2024-2025学年人教版九年级数学上册期末冲刺复习：旋转两种解题模型（解析版）

专题09旋转两种解题模型

目录

解题知识必备

压轴题型讲练........................................................2

题型一：奔驰模型................................................................2

题型二：费马点模型.............................................................15

压轴能力测评.......................................................21

X解题知识必备”

模型一：奔驰模型

旋转是中考必考题型，奔驰模型是非常经典的一类题型，且近几年中考中经常出现。我们不仅要掌握这类

题型，提升利用旋转解决问题的能力，更重要的是要明白一点：旋转的本质是把分散的条件集中化，从而

解决问题

模型二：费马点模型

BC

费.

如图，以AABC的三边向外分别作等边三角形，然后把外

面的三个顶点与原三角形的相对顶点相连，交于点P,点

P就是原三角形的费马点.

最值问题是中考常考题型，费马点属于几何中的经典题型，目前全国范围内的中考题都是从经典题改编而

来，所以应熟练掌握费马点等此类最值经典题。

X压轴题型讲练2

题型一：奔驰模型

选择题（共1小题）

1.（2020秋•顺平县期中）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且R4=3,PB=4,PC=5,将尸

绕点3顺时针旋转60。到ACBQ位置.连接P。，则以下结论错误的是（）

A.NQPB=60°B.APQC=90°C.ZAPS=150°D.ZAPC=135°

【分析】根据等边三角形性质以及勾股定理的逆定理，即可判断3;依据ABPQ是等边三角形，即可得到

ZQPB=ZPBQ=NBQP=60°,进而得出NBPA=Z.BQC=60°+90°=150°,求出AQPC=15。即可判断。选

项.

【解答】解：•.•AABC是等边三角形，

:.ZABC=60°,

-：将MBP绕点3顺时针旋转60°到ACBQ位置，

:.ABQC=ABPA,

:.ZBPA=ZBQC,BP=BQ=4,QC=PA=3,ZABP=NQBC,

ZPBQ=ZPBC+ZCBQ=ZPBC+ZABP=ZABC=60°,

，ABPQ是等边三角形，

：.PQ=BP=4,

PQ2+QC2=42+32=25,PC2=52=25,

PQ;+QC2=PC2,

:.ZPQC^9Q°,即APQC是直角三角形，故3正确，

..•ASP。是等边三角形，

ZQPB=ZPBQ=Z.BQP=60°,故A正确，

ZBPA=NBQC=60°+90°=150°,故C正确,

若NAPC=135°,则/QPC=360°-135°-150°-60°=15°,与上4=3,PB=4,尸。=5不符，故选项。错

误.

故选：D.

【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理的应用，主要考查学生综合运用定理进

行推理的能力.

二.填空题(共4小题)

2.(2023秋•北屯市校级期中)如图，在平面直角坐标系中，已知AAO3是等边三角形，点A的坐标是(0,6),

点3在第一象限，NOAB的平分线交x轴于点P,把AAOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重

合，得到A4BD,连接DP.则。？=_4若。点坐标为

【分析】根据等边三角形的每一个角都是60。可得/。45=60。，然后根据对应边的夹角NQ4B为旋转角求

出440=60。，再判断出AAPD是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得加=依，根据，

NtMB的平分线交无轴于点尸，NO4P=30。，利用三角函数求出AP,从而得到3尸，再求出NCHD=90。，

然后写出点。的坐标即可.

【解答】解：:AAOB是等边三角形，

:.ZOAB=60°,

AAOP绕着点A按逆时针方向旋转边AO与钻重合,

旋转角=NCHB=NR4D=60。，AD^AP,

AAPD是等边三角形，

;.DP^AP,ZR4D=60°,

•.•A的坐标是(0,6),NQ4B的平分线交无轴于点P,

:.ZOAP=30°,AO=6,

OP=2-J3,

：.AP=4y/3,

：.DP=AP=4g,

■.■ZOAP=30°,ZPAD=60°,

ZOAD=300+60°=90°,

.•.点。的坐标为（4百，6）.

故答案为：。？=4百；点。的坐标为（4君，6）.

【点评】本题考查了旋转的性质，坐标与图形性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，熟记各性

质并判断出AAPD是等边三角形是解题的关键.

3.（2023秋•长宁区校级期中）已知在AABC中，ZACB=90°,AB=20,sinB=—（如图），把AABC绕

5

着点。按顺时针方向旋转0。（0<0<360）,将点A、3的对应点分别记为点4、B',如果△4TC为直角

【分析】根据△A4C为直角三角形，分两种情况：①当点B在线段ACC4延长线上时，4c为直角三

角形；②当点A在线段BC上时，△河（?为直角三角形，依据线段的和差关系进行计算即可得到点A与点

3’的距离.

【解答】解：分两种情况：

①当点"在线段C4延长线上时，△A4C为直角三角形，

-.-ZACB=90°,AB=20,sinB=与,

AC=ABX@=20/@=45

55

A'C=4y/5,BC=A/AB2-C42=8A/5=B'C,

AB,=B,C-AC=875-4A/5=4A/5；

②当点A在线段3c上时，△A4c为直角三角形，

同理可得，B'C=845,AC=4A/5,

AB'=AC+B'C=8A/5+475=1275；

综上所述，点A与点8'的距离为4A后或12占.

故答案为：4百或12百.

【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数的应用，运用分类思想是本题的关键.

4.（2022秋•新抚区期中）如图，正方形MCD中，将边AB绕着点A旋转，当点3落在边CD的垂直平分

线上的点E处时，NBED的度数为_45。或135。_.

【分析】分两种情况讨论，由旋转的性质和线段垂直平分线的性质可得ABEC是等边三角形，由等腰三角

形的性质可求解.

【解答】解：如图，当点E在54的右边时，

•.•MN是CD的垂直平分线，四边形ABCD是正方形,

.•.ACV垂直平分54,

:.BE=EA,

•.•将边丛绕着点A旋转,

BA=AE，

.•.AfiE4是等边三角形，

:.ZEBA=ZBEA=60°f

ZCBE=ZEAD=30°f

\-AB=AD=AE,

:.ZAED=15°,

ZBED=75°+60。=135。；

当点E'在54的左边时，

同理可得^BE'A是等边三角形,

:.BA=BE',ZBE'A=60°=ZABE',

:.ZDAE'=150°,

■.AB^AD^AE',

:.ZAErB=15°,

:.ZBE'D=45°,

ZBED的度数为45°或135°.

故答案为：45。或135。.

【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等边三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题

的关键.

5.（2021秋•盘龙区校级期中）如图，P是等边三角形内的一点，且上4=3,PB=4,PC=5,以3C

为边在AABC外作ABQC=ABX4,连接尸Q,则以下结论中正确有①②③（填序号）

①ABP。是等边三角形②APC。是直角三角形③NAPB=150。④NAPC=135。

O

【分析】根据等边三角形性质得出ZABC=60°,根据全等得出ZBPA=NBQC,BP=BQ=4,QC=PA=3,

ZABP=ZQBC,求出NPBQ=60。，即可判断①，根据勾股定理的逆定理即可判断②；求出ZBQP=60。,

ZPQC=90°,即可判断③，求出NAPC+NQPC=150。和尸。wQC判断④.

【解答】解：•.•A4BC是等边三角形，

:.ZABC=60°,

-.-ABQC=ABPA,

:.NBPA=NBQC,BP=BQ=4,QC=PA=3,ZABP=ZQBC,

NPBQ=ZPBC+NCBQ=ZPBC+ZABP=ZABC=60°,

，ABPQ是等边三角形，

：.PQ=BP=4,

PQ1+QC2=42+32=25,PC2=52=25,

PQ2+QC2=PC2,

:.ZPQC=90°,即APQC是直角三角形，

,.•AB尸。是等边三角形，

:.NBOQ=NBQP=60。,

ZBPA=ZBQC=60°+90°=150°,

ZAPC=360°-150°-60°-ZQPC=150°-ZQPC,

ZQPC>30°,

即ZAPC<135°,

故答案为：①②③.

【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定、勾股定理的逆定理的应用，掌握全等三角形的性质、等边

三角形的判定定理、勾股定理的逆定理是解题的关键.

三.解答题（共6小题）

6.（2022秋•西湖区校级期中）如图，一块等腰直角的三角板在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋

转到ACDE的位置，使A,C,。三点在同一直线上，连接AE,求NDE4的度数.

【分析】由已知直接可得旋转中心为点C,旋转的度数为135。，而NC4E+NCE4=45。，AC=CE,即得

ZCAE=ZCEA=22.5°,由此即可求出ZDE4的度数.

【解答】解：•.•等腰直角三角板ABC,在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到ACDE的位置，

旋转中心为点C,旋转的度数为135。，

■：ZECD=ZACB=^°,

ZCAE+ZCEA=45°,

■：AC=CE,

:.ZCAE=ZCEA^22.5°,

.〔NZME的度数为225。，

ZDEA=90°-22.5°=67.5°.

【点评】本题考查等腰直角三角形中的旋转问题，解题的关键是掌握等腰直角三角形性质及旋转的性质.

7.(2021秋•长乐区期中)在RtAABC中，ZACB=90°,ZABC=30°,AC=4,将AABC绕点3顺时针

旋转一定的角度得到AD3E,点A,C的对应点分别是£>,E,连接AD.

(1)如图1,当点E恰好在边至上时，求Z4DE的大小；

(2)如图2,若b为小>中点，求CF的最大值.

图1图2

【分析】(1)由旋转可得：BA=BD,ZEBD=NCBA=30°,ZDEB=ZACB=90°,再运用三角形内角和

定理即可得出答案;

(2)如图2,连接防，利用等腰三角形的性质证明NAEB=90。，然后证明A、C、B、F四点共圆，接

着利用圆是圆中最长的弦即可求解.

【解答】解：(1)如图1,♦.•AABC绕点3顺时针旋转。得到点E恰好在加上,

:.BA=BD,ZEBD^ZCBA=30°,ZDEB=ZACB=90°,

:.ZBAD=ZBDA^75°,

.-.ZADE=90°-75°=15°；

(2)如图2,连接班

\BA=BD,F为AD中点，

:.BF±AD,

:.ZAFB=9O°,

而NACB=90。，

」.A、C、B、尸四点共圆，

,AB为这个圆的直径，CF为这个圆的一条弦,

-.-AC=4,ZABC=30°,

AB=8,

.•.CF的最大值为8.

图2

【点评】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了含30。角的直角三角形的性质，有一定的综合性.

8.（2022秋•东胜区校级期中）（原题初探）（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图1,P是

正方形ABCD内一点，连结PB,PC现将绕点3顺时针旋转90。得到的△PCB,连接PP.若

PA=6.,PB=3,ZAPB=135°,则PC的长为_2石正方形MCD的边长为.

（变式猜想）（2）如图2,若点尸是等边AABC内的一点，且上4=3,PB=4,PC=5,请猜想/4PB的

度数，并说明理由.

（拓展应用）（3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题：

【分析】（1）由旋转的性质得BP=39=3,PC=PA=4i,ZPBP=90。,ZBPC=ZAPB=135。，则ABPP

为等腰直角三角形，再由勾股定理得PC=26，过点A作AEL3P交3P的延长线于E,则AAEP是等腰

直角三角形，得AE=PE=1,得BE=4,然后由勾股定理即可求解；

（2）由旋转的性质得ABP户是等边三角形，贝=5尸=4,ZBPP,=60°,AP=3,AP'=PC=5,再由

勾股定理的逆定理得A4PP为直角三角形，即可求解；

（3）由旋转的性质得AK=AD=3,CK=BD,NK4D=90。，则AZMK是等腰直角三角形，得OK=3人，

NADK=45。，再证NCDK=90。，即可解决问题.

【解答】解：（1）•.,AR4B绕点3顺时针旋转90。得到的△PCB,

.-.BP=BP=3,P'C=PA=^2,ZPBP=90°,ZBP'C=ZAPB=135°,

为等腰直角三角形，

ZBPP=45°,PP'=y/2PB=3A/2,

NPPC=135°-45°=90°,

在Rt△PPC中，由勾股定理得：PC=yJpP'2+PC2=J(30y+(0)2=2A/5,

过点A作/IE交BP的延长线于E,如图1所示：

-.-ZAPS=135°,

ZAPE=180°-135°=45°,

.•.AAEP是等腰直角三角形，

AE=PE=—PA=—xy/2=l,

22

:.BE=PB+PE=3+1=4,

在RtAAEB中，由勾股定理得：AB=S/AE2+BE2=A/12+42=J万，

故答案为：26,而'；

(2)NAPB的度数为150。，理由如下：

•.•AABC是等边三角形，

:.AB=BC,ZABC=60°,

将ABPC绕点3逆时针旋转60。，得到△BPA,连接小，如图2所示：

则ABPP是等边三角形，

：.PP=BP=4,ZBPP=60°,

•;AP=3,AP'=PC=5,

:.P'P2+AP2=AP'2,

A4Pp为直角三角形，

，ZAPP=90°,

.■.ZAPB=ZAPP+ZBPP=90°+60°=150°；

(3)ZABC=ZACB=ZADC=45。,

.【Afi4c是等腰直角三角形，

ABAC=90°,AB=AC,

将A4B£＞绕点A顺时针旋转90。，得到AACK,连接。K,如图3所示：

由旋转的性质得：AK=AD=3,CK=BD,ZKAD=90°,

；.AZMK是等腰直角三角形，

:.DK=y/2AD=3y/2,ZADK=45°,

NCDK=ZADC+ZADK=45°+45°=90°,

.•.△CDK是直角三角形，

：.CK=yjDK2+CD2=7(3A/2)2+22=夜,

BD=-J22,

故答案为：夜.

图3

【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、等

边三角形的判定与性质、勾股定理和勾股定理的逆定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和

旋转的性质是解题的关键，属于中考常考题型.

9.（2023秋•梁山县期中）如图，尸是正三角形内的一点，且上4=6,尸3=8,PC=1O.若将APAC

绕点A逆时针旋转后，得到△PAB.

（1）求点尸与点P之间的距离；

（2）求/4P5的度数.

【分析】（1）由已知AE4c绕点A逆时针旋转后，得到△PAB,可得PA=PA,旋转

角/PAP=NR4C=60。，所以A4P尸为等边三角形，即可求得PP；

（2）由A4Pp为等边三角形，得/4PP=60。，在△上3中，已知三边，用勾股定理逆定理证出直角三角

形，得出NPP3=90。，可求N4P3的度数.

【解答】解：（1）连接PP,由题意可知5P=PC=10,AP=AP,

ZPAC=ZP'AB,而ZR4C+Zfi4P=60°,

所以44P=60度.故AAPP为等边三角形，

所以PP=AP=AP=6；

（2）利用勾股定理的逆定理可知：

PP?+BP2=BP?,所以ABPP为直角三角形，且4尸「=90。

可求ZAPB=90°+60°=150°.

【点评】本题考查旋转的性质，旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变.

10.（2020秋•黄石期中）下面是一道例题及其解答过程，请补充完整.

（1）如图1,在等边三角形ABC内部有一点P,PA=3,PB=4,PC=5,求N4P8的度数.

解：将AAPC绕点A逆时针旋转60。，得到△AP3,连接尸P,则AAP尸为等边三角形.

■,PP=PA=3,PB=4,PB=PC=5,

PP2+PB2=PB1.

^BPP为直角三角形.

的度数为.

（2）类比延伸

如图2,在正方形ABCD内部有一点P,若NAPD=135。，试判断线段上4、PB、PD之间的数量关系,

并说明理由.

【分析】。）根据勾股定理的逆定理可得到AfiPP为直角三角形，且NBP尸=90。，即可得到/4PB的度数；

（2）把AADP绕点A顺时针旋转90。得到根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状可得

PB=PD,PA=PA,然后求出A4Pp是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得出产/*=2上

ZPPA=45°,再求出NPP3=90。，然后利用勾股定理得出产产+P3?=尸产，等量代换得出

1

2PA2+PD。=PB.

【解答】解：（1）如图1,将AAPC绕点A逆时针旋转60。，得到△AP3,连接PP,则AAPP为等边三

角形.

•：PP=PA=3,PB=4,PB=PC=5,

PP2+PB2=PB2.

.1ABP户为直角三角形.

ZAPB的度数为90°+60°=150°.

故答案为：直角；150°；

(2)2PA1+PD2=PB2.理由如下：

如图2,把AADP绕点A顺时针旋转90。得到AABP,连接尸产.

则=PA=PA,ZPAP=9Q)°,

户是等腰直角三角形，

PP-=*+pH=292,NPPA=45°,

ZAPD=135°,

ZAPB=ZAPD=135°,

ZPPB=135°-45°=90°,

在RtAPPB中,由勾股定理得，PP2+PB°=PB2,

：.2P^+PD1=PB2.

图2

【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转

角，对应点到旋转中心的距离相等.也考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆

定理.

11.（2023秋•罗山县期中）阅读与理解：如图1,等边ABDE（边长为。）按如图所示方式设置.

操作与证明：

（1）操作：固定等边AASC（边长为6）,将ABDE绕点3按逆时针方向旋转120。，连接CE,如图

2；在图2中，请直接写出线段CE与之间具有怎样的大小关系.

（2）操作：若将图1中的AfiQE,绕点3按逆时针方向旋转任意一个角度6/（60。<]<180。），连接AD,CE,

AD与CE相交于点M,连如图3；在图3中线段CE与4)之间具有怎样的大小关系？的度

数是多少？证明你的结论.

猜想与发现：

(3)根据上面的操作过程，请你猜想在旋转过程中，当e为多少度时，线段4)的长度最大，最大是多少？

当a为多少度时，线段AD的长度最小，最小是多少？

【分析】(1)利用S4S证明AEBCvADBA即可；

(2)利用&4s证明A£BC=ADR4,得EC=AD,ZCEB=ZADB,再利用三角形内角和定理可得答案;

(3)点。在以点3为圆心，班)长为半径的圆上运动，当A,D,3三点共线时，4)最长或最短.

【解答】解：(1)EC=AD-,

•.•将绕点8按逆时针方向旋转120。，

:.ZABD=ZCBE,

在AEBC和ADB4中，

BD=BE

<NABD=ZCBE,

AB=BC

:.NEBC=NDBA{SAS),

/.EC=AD；

(2)EC=AD,NEMD=60。,理由如下：

设AD与BE交于点O,

将ABDE绕点B按逆时针方向旋转a度,

/.XEBC=XDBA=oc,

­.•AABC与ABDE是等边三角形，

BC=AB,BD=BE,

:.^EBC=ADBA（SAS）,

:.EC=AD,ZCEB=ZADBf

\-ZEOM=ZDOB,

,\ZEMD=ZEBD=60°f

（3）由旋转的性质可知，点。在以点3为圆心，30长为半径的圆上运动，当A,D,3三点共线时，AD

最长或最短.

.•.当c为180。时，线段AD的长度最大，等于a+b；当。为0。（或360。）时，线段AD的长度最小，等于

【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，

角平分线的判定等知识，证明A£BC三AZ）A4是解题的关键.

题型二：费马点模型

选择题（共1小题）

1.（2023秋•萧山区期中）如图，已知44c=60。，AB=4,AC=6,点P在AABC内，将AAPC绕着点

A逆时针方向旋转60。得到则/1E+PB+PC的最小值为（）

A.10B.2MC.5A/3D.2万

【分析】连接跖，过点3作与AF的延长线交于点。，由旋转可知Sl£=NC4F=60。，

AP=AE,PC=EF,AC=AF=6,于是可得AAPE为等边三角形，进而得到

北+肥+尸。=尸_£+尸8+"..族，利用含30度的直角三角形性质可得40=工48=2,BD=y/3AD=2^3,

2

最后利用勾股定理求出BF的长即可.

【解答】解：如图，连接过点3作与”的延长线交于点D,

贝i」NAD3=90。，

将MPC绕着点A逆时针方向旋转60。得到AAEF,

,\ZPAE=ZCAF=60°,AP=AE,PC=EF,AC=AF=6,

.•.AAPE为等边三角形，

:.AE=PE,

:.AE+PB+PC=PE+PB+EF,

PB+PE+EF..BF,

.,・当点6、P、石在同一条直线上时，PB+PE+EF取得最小值为5尸，即AE+P3+尸C取得最小值为

-.•ZBAC=60°=ZCAEf

.\ZBAD=60°,

.\ZABD=30°,

.-.AD=-AB=2,BD=6AD=26

2

:.DF=AD+AF=2+6=8,

在RtABDF中，BF=+DF?=«24¥+8?=2M,

.•.AE+PB+PC取得最小值为2M.

故选：B.

【点评】本题主要考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形性质、勾股定理,

熟练掌握旋转的性质是解题关键.

二.解答题（共2小题）

2.（台州期中）（1）知识储备

①如图1,已知点P为等边AABC外接圆的3c上任意一点.求证：PB+PC=PA.

②定义:在AABC所在平面上存在一点P,使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点尸为AABC的费

马点，此时上4+PB+尸C的值为AABC的费马距离.

（2）知识迁移

①我们有如下探寻AABC（其中NA,ZB,NC均小于120。）的费马点和费马距离的方法：

如图2,在AA5c的外部以为边长作等边ABCD及其外接圆，根据（1）的结论，易知线段的

长度即为AABC的费马距离.

②在图3中，用不同于图2的方法作出AABC的费马点P（要求尺规作图）.

（3）知识应用

①判断题（正确的打Y,错误的打x）：

i.任意三角形的费马点有且只有一个—；

ii.任意三角形的费马点一定在三角形的内部.

②已知正方形ABCD,尸是正方形内部一点，且上4+PB+PC的最小值为n+a,求正方形ABCD的

边长.

A

图2

【分析】（1）①根据已知首先得出APCE为等边三角形，进而得出AACPMABCE（SAS）,即

AP=AE+EP=BP+PE=BP+PC；

（2）①利用（1）中结论得出E4+P3+PC=P4+（P3+PC）=P4+PZ）；以及线段的性质”两点之间线段

最短”容易获解；

②画出图形即可；也可以将AC绕点C按顺时针旋转60。得到AC,连接43,作NA7C=60。，然后在AP

上截取PP=PC,则△PPC是等边三角形，由旋转的性质及两点之间线段最短即可得出结论；

（3）①根据费马点和费马距离的定义直接判定即可；

②将AABP沿点3逆时针旋转60。到△A期，如图5,根据E4+PB+PC的最小值为而+点,得

片4+「片+尸C的最小值为后+0,即AC=#+0,设正方形的边长为2x,根据勾股定理列方程得：

得：X2+（2+A/3）2X2=（A/6+^）2,解出可得正方形的边长.

【解答】（1）①证明：在丛上取一点E,使PE=PC,连接CE,

•.•AABC是等边三角形，

ZAPC=ZABC=60°,

又・；PE=PC,

,APEC是正三角形，

:.CE=CP,ZACB=ZECP=6O°,

:.ZACE=ZBCP,

又rZPBC=ZPAC,BC=AC,

:.AACE=ABCP（ASA）,

:.AE=PB,

:.PB+PC=AE+PE^AP；（4分）

(2)①如图2,得：PA+PB+PC=PA+(PB+PC)=PA+PD,

.•.当A、P、。共线时，R4+PB+PC的值最小，

线段AD的长度即为AABC的费马距离，

故答案为：AD；（6分）

②过AB和AC分别向外作等边三角形，连接CD,BE,交点即为P.（过AC或AB作外接圆视作与图2

相同的方法，不得分）.（8分）

（3）①i.（4）；

ii.当三角形有一内角大于或等于120。时，所求三角形的费马点为三角形最大内角的顶点（x）（10分）

故答案为：，，V,ii,x；

②解：将AABP沿点B逆时针旋转60°到^\BP{,

如图5,过A作交的延长线于连接《尸，

易得：AtB=AB,PB=PlB,PA=F[Al,ZP.BP=ZA,BA=6Q°,

■：PB=PlB,ZP^BP=60°,

.•.△耳尸2是正三角形，

PR=PB,

•.•R4+PB+PC的最小值为遥+0,

6A+%+PC的最小值为娓+也,

：.A,p,c在同一直线上，即AC=#+忘，（12分）

设正方形的边长为2x,

•••"54=60°,ZCB4=90°,

.•.Nl=30°,

在RfZ^A的中，A,B=AB=2X,Zl=30°,

得：\H=x,BH=0,

在放△A#C中，由勾股定理得：/+（2+百）2/=（#+点）2,

解得：%=1尤2=-1（舍去）

正方形ABCD的边长为2.（14分）

Ar-----------|D

BC

图3

A

【点评】此题是圆的综合题，也是阅读理解型问题，主要考查了新定义：三角形费马点和费马距离，还考

查了等边三角形的性质、三角形全等、勾股定理等知识.难度很大，理解新定义是本题的关键.

3.（宿豫区校级期中）探究问题：

（I）阅读理解：

①如图（A）,在已知AABC所在平面上存在一点P,使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点P为AABC

的费马点，此时上4+PB+PC的值为AABC的费马距离；

②如图（B）,若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有=此为托勒密定理；

（2）知识迁移：

①请你利用托勒密定理，解决如下问题：

如图（C）,已知点尸为等边AABC外接圆的3c上任意一点.求证：PB+PC=PA；

②根据（2）①的结论，我们有如下探寻AABC（其中44、ZB.NC均小于120。）的费马点和费马距离的

方法：

第一步：如图（D）,在AABC的外部以3c为边长作等边ABCD及其外接圆；

第二步：在3c上任取一点P,连接PA、P'B,PC、PD.易知户4+尸缶+尸，。=「4+（尸\8+9。）=尸的+

PD_；

第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出AABC的费马点尸，并请指出线段—的长度即为AABC

的费马距离.

B,

X.I

PD

（图C）（®D）

（3）知识应用：

2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓

的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水.

已知三村庄A、B、C构成了如图（E）所示的AA5C（其中/4、ZB、/C均小于120。），现选取一点尸

打水井，使从水井P到三村庄A、B,。所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值.

【分析】（2）知识迁移①问，只需按照题意套用托勒密定理，再利用等边三角形三边相等，将所得等式两

边都除以等边三角形的边长，即可获证.②问，借用①问结论，及线段的性质“两点之间线段最短”数学

容易获解.

（3）知识应用，在（2）的基础上先画出图形，再求解.

【解答】（2）①证明：由托勒密定理可知P-AC+PC-至=

•.♦AA5C是等边三角形

AB=AC—BC,

:.PB+PC=PA,

②PD、AD,

（3）解：如图，以3c为边长在AABC的外部作等边ABCD,连接AD,则知线段AD的长即为最短距离.

••,ABCD为等边三角形，BC=4,

:.ZCBD=6O°,BD=BC=4,

■.■ZABC=30°,:.ZABD=90°,

在RtAABD中，-.-AB^3,BD=4,

AD=A/AB2+BD2=>/32+42=5（km）,

,从水井尸到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度的最小值为

3km

D

【点评】此题是一个综合性很强的题目，主要考查等边三角形的性质、三角形相似、解直角三角形等知识.难

度很大，有利于培养同学们钻研问题和探索问题的精神.

X压轴能力测评

1.(连城县期中)(1)如图1,点F是等边AABC内一点，已知B4=3,PB=4,PC=5,求/铲5的度

数.

要直接求Z4的度数显然很困难，注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数，因此考虑借助旋转把这三边集

中到一个三角形内，如图2,作NR4D=60。使连接PD,CD,则AR4D是等边三角形.

=AD=AP=3,ZADP=ZPAD=60°

AABC是等边三角形

:.AC=AB,ABAC=60°

.\ZBAP=

:.AABP=AACD

.\BP=CD=4,=ZADC

•.在APCD中，PD=3,PC=5,CD=4,PD1+CD1=PC2

:.ZPDC=°

.\ZAPB=ZADC=ZADP+ZPDC=600+90°=150°

(2)如图3,在AABC中，AB=BC,ZABC=90°,点F是AABC内一点，PA=1,PB=2,PC=3,

求NAPS的度数.

AAA

B

图1图2

【分析】(1)如图2,作440=60。使AD=AP,连接PD,CD,则是等边三角形.只要证明

AABP=^ACD(SAS),推出3P=CD=4,ZAPB^ZADC,再利用勾股定理的逆定理即可解决问题;

(2)把AE4c绕4点逆时针旋转90。得到ADS4,如图，想办法证明ABPD是等腰三角形即可解决问题;

【解答】解：(1)如图2,作NR4D=60。使AD=",连接PD,CD,则AR4D是等边三角形.

:.PD=AD=AP^3,ZADP=ZPAD=GO0,

•.,AABC是等边三角形,

:.AC=AB,Zfi4c=60°,

:.ZBAP=ACAD,

:.\ABP=\ACD{SAS),

.-.BP=CD=4,ZAPB^ZADC

•.•在APCD中，PD=3,PC=5,CD=4,PD2+CD2=PC2

:.ZPDC=9Q°

:.ZAPB=ZADC=ZADP+ZPDC=600+90°=150°

故答案为：PD,ACAD,ZAPB,90.

(2)解：-.-ZABC=90°,BC=AB,

.•.把M4C绕A点逆时针旋转90。得到ADB4,如图,

：.BD=PC=3,AD=AP=2,ZPAD=90°,

.•.ARAD为等腰直角三角形，

:.DP=42PA=2>j2,ZDPA=45°,

在中，PB=2,PD=2-j2,DB=3,

•.•F+(2点y=32,

:.AP-+PET=BU,

为直角三角形，

:.ZBPD=90°,

ZAPB=ZAPD+ZDPB=900+45°=135°.

R

【点评】本题考查旋转变换、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理以及逆定理等知识，

解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题.

2.(西城区校级期中)如图，尸是等边AABC内的一点，且E4=5,PB=4,PC=3,将AAPB绕点6逆

时针旋转，得到求：

(1)点P与点。之间的距离；

(2)求/3尸。的度数.

【分析X1)连接P。，如图,根据等边三角形得性质得ZABC=60°,BA=BC,再利用旋转的性质得BP=BQ,

ZPBQ=ZABC=60°,CQ=AP=5,BP=BQ=4,ZPBQ=60°,于是可判断AP3。是等边三角形，所以

PQ=PB=4；

(2)先利用勾股定理的逆定理证明APCQ是直角三角形，且NQPC=90。，再加上NBPQ=60。，然后计算

NBPQ+NQPC即可.

【解答】解：(1)连接P。，如图，

AABC是等边三角形

.-.ZABC=60°,BA=BC,

\QCB是ARAB绕点B逆时针旋转得到的，

:.BP=BQ,ZPBQ=ZABC=60°,CQ=AP=5,

-.BP=BQ=4,ZPBQ=60°,

，APB。是等边三角形，

PQ=PB=4；

(2)-.^0=5,PC=3,PQ=4,

而3?+4?=5?,

PC2+PQ2=CQ2,

，APCQ是直角三角形，且NQPC=90。，

•.•AP3Q是等边三角形，

:.ZBPQ=6f)°,

Z.BPC=ZBPQ+ZQPC=60°+90°=150°.

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于

旋转角；旋转前、后的图形全等.也考查了等边三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理.

3.(汉阳区期中)如图，尸是等腰AABC内一点，AB=BC,连接上4,PB,PC.

(1)如图1,当NA5C=90。时，将AR46绕3点顺时针旋转90。，画出旋转后的图形；

(2)在(1)中，若以=2,PB=4,PC=6,求NAPB的大小；

(3)当NABC=60。时，且E4=3,PB=4,PC=5,则AAPC的面积是？道+3(直接填答案)

~4-

【分析】(1)由钻=3C,4BC=90。可知点4旋转到点C,在BC的下方过点3作3P的垂线，并且在

垂线上截取叱=3尸，则P，为点尸绕3点顺时针旋转90。以后的对应点，△PCB即为所求；

(2)连接PP,求出APBP是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得PP=4夜，N3P尸=45。，

再利用勾股定理逆定理求出ZCPP=90°,然后计算即可得解；

(3)根据全等三角形的面积相等求出AAP3与AAPC的面积之和等于四边形APC4的面积，然后根据等边

三角形的面积与直角三角形的面积列式计算即可得解，同理求出AABP和ABPC的面积的和，AAPC和

ABPC的面积的和，从而求出AABC的面积，然后根据ABPC的面积=AABC的面积-AAPB与AAPC的面

积的和计算即可得解.

【解答】解：(1)如图1所示，△PCB即为所求；

B

P'

图1

(2)如图2,连接PP.

•.•将绕3点顺时针旋转90。，与△PCB重合，

:ZABMPCB,ZPBP=90°,

:.BP=BP,ZAPB=NCPB,AP=CP=2,

是等腰直角三角形，

:.PP=4iPB=4及,NBPP=45°.

在ACP产中，PP'=442,CP=2,PC=6,

PF-+CP2=PC2,

△CPP是直角三角形，ZCPP=90°,

ZCPB=ZBPP+ZCPP=45°+90°=135°；

(3)如图3①，将AR4B绕A点逆时针旋转60。得到△片AC,连接

:.^APB=/\APXC,

AP=APt,ZPAP^=60°,Cq=BP=4,

是等边三角形，

/.PPX=AP=3,

・.・CP=5,%=4,PR=3,

PP,+C邛=CP?,

；.△飞尸是直角三角形，NC[P=90。，

.C_1236_c12一

S

一MPPI=5x3x,s^mc=-x3x4=6,

.Sr一双1+6

r

••Q四边形APCP1一°AAPP1十°APP1C――10；

-.-^APB^/\APXC,

S战BP+S^APC=S四边形APCPI=+6；

如图3②，同理可求：AABP和ABPC的面积的和=Lx4x述+工*3x4=4若+6,

222

^4/5。和她「。的面积的和=1><5'述+1><3*4=^^+6,

2224

.•.^450的面积=；（竽+6+44+6+亨道+6）=年39,

AAPC的面积=AABC的面积—AAPB与ABPC的面积的和=（竺叵+9）-（4百+6）=2叵+3.

故答案为名叵+3.

图3①

【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中

心的连线段的夹角等于旋转角.也考查了勾股定理的逆定理以及等腰直角三角形的判定与性质，三角形的

面积，其中（3）较为复杂，求出AA5c的面积是解题的关键.

4.（汉阳区期中）（1）阅读证明

①如图1,在AABC所在平面上存在一点尸，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点尸为AABC的费

马点，此时上4+PB+尸C的值为A