专题01 手拉手模型大全 带解析

初中数学手拉手模型大全（含解析）等边三角形模型一、△ACE与△DBC是等边三角形。当B、C、E三点不共线时1.△ACE≅△BCD2.BD=CE3.∠APB=60°思路引领:由:∠ACB=∠ECD=60°⇒∠BCD=∠ACE又∵AB=AC,CD=CE∴△ACE≅△BCD∴BD=AE,∠CAE=∠CBD(法一)∴点A,B,C,P四点共圆.∴∠APB=∠ACB=60°(法二)∠APB+∠CAE=∠ACB+∠BCD=∠AGB∴∠APB=∠ACB=60°模型二、△ACE与△DBC是等边三角形。当B、C、E三点共线时，则有以下10个结论(可借助右边备用图)1.△ACE≅△BCD2.BD=CE3.∠APB=60°以上证法同一.4.△HCA≅△BGC由△ACE≅△BCD可得∠CAE=∠CBD,又∵AB=AC,∠ACH=∠BCG=60°,∴△HCA≅△BGC5.△GCH是等边三角形.△HCA≅△BGC⇒CG=CH又由于∠BCG=60°,所以△GCH是等边三角形.6.△GDC≅△HCE△HCA≅△BGC⇒CG=CH又由于DC=ED,∠ACH=∠BCG=60°可得△GDC≅△HCE7.GH∥BE由△GCH是等边三角形.可得∠CHG=∠HCE=60°GH∥BE8.PC平分∠EPB思路:过点C作CM,CN分别垂直于BD,AE,垂足为M,N∵△ACE≅△BCD∴CM=CN∴PC平分∠EPB9.BP=AP+PC,EP=PD+PC如图,截取BQ=AP易证△APC≅△BQC得∠BCQ=∠ACP,CP=CQ可证:∠QCP=60°得△CPQ为等边三角形.则CP=QP.∴BP=BQ+QP=AP+AC同法可证:EP=PD+PC10.△GCB∽△APG，△DPH∽△HCE由上述结论中的:∠CBG=∠PAG,∠APG=∠GCB,可证△GCB∽△APG同理可证△DPH∽△HCE等腰篇模型三、若△ACE与△DBC是等腰三角形。且∠ACB=∠ECD=α, 1.△ACD≅BCE2.CF平分∠DFE3.∠AFB=α证明思路同上模型四、如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，试证明：1.△DCG≅△EBC，BE＝DG；2.BE⊥DG；3.DE2+BG2＝2a2+2b24.△DHM∽△BCM,△HEN∽△CGN1.∵正方形ABCD和正方形CEFG∴BC＝CD＝a，CE＝CG＝b，∠BCD＝∠ECG＝90°∴∠BCD+∠DCE＝∠ECG+∠DCE，即∠BCE＝∠DCG∴△BCE≌△DCG（SAS）∴BE＝DG，2.设BE与CD交于H，∵∠CBE+∠BTC＝90°，∠BTC＝∠DTE∴∠CDG+∠DTE＝90°，∴∠DHT＝90°∴BE⊥DG3.连接BD，EG，在Rt△DEH中，DE2＝DH2+EH2，在Rt△BGH中，BG2＝BH2+GH2在Rt△BDH中，BH2+DH2＝BD2，在Rt△EHG中，EH2+GH2＝EG2，∴DE2+BG2＝DH2+EH2+BH2+GH2＝BD2+EG2，在Rt△BCD中，BD2＝BC2+CD2＝2a2，在Rt△CEG中，EG2＝CE2+CG2＝2b2，∴DE2+BG2＝2a2+2b2，4.∵∠CBM=∠MDH,∠CMB=∠DMH.∴△DHM∽△BCM,同理可证：△HEN∽△CGN五、垂美四边形△ABC中，∠BAC=90°,△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，可以得到：1.△DBF≅△ABC≅△FEC2.四边形FEAD是平行四边形3.∠FDA=30°∵△ABD，△ACE都是等边三角形，∴∠DAB＝∠EAC＝60°，∴∠DAE＝150°，∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴BD＝BA，BF＝BC，∠DBF+∠FBA＝∠ABC+∠ABF＝60°，∴∠DBF＝∠ABC，在△ABC与△DBF中，BD=BA∠DBF=∠ABC∴△ABC≌△DBF（SAS），∴AC＝DF＝AE＝4，同理可证：△ABC≌△EFC（SAS），∴AB＝EF＝AD＝3，∴四边形AEFD是平行四边形，∴∠DFE＝∠DAE＝150°，∴∠FDA＝180°﹣∠DFE＝180°﹣150°＝30°冲刺演练一．选择题1．如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a和b，BE和DG相交于点H，连接HC，给出下列结论：①BE＝DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2＝2a2+2b2；④HC平分∠BHG，其中正确结论是（）A．只有①②③ B．只有①②④ C．只有②③④ D．①②③④解：如图，∵正方形ABCD和正方形CEFG∴BC＝CD＝a，CE＝CG＝b，∠BCD＝∠ECG＝90°∴∠BCD+∠DCE＝∠ECG+∠DCE，即∠BCE＝∠DCG∴△BCE≌△DCG（SAS）∴BE＝DG，∠CBE＝∠CDG故①正确；设BE与CD交于H，∵∠CBE+∠BTC＝90°，∠BTC＝∠DTE∴∠CDG+∠DTE＝90°，∴∠DHT＝90°∴BE⊥DG故②正确；连接BD，EG，在Rt△DEH中，DE2＝DH2+EH2，在Rt△BGH中，BG2＝BH2+GH2在Rt△BDH中，BH2+DH2＝BD2，在Rt△EHG中，EH2+GH2＝EG2，∴DE2+BG2＝DH2+EH2+BH2+GH2＝BD2+EG2，在Rt△BCD中，BD2＝BC2+CD2＝2a2，在Rt△CEG中，EG2＝CE2+CG2＝2b2，∴DE2+BG2＝2a2+2b2，故③正确；∵∠BHD＝∠BCD＝90°∴B、C、H、D四点共圆，∴∠BHC＝∠BDC＝45°，∴∠GHC＝∠BHG﹣∠BHC＝45°∴∠BHC＝∠GHC∴HC平分∠BHG，（过点C作CQ⊥BT，CR⊥DG，利用全等三角形的性质证明也可以）．故④正确；故选：D．2．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中．①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝150°；④S四边形AEFD＝5．正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：∵32+42＝52，∴AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，故①正确； ∵△ABD，△ACE都是等边三角形，∴∠DAB＝∠EAC＝60°，∴∠DAE＝150°，∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴BD＝BA，BF＝BC，∠DBF+∠FBA＝∠ABC+∠ABF＝60°，∴∠DBF＝∠ABC，在△ABC与△DBF中，BD=BA∠DBF=∠ABC∴△ABC≌△DBF（SAS），∴AC＝DF＝AE＝4，同理可证：△ABC≌△EFC（SAS），∴AB＝EF＝AD＝3，∴四边形AEFD是平行四边形，故②正确；∴∠DFE＝∠DAE＝150°，故③正确；∴∠FDA＝180°﹣∠DFE＝180°﹣150°＝30°，∴S▱AEFD＝AD•（DF•sin30°）＝3×（4×12）＝6，故(还可以作AG⊥DF,利用三角函数求得AG长。)∴正确的个数是3个，故选：C．3．如图，在▱ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（）①△CDF≌△EBC；②∠CDF＝∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．A．只有①② B．只有①②③ C．只有③④ D．①②③④解：∵△ABE、△ADF是等边三角形∴FD＝AD，BE＝AB∵AD＝BC，AB＝DC∴FD＝BC，BE＝DC∵∠CBE＝∠FDC，∠FDA＝∠ABE∴∠CDF＝∠EBC∴△CDF≌△EBC，故①正确；∵∠FAE＝∠FAD+∠EAB+∠BAD＝60°+60°+（180°﹣∠CDA）＝300°﹣∠CDA，∠FDC＝360°﹣∠FDA﹣∠ADC＝300°﹣∠CDA，∴∠CDF＝∠EAF，故②正确；同理可得：∠CBE＝∠EAF＝∠CDF，∵BC＝AD＝AF，BE＝AE，∴△EAF≌△EBC，∴∠AEF＝∠BEC，∵∠AEF+∠FEB＝∠BEC+∠FEB＝∠AEB＝60°，∴∠FEC＝60°，∵CF＝CE，∴△ECF是等边三角形，故③正确；在等边三角形ABE中，∵等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段∴如果CG⊥AE，则G是AE的中点，∠ABG＝30°，∠ABC＝150°，题目缺少这个条件，CG⊥AE不能求证，故④错误．故选：B．二．解答题4．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由．（2）求证：BE＝CD，BE⊥CD．（1）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴AB=2BC∵△ABD和△ACE均为等腰直角三角形，∴BD=2AB=BC2×∵G为BD的中点，∴BG=12BD＝∴△CBG为等腰直角三角形，∴∠CGB＝45°，∵∠ADB＝45°，AD∥CG，∵∠ABD＝45°，∠ABC＝45°∴∠CBD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠CBD+∠ACB＝180°，∴AC∥BD，∴四边形ACGD为平行四边形；（2）证明：∵∠EAB＝∠EAC+∠CAB＝90°+45°＝135°，∠CAD＝∠DAB+∠BAC＝90°+45°＝135°，∴∠EAB＝∠CAD，在△DAC与△BAE中，AD=AB∠CAD=∠EAB∴△DAC≌△BAE，∴BE＝CD；∵∠EAC＝∠BCA＝90°，EA＝AC＝BC，∴四边形ABCE为平行四边形，∴CE＝AB＝AD，在△BCE与△CAD中，BC=AC∠BCE=∠CAD=135°∴△BCE≌△CAD，∴∠CBE＝∠ACD，∵∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠CBE+∠BCD＝90°，∴∠CFB＝90°，即BE⊥CD．5．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别为线段AB、AC上的点，且AD＝AE．（1）将△ADE绕点A旋转一定的角度至如图2所示位置，求证：△ABD≌△ACE．（2）如图3，当∠BAC＝∠DAE＝90°，且点D在线段BE上时，求证：BE⊥CE．（3）在（2）的条件下，若AB＝AC＝4，AD＝AE＝2，则线段CE的长为．（1）证明：由旋转知，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）∵∠AD＝AE，∠DAE＝90°，∴∠ADE＝∠AED＝45°，∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝135°，由（1）知，△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC，∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝∠ADB﹣∠AED＝135°﹣45°＝90°，∴BE⊥CE；（3）设CE＝x，由（1）知，△ABD≌△ACE，∴BD＝CE＝x，在Rt△ADE中，AD＝AE＝2，∴DE=2AD＝22∴BE＝BD+DE＝x+22，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，∴BC=2AB＝42由（2）知，∠BEC＝90°，在Rt△BEC中，根据勾股定理得，BE2+CE2＝BC2，∴（x+22）2+x2＝（42）2，∴x=−2−14（舍）或即CE=14故答案为：14−6．【操作发现】如图①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．（1）请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′；（2）在（1）所画图形中，∠AB′B＝．【问题解决】如图②，在等边三角形ABC中，AC＝7，点P在△ABC内，且∠APC＝90°，∠BPC＝120°，求△APC的面积．小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：想法一：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系；想法二：将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系．…请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．（一种方法即可）【灵活运用】如图③，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝2，CD＝5，AD＝kAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）．解：【操作发现】（1）如图所示，△AB′C′即为所求；（2）连接BB′，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，∴AB＝AB′，∠B′AB＝90°，∴∠AB′B＝45°，故答案为：45°；【问题解决】如图②，∵将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，∴△APP′是等边三角形，∠AP′C＝∠APB＝360°﹣90°﹣120°＝150°，∴PP′＝AP，∠AP′P＝∠APP′＝60°，∴∠PP′C＝90°，∠P′PC＝30°，∴PP′=32PC，即AP