2025年新高考数学一轮复习：随机事件、频率与概率（六大题型）（讲义）（学生版+解析）

第04讲随机事件、频率与概率

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

03考点突破•题型探究............................................................4

知识点1：样本空间和随机事件....................................................4

知识点2：两个事件的关系和运算..................................................5

知识点3：概率与频率............................................................6

题型一：随机事件与样本空间.....................................................7

题型二：随机事件的关系与运算...................................................8

题型三：频率与概率.............................................................9

题型四：生活中的概率..........................................................10

题型五：互斥事件与对立事件....................................................11

题型六：利用互斥事件与对立事件计算概率........................................12

04真题练习•命题洞见............................................................13

05课本典例•高考素材............................................................25

06易错分析答题模板............................................................14

易错点：混淆频率和概率........................................................14

答题模板：互斥'对立事件的辨析................................................15

考情透视.目标导航

考点要求考题统计考情分析

本节内容是概率的基础知识，考查形

(1)样本空间和随机事件式可以是选择填空题，也可以在解答题中

2024年上海卷第15题，4分

(2)两个事件的关系和运算出现.出题多会集中在随机事件的关系以

2023年上海卷第5题，4分

(3)频率与概率对应的概率求解.整体而言，本节内容在

高考中的难度处于偏易.

复习目标；

(1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别.

(2)理解事件间的关系与运算.

匐2

〃二知识导图•思维引航\\

随机事件频率与概率

老占突硒・力理悭宙

-----

知识JJ

知识点1:样本空间和随机事件

1、随机试验

我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母后表示.

我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：

（1）试验可以在相同条件下重复进行；

（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；

（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.

2、样本空间

我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间，

一般地，用.Q.表示样本空间，用出表示样本点，如果一个随机试验有〃个可能结果例，社，...，

则称样本空间。=｛例，/2，…，0｝为有限样本空间.

3、随机事件、确定事件

（1）一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方

便，我们将样本空间。的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.当

且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.

（2）。作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以。总会发

生，我们称。为必然事件.

（3）空集0不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为0为不可能事件.

（4）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对随机事件的确定事件.

【诊断自测】下列现象是必然现象的是（）

A.某路口每星期发生交通事故1次

B.冰水混合物的温度是：TC

C.三角形的内角和为180°

D.一个射击运动员每次射击都命中7环

知识点2：两个事件的关系和运算

1、事件的关系与运算

①包含关系：一般地，对于事件A和事件6,如果事件A发生，则事件月一定发生，这时称事件

6包含事件A（或者称事件A包含于事件6）,记作8二4或者AqB.与两个集合的包含关系类比，可

用下图表示：

不可能事件记作0，任何事件都包含不可能事件.

②相等关系：一般地，若3二4且称事件A与事件6相等.与两个集合的并集类比，可用下

图表不：

③并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事

件月的并事件（或和事件），记作AU3（或A+B）.与两个集合的并集类比，可用下图表示：

④交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件A发生且事件5发生，则称此事件为事件A与事件

8的交事件（或积事件），记作AC3（或A3）.与两个集合的交集类比，可用下图表示：

Q

2、互斥事件与对立事件

（1）互斥事件：在一次试验中，事件A和事件5不能同时发生，即则称事件A与事件

B互斥,可用下图表示：

如果A，出，…，A”中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A,,彼此互斥.

（2）对立事件：若事件A和事件B在任何一次实验中有且只有一个发生，即不发生，

4口3=0则称事件A和事件B互为对立事件，事件A的对立事件记为N.

(3)互斥事件与对立事件的关系

①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者

之一必须有一个发生.

②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充分条

件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件.

【诊断自测】掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件4“向上的点数是1或5”为事件2,

则()

A.A=B

B.AU8表示向上的点数是1或3或5

C.AUB表示向上的点数是1或3

D.AcB表示向上的点数是1或5

知识点3:概率与频率

(1)频率：在”次重复试验中，事件A发生的次数人称为事件A发生的频数，频数人与总次数”的比

值工，叫做事件A发生的频率.

n

_k

(2)概率：在大量重复尽心同一试验时，事件A发生的频率*总是接近于某个常数，并且在它附近

n

摆动，这时，就把这个常数叫做事件A的概率，记作尸(A).

(3)概率与频率的关系：对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率£随着试验次数的增加

n

_k

稳定于概率P(A),因此可以用频率-来估计概率P(A).

n

【诊断自测】在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身

份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，

如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题.由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，

所以应答者一般乐意如实地回答问题.如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得至IJ80个“是”的回

答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为()

A.4.33%B.3.33%C.3.44%D.4.44%

题型洞察

题型一：随机事件与样本空间

【典例1-1】若随机试验的样本空间为C={0,1,2},则下列说法不正确的是（）

A.事件?={1,2}是随机事件B.事件。={0」,2}是必然事件

C.事件Af={-L-2}是不可能事件D.事件{-L0}是随机事件

【典例1-2】在12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，则下列事件为必然事

件的是（）

A.3件都是正品B.至少有2件是次品

C.3件都是次品D.至少有1件是正品

【方法技巧】

确定样本空间的方法

（1）必须明确事件发生的条件.

（2）根据题意，按一定的次序列出问题的答案.特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写,

要做到既不重复也不遗漏.

【变式1-1】下列事件：①抛掷一枚硬币，落下后正面朝上；②从某三角形的三个顶点各画一条高线，这

三条高线交于一点；③实数a,b都不为0,但4+廿二。；④某地区明年7月的降雨量高于今年7月的降

雨量.其中为随机事件的是（）

A.①④B.①②③C.②③④D.②④

【变式1-21下列说法正确的是（）

A.“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件

B.事件发生的可能性越大，它的概率越接近1

C.某种彩票中奖的概率是1%,因此买100张该种彩票一定会中奖

D.任意投掷两枚质地均匀的骰子，则点数和是2的倍数的概率是:

【变式1-3]“某点P到点A（-2,0）和点8（2,0）的距离之和为3”这一事件是

A.随机事件B.不可能事件C.必然事件D.以上都不对

【变式1-4】笼子中有4只鸡和3只兔，依次取出一只，直到3只兔全部取出.记录剩下动物的脚数.则该试

验的样本空间Q=.

题型二：随机事件的关系与运算

【典例2-1】同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事件A,“向上的面至少有一枚是正面”为事件B,则

有（）

A.A=BB.A^BC.AQBD.A与B之间没有关系

【典例2-2】对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设4=｛两次都击中飞机｝,2=｛两次

都没击中飞机｝,C=｛恰有一弹击中飞机｝,D=｛至少有一弹击中飞机｝,下列关系不正确的是（）

A.AcDB.BQD=0

C.A<JC=DD.AU5=BUD

【方法技巧】

事件的关系运算策略

（1）互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生.

（2）进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全

部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析.也可类比集合的关系和运用Venn图分析事件.

【变式2-1］（2024.重庆.模拟预测）对于两个事件A,3,则事件AUB表示的含义是（）

A.A与8同时发生B.A与8有且仅有一个发生

C.A与8至少一个发生D.A与8不能同时发生

【变式2-2】掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上的点数，若A表示事件“点数大于3”，8表示事件“点数为

偶数”，则事件“点数为5”可以表示为（）

A.AOBB.AnBC.~A\JBD.A^B

【变式2-3］从10个事件中任取一个事件，若这个事件是必然事件的概率为0.3,是不可能事件的概率为

0.1,则这10个事件中具有随机性的事件的个数为（）

A.5B.6C.7D.8

【变式2-4】如图，甲、乙两个元件串联构成一段电路，设加="甲元件故障"，N="乙元件故障”，则表

示该段电路没有故障的事件为（）

甲乙

A.MuNB.MuNC.Mr>ND.~MU

【变式2-5］（2024.上海长宁.一模）掷两颗骰子，观察掷得的点数；设事件A为：至少一个点数是奇数；

事件8为：点数之和是偶数；事件A的概率为尸（A）,事件8的概率为P（B）；贝口-尸（AcB）是下列哪个

事件的概率（）

A.两个点数都是偶数B.至多有一个点数是偶数

C.两个点数都是奇数D.至多有一个点数是奇数

题型三：频率与概率

【典例3-11某人抛掷一枚硬币80次，结果正面朝上有43次.设正面朝上为事件4则事件A出现的概率

为一

【典例3-2］（2024・高三•新疆阿克苏•期末）“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自

利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象.某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：

在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有7600人，则可估计该地区对

“键盘侠”持反对态度的有人.

【方法技巧】

（1）概率与频率的关系

频率是随机的，而概率是一个确定的值，

f通常用概率来反映随机事件发生的可能

@性的大小

（2）随机事件概率的求法

通过大量的重复试验，事件发生的频率

f会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就

@是事件的概率，

【变式3-1］（2024•陕西西安•模拟预测）在一个口袋中放有3个白球和〃个红球，这些球除颜色外都相同,

某班50名学生分别从口袋中每次摸一个球，记录颜色后放回，每人连续摸10次，其中摸到白球的次数共

152次，以频率估计概率，若从口袋中随机摸1个球，则摸到红球概率的估计值为.（小数点后保留一

位小数）

【变式3-21下列说法：①设有一批产品，其次品率为0.05,则从中任取200件，必有10件次品；②做

100次抛硬币的试验，有51次出现正面.因此出现正面的概率是0.51；③随机事件A的概率是频率的稳定

值；④随机事件A的概率趋近于0,即尸（㈤趋近于0,则A是不可能事件；⑤抛掷骰子100次，得点数是

9

1的结果是18次，则出现1点的频率是二；⑥随机事件的频率就是这个事件发生的概率；其中正确的

有一•

【变式3-3］（2024.全国.模拟预测）在对于一些敏感性问题调查时，被调查者往往不愿意给正确答复，因

此需要特别的调查方法.调查人员设计了一个随机化装置，在其中装有形状、大小、质地完全相同的50个

黑球和50个白球，每个被调查者随机从该装置中抽取一个球，若摸到黑球则需要如实回答问题一：你公历

生日是奇数吗？若摸到白球则如实回答问题二：你是否在考试中做过弊.若100人中有52人回答了“是”，

48人回答了“否”.则问题二“考试是否做过弊"回答“是”的百分比为（以100人的频率估计概率）—.

【变式3-4］长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约有40%的人近视，而该校大约有20%的

学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查

一名学生，则他近视的概率约为.

题型四：生活中的概率

【典例4-1】（2024・重庆•模拟预测）为研究吸烟是否与患肺癌有关，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽

样的方法调查了10000人，已知非吸烟者占比75%,吸烟者中患肺癌的有63人，根据统计结果表明，吸烟

者患肺癌的概率是未吸烟者患肺癌的概率的4.2倍，则估计本次研究调查中非吸烟者患肺癌的人数是—.

【典例4-2］（2024.北京朝阳.一模）某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次,

预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品.规则如下：（i）摇号的初始中签率为0.19；（五）当中

签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率

增加0.05.为了使中签率超过0.9，则至少需要邀请一位好友参与到“好友助力”活动.

【方法技巧】

概率和频率的关系：概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的

大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似

地当作随机事件的概率.

【变式4-1］（2024・江苏南京.三模）19世纪，美国天文学家西蒙・纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1

开头的数出现的频率更高.约半个世纪后，物理学家本福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量

数据中，以1开头的数出现的频率约为总数的三成，接近期望值B的3倍，并提出本福特定律，即在大量6

进制随机数据中，以〃开头的数出现的概率为七（〃）=log,如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较

符合该定律.后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性.根据本福

9

特定律，在某项大量经济数据（十进制）中，以6开头的数出现的概率为—；若

n=k

ZeN*,k<9,则左的值为.

【变式4-2】为了了解学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在某学校进行了如下的

随机调查:向被调查者提出两个问题：（1）你的学号是奇数吗？（2）在过路口的时候你是否闯过红灯?要求

被调查者背对调查人抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第（1）个问题;否则就回答第（2）个问题.被

调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需要回答“是”或“不是”，因为只有被调查本人知道

回答了哪个问题，所以都如实做了回答.如果被调查的600人（学号从1到600）中有180人回答了“是”，由此

可以估计在这600人中闯过红灯的人数是.

【变式4-3］（2024・广西・二模）今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类.

某天在市场中随机抽出100名市民调查，其中不买猪肉的人有30位，买了肉的人有90位，买猪肉且买其

它肉的人共30位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为

题型五：互斥事件与对立事件

【典例5-1］（2024・高三・上海•开学考试）装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下

的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为

白球”互斥而非对立的事件是（）

A.①B.①②C.②③D.①②③

【典例5-2】抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：七=“点数为奇数”，尸="点数为偶数”，点数大

于2"，”="点数小于2"，尺="点数为3”.则下列结论不正确的是（）

A.为对立事件B.G,"为互斥不对立事件

C.瓦G不是互斥事件D.G,R是互斥事件

【方法技巧】

1、准确把握互斥事件与对立事件的概念：①互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发

生；②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，既有且仅有一个发生.

2、判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，

若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.

【变式5-1］现有一批产品共9件，已知其中5件正品和4件次品，现从中选4件产品进行检测，则下列事

件中互为对立事件的是（）

A.恰好两件正品与恰好四件正品

B.至少三件正品与全部正品

C.至少一件正品与全部次品

D.至少一件正品与至少一件次品

【变式5-2】事件A与B独立，八月分别是A、8的对立事件，则下列命题中成立的是（）

A.P（A+B）=P（A）P（B）B.P（A+B）=P（A）+P（B）

c.P（AB）=P（A）P（B）D,P（A+B）=P（A）+I-P（B）

【变式5-3】抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A="出现偶数点"，事件6="出现3点或4点”，贝|

事件A与B的关系为（）

A.相互独立事件B.相互互斥事件

C.即相互独立又相互互斥事件D.既不互斥又不相互独立事件

题型六：利用互斥事件与对立事件计算概率

【典例6-1】某人忘记了一位同学电话号码的最后一个数字，但确定这个数字一定是奇数，随意拨号，则

拨号不超过两次就拨对号码的概率为（）

,1八2r9

A.—B.—C.—D.—

55520

【典例6-2】某同学参加社团面试，己知其第一次通过面试的概率为0.7,第二次面试通过的概率为。“，若

第一次未通过，仍可进行第二次面试，若两次均未通过，则面试失败，否则视为面试通过，则该同学通过

面试的概率为（）

A.0.24B.0.42C.0.82D.0.88

【方法技巧】

求复杂的互斥事件的概率的两种方法

（1）直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率求和

公式计算.

（2）间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式尸（4）=1-尸（力，即运用逆向思维（正难则

反）.特别是“至多”“至少”型题目，用间接法求解就显得较简便.

【变式6-1】某商场在618大促销活动中，活动规则是：满168元可以参加促销摸奖活动，甲和乙两个箱

子各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球.顾客首先掷一枚质

地均匀的骰子，如果出现点数为1或2,顾客从甲箱子随机摸出一个球；如果点数为3,4,5,6,从乙箱

子随机摸出一个球，则摸出红球的顾客可以领取奖品，问顾客中奖率为—.

【变式6-2】体育课上甲、乙两名同学进行投篮比赛（甲、乙各投篮一次），甲投中的概率为0.7,乙投中

的概率为0.8,则甲、乙两人恰好有一人投中的概率为一.

【变式6-3】某电视台举办知识竞答闯关比赛，每位选手闯关时需要回答三个问题.第一个问题回答正确得

10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得20分，回答错误得0分；第三个问题回答正确得30分，

回答错误得-20分.规定：每位选手回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功.若某位选手回答前

31

两个问题正确的概率都是［回答第三个问题正确的概率是丁且各问题回答正确与否相互之间没有影响，

则该选手仅回答正确两个问题的概率是—；该选手闯关成功的概率是—.

【变式6-4】甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的

一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为!，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判，

则前4局中乙恰好当一次裁判的概率是.

【变式6-5］设A8是一个随机试验中的两个事件，且尸（A）=g,P（3）=|,P（A+邛=；,则?（Afi）=（）

11

B.-cD.—

5-?10

【变式6-6］（2024・高三.上海.开学考试）已知事件A与事件B是互斥事件，则（）

A.尸（Xn月）=iB.尸（Ac8）=尸（A）P（5）

C.P（A）=1-P（B）D.P（AUB）=1

1.（2024年上海市1月春考数学试题）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四

个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件A：所选盒中有中国结，事件2：所选盒中有记事

本，事件C：所选盒中有笔袋，则（）

A.事件A与事件E互斥B.事件A与事件E相互独立

C.事件A与事件BuC互斥D.事件A与事件BcC相互独立

2.（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互

独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为口,〃2,A,且〃3>2>4>。.记该棋手连胜两盘

的概率为p,则（）

A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大

C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大

3.（2004年普通高等学校招生考试数学试题（江苏卷））将一颗质地均匀的骰子（各面上分别标有点数1,

2,3,4,5,6）先后抛掷3次，至少出现1次6点向上的概率是（）.

525-3191

A.-----B.-----C.D.

216216216216

4.（2007年普通高等学校招生考试数学（文）试题（重庆卷））从5张100元，3张200元，2张300元的

奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（）.

3整除，求下列事件的概率；

（1）这个数既能被2整除也能被3整除；

（2）这个数能被2整除或能被3整除；

（3）这个数既不能被2整除也不能被3整除.

6.如图是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况，其中A表示订阅数学学习资料的学生,

B表示订阅语文学习资料的学生，C表示订阅英语学习资料的学生

（1）从这个班任意选择一名学生，用自然语言描述1,4,5,8各区域所代表的事件;

（2）用A,B,C表示下列事件：

①恰好订阅一种学习资料；

②没有订阅任何学习资料.

7.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，求下列事件的概率：

（1）没有出现6点；

（2）至少出现一次6点；

（3）三个点数之和为9.

㈤6

〃\\

易错点：混淆频率和概率

易错分析：（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到事件的频率可能

不同。（2）概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关.

【易错题1】众所周知，长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约

有30%的学生每天玩手机超过2h,这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过2h的学生中任意调

查一名学生，则该名学生近视的概率为（）

【易错题2】抛一枚硬币的试验中，下列对“伯努利大数定律”的理解正确的是（）

A.大量的试验中，出现正面的频率为0.5.

B.不管试验多少次，出现正面的概率始终为0.5

C.试验次数增大，出现正面的经验概率为0.5

D.试验次数每增加一次，下一次出现正面的频率一定比它前一次更接近于0.5

答题模板：互斥、对立事件的辨析

1、模板解决思路

判断互斥事件、对立事件时，首先要明确两个事件包含的样本点，再判断两个事件的交事件是否是空

集，是空集则两个事件是互斥事件；若这两个互斥事件的并事件是样本空间，则两个事件是对立事件.注

意事件对立的前提是互斥.

2、模板解决步骤

第一步：明确两个事件包含的样本点，判断交事件是否为空集，并事件是否为样本空间。

第二步：得出结论.

【经典例题1】一个口袋内装有大小、形状相同的红色、黄色和绿色小球各2个，不放回地逐个取出2个

小球，则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有（）

A,2个小球恰有一个红球B.2个小球至多有1个红球

C.2个小球中没有绿球D.2个小球至少有1个红球

【经典例题2】某小组有2名男生和1名女生，从中任选2名学生参加比赛，事件“至少有1名男生”与事件

“至少有1名女生”（）

A.是对立事件B.都是不可能事件

C.是互斥事件但不是对立事件D.不是互斥事件

第04讲随机事件、频率与概率

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

03考点突破•题型探究............................................................4

知识点1：样本空间和随机事件....................................................4

知识点2：两个事件的关系和运算..................................................5

知识点3:概率与频率............................................................6

题型一：随机事件与样本空间.....................................................7

题型二：随机事件的关系与运算...................................................8

题型三：频率与概率.............................................................9

题型四：生活中的概率..........................................................10

题型五：互斥事件与对立事件....................................................11

题型六：利用互斥事件与对立事件计算概率........................................12

04真题练习•命题洞见............................................................13

05课本典例•高考素材............................................................25

06易错分析•答题模板............................................................14

易错点：混淆频率和概率........................................................14

答题模板：互斥'对立事件的辨析................................................15

春情目标导航

考点要求考题统计考情分析

本节内容是概率的基础知识，考查形

(1)样本空间和随机事件式可以是选择填空题，也可以在解答题中

2024年上海卷第15题，4分

(2)两个事件的关系和运算出现.出题多会集中在随机事件的关系以

2023年上海卷第5题，4分

(3)频率与概率对应的概率求解.整体而言，本节内容在

高考中的难度处于偏易.

复习目标；

(1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别.

(2)理解事件间的关系与运算.

匐2

〃二知识导图•思维引航\\

随机事件频率与概率

考点突破■题型探究

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知识

知识点1:样本空间和随机事件

1、随机试验

我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示.

我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：

（1）试验可以在相同条件下重复进行；

（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；

（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.

2、样本空间

我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间，一

般地，用.Q.表示样本空间，用o表示样本点，如果一个随机试验有〃个可能结果电，a>2,0“，

则称样本空间。=｛外,在,…｝为有限样本空间.

3、随机事件、确定事件

（1）一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方

便，我们将样本空间。的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.当

且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.

（2）。作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以。总会发

生，我们称。为必然事件.

（3）空集0不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为。为不可能事件.

（4）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对随机事件的确定事件.

【诊断自测】下列现象是必然现象的是（）

A.某路口每星期发生交通事故1次

B.冰水混合物的温度是UC

C.三角形的内角和为180。

D.一个射击运动员每次射击都命中7环

【答案】C

【解析】对于选项A：某路口每星期发生交通事故1次，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象，

故A错误；

对于选项B：理想状态下冰水混合物的温度应是（TC,这个事件为不可能现象，故B错误；

对于选项C：三角形的内角和为180。，这个事件为必然现象，故C正确；

对于选项D：一个射击运动员每次射击都命中7环，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象，故D

错误；

故选：C.

知识点2：两个事件的关系和运算

1、事件的关系与运算

①包含关系：一般地，对于事件A和事件3,如果事件A发生，则事件3一定发生，这时称事件3包

含事件A（或者称事件A包含于事件3）,记作3?A或者Au8.与两个集合的包含关系类比，可用下图

表示：

不可能事件记作0，任何事件都包含不可能事件.

②相等关系：一般地，若BqA且AqB,称事件A与事件5相等.与两个集合的并集类比，可用下

图表示：

③并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件A发生或事件3发生，则称此事件为事件A与事件

3的并事件（或和事件），记作AU3（或A+3）.与两个集合的并集类比，可用下图表示：

④交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件A发生且事件3发生，则称此事件为事件A与事件

B的交事件（或积事件），记作（或AB）.与两个集合的交集类比，可用下图表示：

2,互斥事件与对立事件

（1）互斥事件：在一次试验中，事件A和事件3不能同时发生，即4口8=0，则称事件A与事件3

互斥，可用下图表示:

Q

如果4，4，....A“中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A，.A.,4彼此互斥.

（2）对立事件：若事件A和事件3在任何一次实验中有且只有一个发生，即AUB=。不发生,

AQB=0则称事件A和事件B互为对立事件，事件A的对立事件记为A.

（3）互斥事件与对立事件的关系

①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者

之一必须有一个发生.

②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充分条

件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件.

【诊断自测】掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A,“向上的点数是1或5”为事件8,

贝I（）

A.A=B

B.AUB表示向上的点数是1或3或5

C.AUB表示向上的点数是1或3

D.AcB表示向上的点数是1或5

【答案】B

【解析】由题可知，“向上的点数是1或3”为事件A,“向上的点数是1或5”为事件2,

所以事件B不等于事件A,故A错误；

事件AUB表示“向上的点数是1或3或5”，故B正确，C错误；

事件AcB表示“向上的点数是1"，故D错误；

故选：B.

知识点3：概率与频率

（1）频率：在W次重复试验中，事件A发生的次数上称为事件A发生的频数，频数上与总次数”的比

值幺，叫做事件A发生的频率.

n

（2）概率：在大量重复尽心同一试验时，事件A发生的频率4总是接近于某个常数，并且在它附近

摆动，这时，就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）.

（3）概率与频率的关系：对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率&随着试验次数的增加稳

n

定于概率p（A）,因此可以用频率&来估计概率尸（A）.

n

【诊断自测】在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身

份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，

如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题.由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，

所以应答者一般乐意如实地回答问题.如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回

答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为（）

A.4.33%B.3.33%C.3.44%D.4.44%

【答案】B

【解析】因为抛硬币出现正面朝上的概率为1，大约有150人回答第一个问题，

又身份证号码的尾数是奇数或偶数是等可能的，

在回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，

共有80个“是”的回答，故回答服用过兴奋剂的人有5人，

因此我们估计这群人中，服用过兴奋剂的百分率大约为高。3.33%.

故选：B

题型洞察

题型一：随机事件与样本空间

【典例1-1】若随机试验的样本空间为。={0,1,2},则下列说法不正确的是（）

A.事件P={L2}是随机事件B.事件。={0』,2}是必然事件

C.事件〃={-1,-2}是不可能事件D.事件{-1,0}是随机事件

【答案】D

【解析】随机试验的样本空间为。={0』,2},

则事件尸={1,2}是随机事件，故A正确；

事件Q={0」,2}是必然事件，故