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文档简介
专题09旋转两种解题模型
目录
解题知识必备
压轴题型讲练........................................................2
题型一:奔驰模型................................................................2
题型二:费马点模型.............................................................15
压轴能力测评.......................................................21
X解题知识必备”
模型一:奔驰模型
旋转是中考必考题型,奔驰模型是非常经典的一类题型,且近几年中考中经常出现。我们不仅要掌握这类
题型,提升利用旋转解决问题的能力,更重要的是要明白一点:旋转的本质是把分散的条件集中化,从而
解决问题
模型二:费马点模型
BC
费.
如图,以AABC的三边向外分别作等边三角形,然后把外
面的三个顶点与原三角形的相对顶点相连,交于点P,点
P就是原三角形的费马点.
最值问题是中考常考题型,费马点属于几何中的经典题型,目前全国范围内的中考题都是从经典题改编而
来,所以应熟练掌握费马点等此类最值经典题。
X压轴题型讲练2
题型一:奔驰模型
选择题(共1小题)
1.(2020秋•顺平县期中)如图,P是等边三角形ABC内的一点,且R4=3,PB=4,PC=5,将尸
绕点3顺时针旋转60。到ACBQ位置.连接P。,则以下结论错误的是()
A.NQPB=60°B.APQC=90°C.ZAPS=150°D.ZAPC=135°
【分析】根据等边三角形性质以及勾股定理的逆定理,即可判断3;依据ABPQ是等边三角形,即可得到
ZQPB=ZPBQ=NBQP=60°,进而得出NBPA=Z.BQC=60°+90°=150°,求出AQPC=15。即可判断。选
项.
【解答】解:•.•AABC是等边三角形,
:.ZABC=60°,
-:将MBP绕点3顺时针旋转60°到ACBQ位置,
:.ABQC=ABPA,
:.ZBPA=ZBQC,BP=BQ=4,QC=PA=3,ZABP=NQBC,
ZPBQ=ZPBC+ZCBQ=ZPBC+ZABP=ZABC=60°,
,ABPQ是等边三角形,
:.PQ=BP=4,
PQ2+QC2=42+32=25,PC2=52=25,
PQ;+QC2=PC2,
:.ZPQC^9Q°,即APQC是直角三角形,故3正确,
..•ASP。是等边三角形,
ZQPB=ZPBQ=Z.BQP=60°,故A正确,
ZBPA=NBQC=60°+90°=150°,故C正确,
若NAPC=135°,则/QPC=360°-135°-150°-60°=15°,与上4=3,PB=4,尸。=5不符,故选项。错
误.
故选:D.
【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定,勾股定理的逆定理的应用,主要考查学生综合运用定理进
行推理的能力.
二.填空题(共4小题)
2.(2023秋•北屯市校级期中)如图,在平面直角坐标系中,已知AAO3是等边三角形,点A的坐标是(0,6),
点3在第一象限,NOAB的平分线交x轴于点P,把AAOP绕着点A按逆时针方向旋转,使边AO与AB重
合,得到A4BD,连接DP.则。?=_4若。点坐标为
【分析】根据等边三角形的每一个角都是60。可得/。45=60。,然后根据对应边的夹角NQ4B为旋转角求
出440=60。,再判断出AAPD是等边三角形,根据等边三角形的三条边都相等可得加=依,根据,
NtMB的平分线交无轴于点尸,NO4P=30。,利用三角函数求出AP,从而得到3尸,再求出NCHD=90。,
然后写出点。的坐标即可.
【解答】解::AAOB是等边三角形,
:.ZOAB=60°,
AAOP绕着点A按逆时针方向旋转边AO与钻重合,
旋转角=NCHB=NR4D=60。,AD^AP,
AAPD是等边三角形,
;.DP^AP,ZR4D=60°,
•.•A的坐标是(0,6),NQ4B的平分线交无轴于点P,
:.ZOAP=30°,AO=6,
OP=2-J3,
:.AP=4y/3,
:.DP=AP=4g,
■.■ZOAP=30°,ZPAD=60°,
ZOAD=300+60°=90°,
.•.点。的坐标为(4百,6).
故答案为:。?=4百;点。的坐标为(4君,6).
【点评】本题考查了旋转的性质,坐标与图形性质,等边三角形的判定与性质,解直角三角形,熟记各性
质并判断出AAPD是等边三角形是解题的关键.
3.(2023秋•长宁区校级期中)已知在AABC中,ZACB=90°,AB=20,sinB=—(如图),把AABC绕
5
着点。按顺时针方向旋转0。(0<0<360),将点A、3的对应点分别记为点4、B',如果△4TC为直角
【分析】根据△A4C为直角三角形,分两种情况:①当点B在线段ACC4延长线上时,4c为直角三
角形;②当点A在线段BC上时,△河(?为直角三角形,依据线段的和差关系进行计算即可得到点A与点
3’的距离.
【解答】解:分两种情况:
①当点"在线段C4延长线上时,△A4C为直角三角形,
-.-ZACB=90°,AB=20,sinB=与,
AC=ABX@=20/@=45
55
A'C=4y/5,BC=A/AB2-C42=8A/5=B'C,
AB,=B,C-AC=875-4A/5=4A/5;
②当点A在线段3c上时,△A4c为直角三角形,
同理可得,B'C=845,AC=4A/5,
AB'=AC+B'C=8A/5+475=1275;
综上所述,点A与点8'的距离为4A后或12占.
故答案为:4百或12百.
【点评】本题考查了旋转的性质,勾股定理,锐角三角函数的应用,运用分类思想是本题的关键.
4.(2022秋•新抚区期中)如图,正方形MCD中,将边AB绕着点A旋转,当点3落在边CD的垂直平分
线上的点E处时,NBED的度数为_45。或135。_.
【分析】分两种情况讨论,由旋转的性质和线段垂直平分线的性质可得ABEC是等边三角形,由等腰三角
形的性质可求解.
【解答】解:如图,当点E在54的右边时,
•.•MN是CD的垂直平分线,四边形ABCD是正方形,
.•.ACV垂直平分54,
:.BE=EA,
•.•将边丛绕着点A旋转,
BA=AE,
.•.AfiE4是等边三角形,
:.ZEBA=ZBEA=60°f
ZCBE=ZEAD=30°f
\-AB=AD=AE,
:.ZAED=15°,
ZBED=75°+60。=135。;
当点E'在54的左边时,
同理可得^BE'A是等边三角形,
:.BA=BE',ZBE'A=60°=ZABE',
:.ZDAE'=150°,
■.AB^AD^AE',
:.ZAErB=15°,
:.ZBE'D=45°,
ZBED的度数为45°或135°.
故答案为:45。或135。.
【点评】本题考查了旋转的性质,正方形的性质,等边三角形的性质,利用分类讨论思想解决问题是解题
的关键.
5.(2021秋•盘龙区校级期中)如图,P是等边三角形内的一点,且上4=3,PB=4,PC=5,以3C
为边在AABC外作ABQC=ABX4,连接尸Q,则以下结论中正确有①②③(填序号)
①ABP。是等边三角形②APC。是直角三角形③NAPB=150。④NAPC=135。
O
【分析】根据等边三角形性质得出ZABC=60°,根据全等得出ZBPA=NBQC,BP=BQ=4,QC=PA=3,
ZABP=ZQBC,求出NPBQ=60。,即可判断①,根据勾股定理的逆定理即可判断②;求出ZBQP=60。,
ZPQC=90°,即可判断③,求出NAPC+NQPC=150。和尸。wQC判断④.
【解答】解:•.•A4BC是等边三角形,
:.ZABC=60°,
-.-ABQC=ABPA,
:.NBPA=NBQC,BP=BQ=4,QC=PA=3,ZABP=ZQBC,
NPBQ=ZPBC+NCBQ=ZPBC+ZABP=ZABC=60°,
,ABPQ是等边三角形,
:.PQ=BP=4,
PQ1+QC2=42+32=25,PC2=52=25,
PQ2+QC2=PC2,
:.ZPQC=90°,即APQC是直角三角形,
,.•AB尸。是等边三角形,
:.NBOQ=NBQP=60。,
ZBPA=ZBQC=60°+90°=150°,
ZAPC=360°-150°-60°-ZQPC=150°-ZQPC,
ZQPC>30°,
即ZAPC<135°,
故答案为:①②③.
【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定、勾股定理的逆定理的应用,掌握全等三角形的性质、等边
三角形的判定定理、勾股定理的逆定理是解题的关键.
三.解答题(共6小题)
6.(2022秋•西湖区校级期中)如图,一块等腰直角的三角板在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋
转到ACDE的位置,使A,C,。三点在同一直线上,连接AE,求NDE4的度数.
【分析】由已知直接可得旋转中心为点C,旋转的度数为135。,而NC4E+NCE4=45。,AC=CE,即得
ZCAE=ZCEA=22.5°,由此即可求出ZDE4的度数.
【解答】解:•.•等腰直角三角板ABC,在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到ACDE的位置,
旋转中心为点C,旋转的度数为135。,
■:ZECD=ZACB=^°,
ZCAE+ZCEA=45°,
■:AC=CE,
:.ZCAE=ZCEA^22.5°,
.〔NZME的度数为225。,
ZDEA=90°-22.5°=67.5°.
【点评】本题考查等腰直角三角形中的旋转问题,解题的关键是掌握等腰直角三角形性质及旋转的性质.
7.(2021秋•长乐区期中)在RtAABC中,ZACB=90°,ZABC=30°,AC=4,将AABC绕点3顺时针
旋转一定的角度得到AD3E,点A,C的对应点分别是£>,E,连接AD.
(1)如图1,当点E恰好在边至上时,求Z4DE的大小;
(2)如图2,若b为小>中点,求CF的最大值.
图1图2
【分析】(1)由旋转可得:BA=BD,ZEBD=NCBA=30°,ZDEB=ZACB=90°,再运用三角形内角和
定理即可得出答案;
(2)如图2,连接防,利用等腰三角形的性质证明NAEB=90。,然后证明A、C、B、F四点共圆,接
着利用圆是圆中最长的弦即可求解.
【解答】解:(1)如图1,♦.•AABC绕点3顺时针旋转。得到点E恰好在加上,
:.BA=BD,ZEBD^ZCBA=30°,ZDEB=ZACB=90°,
:.ZBAD=ZBDA^75°,
.-.ZADE=90°-75°=15°;
(2)如图2,连接班
\BA=BD,F为AD中点,
:.BF±AD,
:.ZAFB=9O°,
而NACB=90。,
」.A、C、B、尸四点共圆,
,AB为这个圆的直径,CF为这个圆的一条弦,
-.-AC=4,ZABC=30°,
AB=8,
.•.CF的最大值为8.
图2
【点评】此题主要考查了旋转的性质,同时也利用了含30。角的直角三角形的性质,有一定的综合性.
8.(2022秋•东胜区校级期中)(原题初探)(1)小明在数学作业本中看到有这样一道作业题:如图1,P是
正方形ABCD内一点,连结PB,PC现将绕点3顺时针旋转90。得到的△PCB,连接PP.若
PA=6.,PB=3,ZAPB=135°,则PC的长为_2石正方形MCD的边长为.
(变式猜想)(2)如图2,若点尸是等边AABC内的一点,且上4=3,PB=4,PC=5,请猜想/4PB的
度数,并说明理由.
(拓展应用)(3)聪明的小明经过上述两小题的训练后,善于反思的他又提出了如下的问题:
【分析】(1)由旋转的性质得BP=39=3,PC=PA=4i,ZPBP=90。,ZBPC=ZAPB=135。,则ABPP
为等腰直角三角形,再由勾股定理得PC=26,过点A作AEL3P交3P的延长线于E,则AAEP是等腰
直角三角形,得AE=PE=1,得BE=4,然后由勾股定理即可求解;
(2)由旋转的性质得ABP户是等边三角形,贝=5尸=4,ZBPP,=60°,AP=3,AP'=PC=5,再由
勾股定理的逆定理得A4PP为直角三角形,即可求解;
(3)由旋转的性质得AK=AD=3,CK=BD,NK4D=90。,则AZMK是等腰直角三角形,得OK=3人,
NADK=45。,再证NCDK=90。,即可解决问题.
【解答】解:(1)•.,AR4B绕点3顺时针旋转90。得到的△PCB,
.-.BP=BP=3,P'C=PA=^2,ZPBP=90°,ZBP'C=ZAPB=135°,
为等腰直角三角形,
ZBPP=45°,PP'=y/2PB=3A/2,
NPPC=135°-45°=90°,
在Rt△PPC中,由勾股定理得:PC=yJpP'2+PC2=J(30y+(0)2=2A/5,
过点A作/IE交BP的延长线于E,如图1所示:
-.-ZAPS=135°,
ZAPE=180°-135°=45°,
.•.AAEP是等腰直角三角形,
AE=PE=—PA=—xy/2=l,
22
:.BE=PB+PE=3+1=4,
在RtAAEB中,由勾股定理得:AB=S/AE2+BE2=A/12+42=J万,
故答案为:26,而';
(2)NAPB的度数为150。,理由如下:
•.•AABC是等边三角形,
:.AB=BC,ZABC=60°,
将ABPC绕点3逆时针旋转60。,得到△BPA,连接小,如图2所示:
则ABPP是等边三角形,
:.PP=BP=4,ZBPP=60°,
•;AP=3,AP'=PC=5,
:.P'P2+AP2=AP'2,
A4Pp为直角三角形,
,ZAPP=90°,
.■.ZAPB=ZAPP+ZBPP=90°+60°=150°;
(3)ZABC=ZACB=ZADC=45。,
.【Afi4c是等腰直角三角形,
ABAC=90°,AB=AC,
将A4B£>绕点A顺时针旋转90。,得到AACK,连接。K,如图3所示:
由旋转的性质得:AK=AD=3,CK=BD,ZKAD=90°,
;.AZMK是等腰直角三角形,
:.DK=y/2AD=3y/2,ZADK=45°,
NCDK=ZADC+ZADK=45°+45°=90°,
.•.△CDK是直角三角形,
:.CK=yjDK2+CD2=7(3A/2)2+22=夜,
BD=-J22,
故答案为:夜.
图3
【点评】本题是四边形综合题目,考查了正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、等
边三角形的判定与性质、勾股定理和勾股定理的逆定理等知识,本题综合性强,熟练掌握正方形的性质和
旋转的性质是解题的关键,属于中考常考题型.
9.(2023秋•梁山县期中)如图,尸是正三角形内的一点,且上4=6,尸3=8,PC=1O.若将APAC
绕点A逆时针旋转后,得到△PAB.
(1)求点尸与点P之间的距离;
(2)求/4P5的度数.
【分析】(1)由已知AE4c绕点A逆时针旋转后,得到△PAB,可得PA=PA,旋转
角/PAP=NR4C=60。,所以A4P尸为等边三角形,即可求得PP;
(2)由A4Pp为等边三角形,得/4PP=60。,在△上3中,已知三边,用勾股定理逆定理证出直角三角
形,得出NPP3=90。,可求N4P3的度数.
【解答】解:(1)连接PP,由题意可知5P=PC=10,AP=AP,
ZPAC=ZP'AB,而ZR4C+Zfi4P=60°,
所以44P=60度.故AAPP为等边三角形,
所以PP=AP=AP=6;
(2)利用勾股定理的逆定理可知:
PP?+BP2=BP?,所以ABPP为直角三角形,且4尸「=90。
可求ZAPB=90°+60°=150°.
【点评】本题考查旋转的性质,旋转变化前后,对应线段、对应角分别相等,图形的大小、形状都不改变.
10.(2020秋•黄石期中)下面是一道例题及其解答过程,请补充完整.
(1)如图1,在等边三角形ABC内部有一点P,PA=3,PB=4,PC=5,求N4P8的度数.
解:将AAPC绕点A逆时针旋转60。,得到△AP3,连接尸P,则AAP尸为等边三角形.
■,PP=PA=3,PB=4,PB=PC=5,
PP2+PB2=PB1.
^BPP为直角三角形.
的度数为.
(2)类比延伸
如图2,在正方形ABCD内部有一点P,若NAPD=135。,试判断线段上4、PB、PD之间的数量关系,
并说明理由.
【分析】。)根据勾股定理的逆定理可得到AfiPP为直角三角形,且NBP尸=90。,即可得到/4PB的度数;
(2)把AADP绕点A顺时针旋转90。得到根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状可得
PB=PD,PA=PA,然后求出A4Pp是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质得出产/*=2上
ZPPA=45°,再求出NPP3=90。,然后利用勾股定理得出产产+P3?=尸产,等量代换得出
1
2PA2+PD。=PB.
【解答】解:(1)如图1,将AAPC绕点A逆时针旋转60。,得到△AP3,连接PP,则AAPP为等边三
角形.
•:PP=PA=3,PB=4,PB=PC=5,
PP2+PB2=PB2.
.1ABP户为直角三角形.
ZAPB的度数为90°+60°=150°.
故答案为:直角;150°;
(2)2PA1+PD2=PB2.理由如下:
如图2,把AADP绕点A顺时针旋转90。得到AABP,连接尸产.
则=PA=PA,ZPAP=9Q)°,
户是等腰直角三角形,
PP-=*+pH=292,NPPA=45°,
ZAPD=135°,
ZAPB=ZAPD=135°,
ZPPB=135°-45°=90°,
在RtAPPB中,由勾股定理得,PP2+PB°=PB2,
:.2P^+PD1=PB2.
图2
【点评】本题考查了旋转的性质:旋转前后的两个图形全等,对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转
角,对应点到旋转中心的距离相等.也考查了正方形的性质,等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆
定理.
11.(2023秋•罗山县期中)阅读与理解:如图1,等边ABDE(边长为。)按如图所示方式设置.
操作与证明:
(1)操作:固定等边AASC(边长为6),将ABDE绕点3按逆时针方向旋转120。,连接CE,如图
2;在图2中,请直接写出线段CE与之间具有怎样的大小关系.
(2)操作:若将图1中的AfiQE,绕点3按逆时针方向旋转任意一个角度6/(60。<]<180。),连接AD,CE,
AD与CE相交于点M,连如图3;在图3中线段CE与4)之间具有怎样的大小关系?的度
数是多少?证明你的结论.
猜想与发现:
(3)根据上面的操作过程,请你猜想在旋转过程中,当e为多少度时,线段4)的长度最大,最大是多少?
当a为多少度时,线段AD的长度最小,最小是多少?
【分析】(1)利用S4S证明AEBCvADBA即可;
(2)利用&4s证明A£BC=ADR4,得EC=AD,ZCEB=ZADB,再利用三角形内角和定理可得答案;
(3)点。在以点3为圆心,班)长为半径的圆上运动,当A,D,3三点共线时,4)最长或最短.
【解答】解:(1)EC=AD-,
•.•将绕点8按逆时针方向旋转120。,
:.ZABD=ZCBE,
在AEBC和ADB4中,
BD=BE
<NABD=ZCBE,
AB=BC
:.NEBC=NDBA{SAS),
/.EC=AD;
(2)EC=AD,NEMD=60。,理由如下:
设AD与BE交于点O,
将ABDE绕点B按逆时针方向旋转a度,
/.XEBC=XDBA=oc,
.•AABC与ABDE是等边三角形,
BC=AB,BD=BE,
:.^EBC=ADBA(SAS),
:.EC=AD,ZCEB=ZADBf
\-ZEOM=ZDOB,
,\ZEMD=ZEBD=60°f
(3)由旋转的性质可知,点。在以点3为圆心,30长为半径的圆上运动,当A,D,3三点共线时,AD
最长或最短.
.•.当c为180。时,线段AD的长度最大,等于a+b;当。为0。(或360。)时,线段AD的长度最小,等于
【点评】本题是几何变换综合题,主要考查了旋转的性质,等边三角形的性质,全等三角形的判定与性质,
角平分线的判定等知识,证明A£BC三AZ)A4是解题的关键.
题型二:费马点模型
选择题(共1小题)
1.(2023秋•萧山区期中)如图,已知44c=60。,AB=4,AC=6,点P在AABC内,将AAPC绕着点
A逆时针方向旋转60。得到则/1E+PB+PC的最小值为()
A.10B.2MC.5A/3D.2万
【分析】连接跖,过点3作与AF的延长线交于点。,由旋转可知Sl£=NC4F=60。,
AP=AE,PC=EF,AC=AF=6,于是可得AAPE为等边三角形,进而得到
北+肥+尸。=尸_£+尸8+"..族,利用含30度的直角三角形性质可得40=工48=2,BD=y/3AD=2^3,
2
最后利用勾股定理求出BF的长即可.
【解答】解:如图,连接过点3作与”的延长线交于点D,
贝i」NAD3=90。,
将MPC绕着点A逆时针方向旋转60。得到AAEF,
,\ZPAE=ZCAF=60°,AP=AE,PC=EF,AC=AF=6,
.•.AAPE为等边三角形,
:.AE=PE,
:.AE+PB+PC=PE+PB+EF,
PB+PE+EF..BF,
.,・当点6、P、石在同一条直线上时,PB+PE+EF取得最小值为5尸,即AE+P3+尸C取得最小值为
-.•ZBAC=60°=ZCAEf
.\ZBAD=60°,
.\ZABD=30°,
.-.AD=-AB=2,BD=6AD=26
2
:.DF=AD+AF=2+6=8,
在RtABDF中,BF=+DF?=«24¥+8?=2M,
.•.AE+PB+PC取得最小值为2M.
故选:B.
【点评】本题主要考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形性质、勾股定理,
熟练掌握旋转的性质是解题关键.
二.解答题(共2小题)
2.(台州期中)(1)知识储备
①如图1,已知点P为等边AABC外接圆的3c上任意一点.求证:PB+PC=PA.
②定义:在AABC所在平面上存在一点P,使它到三角形三顶点的距离之和最小,则称点尸为AABC的费
马点,此时上4+PB+尸C的值为AABC的费马距离.
(2)知识迁移
①我们有如下探寻AABC(其中NA,ZB,NC均小于120。)的费马点和费马距离的方法:
如图2,在AA5c的外部以为边长作等边ABCD及其外接圆,根据(1)的结论,易知线段的
长度即为AABC的费马距离.
②在图3中,用不同于图2的方法作出AABC的费马点P(要求尺规作图).
(3)知识应用
①判断题(正确的打Y,错误的打x):
i.任意三角形的费马点有且只有一个—;
ii.任意三角形的费马点一定在三角形的内部.
②已知正方形ABCD,尸是正方形内部一点,且上4+PB+PC的最小值为n+a,求正方形ABCD的
边长.
A
图2
【分析】(1)①根据已知首先得出APCE为等边三角形,进而得出AACPMABCE(SAS),即
AP=AE+EP=BP+PE=BP+PC;
(2)①利用(1)中结论得出E4+P3+PC=P4+(P3+PC)=P4+PZ);以及线段的性质”两点之间线段
最短”容易获解;
②画出图形即可;也可以将AC绕点C按顺时针旋转60。得到AC,连接43,作NA7C=60。,然后在AP
上截取PP=PC,则△PPC是等边三角形,由旋转的性质及两点之间线段最短即可得出结论;
(3)①根据费马点和费马距离的定义直接判定即可;
②将AABP沿点3逆时针旋转60。到△A期,如图5,根据E4+PB+PC的最小值为而+点,得
片4+「片+尸C的最小值为后+0,即AC=#+0,设正方形的边长为2x,根据勾股定理列方程得:
得:X2+(2+A/3)2X2=(A/6+^)2,解出可得正方形的边长.
【解答】(1)①证明:在丛上取一点E,使PE=PC,连接CE,
•.•AABC是等边三角形,
ZAPC=ZABC=60°,
又・;PE=PC,
,APEC是正三角形,
:.CE=CP,ZACB=ZECP=6O°,
:.ZACE=ZBCP,
又rZPBC=ZPAC,BC=AC,
:.AACE=ABCP(ASA),
:.AE=PB,
:.PB+PC=AE+PE^AP;(4分)
(2)①如图2,得:PA+PB+PC=PA+(PB+PC)=PA+PD,
.•.当A、P、。共线时,R4+PB+PC的值最小,
线段AD的长度即为AABC的费马距离,
故答案为:AD;(6分)
②过AB和AC分别向外作等边三角形,连接CD,BE,交点即为P.(过AC或AB作外接圆视作与图2
相同的方法,不得分).(8分)
(3)①i.(4);
ii.当三角形有一内角大于或等于120。时,所求三角形的费马点为三角形最大内角的顶点(x)(10分)
故答案为:,,V,ii,x;
②解:将AABP沿点B逆时针旋转60°到^\BP{,
如图5,过A作交的延长线于连接《尸,
易得:AtB=AB,PB=PlB,PA=F[Al,ZP.BP=ZA,BA=6Q°,
■:PB=PlB,ZP^BP=60°,
.•.△耳尸2是正三角形,
PR=PB,
•.•R4+PB+PC的最小值为遥+0,
6A+%+PC的最小值为娓+也,
:.A,p,c在同一直线上,即AC=#+忘,(12分)
设正方形的边长为2x,
•••"54=60°,ZCB4=90°,
.•.Nl=30°,
在RfZ^A的中,A,B=AB=2X,Zl=30°,
得:\H=x,BH=0,
在放△A#C中,由勾股定理得:/+(2+百)2/=(#+点)2,
解得:%=1尤2=-1(舍去)
正方形ABCD的边长为2.(14分)
Ar-----------|D
BC
图3
A
【点评】此题是圆的综合题,也是阅读理解型问题,主要考查了新定义:三角形费马点和费马距离,还考
查了等边三角形的性质、三角形全等、勾股定理等知识.难度很大,理解新定义是本题的关键.
3.(宿豫区校级期中)探究问题:
(I)阅读理解:
①如图(A),在已知AABC所在平面上存在一点P,使它到三角形顶点的距离之和最小,则称点P为AABC
的费马点,此时上4+PB+PC的值为AABC的费马距离;
②如图(B),若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上,则有=此为托勒密定理;
(2)知识迁移:
①请你利用托勒密定理,解决如下问题:
如图(C),已知点尸为等边AABC外接圆的3c上任意一点.求证:PB+PC=PA;
②根据(2)①的结论,我们有如下探寻AABC(其中44、ZB.NC均小于120。)的费马点和费马距离的
方法:
第一步:如图(D),在AABC的外部以3c为边长作等边ABCD及其外接圆;
第二步:在3c上任取一点P,连接PA、P'B,PC、PD.易知户4+尸缶+尸,。=「4+(尸\8+9。)=尸的+
PD_;
第三步:请你根据(1)①中定义,在图(D)中找出AABC的费马点尸,并请指出线段—的长度即为AABC
的费马距离.
B,
X.I
PD
(图C)(®D)
(3)知识应用:
2010年4月,我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象,许多村庄出现了人、畜饮水困难,为解决老百姓
的饮水问题,解放军某部来到云南某地打井取水.
已知三村庄A、B、C构成了如图(E)所示的AA5C(其中/4、ZB、/C均小于120。),现选取一点尸
打水井,使从水井P到三村庄A、B,。所铺设的输水管总长度最小,求输水管总长度的最小值.
【分析】(2)知识迁移①问,只需按照题意套用托勒密定理,再利用等边三角形三边相等,将所得等式两
边都除以等边三角形的边长,即可获证.②问,借用①问结论,及线段的性质“两点之间线段最短”数学
容易获解.
(3)知识应用,在(2)的基础上先画出图形,再求解.
【解答】(2)①证明:由托勒密定理可知P-AC+PC-至=
•.♦AA5C是等边三角形
AB=AC—BC,
:.PB+PC=PA,
②PD、AD,
(3)解:如图,以3c为边长在AABC的外部作等边ABCD,连接AD,则知线段AD的长即为最短距离.
••,ABCD为等边三角形,BC=4,
:.ZCBD=6O°,BD=BC=4,
■.■ZABC=30°,:.ZABD=90°,
在RtAABD中,-.-AB^3,BD=4,
AD=A/AB2+BD2=>/32+42=5(km),
,从水井尸到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度的最小值为
3km
D
【点评】此题是一个综合性很强的题目,主要考查等边三角形的性质、三角形相似、解直角三角形等知识.难
度很大,有利于培养同学们钻研问题和探索问题的精神.
X压轴能力测评
1.(连城县期中)(1)如图1,点F是等边AABC内一点,已知B4=3,PB=4,PC=5,求/铲5的度
数.
要直接求Z4的度数显然很困难,注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数,因此考虑借助旋转把这三边集
中到一个三角形内,如图2,作NR4D=60。使连接PD,CD,则AR4D是等边三角形.
=AD=AP=3,ZADP=ZPAD=60°
AABC是等边三角形
:.AC=AB,ABAC=60°
.\ZBAP=
:.AABP=AACD
.\BP=CD=4,=ZADC
•.在APCD中,PD=3,PC=5,CD=4,PD1+CD1=PC2
:.ZPDC=°
.\ZAPB=ZADC=ZADP+ZPDC=600+90°=150°
(2)如图3,在AABC中,AB=BC,ZABC=90°,点F是AABC内一点,PA=1,PB=2,PC=3,
求NAPS的度数.
AAA
B
图1图2
【分析】(1)如图2,作440=60。使AD=AP,连接PD,CD,则是等边三角形.只要证明
AABP=^ACD(SAS),推出3P=CD=4,ZAPB^ZADC,再利用勾股定理的逆定理即可解决问题;
(2)把AE4c绕4点逆时针旋转90。得到ADS4,如图,想办法证明ABPD是等腰三角形即可解决问题;
【解答】解:(1)如图2,作NR4D=60。使AD=",连接PD,CD,则AR4D是等边三角形.
:.PD=AD=AP^3,ZADP=ZPAD=GO0,
•.,AABC是等边三角形,
:.AC=AB,Zfi4c=60°,
:.ZBAP=ACAD,
:.\ABP=\ACD{SAS),
.-.BP=CD=4,ZAPB^ZADC
•.•在APCD中,PD=3,PC=5,CD=4,PD2+CD2=PC2
:.ZPDC=9Q°
:.ZAPB=ZADC=ZADP+ZPDC=600+90°=150°
故答案为:PD,ACAD,ZAPB,90.
(2)解:-.-ZABC=90°,BC=AB,
.•.把M4C绕A点逆时针旋转90。得到ADB4,如图,
:.BD=PC=3,AD=AP=2,ZPAD=90°,
.•.ARAD为等腰直角三角形,
:.DP=42PA=2>j2,ZDPA=45°,
在中,PB=2,PD=2-j2,DB=3,
•.•F+(2点y=32,
:.AP-+PET=BU,
为直角三角形,
:.ZBPD=90°,
ZAPB=ZAPD+ZDPB=900+45°=135°.
R
【点评】本题考查旋转变换、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理以及逆定理等知识,
解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线,构造全等三角形解决问题.
2.(西城区校级期中)如图,尸是等边AABC内的一点,且E4=5,PB=4,PC=3,将AAPB绕点6逆
时针旋转,得到求:
(1)点P与点。之间的距离;
(2)求/3尸。的度数.
【分析X1)连接P。,如图,根据等边三角形得性质得ZABC=60°,BA=BC,再利用旋转的性质得BP=BQ,
ZPBQ=ZABC=60°,CQ=AP=5,BP=BQ=4,ZPBQ=60°,于是可判断AP3。是等边三角形,所以
PQ=PB=4;
(2)先利用勾股定理的逆定理证明APCQ是直角三角形,且NQPC=90。,再加上NBPQ=60。,然后计算
NBPQ+NQPC即可.
【解答】解:(1)连接P。,如图,
AABC是等边三角形
.-.ZABC=60°,BA=BC,
\QCB是ARAB绕点B逆时针旋转得到的,
:.BP=BQ,ZPBQ=ZABC=60°,CQ=AP=5,
-.BP=BQ=4,ZPBQ=60°,
,APB。是等边三角形,
PQ=PB=4;
(2)-.^0=5,PC=3,PQ=4,
而3?+4?=5?,
PC2+PQ2=CQ2,
,APCQ是直角三角形,且NQPC=90。,
•.•AP3Q是等边三角形,
:.ZBPQ=6f)°,
Z.BPC=ZBPQ+ZQPC=60°+90°=150°.
【点评】本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于
旋转角;旋转前、后的图形全等.也考查了等边三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理.
3.(汉阳区期中)如图,尸是等腰AABC内一点,AB=BC,连接上4,PB,PC.
(1)如图1,当NA5C=90。时,将AR46绕3点顺时针旋转90。,画出旋转后的图形;
(2)在(1)中,若以=2,PB=4,PC=6,求NAPB的大小;
(3)当NABC=60。时,且E4=3,PB=4,PC=5,则AAPC的面积是?道+3(直接填答案)
~4-
【分析】(1)由钻=3C,4BC=90。可知点4旋转到点C,在BC的下方过点3作3P的垂线,并且在
垂线上截取叱=3尸,则P,为点尸绕3点顺时针旋转90。以后的对应点,△PCB即为所求;
(2)连接PP,求出APBP是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得PP=4夜,N3P尸=45。,
再利用勾股定理逆定理求出ZCPP=90°,然后计算即可得解;
(3)根据全等三角形的面积相等求出AAP3与AAPC的面积之和等于四边形APC4的面积,然后根据等边
三角形的面积与直角三角形的面积列式计算即可得解,同理求出AABP和ABPC的面积的和,AAPC和
ABPC的面积的和,从而求出AABC的面积,然后根据ABPC的面积=AABC的面积-AAPB与AAPC的面
积的和计算即可得解.
【解答】解:(1)如图1所示,△PCB即为所求;
B
P'
图1
(2)如图2,连接PP.
•.•将绕3点顺时针旋转90。,与△PCB重合,
:ZABMPCB,ZPBP=90°,
:.BP=BP,ZAPB=NCPB,AP=CP=2,
是等腰直角三角形,
:.PP=4iPB=4及,NBPP=45°.
在ACP产中,PP'=442,CP=2,PC=6,
PF-+CP2=PC2,
△CPP是直角三角形,ZCPP=90°,
ZCPB=ZBPP+ZCPP=45°+90°=135°;
(3)如图3①,将AR4B绕A点逆时针旋转60。得到△片AC,连接
:.^APB=/\APXC,
AP=APt,ZPAP^=60°,Cq=BP=4,
是等边三角形,
/.PPX=AP=3,
・.・CP=5,%=4,PR=3,
PP,+C邛=CP?,
;.△飞尸是直角三角形,NC[P=90。,
.C_1236_c12一
S
一MPPI=5x3x,s^mc=-x3x4=6,
.Sr一双1+6
r
••Q四边形APCP1一°AAPP1十°APP1C――10;
-.-^APB^/\APXC,
S战BP+S^APC=S四边形APCPI=+6;
如图3②,同理可求:AABP和ABPC的面积的和=Lx4x述+工*3x4=4若+6,
222
^4/5。和她「。的面积的和=1><5'述+1><3*4=^^+6,
2224
.•.^450的面积=;(竽+6+44+6+亨道+6)=年39,
AAPC的面积=AABC的面积—AAPB与ABPC的面积的和=(竺叵+9)-(4百+6)=2叵+3.
故答案为名叵+3.
图3①
【点评】本题考查了旋转的性质:旋转前后两图形全等;对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中
心的连线段的夹角等于旋转角.也考查了勾股定理的逆定理以及等腰直角三角形的判定与性质,三角形的
面积,其中(3)较为复杂,求出AA5c的面积是解题的关键.
4.(汉阳区期中)(1)阅读证明
①如图1,在AABC所在平面上存在一点尸,使它到三角形三顶点的距离之和最小,则称点尸为AABC的费
马点,此时上4+PB+尸C的值为A
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