专题09 作角平分线（尺规作图） 带解析

2022-2023学年湘教版八年级数学下册精选压轴题培优卷专题09作角平分线（尺规作图）姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、选择题(每题2分，共20分)1．(本题2分)（2023秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图所示，在中，，根据尺规作图的痕迹，可以判断以下结论错误的是（

）A． B． C． D．【答案】D【思路点拨】根据尺规作图的痕迹可知是的角平分线，，依据这两个条件逐项判断即可．【规范解答】解：∵根据尺规作图的痕迹可知是的角平分线，，∴，,，在和中，∵，∴，∴，∵是直角三角形，∴，∴，∵，但不一定平分，∴不一定等于，∴不一定等于．故选：D．【考点评析】本题考查了尺规作图中的作角平分线和过一点做垂线，熟练掌握角平分线和垂线的尺规作图是解决问题的关键．2．(本题2分)（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）在内找一点P，使P到A、C两点的距离相等，并且P到的距离等于P到的距离．下列尺规作图正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【思路点拨】P到A、C两点的距离相等，得到在线段的垂直平分线上，P到的距离等于P到的距离，得到在的角平分线上，作出线段的垂直平分线和的角平分线，交点即为点．【规范解答】解：∵P到A、C两点的距离相等，∴在线段的垂直平分线上，∵P到的距离等于P到的距离，∴在的角平分线上，如图：作出线段的垂直平分线和的角平分线，交点即为点；故选D．【考点评析】本题考查角平分线和中垂线的作图．熟练掌握到线段两端点相等的点在线段的中垂线上，到角两边距离相等的点在角平分线上，是解题的关键．3．(本题2分)（2023秋·河北唐山·八年级唐山市第十二中学校考期末）如图，在中，，，点，分别是图中所作直线和射线与，的交点.根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（

）A． B． C． D．【答案】D【思路点拨】先根据等腰三角形的判定和性质求出，再根据角平分线的定义、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理进行求解和判断即可．【规范解答】解：∵，∴是等腰三角形，∵，∴，A.根据尺规作图可知，平分，∴，∴，故选项正确，不符合题意；B.根据图中尺规作图可知，的垂直平分线交于D，∴，故选项正确，不符合题意；C.∵，∴，∴，故选项正确，不符合题意；D.∵，∴故选项错误，符合题意．故选：D【考点评析】本题考查了基本作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关的知识是解题的关键．4．(本题2分)（2021春·辽宁沈阳·七年级校考期中）下列关于尺规作图的语句错误的是（

）A．作，使 B．以点O为圆心作弧C．以点A为圆心，线段a的长为半径作弧 D．作一条线段，使其等于已知线段a【答案】B【思路点拨】分别利用尺规作图的定义，结合能否画出图形进而分析得出即可．【规范解答】解：A、作一个角等于已知角的倍数是常见的尺规作图，语句正确，不合题意；B、画弧既需要圆心，还需要半径，缺少半径长，这样的弧可以画出无数条，语句错误，符合题意；C、以点A为圆心，线段a的长为半径作弧，语句正确，不合题意；D、作一条线段等于已知线段是常见的尺规作图，语句正确，不合题意．故选：B．【考点评析】此题主要考查了尺规作图的定义，正确根据题意判断能否画出固定图形进而判断是解题关键．5．(本题2分)（2022秋·山东泰安·七年级统考期中）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD是的平分线；②；③；④．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【思路点拨】根据作图的过程可得AD是的平分线，再逐个推理判断即可．【规范解答】根据作图的过程可知：是的平分线，故①正确；当时，，没有条件，故②错误；当时，，没有条件，故③错误；没有条件能说明，故④错误；故正确的是：①．故选：．【考点评析】本题考查了基本作图中的作角平分线，能根据作图步骤判断出是作角平分线是解题的关键．6．(本题2分)（2022秋·陕西渭南·八年级统考期中）如图，在中，，，以点A为圆心，以的长为半径作弧交于点D，连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，连接，则下列结论：①平分；②是等边三角形；③垂直平分线段；④是等腰三角形，其中正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【思路点拨】由作图可判断①，由，，可判断②，证明，，可判断③，证明，可判断④，从而可得答案．【规范解答】解：由作图可知平分，故①正确，∵，，∴，由作图可得：，∴是等边三角形，故②正确，∵平分，∴是的垂直平分线，∴，而，∴，∴，∴，∴，∴，∴垂直平分线段；故③正确，∵，，∴，∴是等腰三角形，故④正确；故选D．【考点评析】本题考查的是作已知角的角平分线，等腰三角形与等边三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定，熟练的利用等边三角形的性质解题是关键．7．(本题2分)（2022秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（）①根据作图过程可知，判定的依据是“”；②是的平分线；③；④点在的中垂线上；A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【思路点拨】①根据作图的过程可知，，根据“”判定，从而判定①；②根据全等三角形的性质可以判定是的角平分线；③利用角平分线的定义可以推知，则由直角三角形的性质来求的度数；④利用等角对等边可以证得的等腰三角形，由线段的垂直平分线的性质可以证明点在的中垂线上．【规范解答】解：①如下图，连接PM、PN，根据作图的过程可知，，根据“”判定，故①错误；②∵，∴,∴是的平分线,故②正确；③在中，，，．又是的平分线，，，即故③正确；④，，点在的中垂线上,故④正确．综上所述，正确的结论是：②③④，共有3个．故选：C．【考点评析】本题考查全等三角形的判定及性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及基本作图，熟练掌握掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．8．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）如图：．按下列步骤作图：①在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作圆弧，交射线于点F．连结；②以点F为圆心，长为半径作圆弧，交弧于点G；③连结、．作射线．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（

）A． B．垂直平分C． D．【答案】D【思路点拨】由作法得OC=OF=OG，FG=FC，根据线段垂直平分线的判定方法可判断OF垂直平分CG，则可对B选项进行判断;利用C点与G点关于OF对称得到∠FOG=∠FOC=30°，则可对A选项进行判断;通过判断△OCG为等边三角形可对C选项进行判断;利用含30度的直角三角形三边的关系得到OC=2CM，加上CF>CM，FC=FG，则可对D选项进行判断.【规范解答】由作法得OC=OF=OG，FG=FC，则OF垂直平分CG，所以B选项的结论正确；∵C点与G点关于OF对称∴∠FOG=∠FOC=30°，∴∠AOG=60°，所以A选项的结论正确;∴△OCG为等边三角形，OG=CG，所以C选项的结论正确;在Rt△OCM中，∵∠COM=30°∴OC=2CM，∵CF>CM，FC=FG，∴OC≠2FG，所以D选项的结论错误故选：D.【考点评析】本题考查含30度的直角三角形、线段垂直平分线的判定、尺规作图、三角形的三边关系，等边三角形，熟练应用所学知识点判断是关键，利用尺规作图步骤分析是重点9．(本题2分)（2017秋·新疆乌鲁木齐·八年级校考期中）如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB,AC于点M和N,再分别以M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,则下列说法中正确的个数是(

)①AD平分∠BAC；②作图依据是S.A．S；③∠ADC=60°；④点D在AB的垂直平分线上A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【规范解答】①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的∠平分线；②根据作图的过程可以判定出AD的依据；③利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质求∠ADC的度数；④利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点在AB的中垂线上.解：如图所示，①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的∠平分线；故①正确；②根据作图的过程可知，作出AD的依据是SSS；故②错误；③∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CBA=60°.又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=∠CAB=30°，∴∠3=90°-∠2=60°，即∠ADC=60°.故③正确；④∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD，∴点D在AB的中垂线上.故④正确；故选C.“点睛”此题主要考查的是作图-基本作图，涉及到角平分线的作法以及垂直平分线的性质，熟练根据角平分线的性质得出∠ADC的度数是解题的关键.10．(本题2分)（2022·海南·统考中考真题）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线，交于点D，若，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】A【思路点拨】由作法得BD平分∠ABC，然后利用等腰三角形底角相等计算即可．【规范解答】由作法得BD平分∠ABC，∴设∴∵∴∵∴∵∴，解得∴故选：A【考点评析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形底角相等．评卷人得分二、填空题(共20分)11．(本题2分)（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）如图，在中，，以顶点B为圆心，长为半径画弧，交于点D，再分别以点C，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点E，作射线交于点F．若，，若的面积为24，则的面积为__________．【答案】54【思路点拨】根据作图方法可知为的角平分线，过点作于点，则：，利用的面积为24，求出的长度，进而得到的长度，利用三角形的面积公式，求出的面积，进而求出的面积．【规范解答】解：由作图方式可知：为的角平分线，过点作于点，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；故答案为：54．【考点评析】本题考查角平分线的性质．熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键．12．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）如图，在中，，，是边上的中线，是外角的平分线，以点D为圆心，适当长为半径画弧，交于点G，交于点H．再分别以点G、H为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点Q，连接并延长与交于点F，则的长度为_______．【答案】【思路点拨】由等腰三角形的性质得，，勾股定理求出，是的平分线和作图证是等腰直角三角形，然后解三角形即可求出的长.【规范解答】解：，是等腰三角形，是边上的中线，是边上的高和的平分线，，，，∴∵是的平分线，由作图可知是的平分线故答案为：8．【考点评析】本题考查了作图——基本作图、等腰三角形的判定、等腰直角三角形、勾股定理；解决本题的关键是掌握画一个角的平分线的方法．13．(本题2分)（2022秋·天津和平·八年级校考期末）如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接，并延长交于点，则下列说法中正确的结论有______．（只填序号）①是的平分线；②；③点在的垂直平分线上；④若，则点到的距离是1；⑤．【答案】①②③④【思路点拨】根据作图过程可得是的平分线，可以判断①；根据中，，，可得，再根据直角三角形两个锐角互余求出，可以判断②；根据，得出，可以判断③；过点作于，根据“直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”可得，可以判断④；根据面积公式可以判断⑤，进而可得答案．【规范解答】解：根据作图过程可知，是的平分线，故①正确；∵在中，，，∴，∴，∵，∴，故②正确；∵，∴，∴点在的垂直平分线上，故③正确；如下图，过点作于，∵，∴，即点到的距离是1，故④正确；∵，，∴，∵，∴，又∵，，∴，故⑤错误．综上所述，正确的有①②③④．故答案为：①②③④．【考点评析】本题考查了作图—基本作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的判定、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解决本题的关键是熟练掌握相关知识．14．(本题2分)（2022·八年级单元测试）如图，在中，，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点G，画射线，交于点D，点F在边上，且，连接，则的周长为______．【答案】10【思路点拨】直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定与性质进而得出，即可得出答案．【规范解答】解：∵，，，，由作图方法可得：平分，，在和中，，，的周长为：．故答案为：．【考点评析】此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质，正确理解基本作图方法是解题关键．15．(本题2分)（2020秋·河南新乡·八年级校考期中）如图，三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，则可供选择的地方有______处?(阴影部分不能修建超市)【答案】3【思路点拨】因为要到三条公路的距离相等，所以超市要选择的位置是内角平分线的交点或者是外角平分线的交点，作图可知答案．【规范解答】解：如图所示，的内角平分线的交点，外角平分线的交点，阴影部分不能修建超市，不能修建超市，故满足条件的修建点共有3处，即点；故答案为：3．【考点评析】此题考查了角平分线的判定定理，熟练掌握：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，是解答此题的关键．16．(本题2分)（2021·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，中，，，以为圆心，为半径作弧，交于点，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，射线交于点，若，则的长为______；【答案】【思路点拨】先根据直角三角形的性质和得到AB=2BC、∠ABC=60°，再根据角平分线的作法可得∠1=∠2=30°，进而得到∠1=∠A=30°，即BF=AF=4,然后再根据三角形的性质求得FC，最后运用勾股定理解答即可．【规范解答】解：∵，，∴AB=2BC,∠ABC=60°∵作图可知BC平分∠ABC，BC=BD∴∠1=∠2=30°∴∠1=∠A=30°∴BF=AF=4∵，，∴BF=2FC，即FC=2∴BC=∴BD=BC=．．【考点评析】本题主要考查了直角三角形的性质、角平分的作法、等腰三角形的性质以及勾股定理的灵活应用，掌握含30°直角三角形的性质成为解答本题的关键．17．(本题2分)（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图中，，．通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的_________，射线是的_____；并求的度数为_________．【答案】

垂直平分线

角平分线

##25度【思路点拨】（1）根据作图痕迹判断即可；（2）根据三角形内角和定理及角平分线求出∠CAD，可得结论．【规范解答】解：通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的垂直平分线，射线AE是∠DAC的角平分线．∵DF垂直平分线段AB，∴DA=DB，∴∠BAD=∠B=40°，∵∠B=40°，∠C=50°，∴∠BAC=90°，∴∠CAD=50°，∵AE平分∠CAD，∴∠DAE=∠CAD=25°．故答案为：垂直平分线，角平分线，25°；【考点评析】本题考查作图-基本作图，三角形内角和定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．18．(本题2分)（2022秋·八年级课时练习）如图，在中，，分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点、，作直线交点；以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，此时射线恰好经过点，则________度．【答案】34【思路点拨】由作图可得MN是线段AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线，根据它们的性质可得，再根据三角形内角和定理即可得解．【规范解答】由作图可得，MN是线段AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线，∴AD=BD，∴∴∵，且，∴，即，∴．故答案为：34．【考点评析】本题考查了作图-复杂作图，作线段垂直平分线和角平分线，熟练掌握角平分线和垂直平分线的性质是解题的关键．19．(本题2分)（2022·江苏宿迁·统考二模）如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交、于点、；②分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点．若，则的长为__________．【答案】12【思路点拨】过点D作DE⊥AB于E，由题意得AD平分∠CAB，证明Rt△ACD≌Rt△AED，推出AC=AE，勾股定理求出BE，设AC=x则AB=x+3，根据勾股定理列得，求出x即可．【规范解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，由题意得AD平分∠CAB，∵CD⊥AC，∴CD=DE=4，∵∠AED=∠C=90°，AD=AD，CD=DE，∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴AC=AE，∵BC=9，∴BD=5，∴，设AC=x则AB=x+3，∵，∴，解得x=12，故答案为：12．【考点评析】此题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理求线段长度，正确掌握角平分线的作图方法是解题的关键．20．(本题2分)（2022·四川成都·石室中学校考一模）如图，ABC的面积是18cm2，以顶点A为圆心，适当长为半径交弧，分别交AB、AC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，过点C作CD⊥AP于点D，连接BD，则DAB的面积是_____cm2．【答案】9【思路点拨】延长CD交AB于点T．根据等腰三角形的判定与性质证明CD＝DT，进而得到S△ACD＝S△ADT，S△CDB＝S△DBT，可得结论．【规范解答】解：如图，延长CD交AB于点T．由作图可知，AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠DAT，∵∠CAD+∠ACD＝90°，∠DAT+∠ATD＝90°，∴∠ACD＝∠ATD，∴AC＝AT，∴CD＝DT，∴S△ACD＝S△ADT，S△CDB＝S△DBT，∴S△ADB＝S△ABC＝9（cm2）．故答案为：9【考点评析】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，三角形中线的性质等知识，熟知相关定理并证明CD＝DT是解题关键．评卷人得分三、解答题(共60分)21．(本题6分)（2023秋·浙江宁波·八年级校联考期末）如图，在中，．(1)通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的，射线是的；(2)在（1）所作的图中，求的度数．【答案】(1)垂直平分线，角平分线(2)【思路点拨】（1）根据作图痕迹判断即可．（2）由垂直平分线的性质得，得，进一步求出，由角平分线定义可得结论．【规范解答】（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的垂直平分线，射线是的角平分线．故答案为：垂直平分线，角平分线．（2）∵垂直平分线段，∴，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴．【考点评析】本题考查作图-基本作图，三角形内角和定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．22．(本题6分)（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）如图，在中，，D是延长线上一点，点E是的中点．(1)实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标注相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．①作的平分线；②连接，并延长交于点G；③过点A作的垂线，垂足为F．(2)猜想与证明：猜想与有怎样的位置关系与数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)，．理由见解析【思路点拨】（1）利用基本作图（作一个角的平分线和过一点作直线的垂线）求解；（2）先利用等腰三角形的性质得，再利用三角形外角性质和角平分线定义可得，则可判断；接着根据“”证明得到，然后根据等腰三角形的性质，由得到，所以．【规范解答】（1）如图所示；（2），．理由如下：∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，即；∵点E是的中点，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【考点评析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质．23．(本题8分)（2023秋·山西朔州·八年级统考期末）如图，在中，为边上的高线，，．(1)尺规作图：作出的角平分线，与交于点E．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）(2)求的度数．【答案】(1)见解析；(2)．【思路点拨】（1）根据角平分线的定义作出图形即可；（2）由三角形内角和定理可得的度数，由角平分线可得，再根据外角的性质可求得结果．【规范解答】（1）解：如图，线段即为所求．（2）∵，又∵平分，∴，∴．【考点评析】本题考查作图——尺规作图，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．24．(本题8分)（2022秋·江西新余·八年级统考期末）现要在三角地ABC内建一中心医院，使医院到A、B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请确定这个中心医院的位置．（请用尺规作图，并保留作图痕迹）【答案】见解析【思路点拨】以点、为圆心，以大于的长度为半径，分别在线段两侧画弧，相交于两点，连接两交点并延长，形成直线，然后以点为圆心，以任意长为半径画弧，与线段、相交于两点，再以这两点为圆心，以大于这两点的长度为半径画弧，两弧相交于一点，过这点作点的射线，与直线相交于点，点即为这个中心医院的位置．【规范解答】解：如图，为这个中心医院的位置．【考点评析】本题考查了尺规作图、线段垂直平分线性质、角平分线性质，解本题的关键在熟练掌握利用尺规作线段的垂直平分线和角的角平分线．25．(本题8分)（2023秋·湖北省直辖县级单位·九年级统考期末）如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．(1)在图1中作的角平分线；(2)在图2中过点作直线，使点，到直线的距离相等，请作出所有满足条件的直线．【答案】(1)图见解析(2)图见解析【思路点拨】（1）连接，，与交于点，作射线即可；（2）取格点，过点和点作直线，或者连接，相交于点，过点，作直线．【规范解答】（1）解：如图1，连接、，与交于点，设小正方形的边长为1个单位，线段和是矩形的两条对角线且交于点，，又，，，，，平分，射线即为所作；（2）解：如图2，符合条件的直线有两条，分别为直线和直线．直线：连接、、、，直线经过点和点，设小正方形的边长为1个单位，，，，，，四边形是菱形，又，，，在和中，，，，，，四边形是正方形，，，且，直线即为所作．直线：连接，相交于点，过点，作直线，作，垂足为点，作，垂足为，、是矩形的对角线，，，，，,,直线即为所作．故符合条件的直线有两条，分别为直线和直线．【考点评析】本题考查作图一应用与设计作图，等腰三角形三线合一的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，勾股定理等知识．解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．26．(本题8分)（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）如图，在7×5的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，如、、都是格点，且，请用无刻度直尺在给定网格中画出下列图形，并保留作图痕迹．（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）(1)①画的角平分线；②画的中线；(2)画的角平分线；(3)画到直线，，的距离相等的格点P，并写出点P坐标_____．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)或【思路点拨】（1）①根据四边形是正方形，连接，交于点E，则即为所求；②根据，，判定与的交点D是其中点，连接即为所求．（2）构造等腰，根据等腰三角形三线合一性质判定即可．（3）根据角平分线的交点到各边的距离相等，画图计算即可．【规范解答】（1）解：①如图，∵四边形是正方形，∴连接，交于点E，则即为所求；②如图，设与的交点是D，∵，，∴，∴与的交点D是其中点，连接，则即为所求．（2）解：如图，设直线与y轴的交点为H，∵，，∴，∴等腰，连接，则点F是的中点，连接，则即为所求．（3）解：∵角平分线上的点到角的两边的距离相等，∴和的交点就是所求点P，如图所示的；当点P在的外部时，根据正方形，得到平分，∵在上，∴也是符合题意的，此时，故答案为：或．【考点评析】本题考查了网格上作图，等腰三角形的三线合一性质，正方形的性质，角平分线的性质，三角形中位线定理，熟练掌握网格作图的基本依据是解题的关键．27．(本题8分)（2022秋·广东惠州·八年级校考阶段练习）（1）尺规作图：如图，已知，作的平分线，并在上任取一点，分别在、上各取一点，作和，使得．（不写作法，保留作图痕迹）（2）请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（i）如图，在中，是直角，，、分别是、的平分线，和相交于点．请你判断并写出与之间的数量关系；（ii）如图，在中，如果不是直角，而（i）中的其它条件不变，请问，你在（i）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）（i）