2025年北师大版高一数学上册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年北师大版高一数学上册阶段测试试卷26考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、已知向量则的值为（）A.B.C.D.2、【题文】已知符号函数sgn(x)=则函数f(x)=sgn(lnx)-lnx的零点个数为()A.1B.2C.3D.43、已知函数的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于则为得到函数的图象可以把函数的图象上所有的点（）A.向右平移再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的2倍B.向右平移再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的2倍C.向左平移再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的0.5倍D.向左平移再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的2倍4、某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，初级职称90人．现采用分层抽取容量为30的样本，则抽取的初级职称的人数为（）A.30B.18C.9D.35、下列选项哪个是正确的（）A.INPUTA；BB.INPUTB=3C.PRINTy=2*x+1D.PRINT4*x6、函数f(x)=鈭�2x+5+lg(2x+1)

的定义域为(

)

A.(鈭�5,+隆脼)

B.[鈭�5,+隆脼)

C.(鈭�5,0)

D.(鈭�2,0)

7、设a=0.20.3b=0.30.3c=0.30.2

则下列大小关系正确的是(

)

A.c<a<b

B.b<a<c

C.a<b<c

D.c<b<a

评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)8、关于函数f（x）=cos（2x-）+cos（2x+）；有下列命题：

①y=f（x）的最大值为

②y=f（x）是以π为最小正周期的周期函数；

③y=f（x）在区间（）上单调递减；

其中正确命题的序号是____．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）9、已知函数则=____．10、11、【题文】已知m为实数，直线l1：mx＋y＋3＝0，l2：(3m－2)x＋my＋2＝0，则“m＝1”是“l1∥l2”的______条件(请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选择一个填空)．12、函数f（x）=x﹣的值域是____．13、狄利克雷是德国著名数学家，函数D（x）=被称为狄利克雷函数；下面给出关于狄利克雷函数D（x）的五个结论：

①若x是无理数；则D（D（x））=0；

②函数D（x）的值域是[0；1]；

③函数D（x）偶函数；

④若T≠0且T为有理数；则D（x+T）=D（x）对任意的x∈R恒成立；

⑤存在不同的三个点A（x1，D（x1）），B（x2，D（x2）），C（x3，D（x3））；使得△ABC为等边角形．

其中正确结论的序号是______．评卷人得分三、解答题(共6题，共12分)14、已知命题P：函数f（x）=（7-3m）x是增函数命题q：方程4x2+4（m-2）x+1=0无实根．若p或q为真；p且q为假，求实数m的取值范围．

15、【题文】如图；在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，E是PB上任意一点，△AEC面积的最小值是3．

（1）求证：AC⊥DE；

（2）求四棱锥P－ABCD的体积．16、（1）+=2，求a+a-1，a2+a-2的值．

（2）0.2x＜25，求实数x的取值范围．17、设则的最小值为______．18、已知圆Cx2+y2+Dx+Ey+3=0

关于直线x+y鈭�1=0

对称，半径为2

且圆心C

在第二象限．

(

Ⅰ)

求圆C

的方程；

(

Ⅱ)

不过原点的直线l

在x

轴、y

轴上的截距相等，且与圆C

相切，求直线l

的方程．19、自原点O

作圆(x鈭�1)2+y2=1

的不重合的两弦OAOB

且|OA|?|OB|=2

若不论AB

两点的位置怎样，直线AB

恒切与一个定圆，请求出定圆的方程．评卷人得分四、证明题(共2题，共6分)20、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．21、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．评卷人得分五、计算题(共2题，共14分)22、已知α，β为锐角，tanα，tanβ是一元二次方程6x2-5x+1=0的两根，求锐角α+β的值．（备选公式）23、已知t1、t2是二次函数s=-3t2+6t+f的图象与x轴两交点的横坐标，且x=10t1，y=10t2，那么y与x间的函数关系式为____，其函数图象在第____象限内．评卷人得分六、综合题(共2题，共18分)24、已知函数f（x）=ax2+4x+b，其中a＜0，a、b是实数，设关于x的方程f（x）=0的两根为x1，x2；f（x）=x的两实根为α；β．

（1）若|α-β|=1，求a、b满足的关系式；

（2）若a、b均为负整数；且|α-β|=1，求f（x）解析式；

（3）试比较（x1+1）（x2+1）与7的大小．25、已知抛物线y=x2+4ax+3a2（a＞0）

（1）求证：抛物线的顶点必在x轴的下方；

（2）设抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右边），过A、B两点的圆M与y轴相切，且点M的纵坐标为；求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为P，抛物线与y轴交于点C，求△CPA的面积．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、D【分析】【解析】试题分析：∵∴1×（－4）－2x＝0，解得x＝－2，故答案为D.考点：向量共线的条件【解析】【答案】D2、C【分析】【解析】令f(x)=0,则sgn(lnx)-lnx=0,即。

sgn(lnx)=lnx,∴lnx=1或lnx=0或lnx=-1,

∴x=e或x=1或x=【解析】【答案】C3、A【分析】【分析】先利用两角差的正弦公式将函数f(x)=sinωx-cosωx化为y=Asin（ωx+φ)的形式；再利用周期公式计算ω的值，最后由三角函数图象变换理论作出正确判断。

【解答】∵f(x)=sinωx-cosωx=2（sinωx-cosωx)=2sin（ωx-)

又∵f（x)的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于

∴函数f（x)的最小正周期为T=2×=π

∴2π/ω=π；ω=2

∴f(x)=2sin(2x-)=2sin2(x-)；

∴为得到函数y=f（x)的图象可以把函数y=sin2x的图象上所有的点向右平移得y=sin2（x-)的图象，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的2倍，得y=2sin2（x-)的图象。

故选A．

【点评】本题考查了三角变换公式的应用，三角函数的图象和性质，周期公式，三角函数图象变换的方法等基础知识4、B【分析】解：每个个体被抽到的概率等于=

由于初级职称90人人，故初级职称90人应抽取的人数为90×=18；

故选：B．

先求出每个个体被抽到的概率；用初级职称的人数乘以每个个体被抽到的概率，即得初级职称应抽取人数．

本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题【解析】【答案】B5、D【分析】解：根据PRINT；INPUT语句的一般格式：INPUT（PRINT）“提示内容”；变量，可知D正确．

故选D．

利用PRINT；INPUT语句的一般格式是：“INPUT（PRINT）“提示内容”；变量”，可得结论．

本小题主要考查输入、输出语句等基础知识，属于基础题．【解析】【答案】D6、A【分析】解：由题意得：{2x+1>0x+5>0

解得x>鈭�5

隆脿

原函数的定义域为(鈭�5,+隆脼)

故选A

列出使得原函数有意义的条件；解不等式组即可。

本题考查函数定义域，求函数的定义域，需满足分式的分母不为0

偶次根式的被开方数大于等于0

对数的真数大于00

次幂的底数不为0.

属简单题【解析】A

7、C【分析】解：a=0.20.3b=0.30.3c=0.30.2

可得a<bb<c

则a<b<c

．

故选C．

分别运用幂函数y=x0.3

在(0,+隆脼)

递增；y=0.3x

在R

上递减；即可得到所求大小关系．

本题考查幂函数和指数函数的单调性及运用：比较大小，考查运算能力，属于基础题．【解析】C

二、填空题(共6题，共12分)8、略

【分析】

函数f（x）=cos（2x-）+cos（2x+）=cos2x+sin2x=（cos2x+sin2x）=sin（2x+）．

∴函数f（x）的最大值为因此①正确；

周期T==π；因此②正确；

当x∈（）时，（2x+）∈（），因此y=f（x）在区间（）上单调递减；因此③正确；

综上可知：①②③．

故答案为①②③．

【解析】【答案】利用两角和差的正余弦公式可把f（x）化为sin（2x+）；进而利用正弦函数的性质即可判断出答案．

9、略

【分析】

由题意可得，f（）=2×=f（-）=f（）=f（）=

则=4

故答案为：4

【解析】【答案】直接把x=代入到f（x）=2x，x=-代入f（x）=f（x+1）即可求解。

10、略

【分析】【解析】

因为【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】当m＝1时，kl1＝－1＝kl2，则l1∥l2；当l1∥l2时，由m×m－1×(3m－2)＝0，得m＝1，或m＝2.故“m＝1”是“l1∥l2”的充分不必要条件．【解析】【答案】充分不必要条件12、（﹣∞，1]【分析】【解答】解：设=t；则t≥0；

f（t）=1﹣t2﹣t，t≥0，函数图像的对称轴为t=﹣开口向下，在区间[0，+∞）上单调减；

∴f（t）max=f（0）=1；

∴函数f（x）的值域为（﹣∞；1]．

故答案为：（﹣∞；1]．

【分析】设=t利用换元法把原函数转化成一元二次函数的问题，利用函数的单调性求得函数的值域．13、略

【分析】解：①∵当x为有理数时；D（x）=1；当x为无理数时，D（x）=0；

∴当x为有理数时；D（D（x））=D（1）=1；当x为无理数时，D（D（x））=D（0）=1；

即不管x是有理数还是无理数；均有D（D（x））=1，故①不正确；

②∵有理数的相反数还是有理数；无理数的相反数还是无理数；

∴对任意x∈R；都有D（-x）=D（x），故②正确；

③若x是有理数；则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数；

∴根据函数的表达式；任取一个不为零的有理数T，D（x+T）=D（x）对x∈R恒成立，故③正确；

④取x1=-x2=0，x3=可得D（x1）=0，D（x2）=1，D（x3）=0；

∴A（0），B（0，1），C（-0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．

即真命题是②③④；

故答案为：②③④．

①；根据函数的对应法则，可得不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1，从而可判断①；

②；根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数，可判断②；

③；根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质，得f（x+T）=f（x），可判断③；

④，取x1=-x2=0，x3=可得A（0），B（0，1），C（-0），恰好△ABC为等边三角形恰好构成等边三角形，可判断④．

本题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题．【解析】②③④三、解答题(共6题，共12分)14、略

【分析】

∵f（x）=（7-3m）x是增函数命题。

∴7-3m＞1

∴p：m＜2

∵4x2+4（m-2）x+1=0无实根。

∴△=16（m-2）2-16＜0

解可得；1＜m＜3

q：1＜m＜3

∵p或q为真；p且q为假。

∴p；q一真一假。

（1）p假q真：即2≤m＜3

（2）p真q假：即m≤1

综上所述：m的取值范围m≤1或2≤m＜3

【解析】【答案】先分别求解出p；q为真时m的范围，然后根据已知可知p，q一真一假，分情况求解m的范围即可。

15、略

【分析】【解析】

试题分析：（1）证明线线垂直，一般利用线面垂直性质与判定定理进行转化.因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．又因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AC．因而AC⊥平面PDB，从而AC⊥DE．（2）设AC与BD相交于点F．连EF．由（1），知AC⊥平面PDB，所以AC⊥EF．所以S△ACE＝AC·EF，因此△ACE面积最小时，EF最小，则EF⊥PB．由△PDB∽△FEB，解得PD＝因为PD⊥平面ABCD，所以VP—ABCD＝S□ABCD·PD＝×24×＝．

（1）证明：连接BD；设AC与BD相交于点F．

因为四边形ABCD是菱形；所以AC⊥BD．

又因为PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD；所以PD⊥AC．

而AC∩BD＝F；所以AC⊥平面PDB．

E为PB上任意一点，DE平面PBD；所以AC⊥DE．

（2）连EF．由（1），知AC⊥平面PDB，EF平面PBD，所以AC⊥EF．S△ACE＝AC·EF；在△ACE面积最小时，EF最小，则EF⊥PB．

S△ACE＝3，×6×EF＝3；解得EF＝1．

由△PDB∽△FEB，得．由于EF＝1，FB＝4，

所以PB＝4PD，即．解得PD＝

VP—ABCD＝S□ABCD·PD＝×24×＝．

考点：线面垂直性质与判定定理，四棱锥体积【解析】【答案】（1）详见解析，（2）16、略

【分析】

（1）采取平方法即可求出；

（2）转化为同底数的；再根据函数的单调性即可解得．

本题考查了指数幂的运算性质，属于基础题．【解析】解：（1）∵+=2；

∴a+a-1=（+）2-2=2；

∴a2+a-2=（a+a-1）2-2=2

（2）0.2x＜25，即5-x＜52；

∴-x＜2；

解得x＞-2；

故其范围为（-2，+∞）．17、略

【分析】解：∵∴1-2x＞0

∴==13+≥13+=25

当且仅当即x=时，的最小值为25

故答案为：25

将条件等价变形；利用基本不等式，即可得到结论．

本题考查函数的最值，考查基本不等式的运用，正确变形是关键．【解析】2518、略

【分析】

(

Ⅰ)

利用圆的一般方程求得圆心坐标；根据圆心直线x+y鈭�1=0

上，求得DE

的值，可得圆的半径，从而求得求圆C

的方程．

(

Ⅱ)

设所求直线l

的方程是x+y=a(a鈮�0)

根据它与圆C

相切，求得a

的值，可得直线l

的方程．

本题主要考查圆的一般方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．【解析】解：(

Ⅰ)

由Cx2+y2+Dx+Ey+3=0

得圆C

的圆心为C(鈭�D2,鈭�E2)隆脽

圆C

关于直线x+y鈭�1=0

对称；

隆脿鈭�D2鈭�E2鈭�1=0

即D+E=鈭�2垄脵

．

隆脽

圆C

的半径为2隆脿D2+E2鈭�124=2垄脷

又隆脽

圆心C

在第二象限，隆脿D>0E<0

由垄脵垄脷

解得；D=2E=鈭�4

故圆C

的方程为x2+y2+2x鈭�4y+3=0

．

(

Ⅱ)

由题意可设；所求直线l

的方程是x+y=a(a鈮�0)

由(

Ⅰ)

得，圆C

的圆心为C(鈭�1,2)隆脽

直线l

与圆C

相切，隆脿|鈭�1+2鈭�a|2=2

解得a=鈭�1

或a=3

故直线l

的方程为x+y+1=0

或x+y鈭�3=0

．19、略

【分析】

设AB

边上的高为h

则鈻�AOB

的面积S=12|AB|?h

再利用S=12|OA|?|OB|?sin隆脧AOB

即可得到结论．

本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的方程，考查学生的计算能力，属于基础题．【解析】解：由题意，圆(x鈭�1)2+y2=1

是鈻�AOB

的外接圆；半径为1

根据正弦定理：|AB|=2Rsin隆脧AOB=2sin隆脧AOB

设AB

边上的高为h

则鈻�AOB

的面积S=12|AB|鈰�h=h鈰�sin隆脧AOB

隆脽S=12|OA|鈰�|OB|鈰�sin隆脧AOB=12隆脕2隆脕sin隆脧AOB

隆脿h=1

为定值；

即O

到AB

的距离为定值1

隆脿

直线AB

与以原点为圆心，1

为半径的圆相切，圆的方程为x2+y2=1

．四、证明题(共2题，共6分)20、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．21、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．五、计算题(共2题，共14分)22、略

【分析】【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系得到tanα+tanβ=，tanα•tanβ=，然后利用题中给的公式有tan（α+β）=；把

tanα+tanβ=，tanα•tanβ=整体代入得到tan（α+β）==1，再根据特殊角的三角函数值即可得到锐角α+β的值．【解析】【解答】解：∵tanα，tanβ是一元二次方程6x2-5x+1=0的两根；

∴tanα+tanβ=，tanα•tanβ=

∵tan（α+β）=；

∴tan（α+β）==1；

∴锐角（α+β）=45°．23、略

【分析】【分析】由于t1、t2是二次函数s=-3t2+6t+f的图象与x轴两交点的横坐标，利用根与系数的关系可以得到t1+t2=2，又x=10t1，y=10t2，利用同底数幂的乘法法则计算即可解决问题．【解析】【解答】解：∵t1、t2是二次函数s=-3t2+6t+f的图象与x轴两交点的横坐标；

∴t1+t2=2；

而x=10t1，y=10t2；

∴xy=10t1×10t2=10t1+t2=102=100；

∴y=（x＞0）．

∵100＞0；x＞0；

∴其函数图象在第一象限内．

故答案为：y=（x＞0），一．六、综合题(共2题，共18分)24、略

【分析】【分析】（1）根据f（x）=x的两实根为α、β，可列出方程用a，