沪教版九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练重难点专项突破04相似三角形中的“一线三等角”模型(原卷版+解析)

重难点专项突破04相似三角形中的“一线三等角”模型【知识梳理】一线三等角指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。或叫“K字模型”。三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。一般类型：基本类型：同侧“一线三等角”异侧“一线三等角”【考点剖析】例1.如图，直角梯形ABCD中，AB//CD，，点E在边BC上，且， AD=10，求的面积．AABCDE例2.已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）如果AB＝3，EC＝，求DC的长．例3.已知，在等腰中，AB=AC=10，以BC的中点D为顶点作， 分别交AB、AC于点E、F，AE=6，AF=4，求底边BC的长．AABCDEF例4.已知：如图，AB⊥BC，AD//BC，AB=3，AD=2．点P在线段AB上，联结PD，过点D作PD的垂线，与BC相交于点C．设线段AP的长为x．（1）当AP=AD时，求线段PC的长；（2）设△PDC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当△APD∽△DPC时，求线段BC的长．ABABCDPABCD（备用图）例5.在梯形ABCD中,AD∥BC，.（如图1）(1)试求的度数；(2)若E、F分别为边AD、CD上的两个动点(不与端点A、D、C重合),且始终保持,与交于点.（如图2）①求证:∽；②试判断的形状（从边、角两个方面考虑），并加以说明；③设,试求关于的函数解析式,并写出定义域.【过关检测】一、填空题1．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，则y关于x的函数关系式为________2．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝3，点P为BC边上一动点，若AP⊥DP，则BP的长为_____．3．如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的顶点E在边CD或延长线上运动，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，则BE＝_____．二、解答题4．如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1．（1）求证△ABP∽△PCD；（2）求△ABC的边长．5．如图，在正方形中，点在上，交于点．（1）求证：；（2）连结，若，试确定点的位置并说明理由．6．如图，在中，，，点为边上一点，且，点为中点，．（1）求的长．（2）求证：．7．如图，已知四边形ABCD，∠B＝∠C＝90°，P是BC边上的一点，∠APD＝90°．（1）求证：；（2）若BC＝10，CD＝3，PD＝3，求AB的长．8．【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明）【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长．【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长．9．在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处．（1）如图1，若，求的度数；（2）如图2，当，且时，求的长；（3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求出的值．10．如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，延长FE与直线CD相交于点G，连接FC（AB＞AE）．(1)求证：△AEF∽△DCE；(2)△AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；(3)设，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由．11．如图，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边上的动点，从点A沿AD向点D运动，以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，连接CG．（1）求证：；（2）若设AE=x，DH=y，当x取何值时，y有最大值？并求出这个最大值；（3）连接BH，当点E运动到AD的何位置时有？12．如图，在四边形中，，，且，，若点是上的一点，且，求证：．13．在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．（1）求证：；（2）若AB＝2，AD＝4，求EC的长．14．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，D为AB的中点，点E在BC上，点F在AC上，且∠DEF＝45°．（1）求证：△BED∽△CFE；（2）若BD＝3，BE＝2，求CF的长．15．如图，正方形ABCD的边长等于，P是BC边上的一动点，∠APB、∠APC的角平分线PE、PF分别交AB、CD于E、F两点，连接EF．（1）求证：△BEP∽△CPF；（2）当∠PAB＝30°时，求△PEF的面积．16．（1）问题如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：．（2）探究若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长．17．如图，已知边长为10的正方形是边上一动点（与不重合），连结是延长线上的点，过点作的垂线交的角平分线于点，若．（1）求证：；（2）若，求的面积；（3）请直接写出为何值时，的面积最大．18．在中，，，点在所在的直线上运动，作（、、按逆时针方向）．（1）如图，若点在线段上运动，交于．①求证：；②当是等腰三角形时，求的长；（2）如图，若点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，求出线段的长度；若不存在，请简要说明理由；（3）若点在的反向延长线上运动，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出所有点的位置；若不存在，请简要说明理由．19．如图，四边形是正方形，点是边上动点(不与重合)．连接过点作交于点．求证：；连接，试探究当点在什么位置时，，请证明你的结论．20．如图，在中，点分别在边上，连接，且．（1）证明：；（2）若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长．重难点专项突破04相似三角形中的“一线三等角”模型【知识梳理】一线三等角指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。或叫“K字模型”。三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。一般类型：基本类型：同侧“一线三等角”异侧“一线三等角”【考点剖析】例1.如图，直角梯形ABCD中，AB//CD，，点E在边BC上，且， AD=10，求的面积．AABCDE【答案】24．【解析】，， ． 又，． ．． ， ．．在中，，．．【总结】本题考查一线三等角模型的相似问题，还有外角知识、平行的判定等．例2.已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）如果AB＝3，EC＝，求DC的长．【分析】（1）△ABC是等边三角形，得到∠B＝∠C＝60°，AB＝AC，推出∠BAD＝∠CDE，得到△ABD∽△DCE；（2）由△ABD∽△DCE，得到＝，然后代入数值求得结果．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC，∵∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝60°，∴∠BAD＝∠CDE∴△ABD∽△DCE；（2）解：由（1）证得△ABD∽△DCE，∴＝，设CD＝x，则BD＝3﹣x，∴＝，∴x＝1或x＝2，∴DC＝1或DC＝2．【点评】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，注意数形结合和方程思想的应用．例3.已知，在等腰中，AB=AC=10，以BC的中点D为顶点作， 分别交AB、AC于点E、F，AE=6，AF=4，求底边BC的长．AABCDEF【答案】．【解析】， 而， ． 又，． ，． ．． ， ． 又，．【总结】本题是对“一线三等角”模型的考查．例4.已知：如图，AB⊥BC，AD//BC，AB=3，AD=2．点P在线段AB上，联结PD，过点D作PD的垂线，与BC相交于点C．设线段AP的长为x．（1）当AP=AD时，求线段PC的长；（2）设△PDC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当△APD∽△DPC时，求线段BC的长．ABABCDPABCD（备用图）满分解答：（1）过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E．∵AB⊥BC，CE⊥AD，PD⊥CD，AD//BC，∴∠ABC=∠AEC=∠PDC=90°，CE=AB=3．∵AD//BC，∴∠A+∠ABC=180°．即得∠A=90°．又∵∠ADC=∠DCE+∠DEC，∠ADC=∠ADP+∠PDC，∴∠ADP=∠DCE．又由∠A=∠DEC=90°，得△APD∽△DCE．∴．于是，由AP=AD=2，得DE=CE=3．…………（2分）在Rt△APD和Rt△DCE中，得，．…………（1分）于是，在Rt△PDC中，得．（1分）（2）在Rt△APD中，由AD=2，AP=x，得．……………………（1分）∵△APD∽△DCE，∴．∴．…………（1分）在Rt△PCD中，．∴所求函数解析式为．…………………（2分）函数的定义域为0<x≤3．…………（1分）（3）当△APD∽△DPC时，即得△APD∽△DPC∽△DCE．…………（1分）根据题意，当△APD∽△DPC时，有下列两种情况：（ⅰ）当点P与点B不重合时，可知∠APD=∠DPC．由△APD∽△DCE，得．即得．由△APD∽△DPC，得．∴．即得DE=AD=2．∴AE=4．易证得四边形ABCE是矩形，∴BC=AE=4．…（2分）（ⅱ）当点P与点B重合时，可知∠ABD=∠DBC．在Rt△ABD中，由AD=2，AB=3，得．由△ABD∽△DBC，得．即得．解得．………（2分）∴△APD∽△DPC时，线段BC的长分别为4或．方法总结本题重点在于：过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E．(构造一线三角，出现相似三角形，进行求解)例5.在梯形ABCD中,AD∥BC，.（如图1）(1)试求的度数；(2)若E、F分别为边AD、CD上的两个动点(不与端点A、D、C重合),且始终保持,与交于点.（如图2）①求证:∽；②试判断的形状（从边、角两个方面考虑），并加以说明；③设,试求关于的函数解析式,并写出定义域.答案：（1）作，垂足为，在四边形中，AD∥BC，，则四边形为正方形又在中，，∴.（2）①∵四边形为正方形，∴,，又∵，∴又∵,∴∽.②是等腰直角三角形，∵∽，∴,又∵,∴∽，又在中，,为等腰直角三角形，∴是等腰直角三角形.③，（0<<1）.方法总结第三问方法提示：过点P作AD的垂线于点H，构造一线三直角相似，进行求解，很简单。【过关检测】一、填空题1．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，则y关于x的函数关系式为________【答案】【分析】根据题意证明，列出比例式即可求得y关于x的函数关系式【详解】解：∠A=∠D=120°，∠BEF=120°，AB=6、AD=4，AE=x、DF=y，即故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，函数解析式，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．2．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝3，点P为BC边上一动点，若AP⊥DP，则BP的长为_____．【答案】1或2【分析】设BP=x，则PC=3-x，根据平行线的性质可得∠B=90°，根据同角的余角相等可得∠CDP=∠APB，即可证明△CDP∽△BPA，根据相似三角形的性质列方程求出x的值即可得答案．【详解】设BP=x，则PC=3-x，∵AB∥CD，∠C＝90°，∴∠B=180°-∠C=90°，∴∠B=∠C，∵AP⊥DP，∴∠APB+∠DPC=90°，∵∠CDP+∠DPC=90°，∴∠CDP=∠APB，∴△CDP∽△BPA，∴，∵AB＝1，CD＝2，BC＝3，∴，解得：x1=1，x2=2，∴BP的长为1或2，故答案为：1或2【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的对应边成比例列方程是解题的关键．3．如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的顶点E在边CD或延长线上运动，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，则BE＝_____．【答案】3．【分析】过F作FG⊥CD，交CD的延长线于G，依据相似三角形的性质，即可得到FG＝EC，GE＝2＝CD；设EC＝x，则DG＝x，FG＝x，再根据勾股定理，即可得到CE2＝9，最后依据勾股定理进行计算，即可得出BE的长．【详解】如图所示，过F作FG⊥CD，交CD的延长线于G，则∠G＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AB＝CD＝2，又∵∠BEF＝90°，∴∠FEG+∠BEC＝90°＝∠EBC+∠BEC，∴∠FEG＝∠EBC，又∵∠C＝∠G＝90°，∴△BCE∽△EGF，∴＝＝，即＝＝，∴FG＝EC，GE＝2＝CD，∴DG＝EC，设EC＝x，则DG＝x，FG＝x，∵Rt△FDG中，FG2+DG2＝DF2，∴（x）2+x2＝（）2，解得x2＝9，即CE2＝9，∴Rt△BCE中，BE＝＝＝3，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形．二、解答题4．如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1．（1）求证△ABP∽△PCD；（2）求△ABC的边长．【答案】（1）证明见解析；（2）3．【分析】（1）由△ABC是等边三角形，证明∠B＝∠C＝60°，再利用平角的定义与三角形的内角和定理证明：∠BPA＝∠PDC，从而可得结论；（2）由，先求解，设，再利用相似三角形的性质可得：，列方程，解方程即可得到答案．【详解】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，∵∠BPA＋∠APD＋∠DPC＝180°且∠APD＝60°，∴∠BPA＋∠DPC＝120°∵∠DPC＋∠C＋∠PDC＝180°，∴∠DPC＋∠PDC＝120°，∴∠BPA＝∠PDC，∴△ABP∽△PCD；（2）∵2BP＝3CD，且BP＝1，∴，∵△ABP∽△PCD，设，则，∴经检验：是原方程的解，所以三角形的边长为：3．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，分式方程的解法，掌握三角形的判定及利用相似三角形的性质解决问题是解题的关键．5．如图，在正方形中，点在上，交于点．（1）求证：；（2）连结，若，试确定点的位置并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）点E为AD的中点．理由见解析【分析】（1）根据同角的余角相等证明∠ABE=∠DEF，再由直角相等即可得出两三角形相似的条件；（2）根据相似三角形的对应边成比例，等量代换得出，即可得出DE=AE．【详解】（1）证明∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠D=90°，∴∠AEB+∠ABE=90°，∵EF⊥BE，∴∠AEB+∠DEF=90°，∴∠ABE=∠DEF．在△ABE和△DEF中，∴△ABE∽△DEF；（2）∵△ABE∽△DEF，∴，∵△ABE∽△EBF，∴，∴，∴DE=AE，∴点E为AD的中点．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，根据等角的余角相等证出两角相等是解决（1）的关键，根据相似三角形的对应边成比例等量代换是解决（2）的关键．6．如图，在中，，，点为边上一点，且，点为中点，．（1）求的长．（2）求证：．【答案】（1）5；（2）证明见解析；【分析】（1）先证明出∽，得出，假设BD为x，则DC=15-x，代入分式方程求出BD的长；（2）由（1）可知，推出≌，得出结果；【详解】（1）∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴∽，∴，∵为中点，∴，∵，设，则，即：，解得：，，∵，∴．（2）由（1）可知，∵，∴，在和中，，∴≌∴【点睛】本题考查三角形全等的性质，三角形相似的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质并灵活运用．7．如图，已知四边形ABCD，∠B＝∠C＝90°，P是BC边上的一点，∠APD＝90°．（1）求证：；（2）若BC＝10，CD＝3，PD＝3，求AB的长．【答案】（1）证明见解析；（2）8．【分析】（1）先根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得，再根据相似三角形的判定即可得证；（2）先利用勾股定理求出PC的长，从而可得BP的长，再利用相似三角形的性质即可得．【详解】（1），，，在和中，，；（2）在中，，，，，由（1）已证：，，即，解得．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．8．【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明）【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长．【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长．【答案】【探究】3；【拓展】4或．【分析】探究：根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；拓展：证明△ACP∽△BPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三种情况，根据相似三角形的性质计算即可．【详解】探究：证明：∵是的外角，∴，即，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，，，∴，解得：；拓展：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵∠CPB是△APC的外角，∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA，∵∠A=∠CPE，∴∠ACP=∠BPE，∵∠A=∠B，∴△ACP∽△BPE，当CP=CE时，∠CPE=∠CEP，∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B，∴CP=CE不成立；当PC=PE时，△ACP≌△BPE，则PB=AC=8，∴AP=AB-PB=128=4；当EC=EP时，∠CPE=∠ECP，∵∠B=∠CPE，∴∠ECP=∠B，∴PC=PB，∵△ACP∽△BPE，∴，即，解得：，∴AP=ABPB=，综上所述：△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．9．在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处．（1）如图1，若，求的度数；（2）如图2，当，且时，求的长；（3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求出的值．【答案】（1）15°；（2）；（3）【分析】（1）根据矩形的性质和直角三角形的性质，先得到，再由折叠的性质可得到；（2）由三等角证得，从而得，，再由勾股定理求出DE，则；（3）过点作于点，可证得．再根据相似三角形的性质得出对应边成比例及角平分线的性质即可得解．【详解】（1）∵矩形，∴，由折叠的性质可知BF=BC=2AB，，∴，∴，∴（2）由题意可得，，∴∴∴，∴∴，由勾股定理得，∴，∴；（3）过点作于点．∴又∵∴．∴．∵，即∴，又∵BM平分，，∴NG=AN，∴，∴整理得：．【点睛】本题是一道矩形的折叠和相似三角形的综合题，解题时要灵活运用折叠的性质和相似三角形的判定与性质的综合应用，是中考真题．10．如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，延长FE与直线CD相交于点G，连接FC（AB＞AE）．(1)求证：△AEF∽△DCE；(2)△AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；(3)设，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)相似，证明见解析(3)存在，【分析】(1)由题意可得∠AEF＋∠DEC＝90°，又由∠AEF＋∠AFE＝90°，可得∠DEC＝∠AFE，据此证得结论；(2)根据题意可证得Rt△AEF≌Rt△DEG(ASA)，可得EF＝EG，∠AFE＝∠EGC，可得CE垂直平分FG，△CGF是等腰三角形，据此即可证得△AEF与△ECF相似；(3)假设△AEF与△BFC相似，存在两种情况：①当∠AFE＝∠BCF，可得∠EFC＝90°，根据题意可知此种情况不成立；②当∠AFE＝∠BFC，使得△AEF与△BFC相似，设BC＝a，则AB＝ka，可得AF＝，BF＝，再由△AEF∽△DCE，即可求得k值．【详解】（1）证明：∵EF⊥EC，∴∠FEC＝90°，∴∠AEF＋∠DEC＝90°，∵∠AEF＋∠AFE＝90°，∴∠DEC＝∠AFE，又∵∠A＝∠EDC＝90°，∴△AEF∽△DCE；（2）解：△AEF∽△ECF．理由：∵E为AD的中点，∴AE＝DE，∵∠AEF＝∠DEG，∠A＝∠EDG，∴△AEF≌△DEG(ASA)，∴EF＝EG，∠AFE＝∠EGC．又∵EF⊥CE，∴CE垂直平分FG，∴△CGF是等腰三角形．∴∠AFE＝∠EGC＝∠EFC．又∵∠A＝∠FEC＝90°，∴△AEF∽△ECF；（3）解：存在使得△AEF与△BFC相似．理由：假设△AEF与△BFC相似，存在两种情况：①当∠AFE＝∠BCF，则有∠AFE与∠BFC互余，于是∠EFC＝90°，因此此种情况不成立；②当∠AFE＝∠BFC，使得△AEF与△BFC相似，设BC＝a，则AB＝ka，∵△AEF∽△BCF，∴，∴AF＝，BF＝，∵△AEF∽△DCE，∴，即，解得，．∴存在使得△AEF与△BFC相似．【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定与及性质，等腰三角形的判定及性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．11．如图，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边上的动点，从点A沿AD向点D运动，以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，连接CG．（1）求证：；（2）若设AE=x，DH=y，当x取何值时，y有最大值？并求出这个最大值；（3）连接BH，当点E运动到AD的何位置时有？【答案】（1）见解析；（2）当，有最大值；（3）当点E是AD的中点【分析】（1）由同角的余角相等得到∠ABE=∠CBG，从而全等三角形可证；（2）先证明△ABE∽△DEH，得到，即可求出函数解析式y=-x2+x，继而求出最值．（3）由（2），再由，可得，则问题可证．【详解】（1）证明：∵∠ABE+∠EBC=∠CBG+∠EBC=90°∴∠ABE=∠CBG在△AEB和△CGB中：∠BAE=∠BCG=90°，AB=BC，∠ABE=∠CBG∴△AEB≌△CGB（ASA）（2）如图∵四边形ABCD，四边形BEFG均为正方形

∴∠A=∠D=90°,∠HEB=90°∴∠DEH+∠AEB=90°，∠DEH+∠DHE=90°∴∠DHE=∠AEB∴△ABE∽△DEH

∴∴∴故当，有最大值（3）当点E是AD的中点时有△BEH∽△BAE．理由：∵点E是AD的中点时由（2）可得

又∵△ABE∽△DEH∴，又∵∴又∠BEH=∠BAE=90°∴△BEH∽△BAE【点睛】本题结合正方形的性质考查二次函数的综合应用，以及正方形的性质和相似三角形的判定，解答关键是根据题意找出相似三角形构造等式．12．如图，在四边形中，，，且，，若点是上的一点，且，求证：．【答案】见解析【分析】当∠BPC=∠A时，∠ABP+∠APB+∠A=180°，而∠APB+∠DPC+∠BPC=180°，因此∠ABP=∠DPC，此时三角形ABP与三角形DPC相似．【详解】证明：∵AD∥BC，AD＜BC，AB=DC=2，∴∠A=∠D∵∠ABP+∠APB+∠A=180°，∠APB+∠DPC+∠BPC=180°，∠BPC=∠A∴∠ABP=∠DPC，∴△ABP∽△DPC．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，根据已知得出∠ABP=∠DPC是解题的关键．13．在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．（1）求证：；（2）若AB＝2，AD＝4，求EC的长．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）先根据矩形的性质可得，再根据翻折的性质可得，然后根据角的和差、直角三角形的性质可得，最后根据相似三角形的判定即可得证；（2）设，先根据翻折的性质可得，再根据勾股定理可得，从而可得，然后根据相似三角形的性质即可得．【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴，由翻折的性质得：，∴，∴，在和中，，∴；（2）设，由翻折的性质得：，∴，∵四边形ABCD是矩形，，∴，由（1）可知，，∴，即，解得，即．【点睛】本题考查了矩形的翻折问题、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．14．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，D为AB的中点，点E在BC上，点F在AC上，且∠DEF＝45°．（1）求证：△BED∽△CFE；（2）若BD＝3，BE＝2，求CF的长．【答案】（1）见解析；（2）CF＝．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，然后根据三角形的外角的性质得到∠BDE＝∠CEF，从而证得结论；（2）首先求出线段CE的长，再利用△BED∽△CFE得出=，最后得出结果．【详解】(1)证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，∴∠B＝∠C＝45°.∵∠DEC＝∠B＋∠BDE＝∠DEF＋∠CEF，∠DEF＝45°，∴∠BDE＝∠CEF，∴△BED∽△CFE.(2)∵D为AB的中点，∴AB＝2AD＝6，∴BC＝AB＝6，∴CE＝BC－BE＝4.由(1)知△BED∽△CFE，∴=，∴＝，∴CF＝.【点睛】本题考查了相似三角形判定与性质和等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质和判定．15．如图，正方形ABCD的边长等于，P是BC边上的一动点，∠APB、∠APC的角平分线PE、PF分别交AB、CD于E、F两点，连接EF．（1）求证：△BEP∽△CPF；（2）当∠PAB＝30°时，求△PEF的面积．【答案】（1）详见解析；（2）．【分析】（1）由于PE平分∠APB，PF平分∠APC，所以∠EPF＝90°，然后根据相似三角形的判定即可求证△BEP∽△CPF；（2）由题意可知∠BPE＝30°，∠FPC＝60°，根据含30度的直角三角形的性质即可求出答案．【详解】（1）∵PE平分∠APB，PF平分∠APC，∴∠APE＝∠APB，∠APF＝∠APC，∴∠APE+∠APF＝（∠APB+∠APC）＝90°，∴∠EPF＝90°，∴∠EPB+∠BEP＝∠EPB+∠FPC＝90°，∴∠BEP＝∠FPC，∵∠B＝∠C＝90°，∴△BEP∽△CPF；（2）∵∠PAB＝30°，∴∠BPA＝60°，∴∠BPE＝30°，在Rt△ABP中，∠PAB＝30°，AB＝，∴BP＝1，在Rt△BPE中，∠BPE＝30°，BP＝1，∴EP＝，∵CP＝﹣1，∠FPC＝60°，∴PF＝2CP＝2﹣2，∴△PEF的面积为：PE•PF＝2﹣．【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，本题属于中等题型．16．（1）问题如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：．（2）探究若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长．【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）5【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可．【详解】解：（1）证明：如图1，，，，又，；（2）结论仍成立；理由：如图2，，又，，，，又，，；（3）,,,是等腰直角三角形

是等腰直角三角形又即解得．【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造角将问题转化为一线三角是解题的关键．17．如图，已知边长为10的正方形是边上一动点（与不重合），连结是延长线上的点，过点作的垂线交的角平分线于点，若．（1）求证：；（2）若，求的面积；（3）请直接写出为何值时，的面积最大．【答案】（1）见解析；（2）8；（3）5【分析】（1）先判断出CG=FG，再利用同角的余角相等，判断出∠BAE=∠FEG，进而得出△ABE∽△EGF，即可得出结论；（2）先求出BE=8，进而表示出EG=2+FG，由△BAE∽△GEF，得出，求出FG，最后用三角形面积公式即可得出结论；（3）同（2）的方法，即可得出S△ECF=，即可得出结论.【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCG=90°，∵CF平分∠DCG，∴∠FCG=∠DCG=45°，∵∠G=90°，∴∠GCF=∠CFG=45°，∴FG=CG，∵四边形ABCD是正方形，EF⊥AE，∴∠B=∠G=∠AEF=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEG=90°，∴∠BAE=∠FEG，∵∠B=∠G=90°，∴△BAE∽△GEF；（2）∵AB=BC=10，CE=2，∴BE=8，∴FG=CG，∴EG=CE+CG=2+FG，由（1）知，△BAE∽△GEF，∴，∴，∴FG=8，∴S△ECF=CE•FG=×2×8=8；（3）设CE=x，则BE=10-x，∴EG=CE+CG=x+FG，由（1）知，△BAE∽△GEF，∴，∴，∴FG=10-x，∴S△ECF=×CE×FG=×x•（10-x）=，当x=5时，S△ECF最大=，∴当EC=5时，的面积最大.【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，角平分线，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，判断出△BAE∽△GEF是解本题的关键．18．在中，，，点在所在的直线上运动，作（、、按逆时针方向）．（1）如图，若点在线段上运