专题05 勾股定理的证明方法 带解析

2022-2023学年湘教版八年级数学下册精选压轴题培优卷专题05勾股定理的证明方法姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、选择题(每题2分，共20分)1．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．下列结论：①；②；③四边形的面积是；④；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】D【思路点拨】利用可证，故①正确；由全等三角形的性质可得出，，求出，即可得到②正确；根据梯形的面积公式可得③正确；根据列式，可得④正确；整理后可得，即⑤正确．【规范解答】解：∵，，∴，∴，在和中，，∴，故①正确；∴，，∵，∴，∵，∴，故②正确；∵，，∴梯形的面积是，故③正确；∵，∴，故④正确；整理得：，∴该图可以验证勾股定理，故⑤正确；正确的结论个数是5个，故选：D．【考点评析】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，梯形的面积计算，三角形的面积计算，勾股定理等知识，解答时证明三角形全等是关键．2．(本题2分)（2023秋·河北唐山·八年级统考期末）意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列对，所列等式不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【思路点拨】根据勾股定理、直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题．【规范解答】解：由勾股定理可得，由题意，可得，故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意．故选：A．【考点评析】本题考查了勾股定理的证明，直角三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是读懂图像信息．3．(本题2分)（2022秋·山东枣庄·八年级校考阶段练习）如图是用硬纸板做成的两个直角边长分别为a，b，斜边长为c的全等三角形拼成的图形，观察图形，可以验证（）A．a2＋b2＝c2 B．（a－b）2＝a2－2ab＋b2 C．a2－b2＝（a＋b）（a－b） D．（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2【答案】A【思路点拨】根据梯形面积的不同计算方法得出等式，整理后可得答案．【规范解答】解：由题意得：梯形的面积＝，∵梯形的面积又可以看作是三个直角三角形的面积和，∴梯形的面积＝，∴，整理得：，故选：A．【考点评析】本题主要考查了整式的混合运算，勾股定理的证明，熟练掌握梯形的面积公式和三角形的面积公式是解题的关键．4．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（

）A．B． C． D．【答案】D【思路点拨】根据面积公式推理论证判断即可．【规范解答】∵中，根据面积关系，得到，∴选项A能证明勾股定理；∵中，根据面积关系，得到，故，∴选项B能证明勾股定理；∵中，根据面积关系，得到，故，∴选项C能证明勾股定理；∵中，根据面积关系，得到，∴选项D不能证明勾股定理；故选：D．【考点评析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式，熟练掌握勾股定理的证明和完全平方公式的几何意义是解题的关键．5．(本题2分)（2022秋·山西运城·八年级统考期末）意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如下图所示的左图和右图，证明了勾股定理．若设左边图中空白部分的面积为．右边图中空白部分的面积为，则下列对，所列等式正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【思路点拨】根据直角三角形以及正方形的面积公式计算即可解决问题．【规范解答】解：观察图形可知：S1=S2=a2+b2+ab=c2+ab，故选：B．【考点评析】本题考查勾股定理的证明，直角三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．6．(本题2分)（2022春·湖北十堰·八年级统考期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A． B． C． D．【答案】D【思路点拨】利用两个以a和b为直角边三角形面积+一个直角边为c的等腰直角三角形面积和=上底为a,下第为b,高为（a+b）的梯形面积推导勾股定理可判断A，利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为c的小正方形面积和=以a+b的和为边正方形面积推导勾股定理可判断B，利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为（b-a）的小正方形面积和=以c为边正方形面积推导勾股定理可判断C，利用四个小图形面积和=大正方形面积推导完全平方公式可判断D．【规范解答】解：A、∵两个以a和b为直角边三角形面积+一个直角边为c的等腰直角三角形面积和=上底为a,下第为b,高为（a+b）的梯形面积，∴ab+c2+ab＝（a+b）（a+b），∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、∵以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为c的小正方形面积和=以a+b的和为边正方形面积，∴4×ab+c2＝（a+b）2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、∵以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为（b-a）的小正方形面积和=以c为边正方形面积，∴4×ab+（b﹣a）2＝c2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D、∵四个小图形面积和=大正方形面积，∴ab+b2+a2+ab=（a+b）2，∴a2+2ab+b2=（a+b）2，根据图形证明完全平方公式，不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D．【考点评析】本题考查利用面积推导勾股定理与完全平方公式，掌握利用面积推导勾股定理与完全平方公式是解题关键．7．(本题2分)（2020秋·河南郑州·八年级统考期中）1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边，在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（

）A． B．C． D．【答案】B【思路点拨】直接根据梯形ABCD的面积的两种算法进行解答即可．【规范解答】解：由图形可得：故答案为B．【考点评析】本题主要考查了勾股定理的证明方法，将图形的面积用两种方式表示出来成为解答本题的关键．8．(本题2分)（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）图中不能证明勾股定理的是（

）A． B． C． D．【答案】A【思路点拨】根据各个图象，利用面积的不同表示方法，列式证明结论，找出不能证明的那个选项．【规范解答】解：A选项不能证明勾股定理；B选项，通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式，可得；C选项，通过梯形的面积的不同表示方法，可以列式，可得；D选项，通过这个不规则图象的面积的不同表示方法，可以列式，可得．故选：A．【考点评析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法．9．(本题2分)（2022秋·广东深圳·八年级统考期末）勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为(

)A．121 B．110 C．100 D．90【答案】B【思路点拨】延长交于点，延长交于点，可得四边形是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．【规范解答】解：如图，延长交于点，延长交于点，则四边形是矩形．，，又直角中，，，在和中，，，，同理：，，，所以，矩形是正方形，边长，所以，，，因此，矩形的面积为，故选B．【考点评析】本题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造出正方形是解题的关键．10．(本题2分)（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．下列结论：①；②；③四边形的面积是；④；⑤．其中正确的结论个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【思路点拨】根据全等三角形的判定可判断①正确；再根据全等三角形的性质和平角定义可判断②正确；根据梯形的面积公式可判断③正确；根据可判断④错误，⑤正确，综合即可作出选择．【规范解答】解：∵，，∴，∴，又∵，，∴，故①正确；∴，∵，∴，则，∴，故②正确；∵，，，，∴四边形的面积是，故③正确；∵，∴，∵，∴，即，∴，故④错误，⑤正确，综上，正确的结论有4个，故选：C．【考点评析】本题考查全等三角形的判定与性质的应用、勾股定理的证明、平行线的性质、完全平方公式、梯形和三角形的面积等知识，证明三角形全等以及发现图形中的边角关系是解答的关键．评卷人得分二、填空题(每题2分，共20分)11．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是__．【答案】a2+b2＝c2【思路点拨】用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而列出等式，发现边与边之间的关系．【规范解答】解：此图可以这样理解，有三个Rt△其面积分别为ab，ab和c2．还有一个直角梯形，其面积为（a+b）（a+b）．由图形可知：（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2．故答案为：a2+b2＝c2．【考点评析】此题考查的知识点是勾股定理的证明，主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2．12．(本题2分)（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，在中，若直角边，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是______．【答案】76【思路点拨】通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车的外围周长．【规范解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则，解得：，“数学风车”的外围周长．故答案为：76．【考点评析】本题考查了勾股定理在实际情况中的应用，并注意题中隐含的已知条件来解题．13．(本题2分)（2022秋·全国·八年级阶段练习）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若最大正方形M的边长是3，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和是_____．【答案】18【思路点拨】根据正方形的面积公式，运用勾股定理得出6个小正方形的面积和与最大正方形面积的数量关系即可得出答案．【规范解答】解：根据勾股定理得到：A与B的面积的和是E的面积；C与D的面积的和是F的面积；而E，F的面积的和是M的面积．即A、B、C、D、E、F的面积之和为2个M的面积．∵M的面积是32＝9，∴A、B、C、D、E、F的面积之和为9×2＝18．故答案为：18．【考点评析】本题考查了勾股定理，关键就是运用勾股定理和正方形的面积公式推导出6个小正方形的面积和等于最大正方形的面积的2倍．14．(本题2分)（2019秋·山西太原·八年级统考期中）我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦.如图1所示，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为______.【答案】12【思路点拨】欲求矩形的面积，则求出图1中阴影部分小三角形长直角边边长即可，由此可设其为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，进而可求出该矩形的面积．【规范解答】解：设如图1阴影部分小三角形长直角边边长为x，∵，∴AB=x+3，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即（1+x）2+（1+3）2=(x+3)2，整理得，x=2，∴该矩形的面积=AC·BC=（1+3）（1+x）=4×3=12故答案为：12．【考点评析】本题考查了勾股定理的证明以及运用和一元二次方程的运用，得到关于x的方程是解题的关键．15．(本题2分)（2019春·广东揭阳·八年级统考期末）如图在中，，，，为等边三角形，点为围成的区域(包括各边)内的一点，过点作，交直线于点，作，交直线于点，则平行线与间距离的最大值为_________.【答案】【思路点拨】当点E与点D重合时，EM与AB间的距离最大，由为等边三角形和，可得∠DBA＝90o,则DB的长度即为EM与AB间的距离，根据勾股定理即可求得.【规范解答】当点E与点D重合时，EM与AB间的距离最大，∵，，，为等边三角形，∴∠ABC=30o,∠CBD=60o,BC=,∴∠ABD=90o,BD=BC=,∴EM与AB间的距离为BD的长度.故答案是：.【考点评析】考查了勾股定理，解题关键根据题意得到当点E与点D重合时，EM与AB间的距离最大和求得.16．(本题2分)（2019春·福建福州·八年级统考期末）勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一．中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理．三国时期吴国赵爽创制了“勾股圆方图”（如图）证明了勾股定理．在这幅“勾股圆方图”中，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形EFGH组成的．若小正方形的边长是1，每个直角三角形的短的直角边长是3，则大正方形ABCD的面积是_____．【答案】25【思路点拨】由BF=BE+EF结合“小正方形的边长是1，每个直角三角形的短的直角边长是3”即可得出直角三角形较长直角边的长度，结合三角形的面积公式以及正方形面积公式即可得出结论．【规范解答】∵EF=1，BE=3，∴BF=BE+EF=4，∴S正方形ABCD=4⋅S△BCF+S正方形EFGH=4××4×3+1×1=25.故答案为25.【考点评析】此题考查勾股定理的证明，解题关键在于掌握勾股定理的应用17．(本题2分)（2019春·广东广州·八年级广州六中校考期中）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为,若，则的值是_______．【答案】12【思路点拨】设8个全等的直角三角形的每个三角形面积为x，中间的正方形MNKT面积为y，则正方形ABCD的面积为8x+y，正方形EFGH的面积为4x+y，正方形MNKT面积为y=，再利用，可知4x+y=12．【规范解答】解：设8个全等的直角三角形的每个三角形面积为x，中间的正方形MNKT面积为y，则正方形ABCD的面积为8x+y，正方形EFGH的面积为4x+y，正方形MNKT面积为y=，∵，∴（8x+y）+y=24，则2（4x+y）=24，即4x+y=12，故=12．【考点评析】此题主要考查勾股定理的证明．18．(本题2分)（2020秋·八年级龙港市第三中学校考阶段练习）我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补证明了勾股定理，如图，设直角三角形的边长分别是，斜边的长为c，作三个边长分别为a，b，c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A，C，E三点在一条直线上.若，四边形与面积之和为13.5，则正方形的面积为_______________.【答案】36【思路点拨】作于点，根据四边形、四边形、四边形都是正方形，得，，，证明，由题意得，，证明，再证明，得出，根据，，通过计算可得，．【规范解答】解：如图，作于点，则，四边形、四边形、四边形都是正方形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，①，，②，由①②得，，，故答案为：36．【考点评析】此题重点考查勾股定理的证明、全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、乘法公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．19．(本题2分)（2020秋·浙江绍兴·八年级校考期中）如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB＝13，EF＝7，那么AH等于_____．【答案】5．【思路点拨】根据面积的差得出a+b的值，再利用a-b=7，解得a，b的值代入即可．【规范解答】∵AB＝13，EF＝7，∴大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，∴四个直角三角形面积和为169﹣49＝120，设AE为a，DE为b，即，∴2ab＝120，a2+b2＝169，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝169+120＝289，∴a+b＝17，∵a﹣b＝7，解得：a＝12，b＝5，∴AE＝12，DE＝5，∴AH＝12﹣7＝5．故答案为：5．【考点评析】此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得ab的值．20．(本题2分)（2022秋·辽宁朝阳·八年级统考期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，则S2的值是_________．【答案】．【规范解答】试题解析：将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3=10，∴得出S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，∴S1+S2+S3=3x+12y=10，故3x+12y=10，x+4y=，所以S2=x+4y=．考点：勾股定理的证明．评卷人得分三、解答题(共60分)21．(本题6分)（2023秋·福建宁德·八年级统考期末）在小学，我们已经认识了正方形，知道它的对边平行，四条边相等，四个角都是直角，我们可以利用这些性质解决几何问题．如图1，在正方形中，点在上，点在的延长线上，．(1)证明：；(2)证明：；(3)连接（如图2），若，，，请利用图形验证勾股定理．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)验证见解析【思路点拨】（1）先证明，可得，，可得，再证明，从而可得结论；（2）依次证明，，，从而可得结论；（3）证明，可得，再整理即可．【规范解答】（1）证明：∵正方形，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴．（2）∵正方形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴．（3）∵，，，，正方形，∴，，，，∴，，∵，，∴，整理得：．【考点评析】本题考查的同角或等角的余角相等，全等三角形的判定与性质，利用等积变形验证勾股定理，证明得到是解本题的关键．22．(本题6分)（2023春·全国·八年级专题练习）如图，其中、、和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理．设，，，取，．(1)填空：正方形的面积为____________，四个直角三角形的面积和为_____________．(2)求的值．【答案】(1)16；384(2)28【思路点拨】（1）正方形的边长为：，则面积可求；四个直角三角形的面积和等于正方形与正方形面积之差，据此即可作答；（2）四个直角三角形的面积和又，，，可得，由（1）可知四个直角三角形的面积和为384，即有，根据，即可得，问题即可得解．【规范解答】（1）解：设，，，取，．正方形面积为：，正方形面积为：，根据图形可知：四个直角三角形的面积和等于正方形与正方形面积之差，即：，故答案为：16；384；（2）解：在（1）中，有：四个直角三角形的面积和又∵，，，∴，整理，可得：，由（1）可知四个直角三角形的面积和为384，∴，解得，∵，∴．∴（负值舍去），即值为28．【考点评析】本题主要考查勾股定理的证明及应用，理解图形中四个三角形的面积和等于大正方形的面积与小正方形面积的差是解题的关键．23．(本题8分)（2022秋·广东佛山·八年级校考期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．(1)①请叙述勾股定理．②勾股定理的证明，人们已经找到了多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理，图1与图2都是由四个全等的直角三角形构成，图3是由两个全等的直角三角形构成（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）(2)如图4，以直角三角形的三边为直径向外部作半圆，请写出、和的数量关系：___________．【答案】(1)①直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；②见解析(2)【思路点拨】（1）①根据勾股定理的意义进行求解即可；②如选择图1，四个相同的直角三角形的面积和再加上中间小四边形的面积等于大正方形的面积；如选择图2，大正方形的面积等于四个相同的直角三角形的面积和再加上中间四边形的面积；如选择图3，则梯形的面积等腰三个三角形的面积和；（2）分别表示出，即可得出它们之间的数量关系．【规范解答】（1）解：①勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；②如选择图1，四个相同的直角三角形的面积和再加上中间小四边形的面积等于大正方形的面积，即化简得：，如选择图2，大正方形的面积等于四个相同的直角三角形的面积和再加上中间四边形的面积，即，化简得：；如选择图3，则梯形的面积等于三个直角三角形的面积和，即，化简得：；（2）解：如图：则，，，∵，∴，故答案为：．【考点评析】本题考查了勾股定理的证明，解答的关键是理解勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．24．(本题8分)（2022秋·福建宁德·八年级统考期中）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形（如图1）与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图2）．(1)利用图2正方形面积的等量关系得出直角三角形勾股的定理，该定理的结论用字母表示：；(2)用图1这样的两个直角三角形构造图3的图形，满足，，，，求证（1）中的定理结论；(3)如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，，求正方形BDFA的面积．（用m，n表示）【答案】(1)(2)见解析(3)【思路点拨】（1）由大正方形的面积的两种表示列出等式，可求解；（2）由四边形的面积两种计算方式列出等式，即可求解；（3）分别求出a，b，由勾股定理可求解．【规范解答】（1）解：∵大正方形的面积，大正方形的面积，∴，∴，故答案为：；（2）证明：如图：连接，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴；（3）解：由题意可得：，，∴，，∴，，∴，∴正方形的面积为．【考点评析】本题考查了全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．25．(本题8分)（2023春·全国·八年级专题练习）阅读材料，解答问题：(1)中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”，这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载说明：在中，如果，，，，那么a，b，c三者之间的数量关系是：______．(2)如图①，它是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形ABDE，中间部分是一个小正方形CFGH，请结合图①，证明（1）中的数量关系．(3)如图②，以的三条边分别作三个等边三角形，若，，，求出的值．【答案】(1)(2)见详解(3)22【思路点拨】（1）根据勾股定理可得；（2）分别计算出小正方形的面积、直角三角形的面积和大正方形的面积，根据大正方形等于小正方形加四个直角三角形建立等式即可得到；（3）分别计算出三个等边三角形的面积，根据建立等式，利用进行化简即可得到答案．【规范解答】（1）解：，如果，，，，那么；（2）证明：如下图所示，由题意得，∴，∵，，，∴，∴，∴；（3）解：如下图所示，设，，，∴，，，∵，∴，∵，∴，∴．【考点评析】本题考查勾股定理、直角三角形、等边三角形和正方形的性质，解题的关键是根据图形中的面积关系建立等式．26．(本题8分)（2022秋·江苏苏州·八年级校联考阶段练习）【方法探究】我们知道，通过不同的方法表示同一图形的面积可以探求相应的数量关系．如图1，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，直角三角形的两条直角边长分别为a、b（），斜边长为c，大正方形的面积用两种方法可分别表示为___________、___________，由此可发现a，b，c之间的数量关系为___________．【方法迁移】将图1中的四个形状大小完全相同的直角三角形拼成图2，a，b，c之间仍然具有以上数量关系吗？请在图2中添加适当的辅助线，并加以说明．【答案】【方法探究】，，，【方法迁移】见解析【思路点拨】【方法探究】根据大正方形的面积可以表示为，又可以表示为，可得结论；【方法迁移】过点F作于点H．根据这个几何图形的面积可以表示为正方形的面积正方形的面积2个直角三角形的面积，也可以表示为正方形的面积2个直角三角形的面积，可得结论．【规范解答】解：【方法探究】大正方形的面积；另一方面，大正方形的面积；∴，故答案为：，，；【方法迁移】结论仍然成立．理由：如图2中，过点F作于点H．这个几何图形的面积正方形的面积正方形的面积2个直角三角形的面积正方形的面积2个直角三角形的面积，∴，∴．【考点评析】本题考查了勾股定理的面积证法，解决问题的关键是熟练掌握图形的面积的两种表示方法，正方形的面积计算，直角三角形的面积的计算．27．(本题8分)（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．【小试牛刀】把两个全等的直角三角形△ABC和△DAE如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，四边形AECD，△EBC的面积：S梯形ABCD＝，S△EBC＝，S四边形AECD＝，再探究这三个图形面积之间的关系，它们满足的关系式为，化简后，可得到勾股定理．【知识运用】如图2，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距200米，C，D为两个菜园（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝80米，BC＝