2025年高考数学一轮复习：第一章 集合与常用逻辑用语、不等式、复数

第08讲：第一章集合与常用逻辑用语、不等式、复数

章节总结

第一部分：典型例题讲解

题型一：集合的表示

1.（2023上•辽宁•高一校联考期中）已知集合时={相-2,加之+4祖,9},且-3是/中的一个

元素，则加=（）

A.-3B.-1或3C.3D.-3或-1

【答案】A

【分析】根据元素与集合的关系可得出关于实数机的等式，利用集合元素满足互异性可得

出实数加的值.

【详解】集合M=卜”-2,病+4w,9},且-3eM.

①当机-2=-3时，m=-l,此时，m2+4m=-3,集合A中的元素不满足互异性，故不符

合题意，舍去；

②当加+47n=-3时，7〃=-1（舍）或-3.

若〃2=-3,则〃2-2=-5,此时集合A={-5,-3,9},符合题意，

综上所述，机=-3.

故选：A.

2.（多选）（2024下•浙江,高三校联考开学考试）已知集合4=卜€同/+1=0},3={0},

则（）

A.A=0B.A=3C.A&BD.AcB

【答案】ACD

【分析】根据条件得到A=0，从而得到选项A正确，再由元素与集合，集合与集合间的关

系，对B,C和D逐一分析判断，即可得出结果.

【详解】易知方程1+1=0无解，所以A=0,所以选项A正确，

因为3={0},所以选项B错误，

因为集合8是以。为元素的集合，由元素与集合间的关系，知选项C正确，

又空集是任何集合的子集，所以选项D正确，

故选：ACD.

3.（2024上•全国•高一专题练习）已知集合A={。-2,"+4a,l。},且-3eA,则。=.

【答案】-3

【分析】根据题意，列出方程，求得。的值，结合集合元素的互异性，即可求解.

【详解】因为一3eA,所以4—2=—3或°2+4a=—3,解得〃=一1或。=一3,

当。=一1时，a—2=3,/+船=_3,集合A不满足元素的互异性，所以”=—1舍去；

当。=-3时，经检验，符合题意，所以。=-3.

故答案为：-3.

4.（2023下•辽宁阜新•高二校考期末）集合A=[xeN|feNj用列举法表示为.

【答案】{1,3,4}

【分析】依题意逐个验证即可.

【详解】x=0时上任N,x=l时工=4eN,x=2时上eN,x=3时

5-05-15-25-3

x=4时-1，=16eN,x25时5-xVO,不合题意，

5-4

故满足题意的有{1,3,4},

故答案为：{1,3,4）.

5.（2023上•广东•高一校联考期中）已知集合则M的子集个数

为.

【答案】4

【分析】利用描述法及子集的概念计算即可.

【详解】易知M=[xeN*Eez1={l,2},有2个元素，

所以加的子集个数为22=4.

故答案为：4

题型二：集合的基本关系

1.（2024上•河南洛阳•高一统考期末）已知集合

「Ji•八1八7

1sin（7\cos6（、

=\y\y=-^7+1——后>,N={a,b,lga},若M=N,则次;=（）

21sin，Icos^lJJ

A.-4B.-1C.1D.4

【答案】B

【分析】先求出集合“，然后结合集合相等的条件即可求解.

【详解】由题意得+keZ,

1sin0\cos0

当sin6>0,cos6>。时，y=-+=1,

21sH1，］|cos6^|J

.八、.1(|sin0\cos0

当sin8<0,cos，>0或sin8>0,cos8<0时，y=-------+；----1=0,

2(sin。|cos电

11Isin0\cos0\,、

当sin0<0,c°s0<(W,片］［焉+砌］=7则八{1,。,-1}，

若M=N,且a>0,贝Ua=l,N={l,Z?,0},

所以〃=-l,ab=-1.

故选：B.

2.（2024上•安徽合肥•高三合肥一中校考期末）已知集合人={1,2,3},B=a<x<a2

若A=则实数。的取值范围是（）

A.（-co,-V3]B.卜8,一百）

C.^—^3,1）D.^—oo,一6）川石,+°0）

【答案】B

【分析】根据At8,建立条件关系即可求实数。的取值范围.

【详解】因为A={1,2,3},8={电（尤<1},

若A=3,贝I]8={尤,（无<£?}W0,

fa<l广

则20，所以。<-6.

[a>3

故选：B.

3.（2024下•重庆•高三重庆一中校考开学考试）已知集合4=卜：<1，，/

={x|x2-2x>0j-

则（）

A.AcBB.A3BC.A=BD.A|JB=R

【答案】B

【分析】通过解不等式求得集合A3,进而判断出正确答案.

【详解】2«1,2_1=七±o=]（2-：）x"。，解得x<0或X22,

XXxxwO

所以A={x|x<0或1N2}.

X2-2X=A:(X-2)>0,解得％vO或%>2,

所以5={x|x<0或x>2}.

所以A35,B选项正确，其它选项错误.

故选：B

4.（2024上•江苏无锡•高一江苏省天一中学校考期末）已知集合4={小区2},3={a,0},

且则实数。的取值范围是（）

A.[-2,2]B.[-2,0）u（0,2]C.（-2,2）D.（-2,0）u（0,2）

【答案】B

【分析】根据集合8是集合A的子集，结合集合8中元素的互异性求解即可.

【详解】集合&={小区2}=卜卜24彳42},3={a,0},

由于BuA,则实数。的取值范围是[―2,0）u（0,2].

故选：B.

5.（2024上•吉林延边•高一统考期末）已知全集。=区，集合

（1）求图中阴影部分表示的集合C；

（2）若非空集合。={xl4-a<x<a},且。=（Au5）,求实数。的取值范围.

【答案】（1）。={疝52}

（2）{a|2<a<3}

【分析】（1）由韦恩图分析得。=Ac（23）,再化简集合A,从而利用集合的交并补运算

即可得解；

（2）先求得利用集合的包含关系得到关于。的不等式组，解之即可得解.

【详解】（1）根据题意，分析可得。=4门（屯8）,

而A={x|-Y+4尤-320}=1x|l<x<3},B={x|2<x<4],

则eg={x|xW2或xN4},

所以C=Ac&3）={知<x<2}；

（2）因为4={%|1<%<3},3={*|2<%<4},贝I]AuB={x|lWx<4},

若非空集合。={N4-a<x<a},且O=（Au3）,

4-a<a

则有<4-a>l,解得2<aW3,

a<4

所以实数a的取值范围是{司2<a43}.

题型三：集合的基本运算

1.(2024•陕西•校联考一模)已知函数/(x)=J?p的定义域为A,函数

g(x)=log2x,xeJ.4的值域为8,则AcB()

A.(0,2)B.(0,2]C.(一s,4]D.(-1,4]

【答案】B

【分析】求出函数/(x)的定义域可得集合A,求出函数8(元)的值域可得集合2,再求AC3

可得答案.

【详解】f(x)=J—,则4N0,r.x(无一4)V0且xwO,

Y尤尤

可得4={尤|0<;(^4}，8(尤)的值域8={川一14尤42},，41B={x|0<x<2}.

故选：B.

2.(2024下,江西•高三校联考开学考试)设集合M={2,-2,-1},M=卜人-4<1},若"cN

的真子集的个数是1,则正实数。的取值范围为.

【答案】{前<"3}

【分析】解出集合N,分析可知，集合McN的元素个数为1,确定集合McN,可得出

关于实数。的不等式，解之即可.

【详解】由|无一a|<1可得一l<x-a<l,解得a-l<x<a+l,

因为a>0,则且。+1>1,

因为McN的真子集的个数为1,设McN的元素个数为"，则2"-1=1，解得〃=1，

因为“={2,-2,-1},则为cN={2},所以，a-l<2<a+l,解得l<a<3,

因此，实数。的取值范围是{如<"3}.

故答案为：{a|l<a<3}.

3.(2024上•河北石家庄•高一石家庄市第二十四中学校考期末)已知集合

A=1x|2<x<6},B=1x|3x-7>8-.

(1)求AuB；

(2)^C={xla-4<x<a+4},且4口。=人，求。的取值范围.

【答案】⑴Au3={尤|xN2}

⑵[2,6)

【分析】(1)先求得集合B,然后由并集定义计算AuB；

(2)由AcC=A,可得A=C,列出相应不等式组，从而可求解.

【详解】(1)由题意知：3x-7>8-2%,解得x\3,所以8={小23},

所以=.

〃+4>〃-4

(2)由题意AcC=A,得AqC,所以<〃+426,解得2W〃v6.

a—4<2

故。的取值范围为[2,6).

4.(2024上・江西南昌•高一校联考期末)在①&口3=台；②"x«A"是"xe3”的必要条

件；③BI、A=0这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答.

间题：已知集合A={xeRI(x-l)(x+2)>0),B={xeR|y=Jx+a,yeR}.

(1)当a=l时，求AcaB；

(2)若,求实数。的取值范围.

【答案】⑴{x|x<-2}

(2)(T»,-L)

【分析】(1)根据题意，求得A={无|x<-2或x>l},B={x\x>-1},结合集合的运算，

即可求解；

(2)由A={x|尤<一2或x>l}和B={x|xN-"},若选择①②，转化为BgA,列出不等式，

即可求得。的取值范围；若选择③：得到"A={x|-2Wx〈l},结合集合的运算，列出不等

式，即可求解.

【详解】(1)解：由不等式(x—l)(x+2)>0,解得了<—2或x>l,可得A={无|无<-2或x>l},

当a=l时，可得2={xeR|y=Jx+1,yeR}={x|x>-1),

则48={x[x<-l},所以4C148={乂x<-2}.

(2)解：由集合A={x[x<-2或x>l}和8={x|x»-a},

若选择①：由4口3=3，即BgA,可得一a>l,解得a<—l,

所以实数。的取值范围为(f,T);

若选择②：由"xeA"是"xeB"的必要条件，可得可得-a>l,解得a<T,

所以实数a的取值范围为;

若选择③：由4={划尤<-2或x>l},可得率A={x|-2WxWl},

要使得2I<A=0,则F>1,解得a<-l,所以实数。的取值范围为(9,-1).

5.(2023下•河南•高一校联考阶段练习)已知集合A={x|aVx《a+4},B={x12'-3<4}.

(1)若。=2,求("B)cA；

(2)若("A)U3=R,求实数。的取值范围.

【答案】(1){X|5<XV6}

⑵口』

【分析】⑴求出集合48后可求&3)cA；

(2)先求出再根据&A)uB=R可得。的不等式，故可求其取值范围.

【详解】(1)由2={&|24344}得，B={x|xW5},

当a=2时，A^{x\2<x<6},

\8={x|x〉5},所以&3)cA={尤［5<尤46}.

(2)因为<A={%|%<〃或%>。+4},

又瓜A)u3=R,

所以a+4V5,所以实数。的取值范围是(―』

2a—x

6.(2024上•湖南衡阳•高一统考期末)已知集合4=卜|£-8彳+15<0},函数>=3言］可

定义域为集合艮

(1)若4eB,求实数a的取值范围.

⑵若Ac3=0,求实数a的取值范围.

【答案】(1)a<-耳或指<a<2

(2)-72Wa<加且awl或々弓

2a—4

【分析】(1)由可得—°，解不等式可得所求范围；

2a—x

(2)由V可得3=卜|24<方</+1},根据AcB=0转化为关于实数0的不等

X—\CLilli)

式，解不等式可得所求范围.

2〃-4_2〃一2八

【详解】⑴由题可得，zzpnf。得a一<0,即记即可°，

所以a<-A/3或也<a<2.

2a-xx-2a

(2)A={x\3<x<5}；对函数(〃2工1\,丫(“2―八由于2aK“2+i,

、7A—ILZ+11A—Ia+11

2a—x

当2a=〃2+i时，即々=1,/2,八二-1，函数无意义，所以awl,得3=卜|2々<%<〃2+1

X~\Cl+1II

由Ac5=0,知储+1<3或2，25,得一夜WQ〈返且awl或。之：.

题型四：充分条件与必要条件

1.（2024上•全国•高三校联考竞赛）设a,beR,集合A={a,〃+1},3=也万+”.贝=

是"a=Z?"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】利用集合相等的定义得到关于6的方程组，推得充分性成立；再简单证得必要性

也成立即可得解.

【详解】因为4={。,"+1},8={6,k+1},

a=ba=b2+1

当4=3时，则有/+1=6+厂或

a1+l=b

a=b

若入]一+],显然解得aS

2

若则,2+1)+1=万，整理得92_6+l)W+6+2)=0,

因为62-匕+1=（匕_工）+->o,b1+b+2=[b+]-\+->0,

I2；4I2）4

所以仅2-〃+1）,2+匕+2）=0无解；

综上，a=b,即充分性成立；

当a=6时，显然A=3,即必要性成立；

所以"4=3"是"a=6"的充分必要条件.

故选：C.

2.（2022上•北京•高一校考阶段练习）"a>2"是"">4"的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】/>4解得a>2或。<-2,根据充分条件和必要条件的定义判断即可.

【详解】/>4解得a>2或一2,

所以"4>2"0"片>4","4>4%"a>2",

所以"a>2"是"">4"的充分不必要条件.

故选：B.

3.（2024上•天津•高三校联考期末）已知x,yeR,则"x>0"是"凶+”|>0"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即得.

【详解】由尤>0,得1制>0,必有Ix|+lyl>o,

而当|x|+|y|>0时，x可以是负数，如|-1|+及|>0成立,却有T<0,

所以"尤>0"是"|x|+|y|>0"的充分不必要条件.

故选：A.

4.（2024上•北京密云•高一统考期末）已知b,ceR,则“。>6"的一个充分而不必要

条件是（）

A.a2>b2B.2a>2b

C.sina>sinZ?D.ac2>be1

【答案】D

【分析】根据函数单调性结合充分、必要条件逐项分析判断.

【详解】当。=-1,6=0时，满足/>。2,但”>b不成立，不满足充分性，A选项错误；

由指数函数单调性可知，若2。>2"，贝反之，若a>b,则2。>2"，

所以2。>2〃是的充要条件，B选项错误；

TT57r

当a==L时，满足sina>sinZ?,但不成立，不满足充分性，C选项错误；

若比2>〃o2,则有反之，1>人不能得至!!a2>儿2,比如当C=0时，〃，>儿2不成立，

所以at?>历2是［>匕的充分不必要条件，D选项正确.

故选：D

5.（2024上•江苏南京•高一统考期末）设全集U=R,已知集合

A=1x|x2—5x+4<0^,B=1x|m<x<m+l1.

⑴若AcB=0,求实数加的取值范围；

⑵若〃是〃xeA〃的充分条件，求实数冽的取值范围.

【答案】（1）{4加V。或加>4}

（2）{m|l<m<3}.

【分析】（1）求出集合4由集合运算列式可得结果，

（2）由充分条件得3=A,根据子集关系列式可得结果.

【详解】（1）由X2-5X+4V0，解得1WX44,所以A=｛疝<X<4｝.

因为Ac3=0,且5w0,所以m+lvl或加〉4,解得机<0或机>4,

所以实数加的取值范围是｛4加<。或根>4｝.

（2）因为〃xe5〃是"xeA〃的充分条件，所以B=

fm+1<4

所以《，解得14屋3,

[m>l

所以实数加的取值范围是｛疝4加43｝.

题型五：“的”字结构与“是”字结构对比

1.（2023•湖南岳阳•校联考模拟预测）"x>3"是"3（X-1）N2X+1”的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】解一元一次不等式结合必要不充分条件的定义即可得解.

【详解】由题意3（X—1）N2X+1OXN4,

所以"x>3"是"3（x-l"2x+l”的必要不充分条件.

故选：A.

2.（2024上•河北沧州•高一统考期末）已知xeR,则“x>l"是"logjx-l）<1"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】先求出不等式1。825-1）<1的解集，再根据两个范围的包含关系即可判断.

【详解】由1鸣。-1）<1可得0<%-1<2,解得：1<X<3,

因｛x[l<x<3｝是印尤>1｝的真子集,故"%>1"是"女2（》-1）<1"的必要不充分条件.

故选：B.

3.（2024上•福建南平•高一统考期末）不等式工>1成立的一个充分不必要条件是（）

X

F11八1

A.x<1B.x<—C.x>—D.0<x<一

332

【答案】D

【分析】先分析不等式工〉1成立的一个充分不必要条件的性质，再解不等式工>1即可得解.

XX

【详解】要成为不等式工>1成立的一个充分不必要条件，

X

则该条件所对应的集合为不等式工>1的解集的真子集,

X

解:>1,得故不等式:>1的解集为{乂0<》<1},

逐一分析各选项，可知只有D选项对应的集合满足题意，故D正确.

故选：D.

4.（2024上•陕西咸阳•高一统考期末）“不等式〃吠2+%+4能>0在R上恒成立"的一个必要

不充分条件是（）

1c11八1

A.m>—B.0<m<—C.m>—D.0<m<-

4488

【答案】C

【分析】先求出不等式如2+%+4机>o恒成立的充要条件，然后逐项判断即可.

【详解】因为“不等式加2+%+4相〉0在R上恒成立〃，

显然机=0不满足题意，

fm>01

所以A一二2八，解得相

[A=l-16m<04

则“不等式nz/+%+4机>0在R上恒成立”等价于m>^~,

4

故要找的必要不充分条件需要被根推出.

对于A,根是充要条件，故A错误；

对于B,因为根推不出。<机<],故B错误;

44

对于C,因为m>；=>%>:，反之不能推出，故C正确；

48

对于D,因为机推不出0<〃7<1，故D错误.

48

故选：C.

5.（多选）（2024上•四川广安•高一统考期末）"Vx>0,f一如+i>o”为真命题的充分条

件可以是（）

A.a<0B.a<\C.a<3D.a<4

【答案】AB

【分析】变形得到。〈x+工，尤>0恒成立，由基本不等式求出无+1的最小值，从而得到。<2,

XX

分析四个选项，得到AB满足要求.

【详解】X2-ax+1>0^>a<x+—,%>0恒成立,

x

其中尤+,22/无」=2,当且仅当x=L即x=l时，等号成立，

XVXX

故〃<2,

由于｛创々<0｝和他|々<1｝均为｛创々<2｝的真子集，故AB正确，CD不合要求.

故选：AB

题型六：全称量词与存在量词

2

1.（2024下•广东,高三校联考开学考试）已知p:Vxe[T,2],x-2x+a<0;q：3x^R,

x2-4x+a=0.若。为假命题，夕为真命题，则。的取值范围为（）

A.[-3,4]B.（-3,4]

C.D.[4,+oo）

【答案】A

【分析】根据全称命题以及特称命题的真假，结合二次函数的最值以及一元二次方程的判别

式，即可求得答案.

【详解】由题意知p：Vxe[-l,2],尤2一2》+々<0为假命题，

则->p:*e[-1,2],f—2x+a20为真命题，

当xe[―1,2]时，y=x2—2x+a的图象的对称轴为x=l,

止匕时其最大值为（T）2+2+a=3+a,则3+。20,，。2-3；

又q:玉eR,X?—4尤+a=0为真命题，

BfJA=16—4a>0,即得aW4,

综合可得。的取值范围为[-3,4],

故选：A

2.（2024•广西南宁•南宁三中校联考一模）已知命题p:*eR,lgx+无23,则力为（）

A.VxeR,lgx+x<3B.3xeR,lgx+x<3

C.VxeR,lgx+x>3D.3xeR,lgx+x<3

【答案】A

【分析】根据含有一个量词命题的否定，即可得答案.

[详解】由题意知命题/2：3xeR,lgx+x>3为存在量词命题，

其否定为全称量词命题：VxeR,lgx+x<3,

故选：A

3.（2024上•江苏徐州•高一统考期末）若命题〃玉cR,Y+4X+/<0〃是假命题，则实数/的

最小值为（）

A.1B.2C.4D.8

【答案】C

【分析】根据特称命题与全称命题的真假性质，结合一元二次不等式的解集的性质进行求解

即可.

【详解】因为命题"玉eR,f+4x+t<0"是假命题，

所以命题"VxeR,x?+4x+f20"是真命题，

因此;有A=42-4fW0=>t24,所以实数f的最小值为4,

故选：C

4.（2023上•云南昆明•高一官渡五中校考期中）命题。：3xeR,V尤+14。是假命题，

则实数。的值可能是（）

9

A.—B.—2

4

1

C.—1D.—

2

【答案】CD

【分析】先由P是假命题，得到可是真命题，求出b的范围，对四个选项一一验证.

【详解】由P：mxeR,yr+bx+\<Q,得「p：VxeR,A:2+Z?X+1>0.

由于命题p是假命题，可知力是真命题，所以无?+6无+1>0在xeR时恒成立，

则A=Z?2-4<0，解得-2<b<2.

故选：CD.

5.（多选）（2024上•内蒙古呼伦贝尔•高一校考期末）命题“V1W无W3,f一“WO”是真命题

的一个充分不必要条件是（）

A.a>9B.a>ll

C.a>10D.a>12

【答案】BCD

【分析】先将恒成立问题转化为最值问题求出。的范围，然后利用充分不必要条件的概念选

择答案.

【详解】\/l<x<3,x2-a<0,

贝尤2对都成立，

又x2W9,所以

观察选项可得命题"VIWxW3,尤2一。w0〃是真命题的一个充分不必要条件是BCD.

故选：BCD.

题型七：一元二次不等式

1.（2023•湖南岳阳•校联考模拟预测）不等式炉-1<3（尤+1）的解集是（）

A.{x\x<4}B.{x|-4<x<l}

C.{x|-l<x<4}D.卜[X<-1或%>4}

【答案】C

【分析】将不等式化简成一元二次不等式的标准形式，即可求得结果.

【详解】由不等式/一1<3(%+1)可得九2一3%—4<0,

即(x-4)(x+l)<0,可得一1

因此不等式x2-l<3(x+1)的解集是卜|—1<xv4}.

故选：C

2.(2024上•河北沧州•高一统考期末)不等式产之。的解集为

2-x

【答案】-3,2)

【分析】将分数不等式转换为与之等价的不等式组即可求解.

【详解】V—>0,即=40,贝U(x+3)(x-2)V。且x—2w。.解得一3Wx<2,

2-xx-2

・・.不等式的解集为[-3,2).

故答案为：-3,2).

3.(2015下,福建•高一校联考阶段练习)已知不等式ax2-3x+2>0的解集为{xIx<1或x>圻

⑴求6的值

(2)解不等式at?-(^am+b^x+bm<0.

[a=l

【答案】⑴,、

[b=2

⑵答案见解析

【分析】⑴由题知为=1#2=6是方程分2—3尤+2=0的两个解，根据韦达定理列出方程，

解出即可；

(2)化简不等式，分类讨论，即可得到不等式的解集.

【详解】(1)因为不等式以2_3尤+2>0的解集解集为{x|x<l或x>。},

所以再=1,无2=6是方程公之-3元+2=0的两个解,

l+b=-

aa=l

所以,解得

1x6=2b=2

a

(2)由(1)矢口原不等式为d—(冽+2)x+2祖<0,

即(x-m)(x-2)<0,

当相>2时，不等式解集为卜|2<尤<加};

当"7=2时，不等式解集为0;

当机<2时，不等式解集为｛尤卜2｝.

4.（2023上•吉林白山•高一统考期末）解关于尤的不等式:

2x

(1)------43；

1-X

(2)_(2a_l)x_220.

3

【答案】（1）（-8,小U（L+8）

⑵答案见解析

【分析】（1）利用分式不等式的解法求解即可得解；

（2）将不等式化为（公+1）（尤-2）20,分类讨论。的取值范围，从而得解.

【详解】（1）由题意卢-3=9^40,

I—x1—x

可得产3,乐。3、

解得或x>l,

3

所以不等式的解集为（-.

(2)不等式分2—(2〃一1)%—220可化为(依+1)(%—2)20,

当。=0时，x-2>0,不等式的解集为［2,+8）；

当。>0时，不等式化为（x+与尤-2）20,其解集为（-8,」甘2,+功；

aa

当〃<0时，不等式化为（无+3（X-2）W0,

a

（i）当-4<2,即“<一时，不等式的解集为［-±2］；

a2a

（ii）当-1=2,即a=-（时，不等式的解集为｛2｝；

a2

（iii）当」>2,即-］<”0时，不等式的解集为［2,-”

a2a

5.（2024上•四川南充•高一统考期末）已知函数〃力=三-MU+1.

⑴若关于X的不等式”x）+〃-1W0的解集为［-1,2］,求实数加，”的值；

（2）求关于x的不等式”x）-x+7”-l>0（meR）的解集.

【答案】①加=1,〃=一2；

（2）答案见解析.

【分析】（1）由不等式解集可得-1,2是尤2-皿+〃=o的两个根，利用根与系数关系求参数

值；

(2)由题意有(x-m>0,讨论m<1、m=l.勿>1求不等式解集.

【详解】(1)由题设％之—+的解集为[一1,2],即一1,2是Y一7nx+〃=。的两个根,

所以m=—1+2=1,〃=—1x2=—2.

(2)由题意/(x)-x+m-l=x2-(m+l)x+m=(x-m)(x-l)>0,

当加<1时，解得%(加或元>1,故解集为(―,㈤U(L+oo)；

当根=1时，解得XW1,故解集为｛%£RI%W1｝；

当%>1时，解得了<1或无>相，故解集为(-°M)UO,+oo);

题型八：一元二次不等式中的恒成立与有解问题

1.(2024上•重庆•高一重庆市青木关中学校校考期末)函数〃无)=-6+2的定义域

为R,则”的取值范围为()

A.[8,+oo)B.(0,8]C.[0,8]D.{0}u[8,+w)

【答案】C

【分析】由题意得恒有ax?一方+220成立，结合二次不等式恒成立性质对。进行分类讨论

进行求解即可.

【详解】由题意得分2一依+220恒成立，当。=0时，220恒成立，满足题意;

a>0

当aw0时,，解得0<aW8,综上0WaW8.

a?—8Q<0

故选:C.

2.(2024上•贵州毕节•高一统考期末)命题p:*e[0,4],Y-3x-a>0,若刃是假命题，

则实数。的取值范围是.

【答案】(3,4)

【分析】由题意确定。为真命题，则只需任-3*鹏>。，设/(x)=f—3x,根据二次函数

的性质求得在[0,4]上的最大值，即可求得答案.

【详解】若力是假命题，则P为真命题，故lre[0,4],x2-3x>a,

只需(尤2-3尤)>a,

\/max

设〃尤)=/_3尤=卜_|1则“力=/一3%在0,|上单调递减,

在1,4上单调递增，其中〃0)=0,〃4)=16-12=4,

故/(x：U=4,所以a<4,即实数。的取值范围是(-8,4),

故答案为：(-℃),4)

3.(2024上•福建龙岩•高一福建省武平县第一中学校联考期末)已知二次函数

f(x)=X2-bx+c,对任意XER者R有/(一2—％)=/(—2+龙)，且/(0)=6.

⑴求函数“X)的解析式；

(2)若对于V相w[-L,2],不等式时(劝-6<。恒成立，求尤的取值范围.

【答案】(l)/(x)=/+4x+6

(2)(-3,-1)

【分析】(1)由题意可得函数/'(x)关于x=-2对称，再根据了(0)=6求出仇c即可;

(2)不等式时(无)-6<0即为租(f+4尤+6)<6,将x当作参数，分加e[-l,0),机=0和

mt(0,2]三种情况讨论，利用分离参数法求解即可.

【详解】(1)因为2-x)=/(-2+x),所以函数〃尤)关于x=-2对称,

。=-2

。=-4

则2,解得

c=6

/(O)=c=6

所以/(无)=尤？+4x+6；

(2)不等式时(尤)一6<0即为租(x?+4尤+6)<6,

当初目-1,0)时，贝！|/+4苫+6>9恒成立,

m

而已

|=-6,

vmmax

所以x?+4x+6>-6,即尤2+4尤+12>0,

因为A=16-48=—32<0,

所以xeR；

当〃2=0时，-6<0恒成立，止匕时xeR；

当mi(0,2]时，贝W+4尤+6<9恒成立,

'」m

而仔

|=3,

1mmin

所以X2+4X+6<3,解得一3<x<—1,

综上所述，x的取值范围为(-3,-1).

4.(2024上•江苏无锡,高一江苏省天一中学校考期末)已知函数"x)=log2(2x”og2j

⑴当xe[1,4]时，求该函数的值域;

(2)若/("〈Mikgx对于xe[2网恒成立，求实数加的取值范围.

【答案】⑴卜不9。

【分析】⑴由对数的运算性质和换元法，结合二次函数的最值求法，可得所求值域；

(2)由题意可得(log2X)2-(〃2+l)log2X-2<0,xe[2,8卜恒成立，运用换元法和参数分离，以

及二次函数的图象和性质，解不等式可得所求范围.

2

【详解】⑴/(元)=log?(2x)•log?；=(1+log2x)(log2无一2)=(log,x)-log2x-2,

4>log2x=f,则函数化为y=〃__2,re[0,2],

因此当£=3时，y=,―2取得最小值一彳，

当方=2时,y=t2-t-2,/£[0,2]取得最大值0,

即当x=及时，函数/(X)取得最小值-当x=4时，函数/(x)取得最大值0,

可得函数的值域为卜7。];

(2)/(x)<mlog2x,%£[2,8]恒成立，

即(log2%)?-(m+l)log2x-2<0,x£[2,81恒成立,

令log2%=,，则/一(m+1"-2<0,令[1,31恒成立,

令g⑺二/一(m+l»-2v0,tG[1,3],

fg(l)=-2-m<0

贝U]g(3)=4—3m<0，

4

解得相>§，

所以实数加的取值范围为

5.(2024上•安徽芜湖•高一统考期末)设函数/("=就2+次+3,关于%的一元二次不等

式/(">0的解集为

⑴求不等式V+办+6>。的解集；

(2)若Vxe[-1,3],/(x)2如2,求实数小的取值范围.

【答案】⑴{小<T或x>2}

4

(2)m<--.

【分析】（1）利用韦达定理求参数后再解不等式即可.

（2）对变量范围进行讨论，分离参数法求解参数即可.

【详解】（1）因为一元二次不等式/（彳）>0的解集为（-3,1）,

-3+1=--

所以-3和1是方程加+云+3=0的两个实根，则，a",

-3-1=-

、a

解得a=T,6=-2.因此所求不等式即为：9_彳_2>0,解集为3》<-1或x>2}.

（2）/（x）2mx之可化为：（加+1）%2w-2x+3,当x=0时显然成立；

当xwO时，根+1<-2；+3口]对以4—1,31恒成立，

14

所以m+1W——,即用《——.

33

6.（2024上•安徽安庆•高一安庆一中校考期末）设定义域为R的奇函数/（x）=:二;,

（其中。为实数）.

（1）求。的值；

（2）是否存在实数上和xw[-l,3],使不等式/优一区）+/（2-％）>0成立？若存在，求出实数

上的取值范围；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴1

（2）存在；（-8,-4）口（2直-L+8）

【分析】（1）由“力是定义在R的奇函数，利用/（。）=0,即可求出。的值，再利用定义

验证.

（2）先证明函数单调性脱去不等式中的了,转化为不等式恒成立问题，通过分离参数转化

为函数最值问题求解.

【详解】（1）由是定义在R的奇函数，则有"0）=0,得。=1,把。=1代入函数得

A1-21

/,/（X）-2工+1+2'

1_升（1-2~X}2X9X-1

而="a+j2工=缶=-/（x），所以。=1符合题意・

l-2x-2X-1+211

（2）f（x）=^^=2（2T+1）=~2+27T1,因为函数2'+l>0且在R单调递增，

所以，在R上单调递减，从而/"）在R上单调递减.

2"+1

/（x2-Ax）+/（2-x）>0<^>y（x2-Ax）>/（x-2）

.2

k-----1（0<XW3）

因为/（九）在R上单调递减.所以一—日〈兀-20"〉/_冗+20,；

k<xH-----1（—l<x<0）

、x

o

设函数g（x）=x+：-l,要想满足题意，只需左大于g（X）在（0,3］上的最小值或者小于g⑴在

［-1,0）上的最大值即可，

由双勾函数的性质可知g（无）在（。，血）递减，在（应,3］递增，在［-1,0）上递减，

所以g⑺在（0,3］上的最小值为g（72）=272-1,在［-1,0）上的最大值为g（-l）=-4.

所以存在左€（—。，-4）0（25/^-1,+8）.

题型九：基本不等式及其应用

1.（2023上•新疆•高一校考期末）若正实数X、y满足x+y=2,则工的最小值为（）