2025年新高考数学一轮复习：复数（八大题型）（讲义）（学生版+解析）

第03讲复数

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

03考点突破•题型探究............................................................4

知识点1：复数的概念............................................................4

知识点2：复数的四则运算........................................................4

解题方法总结...................................................................6

题型一：复数的概念.............................................................6

题型二：复数的运算.............................................................7

题型三：复数的几何意义.........................................................8

题型四：复数的相等与共辗复数...................................................9

题型五：复数的模...............................................................9

题型六：复数的三角形式........................................................10

题型七：与复数有关的最值问题..................................................11

题型八：复数方程..............................................................12

04真题练习•命题洞见............................................................13

05课本典例•高考素材............................................

06易错分析•答题模板............................................................14

易错点：复数运算法则的应用有误................................................14

答题模板：复数式的计算........................................................14

考情透视.目标导航

考点要求考题统计考情分析

2024年I卷第2题，5分

2024年II卷第1题，5分高考对复数的考查相对稳定，每年必考题

（1）复数的有关概念2023年I卷第2题，5分型，考查内容、频率、题型、难度均变化不

（2）复数的几何意义2023年H卷第1题，5分大.复数的运算、概念'复数的模'复数的几何

（3）复数的四则运算2022年I卷II卷第2题，5分意义是常考点，难度较低，预测高考在此处仍以

2021年II卷第1题，5分简单题为主.

2021年I卷第2题，5分

复习目标：

（1）通过方程的解，认识复数.

（2）理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.

（3）掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.

//二知识导图•思维引航\\

形如。+加（。，力£衣）的数叫做复数，

K复数的定义

其中。是复数二的实部，。是复数1:的虚部，i为虚数单位.

［复数的分类

复数的概念复数相等)~(a+bi=c+di0a=c且b=d(a,b,c,dCR).~)

Y、共期豆数)~~(a+加与c+di互为共枕复数oa=c,b=-d(a,b,c,

复数”+〃（。,力£夫）的模，也就是向量次的模，即有向线段次的长度,

Y1复数的模

:z2ii

其计算公式为团=|。+加|=Ja+b',显然，\z\=\a-bi\=-＞］a+b,Z'Z=a+b.

(

复数(a-^bi)±(c+di)=(a±c)+(b±l)i

Zl'Zi=ac-bd+(ad+bc)i

-（复数::=。+加（。,be砌对应平面内的点ZMM

T；复数14+加（%6£1?）对应平面向量次）

复数的四则运算良数的皿义

（复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数,各象限内的点都表示复数.

「复数1〃+"（%b£K）的模闵表示复平面内的点Z（%b）到原点的距离

复数的三角表示式

辐角的主值

三角形式下的两个复数相等

复数的三角形式

复数三角形式的乘法运算。。。+，$加。。+，§加。）=//。。$（。〃加（。+。

,1（511）¥2（0$/;2［1+8：）+12）］.

复数三角形式的除法运算器需案衿即⑸出+S的

老占突硒・力理悭宙

知识固本

知识点1:复数的概念

（1）i叫虚数单位，满足产=-1,当左eZ时，泮=1,产"=/•，严+2=-1,产+3=7.

（2）形如“+砥a,beR）的数叫复数,记作。+万eC.

①复数z=a+友（a,beR）与复平面上的点Z（a力）一一对应，a叫z的实部，b叫z的虚部；

b=OozeR,Z点组成实轴；6w0,z叫虚数；8,0且。=0,z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括

原点）.两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轨复数.

d=c

②两个复数a+次,c+成（〃也c,deR）相等,（两复数对应同一点）

b=d

③复数的模：复数a+的模，也就是向量OZ的模，即有向线段OZ的长度，其计算公式

为|z|二|〃+万|=+从，显然，|z|=|tz-bi\=a2+b2,z-z=a2+b2.

【诊断自测】（2024.湖南衡阳.模拟预测）若复数z=罟，则工的虚部为（）

3-1z

A.-2iB.2iC.2D.-2

知识点2：复数的四则运算

1、复数运算

(1)(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i

(2)(Q+bi)•(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)i

(a+bi)♦(a—bi)=z=a1+b1=|z|2

,(注意Z2=|Z『)

z+z=2〃

其中|z|=1•+廿,叫z的模；三-次是z=a+万的共轨复数.

a+bi_(a+bi)-(c—di)(ac+bd)+(be-ad)i

(3)(c2+/。o).

c+di(c+成)•(c—di)c2+d2

实数的全部运算律(加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数基运算法则)都适用于复数.

注意：复数加、减法的几何意义

以复数4/2分别对应的向量。为邻边作平行四边形OZ|ZZ2,对角线OZ表示的向量OZ就是

复数4+Z2所对应的向量.4-4对应的向量是224.

2、复数的几何意义

(1)复数z=a+沅对应平面内的点z(a,b)；

(2)复数z=a+bi(a,6eE)对应平面向量OZ;

(3)复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数.

(4)复数z=a+bi(a,万eR)的模|z|表示复平面内的点z(a,b)到原点的距离.

3、复数的三角形式

(1)复数的三角表示式

一般地，任何一个复数z=a+4•都可以表示成“cosO+isin。)形式，其中r是复数z的模；0是以x轴

的非负半轴为始边，向量OZ所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z=a+4•的辐

角.r(cos6+isine)叫做复数Z=a+初的三角表示式，简称三角形式.

(2)辐角的主值

任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2万的整数倍.规定在0<，<2"范围内的

辐角夕的值为辐角的主值.通常记作argz,即04argz<2万.复数的代数形式可以转化为三角形式，三角

形式也可以转化为代数形式.

(3)三角形式下的两个复数相等

两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.

(4)复数三角形式的乘法运算

①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即

r\(cos3X+isinr2(cossin02)=r\r2[cos(^+02)+fsin(^+名)]

②复数乘法运算的三角表示的几何意义

复数40对应的向量为OZ1,OZ2,把向量。Z1绕点。按逆时针方向旋转角?(如果2<0,就要把

。4绕点O按顺时针方向旋转角网)，再把它的模变为原来的？倍，得到向量OZ,OZ表示的复数就是

积Z]Zz.

(5)复数三角形式的除法运算

两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数

的辐角所得的差，即爪cos，+M）=ZL［cos的一%）+isin©-g］•

L

r2（cos02+isin02）r2

【诊断自测】（2024.河北衡水.模拟预测）若2=片为纯虚数，aeR,则|z+l|=（）

A.拒B.V3C.2D.3

解题方法总结

复数z的方程在复平面上表示的图形

（1）°4忖4。表示以原点。为圆心，以。和6为半径的两圆所夹的圆环;

（2）|z—（〃+4）|=r（厂〉0）表示以（a,b）为圆心，r为半径的圆.

题型一：复数的概念

【典例1-1］（2024.新疆.三模）复数z满足|z+2i|=|z|,则2的虚部为（）

A.-iB.iC.-1D.1

•2•

【典例1-2］（2024.湖北武汉.模拟预测）设复数2=二7,则1的虚部是（）

—1—i

A.1B.-1C.iD.-i

【方法技巧】

无论是复数模、共转复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，所以在解决复

数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚.

【变式1-1］（2024•重庆•三模）设复数z满足2z-五=1,贝Uz的虚部为（）

11

A.—B.—C.3D.—3

33

【变式1-2］（2024.福建泉州.模拟预测）若z.（2+i）=3-产=贝”的虚部为（）

722

A.-1B.-C.——D.——i

555

【变式1・3]若复数z满足|z|=|z+2i|,且广为纯虚数，贝”=.

题型二：复数的运算

【典例2-1】（2024・四川•模拟预测）已知复数Z满足z-2N=2-3i,则2=（）

A.-2-iB.2-iC.-2+iD.2+i

【典例2-2】设i是虚数单位，则复数（1-i）（l+2i）=（）

A.3+3iB.-l+3iC.3+iD.-1+i

【方法技巧】

设Z]=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dGR),则

(1)Z]±z2=a±c+(b±d)i

(2)

Zy-z2=ac—bd+(ad+bc)i

Zac+bdbe—ad人、

(3)厂中+E—°)

z—1

【变式2-1]（2024•青海海南•一模）已知z=3+2i,则石力()

A.3-3iB.3+3i

c33.-33.

C.------1D.—+—i

2222

【变式2-2]（2024•江西景德镇•三模）下列有关复数4，4的等式中错误的是（

A.[Z]+Z2]=|Z]]+H|B.z|+z2=z]+z2

C.^-£2=zrz2D.卜勾=团以

【变式2-3]已知复数Z1,Z2的模长为1,且Z]+Z2=Z]Z2，贝l]zi+z2的值是（）

A.1B.-1C.iD.-i

题型三：复数的几何意义

【典例3-1】（2024・山西吕梁•三模）已知复数z满足77M:二方?。?二则复数三在复平面对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【典例3-2］若复数z满足（2+3山=12024+燎您，则复数I在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【方法技巧】

复数的几何意义在于复数的实质是复平面上的点，其实部、虚部分别是该点的横坐标、纵坐标，这是

研究复数几何意义的最重要的出发点.

【变式3-1］（2024•陕西铜川•模拟预测）已知复数4=言的实部为a,Z2=i（2+i）的虚部为6,贝|

z=o+（b+l）i在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【变式3-2］（2024・浙江•模拟预测）若复数z满足z+22=3+i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位

于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【变式3-3］（2024•陕西铜川.模拟预测）已知复数4=三的实部为o,Z2=i（2+i）的虚部为匕，则

z=a+（b+l）i的共辗复数在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【变式3-4］（2024.河南信阳.模拟预测）在复平面内，把复数3-后对应的向量“按顺时针方向旋转三,

所得向量在°上的投影向量对应复数是（）

--3i3-后

A.20-3iB.3-2同C.D.

22

题型四：复数的相等与共铜复数

2

【典例44](2024.天津武清.模拟预测)已知acR,且ai+三=1,则。=

【典例率2】已知复数z的共轨复数是三，若2i.z=zi+i2。％贝"=.

【方法技巧】

复数相等：a+bi=c+di=a=。且Z?=d(a,b,c,dGR)

共轨复数：a+友=c+dioa=c且1=—d(a,b,c,dGR).

2

【变式4-1](2024•山东聊城•二模)已知awR,且〃+i—-=1,则。=.

a+i

【变式4-2](2024•全国•模拟预测)1为虚数单位，复数z+|z|=8+4i,复数z的共轨复数为N,则2的虚部

为一

【变式4-3】已知a/eR,且满足(l+2i)(a+历)=3—i(其中i为虚数单位)，则/+/=.

【变式4-4】己知a,6eR,(l-i)(2+bi)=a,则a+b=__.

题型五：复数的模

【典例5-1】已知复数Z]=a(a—3i),z2=—a+(a~+2)i,(aeZ),且,+z?|=2&3,贝!1。=

【典例5-2】(2024•江西南昌•三模)已知复数z满足z+2=iz,则|z|=—.

【方法技巧】

|z|=7«2+b~

【变式5-1】复数卷筹的模为

【变式5-2]已知闾=3,冈=4,忆+22|=5,贝1]匕―2|=

【变式5-3］（2024•福建厦门•三模）复数z满足z+彳=2,无=4,则|z-7|=.

111

【变式5-4］已知复数数列｛z.｝满足z,=〃+册i,则

Z1Z2Z2023

题型六：复数的三角形式

【典例6-1】一般地，任何一个复数2=。+历（4,力eR）都可以表示成r（cos6+isine）形式，其中「是

复数z的模，6是以x轴的非负半轴为始边，向量位所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数

z=a+bi的辐角，r（cos6+isine）叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式.为了与“三角形式''区分

开来，a+bi（a,Z，wR）叫做复数的代数表示式，简称“代数形式”.已知4=cosa+isinq,

z2=cos6»2+isin6>2,cos（万+4+%）=|,其中。声（。,、［,名©［。,］］,则2-=.（结果表示代数

形式）

【典例6-2J计算10(cos§+isin§)+(-2\^+2i)xG'-夜i)的结果是

【方法技巧】

一般地，任何一个复数2=。+沅都可以表示成r（cos6+isin。）形式，其中r是复数z的模；。是以x轴

的非负半轴为始边，向量OZ所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数2=4+次的辐

角.r（cos6+『sin。）叫做复数2=。+初的三角表示式，简称三角形式.

【变式6-1］（2024•浙江绍兴•模拟预测）已知/=cos8+isin。，则在下列表达式中表示sin。的是（）

-iffAO\e,-iff

C.e-eD.-e+e

2i2i

【变式6-2］（2024•黑龙江哈尔滨•三模）复数z=a+历（a,6eR,i是虚数单位）在复平面内对应点为z,设

r=|OZ|,6是以x轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角，贝|z=a+历=r（cos6+isin。），把

r（cos9+isin。）叫做复数a+历的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，

［r（cos6+isin6）］"=r"［cosnO+\smn0^｛neN*）,例如：

、33

’1技2兀..2兀兀..兀

----1-----1cos-----Fisin——=cos2兀+isin2兀=1,(1+i)4=—+ism——4(cosTt+isinji)=-4，

223344

7

复数Z满足：z3=l+i，贝”可能取值为(

【变式6-3](2024•内蒙古赤峰•一模)棣莫弗公式(cosx+i・sin%)"=cos(>u;)+i・sin(>u;)(其中i为虚数单位)

是由法国数学家棣莫弗(1667-1754)发现的，根据棣莫弗公式可知，复数[cosg+LsingJ在复平面内所

对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【变式6-4](2024.湖北恩施.模拟预测)任意一个复数z=a+历都可以表示成三角形式，即

。+历=r(cose+isin。).棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗(1667—1754年)创立的，指的是：设两个复

数4=((cos4+isina),z2=7](cosft+isin6^),则z©=但[cos(g+2)+isin(q+60],已知复数

z=-+^i,则z2023+z2+』=()

22

题型七：与复数有关的最值问题

【典例7-1】(2024•江苏泰州•模拟预测)若复数句，Z2满足|z「3i|=2,|z2-4|=l,则匕-z?]的最大值是

()

A.6-V2B.6+72C.7D.8

【典例7-2](2024.山东烟台.三模)若复数z满足|z|=|z-2-2i|,则忖的最小值为()

A.1B.72C.73D.2

【方法技巧]

利用几何意义进行转化

【变式7-1］（2024・高三•河北沧州•期中）已知复数z0=6（cosV+isinVj,复数z满足|z-z0|=1,贝”z|

的最大值为（）

A.7B.6C.4不D.673

【变式7-2］（2024.湖南长沙三模）已知复数z满足回=1,则|z-2i|的取值范围为（）

A.[0,2]B.[1,3]C.[2,4]D,[1,9]

【变式7-3］（2024.江苏.模拟预测）若复数z=cos，+isin，，则|z-2+2i|的最大值是（）

A.2母-1B.272+1C.>/2+1D.20+3

【变式7-4］（2024•湖北鄂州.一模）已知复数Z-Z2满足,+括一力+卜-石+i|=2百，z?=2+2后（其

中i是虚数单位），则卜12怕勺最小值为（）

A.1B.2C.75D.3

【变式7-5］（2024.山东•模拟预测）复数z满足=则|z+l|的最小值为（）

A.—B.1C.亚D.1

22

【变式7-6］已知复数z满足|z-数+|z+l|=4,则|z］的取值范围为（）

A.［0,1］B.［2,3］C.［1,^］D.［73,2］

【变式7-7］（2024・安徽安庆•一模）设复数z满足条件|z|=l,那么卜+道+i|取最大值时的复数z为（）

题型八：复数方程

【典例8-1］（2024•湖南衡阳•模拟预测）已知复数>2是关于x的方程Y+0X+q=O（p，4eR）的一个根,

则加i+q|=（）

A.25B.5C.屈D.41

【典例8-2】（2024・江苏•一模）已知2+z•是关于x的方程尤以+5=0的根，则实数。=（）

A.2-iB.-4C.2D.4

【方法技巧】

复数方程是包含复数的方程，其中复数具有实部和虚部。解复数方程时，通常将利用复数的代数形式

及三角形式进行求解。

【变式8-1］（2024.上海嘉定.三模）己知复数x满足方程犬=-3,那么x=—.

【变式8-2】已知2i-3是关于x的方程Y+px+quO的一个根，其中p,qeR,则p+q=___.

【变式8-3］若1+及，是关于x的实系数方程必+法+。=。的一个复数根，则。=.

【变式8-413+4i的平方根为

【变式8-5］（2024.高三.上海浦东新•开学考试）若实系数方程/+依+6=。的一个根是i,则.+/,=

1.（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）设z="，则z•彳=（）

A.-2B.V2c.一0D.2

7

若1[r1||/

2.（2024年新课标全国I卷数学真题）7)

z—1

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

3.（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）若z=5+i,则i（彳+z）=（）

A.10iB.2iC.10D.2

7

4.（2024年北京高考数学真题）已知:=-1-i,则2=（）.

1

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

5.(2024年新课标全国II卷数学真题)已知z=-l-i,则忖=()

㈤6

〃「易错分析，答题模板.\\

易错点：复数运算法则的应用有误

222

易错分析：⑴区分(〃+Z?i)2-+2abi-b{a.bGR)与(Q+Z?)?=a+2ab+b(^a,bGR)

(2)区分(Q+历)(〃一为)=a2+b2(^a.b£R)与(〃+5)(〃—/?)=a2-H(a,beR)

【易错题1】设有下面四个命题

Pl：若复数Z满足』eR,则zeR；

z

为：若复数z满足Z2WR,则zeR;

。3：若复数4/2满足平2eR,则马=三；

PA：若复数zeR,则彳eR.

其中的真命题为

A.pvp3B.PM

C.p2,p3D.p2,p4

4+3；

【易错题2】己知二^=。+历(a,6eR,i为虚数单位)，则"+6=()

2-i

A.-1B.3

答题模板：复数式的计算

1、模板解决思路

复数的四则运算，解题的关键是知道?=-1.复数的乘法类似多项式(或单项式)乘法，复数的除

法类似分母有理化.

2、模板解决步骤

第一步：如果是除法运算，利用分母有理化，将复数的除法化简.

第二步：按照多项式乘法，将复数乘法化简.

第三步：把产=_1代入，进一步化简，求得最终结果.

【经典例题1】已知a,6为实数，复数z=a+2i,若*=2ai,贝”°|一网=（）

Z

A.-2B.-1C.1D.2

【经典例题2】计算（1+讥2-i）=（其中i为虚数单位）.

第03讲复数

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

03考点突破•题型探究............................................................4

知识点1：复数的概念............................................................4

知识点2：复数的四则运算........................................................4

解题方法总结...................................................................6

题型一：复数的概念.............................................................6

题型二：复数的运算.............................................................7

题型三：复数的几何意义.........................................................8

题型四：复数的相等与共柜复数...................................................9

题型五：复数的模...............................................................9

题型六：复数的三角形式........................................................10

题型七：与复数有关的最值问题..................................................11

题型八：复数方程..............................................................12

04真题练习•命题洞见............................................................13

05课本典例•高考素材.............................................错误!未定义书签。

06易错分析•答题模板............................................................14

易错点：复数运算法则的应用有误................................................14

答题模板：复数式的计算........................................................14

春情目标导航

考点要求考题统计考情分析

2024年I卷第2题，5分

2024年II卷第1题，5分高考对复数的考查相对稳定，每年必考题

（1）复数的有关概念2023年I卷第2题，5分型，考查内容、频率、题型、难度均变化不

（2）复数的几何意义2023年H卷第1题，5分大.复数的运算、概念'复数的模'复数的几何

（3）复数的四则运算2022年I卷II卷第2题，5分意义是常考点，难度较低，预测高考在此处仍以

2021年II卷第1题，5分简单题为主.

2021年I卷第2题，5分

复习目标：

（1）通过方程的解，认识复数.

（2）理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.

（3）掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.

//二知识导图•思维引航\\

形如。+加（。，力£衣）的数叫做复数，

K复数的定义

其中。是复数二的实部，。是复数1:的虚部，i为虚数单位.

［复数的分类

复数的概念复数相等)~(a+bi=c+di0a=c且b=d(a,b,c,dCR).~)

Y、共期豆数)~~(a+加与c+di互为共枕复数oa=c,b=-d(a,b,c,

复数”+〃（。,力£夫）的模，也就是向量次的模，即有向线段次的长度,

Y1复数的模

:z2ii

其计算公式为团=|。+加|=Ja+b',显然，\z\=\a-bi\=-＞］a+b,Z'Z=a+b.

(

复数(a-^bi)±(c+di)=(a±c)+(b±l)i

Zl'Zi=ac-bd+(ad+bc)i

-（复数::=。+加（。,be砌对应平面内的点ZMM

T；复数14+加（%6£1?）对应平面向量次）

复数的四则运算良数的皿义

（复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数,各象限内的点都表示复数.

「复数1〃+"（%b£K）的模闵表示复平面内的点Z（%b）到原点的距离

复数的三角表示式

辐角的主值

三角形式下的两个复数相等

复数的三角形式

复数三角形式的乘法运算。。。+，$加。。+，§加。）=//。。$（。〃加（。+。

,1（511）¥2（0$/;2［1+8：）+12）］.

复数三角形式的除法运算器需案衿即⑸出+S的

考点突破■题型探究

知识固本

知识点1:复数的概念

(1)，叫虚数单位,满足产=-1,当左eZ时,泮=1,严*+2=T*+3=_Z：

(2)形如〃+砥4,人£我)的数叫复数，记作Q+玩£0.

①复数z=。+4(a,H)与复平面上的点Z(a,b)对应，a叫z的实部，Z?叫z的虚部；

b=Ooz£R,Z