2025年高考数学复习专项训练：直线与圆（原卷版）

2025二轮复习专项训练14

直线与圆

［考情分析］直线方程、圆的方程、两直线的平行与垂直、直线与圆的位置关系是高考的重

点，考查的主要内容包括求直线（圆）的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断、

简单的弦长与切线问题，多为选择题、填空题，试题难度为中档.

【练前疑难讲解】

一、直线的方程

1.两条直线平行与垂直的判定

若两条不重合的直线/1，/2的斜率心，依存在，则/1〃/20履=A2,左法2=—1.若给出的

直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在.

2.两个距离公式

(1)两平行直线l\：Ax+By+Ci=0与；2：Ax+By+Ci=0间的距离<7=^^^=(A2+B20).

|Axp+Byo+C|

（2）点（沏，yo）到直线I：Ax~\~By~\~C—0的距禺d—

二、圆的方程

圆的方程

（1）圆的标准方程：（%—〃）2+。-6）2=户（厂>0）,圆心为（〃，b）,半径为r.

（2）圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0（,D2+E2-4F>0）,圆心为（一冬一,

半径为『亚手亚

三、直线、圆的位置关系

直线与圆的位置关系的判定

⑴几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：相交；d=Q相切；d>r

台相离.

（2）代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式/来讨论位置关系：

/>00相交；/=00相切；/<00相离.

一、单选题

1.（2024・江苏•一模）设。为坐标原点，圆M:（尤-iy+（y-2）2=4与无轴切于点A,直线

x-四y+2百=0交圆”于B,C两点，其中B在第二象限，则。A.8C=()

A7153君「岳n375

A.D.C.U.

4422

2.（2024•全国局考真题）已知匕是的等差中项，直线以+勿+。二。与圆

/+y2+4y—1=0交于A］两点，则的最小值为（）

A.1B.2C.4D.2e

3.（2024•河北沧州•二模）若点A（2,l）在圆炉+丫2-2〃a-2>+5=0（朋为常数）夕卜，则实

数机的取值范围为（）

A.（9,2）B.（2,+8）C.（^»,-2）D.（-2,+oo）

4.（2023•北京门头沟•一模）若点M是圆C:Y+y2-4x=0上的任一点，直线

/:x+y+2=0与x轴、V轴分别相交于A、B两点，则NM45的最小值为（）

717t兀兀

A.—B.—C.—D.一

12436

5.（2024•江西宜春•模拟预测）圆G：/++2x—8y—8=。与圆。2：%?+y2+4x—4〉—4=。

的公共弦长为（）

“后D2后_3Ac4卮

A.--------D.----------C..-----------U.-----------

5555

6.（23-24高二上•江苏•阶段练习）在直角坐标平面内，点4（1,-1）到直线/的距离为3,点

5（4,3）到直线/的距离为2,则满足条件的直线/的条数为（）

A.1B.2C.3D.4

二、多选题

7.（2024•全国•模拟预测）已知圆C关于直线彳-〉+1=0对称的圆的方程为

（尤-4y+（y+l）2=4,则下列说法正确的是（）

A.若点P（x,y）是圆C上一点，则上的最大值是-与

x20

B.圆C关于直线2x+y-l=0对称

c.若点P（x,y）是圆C上一点，则,―y+l|的最小值是6+20

D.直线2尤+y+5=。与圆C相交

8.（2023•山东•模拟预测）已知点P为圆C：尤2+9-4>+3=0上的动点，点A的坐标为

（2,0）,AP=2A3,设3点的轨迹为曲线。，。为坐标原点，则下列结论正确的有（）

A.tanNR4O的最大值为2

B.曲线。的方程为（x-叶+（y—1）2=1

C.圆c与曲线。有两个交点

D.若E,P分别为圆C和曲线D上任一点，则根目-恒川的最大值为应+■!

9.（2024・湖南衡阳•二模）已知圆C:Y+y2=4,尸是直线/“+>一6=。上一动点，过点尸

作直线尸4尸2分别与圆C相切于点A3,则（）

A.圆C上恰有一个点到/的距离为20B.直线A3恒过点

C.的最小值是乎D.四边形ACBP面积的最小值为29

10.（2024・全国•一模）在平面直角坐标系xOy中，A（-2,0）,动点尸满足|上4|=代|尸。],

得到动点尸的轨迹是曲线C.则下列说法正确的是（）

A.曲线C的方程为（彳-以+y=3

B.若直线>=履+1与曲线C相交，则弦最短时上=-1

C.当O,A,P三点不共线时，若点-道,0）,则射线9平分/APO

D.过A作曲线C的切线，切点分别为则直线MN的方程为尤=0

三、填空题

11.（2024・湖北武汉•二模）与直线y=[x和直线>=氐都相切且圆心在第一象限，圆心

到原点的距离为逝的圆的方程为.

12.（21-22高二上•湖北,期末）曲线/+/=2上卜2M所围成的封闭图形的面积为.

22

13.（23-24高二上•河北保定•期中）已知双曲线=1（。>0,6>0）的渐近线与圆

a-b"

/+/_6x+8=0相切，则双曲线的离心率为.

14.（2024•黑龙江哈尔滨•一模）已知圆C|：V+y2=3,圆C2：（x-l）2+（y-2）2=3,直线

I：y=x+2.若直线/与圆交于A,2两点，与圆G交于RE两点，M,N分别为AB,DE

的中点，贝.

【基础保分训练】

一、单选题

1.（22-23高三上•重庆沙坪坝•阶段练习）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有

多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如下图是重庆千厮门嘉陵江大桥，共有

10对永久拉索，在索塔两侧对称排列.已知拉索上端相邻两个锚的间距

|取泪（7=1,2,3,L,9）均为3.4m,拉索下端相邻两个锚的间距|A4+JG=L2,3,L,9）均为

16m.最短拉索的锚A满足|（*|=66m,|Q4j=86m,则最长拉索所在直线的斜率为

（）

D.+0.40

2

2.（2024・山东•二模）已知直线/:>=氐+2根与双曲线C:工-一^=1（机>0）的一条渐

mm+2

近线平行，则C的右焦点到直线/的距离为（）

A.2B.V3C.73+1D.4

3.（2024・云南昆明•模拟预测）已知是圆C:f+（y-l）2=l的切线，点A为切点，若

|网=2,则点尸的轨迹方程是（）

A.（x-1）2+j2=5B.x2+（y-l）2=5C.y2=2xD.x2=2y

4.（23-24高二上•湖南长沙•期末）直线/：尤+y=2,圆+/一2x-2y-2=0.则直线

/被圆C所截得的弦长为（）

A.2B.4C.26D.小

5.（2024•辽宁•二模）已知圆f+/=4与圆尤2+9一8x+4y+16=0关于直线/对称，则直

线/的方程为（）

A.2%+y-3=0B.x-2y-S=Q

C.2x-y-5=0D.x+2y=0

6.（2024•江苏南京•二模）"0<r<2"是"过点（1,0）有两条直线与圆C:f+y?=产&>0）相切”

的）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.（2024・浙江丽水•二模）复数z满足|iz|=l（i为虚数单位），则|z-4+3i|的最小值是

（）

A.3B.4C.5D.6

8.（2023•吉林白山•一模）已知圆C:x2+y2-4x-6y+12=0与直线/:尤+>-1=0,P,Q

分别是圆C和直线/上的点且直线PQ与圆C恰有1个公共点，则|PQ|的最小值是（）

A.币B.2A/2C.币-1D.272-1

9.（2024・云南昆明•一模）过点尸（-2,0）作圆C：-+y2_4x-4=0的两条切线，切点分别

为A,B,则四边形PACE的面积为（）

A.4B.4忘C.8D.8A/2

10.（2024•广东佛山•二模）已知尸是过0（0,0）,M（T3）,-3,-1）三点的圆上的动

点，则户。|的最大值为（）

A.75B.2A/5C.5D.20

11.（23-24高三下,河南•阶段练习）已知直线>=履+1与圆/+/=4相交于两点，若

|AW|=714,则网=（）

A.1B.1C.&D.2

12.（2024・山东•模拟预测）已知圆〃：/+/+2取=0（。>0）的圆心至IJ直线3x+2y=2的距

离是而，则圆“与圆N:（x-2y+（y+2）2=l的位置关系是（）

A.相离B.相交C.内切D.内含

13.（2024•辽宁•模拟预测）已知圆G：x?+y2=16与圆：x1+y2+kx+y+m-X6=Q^.

于A,B两点，当上变化时，|的最小值为4vL则机=（）

A.0B.±1C.±2D.±73

14.（2024,河北石家庄,二模）已知圆G:尤~+y?=1和圆C?:/+/—6尤—8y+9=。，则两圆

公切线的条数为（）

A.1B.2C.3D.4

二、多选题

15.（2024・云南昆明•模拟预测）设直线/：y=foc-l（ZeR）与圆C：/+丁=6,则下列结

论正确的为（）

A.直线/与圆C可能相离

B.直线/不可能将圆C的周长平分

C.当左=2时，直线/被圆C截得的弦长为名呵

5

D.直线/被圆C截得的最短弦长为2遍

16.（23-24高三上•河北保定•阶段练习）已知圆£:（x+2『+y2=i,圆

C2：f+（y-a）2=9,则下列结论正确的是（）

A.若。和C,外离，则°>26或。<一2道

B.若。和C?外切，则°=±2若

C.当。=0时，有且仅有一条直线与G和G均相切

D.当a=2时，G和C2内含

22

17.（2024・广东肇庆•模拟预测）已知曲线C的方程为L+2L=I,则（）

a3

A.当时，曲线。表示双曲线

B.当0<”3时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆

C.当a=3时，曲线C表示圆

D.当。>3时，曲线C表示焦点在V轴上的椭圆

18.（2024•浙江温州•一模）若圆C与直线3x-4y-12=。相切，且与圆Y一2了+丁=。相切

于点A（2,0）,则圆C的半径为（）

53

A.5B.3C.-D.一

34

三、填空题

19.（2024•福建泉州•模拟预测）若曲线》=也在了=2处的切线与直线依7+1=0垂直，

则〃=.

20.（2024・湖南•二模）已知直线/是圆O:/+y2=i的切线，点A（_2,1）和点3（0,3）到/的

距离相等，则直线/的方程可以是.（写出一个满足条件的即可）

21.（21-22高三上•江苏连云港•期中）已知抛物线y=/+2x-3与坐标轴交于A,B,C

三点，则VA5c外接圆的标准方程为.

22.（2024•黑龙江哈尔滨•三模）点"（x,y）为圆/+/_10工+16=0上的动点，则?的取

值范围为.

【能力提升训练】

一、单选题

1.（23-24高二上•重庆•阶段练习）如图，设片、尸2分别是椭圆的左、右焦点，点P是以

片区为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长PF?与椭圆交于点Q,若

2.（2024・北京•三模）已知4（一1,0）,3（1,0）,若点尸满足则点尸到直线

/:,w（x-"）+〃（y-l）=。的距离的最大值为（）

A.1B.2C.3D.4

3.（23-24高二上•安徽阜阳・期中）"曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词

汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点A（占,%）,8（%,%）的曼哈顿距离为：

4（4,3）=上—％2|+|%—%].已知点加在圆0：/+;/=1上，点？/在直线/：3%+'_9=0上,

则d（MN）的最小值为（）

A9MR9M.R18-2A/WnaVio

101053

4.（2024•重庆•一模）过点。作圆C:/+y2—4X_4百y+15=0的两条切线，切点分别为

A,B,若，皿为直角三角形，。为坐标原点，则10H的取值范围为（）

A.（2-0,2+四）B.（4->/2,4+V2）

C.|^2—A/2,2+A/2^D.14—A/^,4+A/5]

5.（2023•北京西城•模拟预测）已知圆。:/+y=1,过直线3元+4y-10=0上的动点尸作

圆。的一条切线，切点为A,贝1]卢山的最小值为（）

A.1B.72C.73D.2

6.（22-23高一下•陕西西安•期末）过点（0,-2）与圆/+尸-以-1=0相切的两条直线的夹角

为a,则cosa=（）

近

1巫1

-U--A

A.4B.444

7.（2024•河北沧州•一模）过点夕。,2）作圆0:f+y2=io相互垂直的两条弦AB与C。，则

四边形ACBO的面积的最大值为（）

A.6A/6B.2715C.9"D.15

8.（2024•广西贺州•一模）已知点尸为直线乙：〃a-2y-机+6=0与直线

右：2x+3-〃z-6=0OeR）的交点，点。为圆C:（x+3）,+（y+3>=8上的动点，贝!!|尸。|

的取值范围为（）

A.[2A/2,8A/2]B.（2应,8拒]C.[0,6拒]D.（&,60]

9.（2024・浙江•模拟预测）过点"（。』）作圆0"（x-2）2+（y-2）Ll的两条切线，切点分别

为A,8,则原点。到直线A3的距离为（）

A.6B.72C.73D.20

10.（22-23高二下•安徽合肥•开学考试）若两圆/+9+6向+9切-9=0（m>0）和

%2+/-46丫-1+4九=0（”>0）恰有三条公切线，则，+j的最小值为（）

11

A.-B.-C.1D.4

164

二、多选题

22

11.（23-24高三下•江西•阶段练习）设招,工分别为椭圆L+匕=1的左、右焦点，

259

尸（如%）（/*4）为椭圆上第一象限内任意一点，kPFi,kPF2分别表示直线尸耳,尸弱的斜率，

则（）

A.存在点P,使得|尸匐=7B.存在点尸，使得/甲出=90°

C.存在点。使得%=7%D.存在点尸，使得P曰P属=7

12.（2024・辽宁抚顺三模）已知抛物线「：y2=16x,过点N（6,0）作直线,直线（与「

交于AC两点.A在x轴上方，直线4与:T交于民。两点，。在无轴上方，连接

AB,CD,AD,BC,若直线AB过点“（2,0）,则下列结论正确的是（）

A.若直线的斜率为1,则直线CO的斜率为:

B.直线CD过定点（18,0）

C.直线A£）与直线2C的交点在直线x=T