2025届高三八省联考高考适应性考试数学冲刺卷（含答案）

2025届高三八省高考适应性考试冲刺卷

数学

注意事项：

1.本试卷满分150分，考试时间120分钟，试卷共4页。

2.答题前，考生需用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号正确填写在答题卡对应位置。

待监考老师粘贴好条形码后，再认真核对条形码上的信息与自己准考证上的信息是否一致。

3.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

4.试卷考试内容：高考范围。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给的A、B、C、D四个选项中，只

有一项符合题意。

1.已知z-(l-3i)=10,则z=

A.2-3iB.l+3iC.3iD.-3i

2.已知集合A={x|Y+2x-3W0},8=卜|=山(2-/)},则AC|8=

A.(1,3)B.[-3,V2)C.[-V2,3]D.(-A/2,1]

3.已知函数人x)=-2sin(2x+0)(101<§关于直线可对称，则段)的一个单调递增区间可以是

A・卜宾]B.片期C.卜翌]D.植得

4.已知匕+加，(2》一封5的展开式中犬,4的系数为go,则加的值为

A.-2B.2C.-1D.1

5.已知正三棱柱ABC-4用。]的底面边长为G，高为26，则该正三棱柱的外接球的体积为

A.B.4G兀C.痛兀D.,

.j。

6.设数列{6}满足％=1,%=%T+2,a2n+1=a2n-l,”eN*,则满足-4W4的”的最大值是

A.7B.9C.12D.14

7.已知抛物线C：F=2px的焦点为尸(1,0),准线为/,尸为C上一点，PQ垂直/于点。，口PQP为等

边三角形，过尸。的中点M作直线MR//QP,交无轴于R点，则直线MR的方程为

A.拒x+y-2出=0B.Vir+y-36=0

C.x+岛-26=GD.x+岳-3月=0

8.定理：如果函数〃x)及g(x)满足：①图象在闭区间[。回上连续不断；②在开区间(。,9内可

导；③对vis。0,那么在。力内至少有一点。，满足二〉<二」H成立,该

g(b)-g[a}g(c)

定理称为柯西中值定理.请利用该定理解决下面问题：已知/(x)=",若存在正数

A

满足/伍)=〃n(+/(〃)，则实数4的取值范围为

「「「

32--1-1-R8--2-]——「4--1-]--n4---2------

•_e4，ej|_e4，eJ|_e4，ej,|_e4，e_

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题所给的A、B、C、D四个选项中，有

多个选项符合题意，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得。分。

9.在三角形ABC中，角A&C的对边分别为a,b,c,若4=方,4=26，则

A.三角形ABC的外接圆半径为2B.当6=后时该三角形有唯一解

C.办.就最大值为12D.的最大值为24

10.已知函数/(x)=|x-11+|尤-a|+lnx(a>0),则

A.当。=1时，在(0,1)上的最大值为l-ln2

B.〃尤)在(1,+8)上单调递增

C.当时，/(X)>0

D.当且仅当ae(ln2,l)时，曲线y=/(幻与x轴有三个交点

11.已知/(甚％〃)=尤2"+/”一1(心1,„eZ)；定义方程〃龙,y,〃)=。表示的是平面直角坐标系

中的“方圆系”曲线，记s“表示"方圆系''曲线")=0所围成的面积，则

A.“方圆系”曲线“X,y,1)=0是单位圆

B.S2>4

C.⑸}是单调递增的数列

D.“方圆系”曲线2)=0上任意一点到原点的最大距离为J

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。请将答案填写在答题卡对应题号后的横线上。

12.已知向量1=(1,1)石=(2,-5),则「在」+在上的投影向量的坐标为▲.

13.某同学高考后参加国内3所名牌大学A3,C的强基计戈/招生考试，已知该同学能通过

ASC这3所大学招生考试的概率分别为%,以：(()<%,y<l),该同学能否通过这3所大学的

2所大学招生考试的概率为工，则该同学通过

3

AB两所大学但没通过。大学招生考试的概率最大值为▲

14.已知己一1,0）,8（1,0）,点C满足：|AC『+|BC|2=10,过点。（LD分别作两条相互垂直的射线

DM,ON分别与点C的轨迹交于M,N两点，记的中点为E,记E的轨迹为「，过点C分

别作轨迹:T的两条切线，切点分别为GI,则由.而取值范围为▲.

四、解答题：本大题共5小题，其中第15题13分，第16、17题每小题15分，第18、19题每小题17

分，共77分。在解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）

如图，四棱锥尸一ABCD的底面A2CD为直角梯形，AD//BC,AD=1,BC=3,ZABC=45°,

△PCD为等边三角形，平面尸BC1.平面PCD,PB=413,

（1）证明：尸M_L平面A3C。；

（2）求平面P4B与平面PCD夹角的余弦值.

16.（15分）

已知数列｛七｝是公差大于1的等差数列，4=3,且q+1,«3-1,&-3成等比数列，若数

列｛"｝前〃项和为并满足S“=2%+〃，neN*.

（1）求数列｛%｝,低｝的通项公式.

（2）若求数列匕｝前〃项的和

17.（15分）

已知函数〃到=加+加-3x在点处的切线方程为y=2

（1）求函数的解析式；

（2）若机彳-2,且过点可作曲线y=〃x）的三条切线，求实数机的取值范围.

18.(17分)

22

已知。为坐标原点，双曲线。曝―l(a>0,b>0)的左、右顶点分别为4,4,圆V+y?=1

过点4,与双曲线C的渐近线在第一象限的交点为。，且同。=退.

(1)求C的方程；

(2)过点M(T,0)(t>a)且斜率不为0的直线/与双曲线C的左、右两支的交点分别为Q,P,连

接。。并延长，交双曲线C于点R,记直线AR与直线&P的交点为B,证明：点B在曲线

工+^^=1

a11"汽上.

t+a

19.(17分)

设样本空间A={4,4},B={B],B2,...,Bn},其中4,鸟两两互相独立.设随机事件V对

应的结果值为V(M),随机变量X和¥的取值分别为样本空间A和B中所发生事件的结果值，从

m〃

而它们的数学期望E(x)=(a)p(a),E(y)=>(B/尸(%).

i=lJ=1

(i)证明：E(x+y)=E(x)+E(y),E(xy)=E(x)E(y)；

(2)小明抛一枚奇葩的硬币，有;的概率朝上，二的概率朝下，9的概率立起来.记朝上为1分，

/36

朝下为-1分，立起来是。分，设随机变量s是小明抛100次硬币所得的分数，求E(s),。(5)；

(3)若随机变量Z~8(〃,p),证明：E(Z)=np,D(Z)=np(l-p).

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数学参考答案及解析

1.【答案】B

【分析】根据复数代数形式的除法运算法则计算可得.

【详解】因为z«-3i)=10,

1010(l+3i)10(l+3i)।

所以1+31

z=1^3i(l-3i)(l+3i)-~10--

故选：B.

2.【答案】D

【详解】A={X|V+2X-3W0}={R(X+3)(X-1)<0}={X|-3<X<1},

B={x[y=ln(2-x?)}=1x|2-x2>o|={x\-42<x<42],

故AcB=卜一&<臼}=卜后,1].

故选：D.

3.【答案】D

【详解】尤)关于直线尤W对称,

O

则乌+9=2+左兀,左£Z,

42

(p『+kn,keZ,

4

又・・・|矶冬・・・夕

.\f(x)=-2sin(2x+：).

由2—行代打兀+”上Z,

得kTl+-<X<kTl+—,k^Z.

88

结合选项，当左=0时

OO

即段)的一个单调递增区间可以是，，即

4.【答案】A

【分析】根据题意可得〃少〕(2尤-y)5='(2x-y)5+,〃y(2x-y)5,利用二项式展开式的通项公式

\X)X

x2/

【详解】\-+my](2x-y)5=-(2x-y)5+my(2x-y)5,

在匕2x-y)5的展开式中，由x工②尸(一方=(-l)J25c,

f4-r=2i

令”,得「无解，即一(2"4的展开式没有fy4的项；

在阳(2x7)5的展开式中，由仪呜(2x)5-(-4=(-，"-加

[5-r=2

令<]彳，解得厂=3,

[r+l=4

即my(2x-»的展开式中//的项的系数为(-1)3•25-3mCf=-40/TI,

又因为(2x+my)(x-y)5的展开式中//的系数为80,

所以-40m=80,解得=-2.

故选A.

5.【答案】A

【详解】解法1：如图，设正三棱柱ABC-A4G外接球的球心为O,半径为R.

记△ABC和△AAG外接圆的圆心分别为Q和Q，其半径为「，

由正弦定理得：r=4—=1.而。为。。的中点，

2sin600

所以R2=F+(6『=4,氏=2,则丫=3兀&=”.

故选:A.

解法2：设正三棱柱ABC-44G外接球的半径为民

因正三棱柱的高为2月，由对称性知其外接球球心必在高线。。2的中点，

故R>6,此时V=§兀尺>46兀.

故选:A.

6.【答案】C

【解析】根据数列｛““｝满足的条件，讨论n的奇偶性，即可求得解析式.根据解析式解绝对值不等

式即可求得满足条件的〃的最大值.

【详解】数列｛风｝满足4=1,%=%T+2,%“+]=%,T,%=3

则%1一*=1

n+1

nG

7〃2

M1

所以|%-〃归4,代入可得亍-〃44,解不等式可得一

而“eN*,所以此时〃的最大值是9

则当“e偶数时，«„=2+-

所以若同一〃区4,代入可得2+]-〃W4,解不等式可得-4W〃W12

而“eN*,所以此时〃的最大值是12

综上可知，〃的最大值是12

故选:C

7.【答案】B

【详解】设直线/与左轴交于点H,连接加£。尸，

因为焦点F（1,O）,所以抛物线的方程为丁=以，准线为尤=一1,

则优印=2,|「耳=|尸0|,因为△PQF是等边三角形，PQ的中点为M,

则尤轴，所以准线为"/朋尸，4为矩形,则怛/=|M2|=2,

故尸是边长为4的等边三角形，

易知ZPFQ=ZPFR=ZQFH=60°,|MF|=2G,则M.

因为MR//QF,所以直线MR的斜率为-6,

直线MR的方程为百x+y-3有=0.

故选：B

8.【答案】A

【详解】由/伍）=Xln2+〃a）可得：ZHzZH*

aIn—Inq

令g(x)=lnx,所以=2

In/?-Inag㈤—g(〃)

由柯西中值定理可知：那么在（a,b）内至少有一点c,满足=%成立,

g(b)-g(a)g'(c)

x22

2、2xe-xe'产2x-xi

r,g(x)=lnx,所以/(%)=-

因为"x)=£72'g'(x)=『

Iex

2x-x2

\「(X)1_X(2-x)

1~

X

F(x)「(x”(I),x>0,

令F(x)〉O可得：0<冗<1或x>4,

令/(x)<0可得：l<x<4,

所以FQ)在(0,1),(4,+。)上单调递增，在(1,4)上单调递减,

又尸(1)=上尸(4)=二尸(0)=0,

ee

当X趋于正无穷时，F(x)趋近0,

「_3211I-321-

所以尸(x)e—,所以实数彳的取值范围为一下,-.

_eeJ|_ee_

故选：A.

9.【答案】AD

【详解】对于A,由正弦定理，啖=2R=2R=^=4nR=2,故人正确；

sin—

32

对于B,由余弦定理，/=。2+—2bccosAnl2=15+/—Vt5c，解得c=一或°=

22

经验证均满足三角形三边关系，故当人=而时该三角形有2个解，故B错误；

〃2q2_序1,2_右2

对于C,BA-BC=accosB，由余弦定理可得〃ccosB=----------=----------.

22

由正弦定理，=2R2(sin2C-sin2B)=8sin2fy-B^-sin2B

=8——cosB——sinB•——cosB+—sinB=8^3sin--Bjsin—+5j

(22乂22JUJ16J

因+3=5，则8Gsin-B^sin］《+3j=8Gsin［三-cos

=4百sin］?-2丑46,当且仅当子—23=%即5甘时取等号.

则,一”则丽.前=12+，/《6+45故C错误；

22

对于D,由余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA^>12=b2+c2-be,

12=b2+c2-bc>b2+c2»+'=匕^>b2+c2<24

22

当且仅当b=c=2为时取等号，故D正确.

故选：AD

10.【答案】ABD

1-2%

\2-2x+lnx,x<l,,x"一，

【详解】(1)当a=l时，可得/(x)=c°।则八x)=x.

2x-2+lnx,x>l,小1,

2H—,X〉1,

、X

①当时，((x)>0恒成立，/(尤)单调递增，如图(b)；

②当;时，当3(.,+“)时，r(x)>0,/(x)单调递增;

当xe&，4时，f'(x)<0,/(x)单调递减，如图(c)；

l-2x

-------,x<l,t

65+1-2x+Inx,x<1,x

(3)当Q>1时，/(%)=<lnx+a-l,l<x<a,易知/'(x)=<—,l<x<a

x

2x+lnx-a-1,x>a,

c1

2H—,X>〃,

X

当xe(0,g]u(l,+8)时，-(x)>0,/(x)单调递增;

f'｛x)<0/(x)d)

综上所述，，=/(幻在(1,+8)上单调递增，选项B正确；

当尤>a时，/(x)>0不一定成立，比如a=g时，/Q^|=-ln2+|<0,选项C错误；

只有g<a<l时，y=/(x)的图象与x轴可能有三个交点，

/f-Ko,

此时｛12)解得ln2<a<l,选项D正确，

/(«)<0,

故选：ABD.

11.【答案】ACD

【分析】对于A,对应曲线是炉+丁-1=0从而可判断；对于B,对应的曲线是x4+y4_l=0,

从而可得出横纵坐标的范围，从而可判断；对于C,7(x,y,w)=。对应的曲线是丁"+丁"=1,

〃x,y,w-l)=0(匕2)对应的曲线是--2+/一2=],从而可判断；对于口，〃x,y,2)=0对应的曲

线是x4+y4-l=0,再由三角换元x?=cosa,y?=sina(。VaV可判断.

【详解】对于A：/(x,y,l)=0对应曲线是炉+9一1=。表示单位圆，故A正确；

对于B：〃尤,％2)=。对应的曲线是/+/_1=0,故-IVxWl,且恸=1与|y|=l不能同

时取等号，故邑<4,故B错误;

“苍％〃)=0对应的曲线是留+产=1,令国"=忖，讨=|外

因为曲线(吗。(力2=1,则同=|"，且回=仅小

“三％〃-1)=。(〃？2)对应的曲线是--2+产-2=1.

令W”T=|尤[,»尸=|外因为曲线3)2+(力2=1,则国=,向,且|y|=y向.

对于c：又|玮耳尤，户，w&y尸且等号不能同时取得,故故母｝是单调递增的，故

C正确；

对于D：〃尤,y,2)=0对应的曲线是尤4+y4_i=o,假设曲线上任意一点尸(七,%).

2贝！JI。=x：+y；=sina+cosa<丘,故

则片+y；=1,令XQ=cosa,y0=sintzQ<a<—

故D正确.

ACD.

12.【答案】

[详解]由题意得，a+&=(l,1)+(2,-5)=(3,-4),\a+b\=y/9VL6=5,a-(a+b)=3-4=-l,

a\a-\-b\/_、1/34、

所以方在1+B上的投影向量为1-----^―45+/?)=--(3,-4)=.

\a+b\25<2525)

故答案为：卜表曰•

13.【答案】—

27

【解析】因为该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，所以该同学恰好能通过其中2

(2、22221

所大学招生考试的尸二孙X[1一3)+(1-％)xyx§+xx(l-=+-孙二耳，即

x-^-y--xy=—,所以工+y二万+万xy^2y[xy,即3xy-4-Jxy+120,解得孙(—或孙》1.又

0<x,y<l,所以0<孙<1,所以(当x=y=；时取等号)，所以该同学通过两

所大学但没通过C大学招生考试的概率为工打，最大值为工.

3-27

14.【答案】31v62嚷81

【详解】设C(x,y),由A(-1,0),8(1,0),n(x+r)2+y2+(x-1)2+y2=lQ,

化简得f+y2=4,

故点C的轨迹是以。(0,0)为圆心，2为半径的圆，

因为£>M_LEW,E为MN的中点，所以仞目=g|MN|=|八国，

又M,N在圆。上，所以OE1.MN,

则|O£|2+|DE|2=|OE|2+|NE-=|o叶=4,

设E{x,y),x2+y2+(x-1)2+(^-1)2=4,

则轨迹「的方程是以。心《为圆心，手为半径的圆,

\GO.\V6\CG\

设NGCF=2。，则/GCO]=/FCQ=6,故sing=~^=^^,cos6>=~L

g2COj

M3|CO,|2-|GO,|233

cos26=cos20-sin20=-----------1----------

|cq「21co厂|CO『2|C0/jCOj2

9

则无币=|CG「cos23"coj一一氤9

2

因为g1+g）=1<4,所以点a在圆o内，

则2-|。。1归（。1归2+|。。|,

即|COje2-^-,2+^-,所以|CO（「e--2A/2,—+

由双钩函数的性质可得函数上递增,

又2_2行<逑<2+2行，

222

'9、

所以口。「十俞一3=3后-1,

\）min

99

收及

又2+亡981-62g+2夜+2981+62

249-+2V2249

22

（9、

62亚+81

所以\cof+29

|CQ『249

/max

9

亚+

所以而=|。。『+293痣-1，6281

E

~249

故答案为：3>/2-|,62^+81

15.【答案】（1）证明见解析；（2）叶i.

10

【详解】（1）因为△尸CO为等边三角形，M为C。的中点,

所以PM_LCD.

过A作AE_LBC,垂足为E,

因为底面ABC。为直角梯形，AD//BC,AD=1,BC=3,NABC=45。,

所以BE=AE=2,贝|CO=PC=2,

PB=V13BC-+PC2=PB2BC1PC

因为平面P8C_L平面PCD,且平面PBCn平面尸CO=PC,BCu平面PBC,

所以8C_L平面PCD.

因为PMu平面PCD,所以BC_LPM.

又BCcCD=C,8<7,67）匚平面42。。，所以PM_L平面A8CD.

(2)由(1)可知，BC,CD,PM两两垂直，以M为原点，过M且平行于BC的直线为x轴,

MC,MP所在直线分别为y轴、Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

则M（0,0,0）,A（l,-l,0）,8（3,1,0）,P（0,0,V3）,

-）D

M

设平面PA5的法向量为万=(x,y,z),

AB-m=2x+2y=0=（\

则一_厂，令X=6,则加=6r,-6r,2,

AP-m=一x+y+J3z=0

由(1)可知，X轴，平面PCD,不妨取平面PCD的法向量为拓=(1,0,0),

故平面尸AB与平面PCD夹角的余弦值为遗2.

10

16.【答案】(1)4=2"-1；。"=1-2"；(2)(=(2-〃)2"+2-8.

【详解】(1)设等差数列｛%｝的公差为d,

由〃2=3,且4+1,%-1，。6-3成等比数列知：

q+d=3

<(「八/C7八2，整理得：5J2-12J+4=0

(4+1)(q+5d-3)=(q+2d-l)

即d=2或者〃=因为公差大于1,故d=2.

且4=3-d=l,故4=2〃-1.

数列色｝前〃项和为S",并满足Sn=2"+w①,

且4=H=24+1,解得4=-1,

故当〃之2时，Sn_t=2%+n-\②,

①式减②式得：Sn-Sn_x=2b,12b,i+1=%

/一1=2(〃T一1){b,,-l}2的等边数歹!J,

故a=T

+1

(2)c,i=(«n-l)(^-l)=(2«-2)(-2")=-(«-l)2",

故7；=0-23-2x24-3x25-....-(M-1)2"+1,

则27；,=0-24-2X25-3X26-...-(n-l)2n+2,

,3r\n+2

故1—2(=—23—24—2$—...-2"+1+(n-l)2"+2=——=—+(n-l)2"+2,

1-2

故_北=("_2)2"+2+8,

则T„=(2-n)2"+2-8.

17.【答案】(1)/(%)=?-3%；(2)(-3,-2).

"T)=2

【详解】(1)由题意得f(x)=3办2+2"-3,

r(-i)=o

—a+。+3=2CL—\

3

故32b-3=00=>/(X)=X-3X

。-b=Q

(2)过点A。,加)向曲线y=/(%)作切线，设切点为(%,%),

则%=片一3%,左=((尤0)=3/-3,

则切线方程为丁一(无；一3%)=(3¥-3)(尤-尤0),

将4(1,⑼代入上式，整理得2年-3片+m+3=0.

•.•过点4(1,⑴(〃--2)可作曲线y=〃x)的三条切线，

；・方程2/-3/+机+3=0有三个不同实数根.

记g(x)=2x3-3x2+m+3,g'(x)=6x2-6x=6x(x-l),

令夕(尤)=0,得x=0或1,则x,g'(x),g(尤)的变化情况如下表:

X(-℃,o)0(0,1)1(1,+℃)

g'(x)+0-0+

g（x）□极大□极小□

当x=0,g(x)有极大值〃?+3；尤=1,g(x)有极小值机+2,

[^(0)>0,[m+3>0,/、

由题意有，当且仅当二八即、八解得-3〈机<-2时函数gx有三个不同零点.此时过

[g⑴<0,[m+2<Q,

点A可作曲线>=〃尤)的三条不同切线.故，〃的取值范围是(-3,-2).

2

⑻【答案】⑴人)1;⑵证明见解析

【详解】(1)因为圆V+y2=l过点A,得4(1,0),所以a=l,A(TO).

在Rt口中，冈。|=6,同阕=2,

所以%q=^|AA|2-|ADI2=i=|。。|=|。4I，

所以口0%是等边三角形，240。=60。.

双曲线C的一条渐近线的斜率为tan/&OD=G

2

故C的方程为尤2一匕=1.

3

x2y22y2

(2)证明点B在曲线/b2(t-a)~上，即证明点B在曲线型口上.

t+at+1

设直线，：x=syT,P（占，国）,。（孙％），则&（-%，-%）.

x=my—t

联立2y2_得（3—一1）/一6〃0+3〃-3=。，

X---=1

I3

则6mt3(厂一1

藐口川二中I

直线AR的方程为y=上7(》+1),直线上尸的方程为>

—]/一]

myy1-（/+l）y=（x-l）y1

将直线AR与直线&P的方程变形可得

〃沙%-Q+i）y=（尤+1）%

myyly2-（t+l）yy2=（x-l）yly2®

31%-（，+1）孙=（尤+1）必%②

①+②得2相处%-卜+1方（％+%）=2孙1%,

z2-l/n6mts3

2my■—~-一”l)y——z—

-3m2-1'73m2-13m2-1

即6my[t-\)-6myt=6x(/-1),

x(z-l)

化简可得〃?=-

y

①-②得-。+1)丸%-%)=-2%%，

(f+1)2y2(%-%)2=4(%%)2，

2

2

6mt,12(产T3(T

a+i)2/=4

3m2-13疗一13/n2-l

化简得丁(产+3川-1)=3«-1)2.

2

将北=_M'T)代入可得X+3(1)=1

丁-771

-+-=1

即点B在曲线片及(f)上.

19.【答案】⑴证明见解析；⑵矶S)=1,Z)(S)=T；(3)证明见解析

【分析】(1)直接根据期望的定义以及4,与两两互相独立即可证明；

(2)将单次的得分分别记为一个随机变量，然后求其相应的量，最后考虑它们的和的期望和

方差即可；

(3)使用二项分布的定义，结合二项式定理和导数知识即可求解.

【详解】(1)根据4,约两两互相独立，可知

mn

E(x+y)=£Z(V(A)+V(BJ)P(AA)

日J=1

mn

=ZE(MA)+v(%))P(A)产出)

1j=l

mnmn

N》⑷尸⑷P(鸟)+尸⑷尸(即

Z=1j=lZ=1j—1

mnnm

=2=(4)尸(4)尸出)+W出)尸(4)尸出)

z=lj=lj=li=l

4V⑷尸⑷伐明)]+之N(鸟)p(鸟)[力⑷]

i=lIIj=lJ)j=l<IIJ)

mn

W(a)p⑷+»(%)*)

i=lj=l

=E(x)+E(y)；

mn

且E(xy)=ZZ(v(a)▽(鸟))尸

i=lj=l

mn

=22la)▽(即尸⑷尸(耳