专题07 全等三角形的判定和性质 带解析

2022-2023学年湘教版八年级数学下册精选压轴题培优卷专题07全等三角形的判定和性质姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、选择题(每题2分，共20分)1．(本题2分)（2022春·四川成都·八年级统考期末）某节数学课中，老师请同学自行证明等腰三角形一条性质：等腰三角形的两底角相等，下面三位同学的证明过程正确的有（

）个．小明：如图1，已知AB＝AC，取BC的中点D，连接AD，可证明△ABD≌△ACD，则∠B＝∠C，性质得证．小花：选取某一等腰三角形，通过折叠的方法，可以将两底角重合，故两底角相等，性质得证．小帅：如图2，分别过点B，C作AB，AC的垂线，垂足分别为点M，N，因为AB＝AC，而△ABC面积不变，所以CM＝BN，可证明Rt△BNC≌Rt△CMB，则∠ABC＝∠ACB，性质得证．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【思路点拨】利用全等三角形的判定与性质进行判断即可．【规范解答】解：小明证明过程正确，利用SSS证明△ABD≌△ACD，可得结论；小明的证明过程正确，如图1∵折叠，∴∠BAD=∠CAD，再利用SAS证明△BAD≌△CAD，可得∠B=∠C，小帅的证明过程正确，∵AB×CM=AC×BN，AB=AC，∴CM=BN，∵BC=BC，∴Rt△BNC≌Rt△CMB（HL），∴∠ABC=∠ACB，故选：D．【考点评析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，翻折的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．2．(本题2分)（2022·辽宁葫芦岛·八年级校考期中）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝12米，AC＝6米，射线BM⊥AB，垂足为点B，动点E从A点出发以2米/秒沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E经过t秒时，由点D、E、B组成的三角形与△BCA全等．请问t有几种情况？（）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种【答案】D【思路点拨】首先分两种情况：当E在线段AB上和当E在BN上，然后再分成两种情况：AC＝BE和AB＝EB，分别进行计算，即可得出结果．【规范解答】解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，∵AC＝6米，∴BE＝6米，∴AE＝12﹣6＝6米，∴点E的运动时间为6÷2＝3（秒）；②当E在BN上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，∵AC＝6米，∴BE＝6米，∴AE＝12+6＝18米，∴点E的运动时间为18÷2＝9（秒）；③当E在线段AB上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，这时E在A点未动，因此时间为0秒；④当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，∵AB＝12米，∴BE＝12米，∴AE＝12+12＝24米，∴点E的运动时间为24÷2＝12（秒），综上所述t的值为：0，3，9，12．共4中情况．故选D．【考点评析】本题考查了全等三角形的综合问题，解本题的关键在找到所有符合题意的情况．3．(本题2分)（2022·全国·八年级专题练习）在中，D，E分别是AC、BC上的点，过点D作，，垂足分别是点F，G，连接DE，若，，则下面三个结论：①；②；③．其中正确的是（

）A．①③ B．②③ C．①② D．①②③【答案】C【思路点拨】连接BD，根据垂直定义可得，再根据HL证明，然后根据全等三角形的性质可得，，即可判断①，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，即可判断②，最后根据，即可判断③．【规范解答】连接BD，，，，，，，，故①正确；，，，，，，故②正确；，，，和不全等，故③不正确；所以，上面三个结论，其中正确的是①②，故选：C．【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．4．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）如图，在中，，，于点D，平分交于点E，交于点G，过点A作于点，交于点，下列结论：①；②；③；其中正确的有（

）A．①② B．②③ C．①②③ D．①③【答案】D【思路点拨】根据平分，,根据等角的余角相等，对顶角相等即可判断①，证明，得出，由，则，即可判断②，证明，得出，根据三角形外角的性质得出，，进而判断④．【规范解答】解：∵平分，∴,∵，，∴，∴，又，∴，故①正确，∵在中，，，，∴是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∴，又∵，∴，∴，由①可知，∴，∵，∴，故②不正确；∵，在与中，，∴，∴，∴，∵，∴,∴，∴，∵，∴，∴，故③正确，故选D．【考点评析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角内角和定理与三角形外角的性质，综合运用以上知识是解题的关键．5．(本题2分)（2022秋·天津·八年级天津二十中校考期中）如图，在中，，，为边上的中线，于，交于，过点作的垂线交于．现有下列结论：①；②；③；④为中点．其中结论正确的为(

)A．①② B．②③ C．③④ D．①③【答案】D【思路点拨】①由条件可知，可得，再结合条件即可证明；②为边上的中线，得到，则，求得；③，结合条件可证明，则有，可得；④由③可得，而，故F不可能为中点．【规范解答】解：∵，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，故①正确；∵为边上的中线，∴，∵，∴，∴，∴，故②不正确；∵，且D为中点，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，又∵，∴，故③正确；∵，∴，在中，，∴，∴F不是的中点，故④不正确；综上可知正确的有①③．故选：D．【考点评析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方（和）．6．(本题2分)（2021秋·陕西汉中·八年级统考期末）如图，在和中，，，，过A作，垂足为F，过A作，垂足为H，交的延长线于点G，连接．四边形的面积为12，，则的长是(

)A．2 B．2.5 C．3 D．【答案】C【思路点拨】先证明得到，再证明，，得到，设，则根据四边形的面积为12得到即可得到答案．【规范解答】解；∵，，，∴，∵，，∴，又∵，，∴，，∴，设，则，∵四边形的面积为12，∴，∴，∴，∴，故选C．【考点评析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．7．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）如图，在四边形中，，平分，，，，分别是，上的动点，当取得最小值时，的长是（

）A．8 B．10 C．12 D．16【答案】C【思路点拨】作点Q关于的对称点，得到，进而得到，可知当C、P、三点共线，且时，有最小值，再利用“”证明，得到，最后根据30度角所对的直角边等于斜边一半即可求出的长．【规范解答】解：作点Q关于的对称点，，，当C、P、三点共线，且时，有最小值，此时，在和中，，，，，，，，，故选C．【考点评析】本题考查了对称轴—最短问题，垂线段最短，全等三角形的判定和性质，30度角所对的直角边等于斜边一半，解题关键是学会添加辅助线．8．(本题2分)（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点，，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点，画射线．可以得到，所以．那么射线就是的平分线．的依据是（

）A．SAS B．ASA C．HL D．SSS【答案】C【思路点拨】根据作图过程可以证明RtRt（HL），进而可得结论．【规范解答】∵，在Rt和Rt中，，∴RtRt（HL），∴，∴射线就是的平分线故选：C【考点评析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．9．(本题2分)（2023秋·山西大同·八年级统考期末）如图，在和中，，，，，三点在同一直线上，添加下列条件，不能判定的是（

）A． B． C． D．【答案】B【思路点拨】根据全等三角形的判定的方法，即可得到答案．【规范解答】解：，A、，满足的条件，能证明，不符合题意；B、，不满足证明三角形全等的条件，符合题意；C、，得到，满足，能证明，不符合题意；D、，得到，满足，能证明，不符合题意，故选：B．【考点评析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的几种方法：．10．(本题2分)（2022秋·河北邯郸·八年级校考阶段练习）如图，中，，，．则为（

）A． B． C． D．【答案】B【思路点拨】可过C作于E，因为，则可得，可过C作于E，依据题意可得，进而得到，得到，再利用等腰三角形的判定可得，即可求得．【规范解答】如图，可过C作于E，可过C作于E．∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，且∴，∴，且∴，且，∴，∴，∴∴故选：B．【考点评析】本题主要考查了全等直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，能够熟练运用其性质进行解题是关键．评卷人得分二、填空题(每题2分，共20分)11．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）如图，在中，是高，，，在边上取点，连接，，若，，则的长为___________．【答案】【思路点拨】过点作，交的延长线于，首先证明，再，得，，再根据高相等的两个三角形面积比等于底之比解决问题．【规范解答】解：如图，过点作，交的延长线于，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，，在和中，，∴，∴，，∵，又∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．故答案为：．【考点评析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质以及三角形面积等知识．正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．12．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）如图，在中，，，，一条线段，，两点分别在直线和的垂线上移动，点从点开始向左移动且移动的速度为，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等，则时间的值为_________.【答案】或【思路点拨】分情况讨论：①，此时，可据此求出点的位置．②，此时，、重合．【规范解答】解：①当时，，在与中，，，即时，，；②当运动到与点重合时，即时，，在与中，，，即，，综上所述，或．故答案为：或．【考点评析】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．13．(本题2分)（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，为内一点，，连接，过点作于点，延长交于点F，，若，则线段的长是___________．【答案】【思路点拨】作于点，证明，进而证明，得出，根据已知条件设，则，根据建立方程，解方程即可求解．【规范解答】解：如图所示，作于点，∴在中，∴∴，在中，，∴∴，∵，∴设，则∴，∵即解得：，∴故答案为：．【考点评析】本题考查了全等三角形的性质与判定，与三角形高相关的计算，正确的添加辅助线是解题的关键．14．(本题2分)（2022秋·八年级课时练习）如图，中，点为的中点，的平分线与的中垂线交于点，连接，过点分别作所在直线的垂线，垂足分别为，若，，则的长为_______．【答案】7.2【思路点拨】根据题意，连接AE、CE，利用DE垂直平分AC，BE平分∠MBC，推出Rt△AME≌Rt△CNE（HL），得出AM=CN，进而证明，通过等边代换计算即可．【规范解答】连接AE、CE，如图：∵DE垂直平分AC，∴AE=CE，AD=CD，又∵BE平分∠MBC，EM⊥BM，EN⊥BC，∴EM=EN，∠M=∠ENC=90°，∴Rt△AME≌Rt△CNE（HL），∴AM=CN=2，同理可证，，，，故答案为：7.2【考点评析】本题考查了HL判定直角三角形全等，三角形全等的性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，掌握HL判定直角三角形全等是解题的关键．15．(本题2分)（2022秋·河南洛阳·八年级统考阶段练习）如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE交于点H，连接CH，则∠CHE=_______．【答案】65°【思路点拨】先判断出，再判断出即可得到平分，即可得出结论．【规范解答】解：如图，，，在和中，；过点作于，于，，，在和中，，，在与中，，平分；，，，，，，故答案为：．【考点评析】此题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．16．(本题2分)（2022秋·全国·八年级期中）如图，ABC中，AC=BC，且点D在ABC外，D在AC的垂直平分线上，连接BD，若∠DBC=30°∠ACD=13°，则∠A=_________°【答案】73【思路点拨】过作，交的延长线于，过作于，证明和，得，求出的度数，则根据等腰三角形的内角和，可求出的度数．【规范解答】解：如图，过作，交的延长线于，过作于，点在的垂直平分线上，是的垂直平分线，，，，在中，，，，在和中，，，，，，，又，，故答案为：73．【考点评析】本题考查了三角形的全等，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和含角直角三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键．17．(本题2分)（2020秋·湖北武汉·八年级统考期中）如图，为的角平分线，且，为延长线上一点，，过作于，下列结论：①；②；③；④．其中正确的序号是_________．【答案】①②④【思路点拨】根据易证，可得，可得①正确，再根据角平分线的性质可求得，即②正确，先判断出，得出，进而判断出，即可判断出④正确．【规范解答】解：①为的角平分线，，又，，，，，即①正确；②在中，，，在中，，，，，，，，，为等腰三角形，，，，，即②正确；③根据已知条件，可得不一定成立，故③错误；④如图，过作于点，是上的点，，在和中，，，，在和中，，，，，即④正确．故答案为：①②④．【考点评析】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键．18．(本题2分)（2022秋·青海西宁·八年级青海师大附中校考阶段练习）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，过A作AEBC，且AE＝AB，AB上有一点F，连接EF．若EF＝AC，CD＝4BD，则＝_____．【答案】【思路点拨】在CD上取一点G，使GD=BD，连接AG，作EH⊥AB交BA的延长线于点H，先证明△AEH≌△GAD，得EH=AD，AH=GD，再证明Rt△EHF≌Rt△ADC，得FH=CD，于是得AF=GC，则，得S△AEF=S△GAC，设GD=BD=m，则CD=4BD=4m，所以CG=4m-m=3m，BC=4m+m=5m，则，，得，于是得到问题的答案．【规范解答】解：如图，在CD上取一点G，使GD=BD，连接AG，作EH⊥AB交BA的延长线于点H，∵AD⊥BC于点D，∴AG=AB，∠H=∠ADG=90°∴∠AGD=∠B，∵AE//BC，∴∠EAH=∠B，∴∠EAH=∠AGD，∵AE=AB，∴AE=AG，在△AEH和△GAD中，，∴△AEH≌△GAD（AAS），∴EH=AD，AH=GD，在Rt△EHF和Rt△ADC中，，∴Rt△EHF≌Rt△ADC（HL），∴FH=CD，∴FH-AH=CD-GD，∴AF=GC，∴，∴S△AEF=S△GAC，设GD=BD=m，则CD=4BD=4m，∴CG=4m-m=3m，BC=4m+m=5m，∴，∴，故答案为：．【考点评析】此题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、有关面积比问题的求解等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．19．(本题2分)（2021春·贵州贵阳·八年级贵阳市第十七中学校考期中）如图，为等腰三角形，，，为的中点，点在上，，是等腰腰上的一点，若是以为腰的等腰三角形，则的大小为______．【答案】或或或【思路点拨】根据题意，分为点P在上和点P在上两种情况，根据等腰三角形的定义，点P在上有两种情况，点P在有两种情况，一共四种情况，进行分类讨论，即可求解．【规范解答】解：①当点P在上，时，∵，，∵，∵，∴，∴；②当点P在上，时，∵，，∵，∵，∴，∴；③当点P在上，时，连接，过点D作于点M，于点N，∵，，∵，∵，∴，∴，

∵为的中点，，∴平分，∵，，∴，在和中，，∴，∴，在四边形中，，∴，④当点P在上，时，由③可得，，∴，故答案为：或或或．【考点评析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的外角定理，解题的关键是掌握“等边对等角”，三角形的一个外角等于于它不相邻的两个内角之和，三角形的内角和为．20．(本题2分)（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）如图，为的平分线，为上一点，且于点，，给出下列结论：①；②；③；④；⑤四边形的面积是面积的2倍，其中结论正确的个数有___________．【答案】3【思路点拨】过点作，垂足为点．证明、，最后利用全等三角形的性质即可解答．【规范解答】解：过点作，垂足为点．∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，且，∴，∴，∵，∴故①错误，在△PAK和△PCD中，，∴△PAK≌△PCD（ASA），∴AK＝CD，PA＝PC，故②正确，∵∴，∵，∴，故③正确，∵，∴，∴．故④正确．故答案为3．【考点评析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识，正确添加常用辅助线、构造全等三角形是解题的关键．评卷人得分三、解答题(共60分)21．(本题6分)（2022秋·四川泸州·八年级校考期中）在中，，点是延长线上一点，点是线段上一点，连接．，．(1)求证：；(2)平分交于点，点是线段延长线上一点，连接，点是线段上一点，连接交于点，连接．①求的度数；②当平分时，求证：＋．【答案】(1)见解析(2)①；②见解析【思路点拨】（1）证明即可得证；（2）①根据平分交于点，得出，根据对顶角相等得出，进而即可求解；②作平分交于点，证明，，即可得证．【规范解答】（1）证明：在和中，，（），；（2）①∵平分交于点，，，，，②证明：如图：作平分交于点，平分，平分，，，，，在和中，，（），，，在和中，，（），，，．【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的性质与判定．22．(本题6分)（2022秋·河北邢台·八年级校考阶段练习）如图1，在中，，作的垂直平分线，交于点，交于点．(1)当时，直接写出线段与的大小关系：______．(填“”、“”或“”)(2)若为任意锐角，则线段与的大小关系是(填“”、“”或“”)，请说明理由；由此得出结论：直角三角形一条直角边的垂直平分线交斜边于一点，这点到三个顶点之间的距离；(3)如图2，是的边上的一个动点，于点，于点，与交于点．当点运动到某处时，与正好垂直，此时平分吗？请说明理由．【答案】(1)(2)，理由见解析；相等(3)平分，理由见解析【思路点拨】（1）证明＝，＝，可得结论；（2）①同（1）的方法可得结论；（3）作的垂直平分线交于点，连接，．利用（2）的结论，以及全等三角形的性质证明即可．【规范解答】（1），理由：垂直平分，，．，，，，．故答案为：．（2）理由：垂直平分，，．，，，，．②直角三角形一条直角边的垂直平分线交斜边于一点，这点到三个顶点之间的距离相等．故答案为：相等．（3）平分．理由：如图，作的垂直平分线交于点，连接，．，，和都是直角三角形．由(2)中所证可知．作线段的垂直平分线也必经过的中点，．又，．，，，又∵，，，即平分．【考点评析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，根据直角三角形一条直角边的垂直平分线交斜边于一点，这点到三个顶点之间的距离相等解决问题是解题的关键．23．(本题8分)（2023秋·重庆綦江·八年级统考期末）综合与探究：如图，在和中，，，，的延长线交于点．(1)求证：．(2)若，求的度数．(3)过点作于点，请探究、、三条线段的数量关系，并证明．【答案】(1)见解析(2)(3)，证明见解析【思路点拨】（1）可利用证明结论；（2）由全等三角形的性质可得，结合平角的定义可得，根据，可求得，即可求解；（3）连接，过点A作于点J．结合全等三角形的性质利用证明，可得，，进而可证明结论．【规范解答】（1）证明：．．在和中，，；（2）解：，，．，，；（3）结论：证明：如图，连接，过点作于点．，，，，．，．在和中，，，．在和中，，，，．【考点评析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．24．(本题8分)（2022秋·山东日照·八年级校考期末）如图：，，，为和的交点．(1)求证：(2)连接，求证：平分．【答案】(1)见详解(2)见详解【思路点拨】（1）先证明，再证明，即可作答；（2）过A点作于N点，过A点作于M点，根据（1）的结论可得，，即有，进而可得，再证明，即有，问题得解．【规范解答】（1）∵，∴，∴，又∵，，∴，∴；（2）过A点作于N点，过A点作于M点，如图，在（1）已证明，，∴，∵，，∴，，∴，∵，∴，∵，，∴和是直角三角形，∴在和中，∴，∴，∴平分．【考点评析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的基础，通过证明出，是解答本题的关键．25．(本题8分)（2022秋·天津东丽·八年级统考期末）如图，在中，，点D在BC上点E是AC延长线上一点，且(1)求证：(2)若，求的度数【答案】(1)证明见解析；(2)【思路点拨】（1）根据“”证明；（2）由，求出，再求出，即可求解．【规范解答】（1）∵在与中∴（2）∵∴∵，∴∴∴∴【考点评析】本题考查直角三角形证明全等，全等三角形的性质，解题的关键是能够根据题目的条件，求出相应角的度数．26．(本题8分)（2022秋·河南洛阳·八年级统考期中）（1）如图1，在ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD集中在ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是；（2）如图2，在ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE＋CF＞EF；（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A为钝角，∠C为锐角，∠B＋∠ADC＝180°，DA＝DC，点E，F分别在BC，AB上，且∠EDF＝∠ADC，连接EF，试探索线段AF，EF，CE之间的数量关系，并加以证明．【答案】（1）1＜AD＜5；（2）见解析；（3）AF+EC=EF，见解析【思路点拨】（1）证明，推出CE=AB=4，在中，利用三角形的三边关系解决问题即可．（2）如图2中，延长ED到H，使得DH=DE，连接DH，FH．证明，推出BE=CH，再证明EF=FH，利用三角形的三边关系即可解决问题．（3）结论：AF+EC=EF．延长BC到H，使得CH=AF．提供两次全等证明AF=CE，EF=EH即可解决问题．【规范解答】（1）∵CD=BD，AD=DE，∠CDE=∠ADB，∴(SAS)，∴EC=AB=4，∵6﹣4＜AE＜6+4，∴2＜2AD＜10，∴1＜AD＜5，故答案为：1＜AD＜5；（2）如图2中，延长ED到H，使得DH=DE，连接DH，FH．∵BD=DC，∠BDE=∠CDH，DE=DH，∴(SAS)，∴BE=CH，∵FD⊥EH，又DE=DH，∴EF=FH，在△CFH中，CH+CF＞FH，∵CH=BE，FH=EF，∴BE+CF＞EF；（3）结论：AF+EC=EF．理由：延长BC到H，使得CH=AF．∵∠B+∠ADC=180°，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠DCH+∠BCD=180°，∴∠A=∠DCH，∵AF=CH，AD=CD，∴(SAS)，∴DF=DH，∠ADF=∠CDH，∴∠ADC=∠FDH，∵∠EDF=∠ADC，∴∠EDF=∠FDH，∴∠EDF=∠EDH，∵DE=DE，∴(SAS)，∴EF=EH，∵EH=EC+CH=EC+AF，∴EF=AF+EC．【考点评析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会倍长中线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．27．(本题8分)（2023春·全国·八年级专题练习）在等边的两边所在直线上分别有两点为外一点，且，，．探究：当分别在直线上移动时，之间的数量关系．(1)如图，当点