE+ZCDE=2ZE,

，60。=2NE,

：.ZE=30°,

NC2O=NE=30。，

：.BD=DE=4-J3>

在RtA48O中，由勾股定理得：AB2-AD^^BD1,

即（2A£））2-4）2=（4我）2,

解得：A£>=4,

：.AB=2AD=S.

故选：C.

【真题点拨】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握等

边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键.

5.（2023•凉山州）如图，边长为2的等边AABC的两个顶点A、B分别在两条射线OM、ON上滑动，若

OM1ON,则OC的最大值是l+、n.

【思路点拨】取AB的中点。，连接。。及OC,根据三角形的三边关系得到0C小于等于OD+DC,只

有当。、。及C共线时，0C取得最大值，最大值为O0+CD由等边三角形的边长为2,根据。为A3

中点，得到BD为1,根据三线合一得到C。垂直于A2,在直角三角形28中，根据勾股定理求出C。

的长，在直角三角形A02中，。£＞为斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

可得。。等于的一半，由A2的长求出。。的长，进而求出DC+O。，即为0C的最大值.

【规范解答】解：取中点。，连。。，DC,

当。、D、C共线时，OC有最大值，最大值是OO+C。，

;△ABC为等边三角形，。为AB中点，

：.BD=1,BC=2,

22

，CD=VBC-BD=如'

•••△AOB为直角三角形，£＞为斜边AB的中点，

：.OD=^AB=1,

2

：.OD+CD=1+43＞即OC的最大值为1+百.

故答案为：1+J^.

【真题点拨】本题考查了等边三角形的性质，涉及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理,

其中找出OC最大时的长为CD+。。是解本题的关键.

6.（2023•雅安）如图，四边形ABC。中，AB=AD,BC=DC,ZC=60°,AE〃C。交8C于点E,BC=8,

AE=6,则AB的长为2\[7.

A

【思路点拨】连接AC、BD交于点、O,过点E作EFLAC,交AC于点凡先证明△BC。是等边三角形，

AC垂直平分BD,求得NEAC=ZACD=ZACB=30°,AE=EC=6,再解三角形求出AO=AC-C0=2«,

最后运用勾股定理求得AB即可.

【规范解答】解：如图：连接AC、2。交于点。，过点“作EPLAC,交AC于点R

又,：BC=DC,NC=60。，

是等边三角形，

:.BD=BC=CD=8,

"：AB=AD,BC=DC,

：.AC±BD,BO=DO=1BD=4,

2

ZACD=ZACB=1-ZBCD^3O°,

2

又：AE〃C。，

：.ZEAC=ZACD=ZACB=3Q°.

：.AE=EC=6,

过点E作所L4C,交AC于点R

•,.CF-CE«cos300-6x近二3«,

2

AL・cos30。=6x近=3«,

2

CO=5C・cos300=8x近二4百，

2

CF+AF=673>

：.AO=AC-CO=6-J3-4愿=2«.

在RtABOA中，AB=7B02+A02=V（273）2+42=2V7•

故答案为：2市.

A

【真题点拨】本题属于四边形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质、平行线的性质、垂直平分

线、勾股定理、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线成为解答本题的关键.

A考向三全等三角形的判定与性质

7.（2023•衢州）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Co仍角/O的大小，需将NO转化

为与它相等的角，则图中与/O相等的角是（）

A.ZBEAB.ZDEBC.ZECAD.ZADO

【思路点拨】根据直角三角形的性质可知：N。与互余，NDEB与互余，根据同角的余

角相等可得结论.

【规范解答】解：由示意图可知：A。。！和△D2E都是直角三角形，

：.ZO+ZADO=90°,ZDEB+ZADO=90°,

：.ZDEB=ZO,

故选：B.

【真题点拨】本题考查直角三角形的性质的应用，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键.

8.（2023•攀枝花）如图，在AABC中，ZA=40°,ZC=90°,线段AB的垂直平分线交A8于点。，交AC

于点E,则/EBC=10°.

【思路点拨】由NC=90。，ZA=40°,求得NA2C=50。，根据线段的垂直平分线、等边对等角和直角三

角形的两锐角互余求得.

【规范解答】解：：NC=90。，ZA=40°,

ZABC=90°-ZA=50°,

•••OE是线段AB的垂直平分线，

：.AE=BE,

：.ZEBA=ZA=40°,

：.ZEBC=ZABC-ZEBA=50°-40°=10°,

故答案为：10°.

【真题点拨】此题考查了直角三角形的性质、线段垂直平分线性质，熟记直角三角形的性质、线段垂直

平分线性质是解题的关键.

A考向四含30。角的直角三角形

解题技巧/易错易混

在直角三角形中，30。的角所对的直角边等于斜边的一半，这个性质常常用于计算三角形的边长，也是证明

一边（30。角所对的直角边）等于另一边（斜边）的一半的重要依据.当题目中已知的条件或结论倾向于该

性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形，从而将陌生的问题转化为熟悉的问题.

9.（2023•贵州）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多

几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120。，腰长为12m则底边上

的高是（）

【思路点拨】作于点D,根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得（180。

2

-ZBAC）=30。，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案.

【规范解答】解：如图，作ADL2C于点

.-.ZB=ZC=A(180°-ZBAC)=30°,

2

又

.'.AD——AB=—X12=6(m),

22

故选：B.

【真题点拨】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等，解题

关键是掌握30度角所对的直角边是斜边的一半.

10.（2022•十堰）【阅读材料】如图①，四边形A8C。中，AB=AD,180。，点E,尸分别在BC,

C£>±,若贝l|

【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD已知CO=C8=100加,

ZD=60°,ZABC=120°,ZBCD=150°,道路AD,42上分别有景点M,N,且。M=100〃z,BN=50

（V3-1）m,若在V,N之间修一条直路，则路线M—N的长比路线MTA—N的长少370m（结

果取整数，参考数据：如xl.7）.

分别计算ADCG,AG,BG的长，由线段的和与差可得AM和AN的长，最后由勾股定理可得的长,

计算AM+AN-MN可得答案.

解法二：构建【阅读材料】的图形，根据结论可得MN的长，从而得结论.

【规范解答】解：解法一：如图，延长OC,交于点G,过点N作于H,

'：ZD=60°,ZABC=120°,ZBCD=150°,

—360°-60°-120°-150°=30°,

：.ZG=90°,

：.AD^2.DG,

RtACGB中，ZBCG=180°-150°=30°,

.".BG=ABC=50,CG=50如,

：.DG=CD+CG=100+50V3，

Z.A£>=2DG=200+10073-AG=V^OG=150+100«,

VDM=100,

：.AM^AD-DM=200+100V3-100=100+100«,

\'BG=50,BN=50-1),

：.AN=AG-BG-BN=150+100百-50-50(«-1)=150+50«,

RtAANH中，VZA=30°,

/.NH=-^AN=75+25V3-AH=MNH=156+75,

由勾股定理得：MN=7NH2+MH2=V(75+25V3)2+(25V3+25)2=50(百+1)

：.AM+AN-MN^100+100V3+150+50V3-50(«+l)=200+10073=370(m).

答：路线M—N的长比路线M—A—N的长少370m.

解法二：如图，延长。C,AB交于点G,连接CN,CM,则/G=90。，

'：CD=DM,ZD=60°,

...△ACM是等边三角形，

ZDCM=60°,

由解法一可知：CG=50M，GN=2G+BN=50+50(-1)=50百，

△CGN是等腰直角三角形，

；./GCN=45。，

AZBCN=45°-30°=15°,

ZMCN=150°-60°-15°=15°=—ZBCD,

2

由【阅读材料】的结论得：MN=DM+BN=100+50=50«+50,

\'AM+AN-M?/=100+100V3+150+50V3-50(«+1)=200+100我=370(m).

答：路线M—N的长比路线M—A—N的长少370%

故答案为：370.

【真题点拨】此题重点考查了含30。的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算等知识与方

法，解题的关键是作出所需要的辅助线，构造含30。的直角三角形，再利用线段的和与差进行计算即可.

A考向五直角三角形斜边上的中线

11.(2023•株洲)一技术人员用刻度尺(单位：cm)测量某三角形部件的尺寸.如图所示，已知NAC2=

90。，点。为边A5的中点，点A、5对应的刻度为1、7,则CD=(

D/\B

A.3.5cmB.3cmC.4.5cmD.6cm

【思路点拨】根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出co的长.

【规范解答】解：由图可得，

ZACB=90°,48=7-1=6(cm),点。为线段AB的中点，

CD=—AB=3cm,

2

故选：B.

【真题点拨】本题考查直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解

答.

12.(2022•杭州)如图，在R3ACB中，/AC2=90。，点M为边A8的中点，点E在线段AM上，EF1

AC于点凡连接CM,CE.己知/A=50。，/ACE=30。.

(1)求证：CE=CM.

(2)若A8=4,求线段FC的长.

【思路点拨】(1)根据直角三角形的性质可得MC=MA=MB,根据外角的性质可得ZMEC=ZA+ZACE,

ZEMC=ZB+ZMCB,根据等角对等边即可得证；

(2)根据CE=CM先求出CE的长，再解直角三角形即可求出PC的长.

【规范解答】(1)证明：：/ACB=90。，点M为边的中点，

：.MC=MA=MB,

：.ZMCA=ZA,ZMCB=ZB,

"：/A=50°,

AZMCA=50°,ZMCB=ZB=40°,

ZEMC^ZMCB+ZB^SQ0,

'：NACE=30°,

ZMEC=ZA+ZACE=80°,

NMEC=ZEMC,

；.CE=CM；

(2)解：VAB=4,

：.CE=CM=^-AB=2,

2

'：EF±AC,NACE=30。，

.,.FC=CE*cos30°=V3.

【真题点拨】本题考查了直角三角形的性质，涉及三角形外角的性质，解直角三角形等，熟练掌握并灵

活运用直角三角形的性质是解题的关键.

A考向六勾股定理

解题技巧/易错易混

1.应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是C.若b为斜边，则关系

式是a2+c2=b2；若a为斜边,则关系式是b2+c2=a2.

2.如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解

时必须进行分类讨论，以免漏解.

13.(2023•宁夏)将一副直角三角板和一把宽度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把60。和45。角的顶点及

它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜

边分别交直尺上沿于A,8两点，则AB的长是()

【思路点拨】根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可得到结论.

【规范解答】解：在R3ACD中，ZACD^45°,

：.ZCAD=45°=ZACD,

.\AD=CD=2cm,

在R33CD中，ZBCD=60°,

：.ZCBD=30°,

•**BC=2CD=4cm,

BD=VBC2-CD2=Vl2-22=2«(cm),

；.AB=BD-AO=(2V3-2)(cm).

【真题点拨】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

14.（2023•淮安）在四边形ABC。中，4B=BC=2,ZABC=120°,3"为NABC内部的任一条射线（N

C①/不等于60。），点C关于的对称点为C,直线AC与由/交于点凡连接CC、CF,KUCCF

面积的最大值是4\,用.

【思路点拨】连接8C,根据圆的定义可知A、C、C在以8点为圆心，AB为半径的圆上，再判断ACCF

是等边三角形，则当CC是圆的直径时，ACCF面积的最大，此时CC=4,由此可求解.

【规范解答】解：连接BC,

由轴对称性可知，BC=BC,

'：AB=BC=BC,

；.A、C、。在以8点为圆心，AB为半径的圆上，

ZABC=120°,

ZACC=120°,

AZFCC=180°-120°=60°,

'：CF=CF,

...△CCT是等边三角形，

要使△"下面积的最大，只需CC最大即可，

.•.当CC是圆的直径时，△COF面积的最大，

CC=4,

ACCF面积的最大值为qx4x4xsin60o=4«,

故答案为：4我.

D

A

B

【真题点拨】本题考查轴对称的性质、勾股定理，熟练掌握轴对称的性质，圆的性质，能确定CC是圆

的直径时，△口?尸面积的最大是解题的关键.

A考向七勾股定理的证明

15.（2023•湖北）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是

由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形.设图中DF=b,连接AE,BE,

.22

若AAOE与"即的面积相等，则2_，_=3

2,2

ab

【思路点拨】根据题意得出gpbi_k_1=0,解方程得到且=逅±1（负值舍去）代入进

21ua2

aa

行计算即可得到结论.

【规范解答】解：方法一：..•图中A尸=a,DF=b,

'.ED—AF—a,EH—EF—DF-DE—b-a,

,/AADE与4BEH的面积相等，

'.—a1——（b-a）b,

22

...i=（A）2-电，

aa

,2,

.bbt八

,---1=0，

a2a

解得上=退包（负值舍去），

a2

方法二：,:足=吩-ab,

••加-a?=ab9

（/-层）2=〃2户,

4422

•\b+a=3abf

,22

•.•-b--+a1-—Do，

2,2

ab

故答案为：3.

【真题点拨】本题考查了勾股定理的证明，一元二次方程的解法，根据题意得出关于工的方程是解题的

a

关键.

16.(2022•内江)勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股

定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”.图②由弦图变化得到，它是由八个全

等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABC。、正方形EFGH、正方形MNXT的面积分别为Si、S、

S3.若正方形EFGH的边长为4,则Si+S,+S3=48.

【思路点拨】由勾股定理和乘法公式完成计算即可.

【规范解答】解：设八个全等的直角三角形的长直角边为。，短直角边是6,则:

Si=Ca+b)2,$2=42=16,Si=(a-b)

且：a?+炉=£产=16,

2222

：.Si+S2+S3=(a+6)+16+(a-b)=2(a+b)+16

=2x16+16

=48.

故答案为：48.

【真题点拨】本题考查勾股定理的应用，应用勾股定理和乘法公式表示三个正方形的面积是求解本题的

关键.

A考向八勾股数

17.（2023•南通）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的

是中国古代数学著作《九章算术》.现有勾股数6,c,其中a,b均小于c,。='馆

2

m是大于1的奇数，则b—m（用含m的式子表示）.

【思路点拨】根据勾股数的定义解答即可.

2

【规范解答】解：b,c是勾股数，其中m6均小于c,a=lm-1,C=A

222

/.b2=c2-a2

—m4+—+—

442

—m4+—+—m2-—m4--+—

442442

=m9

Vm是大于1的奇数,

••Z?in.

故答案为：丸

【真题点拨】本题考查的是勾股数，熟知满足。2+/=02的三个正整数，称为勾股数是解题的关键.

18.（2022•湖北）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”.观察下列勾股

数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；....这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1.柏拉图

研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6,8,10；8,15,17；....若此类勾股数的勾为

2m。稔3,机为正整数）,则其弦是加+1（结果用含根的式子表示）.

【思路点拨】根据题意得2初为偶数，设其股是°,则弦为。+2,根据勾股定理列方程即可得到结论.

【规范解答】解：为正整数，

：.2m为偶数,设其股是。，则弦为a+2,

根据勾股定理得，（2m）?+层=（a+2）2,

解得a=mz-1,

弦是。+2=，层-1+2=m2+1,

故答案为：川+1.

【真题点拨】本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

A考向九勾股定理的应用

19.（2023•恩施州）《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”.书中记载：“今有户不知高、

广，竿不知长短.横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出.问户高、广、邪各几何？”译文：今有门,

不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门

对角线恰好相等.问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：门高、宽和对角线的长分别是8,

6,10尺.

DC

段岁

A广B

【思路点拨】根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三

角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长.

【规范解答】解：设门对角线的长为x尺，则门高为（x-2）尺，门宽为（x-4）尺，

根据勾股定理可得：

（x-4）2+（x-2）2,gpx2=x2-8%+16+x2-4x+4,

解得：为=2（不合题意舍去），x2=10,

10-2=8（尺），

10-4=6（尺）.

答：门高8尺，门宽6尺，对角线长10尺.

故答案为：8,6,10.

【真题点拨】本题考查勾股定理的应用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题

的关键，难度一般.

20.（2023•东营）一艘船由A港沿北偏东60。方向航行30km至8港，然后再沿北偏西30。方向航行40km

至C港，则A,C两港之间的距离为港km.

【思路点拨】根据题意可得：ZDAB=60°,/FBC=30。,AD//EF,从而可得/A8E=60。，然

后利用平角定义可得NABC=90。，从而在RtAABC中，利用勾股定理进行计算即可解答.

【规范解答】解：如图：

C\

—I—>"东

由题意得：ZDAB=60°,ZFBC=30°,AD//EF,

：.ZDAB=ZABE=60°,

：.ZABC=180°-/ABE-ZFBC=90°,

在RtZiABC中，AB=30km,BC=40km,

AC=22

VAB+BC=VS02+402=5°（卜曲，

.'.A,C两港之间的距离为50km,

故答案为：50.

【真题点拨】本题考查了勾股定理的应用，根据题目的已知条件画出图形进行分析是解题的关键.

21.（2022•常州）如图，将一个边长为20cm的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形ABCD

对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36c机时才会断裂.若/54。=60。，则橡皮筋AC不会断裂

（填“会”或“不会”，参考数据：V3-1.732）.

【思路点拨】设AC与相交于点。，根据菱形的性质可得AC,2DAC=2A。，OD=^BD,AO=

2

AB=20cm,从而可得是等边三角形，进而可得8£>=20a”，然后再在RtAA。。中，利用勾股定理

求出A。，从而求出AC的长，即可解答.

【规范解答】解：设AC与8。相交于点。，

:四边形4BCD是菱形,

J.ACLBD,AC=2A0,OD=—BD,AD^AB=2Qcm,

2

'：ZBAD=6Q°,

...△ABO是等边三角形，

/.BD—AB=20cm,

：.DO=—BD=10(cm),

2

在。中，22=10

RtAADAO=^AD2_DQ2=^20-10^3(an),

.*.AC=2AO=20V3~34,64(cm),

34.64cm<36cm,

橡皮筋AC不会断裂，

故答案为：不会.

【真题点拨】本题考查了菱形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握菱形的性质是解题的关键.

A考向十勾股定理一最短路径问题

22.（2022•金华）如图，圆柱的底面直径为高为AC,一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到8处，现

【思路点拨】利用圆柱的侧面展开图是矩形，而点B是展开图的一边的中点，再利用蚂蚁爬行的最近路

线为线段可以得出结论.

【规范解答】解：将圆柱侧面沿AC，剪开”，侧面展开图为矩形，

:圆柱的底面直径为

...点3是展开图的一边的中点，

,/蚂蚁爬行的最近路线为线段，

选项符合题意，

故选：C.

【真题点拨】本题主要考查了圆柱的侧面展开图，最短路径问题，掌握两点之间线段最短是解题的关键.

23.（2023•广安）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9c7九，底面周长为16c在杯内壁离杯底4c机的点A处

有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm,且与蜂蜜相对的点8处，则蚂蚁从

外壁2处到内壁A处所走的最短路程为10cm.（杯壁厚度不计）

【思路点拨】将杯子侧面展开，建立B关于EF的对称点夕，根据两点之间线段最短可知ZTA的长度即

为所求.

【规范解答】解：如图：

将杯子侧面展开，作8关于E尸的对称点

连接84,则8A即为最短距离，

B，A=VB7D2+AD2=VS2+62=10（cm）.

【真题点拨】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进

行计算是解题的关键.同时也考查了同学们的创造性思维能力.

A考向十一等腰直角三角形

24.（2023•丽水）如图，在四边形ABC。中，AD//BC,/C=45。，以AB为腰作等腰直角三角形BAE,

顶点E恰好落在CD边上，若AD=I,则CE的长是（）

【思路点拨】如图，过点A作A/J_5C于尸，过点石作于H,交AO的延长线于G,贝1」乙4尸5

=NCHE=9。。,证明四边形A"G是正方形，则AG=GH,再证明和zkOGE是等腰直角三角形,

则0G=EG,CH=EH,最后根据勾股定理可得结论.

【规范解答】解：如图，过点A作A/LBC于尸，过点E作GHL8C于H,交AO的延长线于G,则N

：.AF//GHf

\'AD//BC,ZAFH=90°,

・・・四边形AH/G是矩形，

JNG=ZAFH=ZFHG=NE4G=90。,

AABE是等腰直角三角形，

：.AB=AE,NA4E=90。，

•；NFAG=NBAE,

：.ZBAF=ZEAGf

NA尸3=NG=90°,

AAAFB^AAGE(AAS),

：.AF=AG,

・•・矩形AbHG是正方形，

：.AG=GHf

*：AG//BC,

・・・NC=NEOG=45。，

JACHE和△DGE是等腰直角三角形，

:,DG=EG,CH=EH,

：.AD=EH=1.

；・CH=\,

由勾股定理得：CE=qF+F=如.

解法二：如图2,过点E作跖，CD交3c于R

图2

VZC=45°,

・•・AEFC是等腰直角三角形,

:.EF=CE,ZCFE=45°,

・・・ZBFE=180°-45°=135°,

NCFE=NFBE+/BEF=45。,ZAED+ZBEF=90°-45°=45°,

J/AED=NFBE,

・・・AABE是等腰直角三角形，

.AE_1

••丽―TF

U：AD//BC,

AZC+Z£>=180°,

・•・/£）=180。-45。=135。，

・•・/D=NBFE,

：.AADEsAEFB,

・AD—AE=1

**EFBE折

VAZ）=1,

:・EF=a，

:.CE=EF=42-

故选：A.

【真题点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的性质和判定，矩形和正方形的性质和判

定等知识，正确作辅助线构建AAFg和AAGE全等是解本题的关键.

25.（2023•苏州）如图，ZBAC=90°,AB=AC=3加，过点C作CD_L8C,延长到£,使BE=LcD,

3

连接AE,ED.若ED=2AE,则BE=1+J7.（结果保留根号）

【思路点拨】如图，过E作EQLC4于点。，设BE=x,AE=y,可得CO=3无，DE=2y,证明BC=加

AB=6,CE=6+x,ACQE为等

腰直角三角形，。5=。。=亚CE=Y1（6+x）=3&+返■》,&。=返尤，由勾股定理可得:

2222

222

\2y）=（6+X）+（3x）

,°9Lg球再解方程组可得答案•

y2=（等x）2+（3近娶x）2

•:BE=LCD,ED=2AE,

3

CZ）=3x,DE=2y,

•：ZBAC=90°,A2=AC=3五,

:.BC=y[^AB=6,CE=6+x,ACQE为等腰直角三角形,

:.QE-CQ-MCE-近（6+x）=3近+工

222

：.AQ=J^-x,

r222

（2y）=（6+x）+（3x）

由勾股定理可得：。后「汨

y2=（苧乂户9+⑷近修x）2

整理得：x2-2x-6—0,

解得：x=l±J7，

经检验x=i-不符合题意；

.'.BE—x—l+y/7；

故答案为：1+A/V.

【真题点拨】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，作出合适

的辅助线构建直角三角形是解本题的关键.

A考向十二三角形中位线定理

26.（2023•陕西）如图，OE是AABC的中位线，点尸在。8上，DF=2BF.连接EF并延长，与C8的延

长线相交于点若BC=6,则线段CM的长为（）

A.—B.7C.—D.8

22

【思路点拨】根据三角形中中位线定理证得DE〃BC,求出。E,进而证得△。吩根据相似三角

形的性质求出即可求出结论.

【规范解答】解：是AABC的中位线，

：.DE//BC,OE=LC=2X6=3,

22

MDEFsABMF,

.DE_DF_2BF_2

"BM而审"

2

CM^BC+BM^—.

2

故选：C.

【真题点拨】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定

理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键.

27.（2023•湖州）如图，在AABC中，AB=AC,AO_LBC于点。，点E为AB的中点，连结。E.已知3c

=10,AD=12,求BO,OE的长.

【思路点拨】根据等腰三角形的性质求出BD蒋BC，根据勾股定理求出48=13，

【规范解答】解AOL2C于点。，

'：BC=10,

：.BD=5,

「AD_L8c于点D,

：.ZADB=90°,

在RtAAB。中，AB2=AD2+BD2,

VAD=12,

AB=7AD2+BD2=V122+52=13）

为AB的中点，。点为BC的中点，

DE蒋AB=^.

【真题点拨】此题考查了三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的性质，熟记三角形中位线的判定与

性质、等腰三角形的性质是解题的关键.

A考向十三三角形的综合题

28.（2023•大庆）如图，在AA3C中，将AB绕点A顺时针旋转a至4夕，将AC绕点A逆时针旋转P至

AC（0°<a<180°,0°<p<180°）,得到AABC,使N3AC+N2NC』180。，我们称AABC是AABC的“旋

补三角形"，”夕。的中线AD叫做AABC的“旋补中线”，点A叫做嗾补中心”.下列结论正确的有®

②③.

①AABC与AAQC面积相同；

@BC=2AD；

③若48=AC,连接88'和CC',则/B'8C+/CC'B