2024-2025学年沪科版九年级数学上册期末冲刺复习：三角函数与四类特殊图形（相似三角形、圆、抛物线、双曲线）（原卷版）

专题16三角函数与四类特殊图形

（相似三角形、圆、抛物线、双曲线）

目录

解题知识必备.....................................................................1

压轴题型讲练....................................................................2

类型一、三角函数与相似三角形....................................................2

类型二、三角函数与圆............................................................4

类型三、三角函数与抛物线........................................................6

类型四、三角函数与双曲线........................................................8

压轴能力测评...................................................................10

X解题知识必备”

解题

名称定义几何语育1

在RtA4»C中，4C=900.乙4

在RtA4^C中，

的对边与斜边的比叫做乙4的

Z.C=90°tsinA=

正弦正弦.记作sin4,即sinA=

a

乙4的对边

斜边

在RtAABC中，Z_C=90°,44

在RtAABC中，

的邻边与斜边的比叫做乙A的,/必a，,斜边

Z.C=90°,cosA=4人的对边。

余弦余弦，记作cosA,即cosA=

bCbA

乙4的邻边

c的邻边

斜边4Z

■

在RtAABC中，ZLC=90°,44

在RtZ\48C中，

的对边与邻边的比叫做乙4的

Z-C=90°,tanA=

正切正切，记作tanA.即tanA=

a

44的对边

Z.A的我边

1.30。,45。,60。角的三角函数值

如下表：

6001

锐角a

30°45°

三角函数

1巨

sinaT____?____

1

cosa

2T

tana叵1）3

3..；

2.记忆30。,45。,60。角的三角函数值的方法

(1)数形结合记忆法：由定义结合图形可得特殊角的三角函数值•

(2)特殊值记忆法：30。,45。,60。角的正弦值依次为当孝，李

30。,45。,60。角的余弦值依次为与，专专.

30。,45。,60。角的正切值依次为,，亭，冬

(3)口诀记忆法2.3：3.2,1；3.9,27；弦比2,切比3,分子根号别忘添.

“压轴题型讲练♦♦

类型一、三角函数与相似三角形

把锐角三角函数与相似三角形的判定与性质结合考察，掌握相似三角形的判定与性质.平行线分线段成比

例定理，勾股定理，锐角三角函数定义等进行求线段长或者比例问题。

例.如图，点E是矩形ABC。中边上一点，将0ADE沿AE折叠，点。恰好落在BC边F处.

⑴写出图中一定相似的三角形，并证明.

⑵若图中的相似三角形超过2对，试求这样的矩形两邻边，即哭的值.

【变式训练如图，已知MBC,0BAC=9O-

（1）尺规作图：过点A作一条直线交BC于D,使其将国ABC分成两个相似三角形（保留作图痕迹，不写作

法）;

4

(2)若AD=4,tanEIBAD=-,求CD的长

3

【变式训练2].如图，0AOB=9O°,OA=OB,C为的中点，。为A。上点，连结AC、BD交于点P,

过点C作CE//交2D于点E.

（1）问题发现

Ap

当。为A。的中点时，通过图中的相似三角形,可以发现正（填数值）;

（2）拓展探究

当强=*求:

①整的值，

②直接写出tanBBPC的值.

A

【变式训练3】.在七年级第二学期14.7这一章节的课后练习部分，我们学习了以平习题，如图，己知2、

C、E在一直线上，VA2C和△£）色都是等边三角形，联结AE、3D,试说明A4CE和△3CD全等的现由.现

在我们已经学习了相似三角形、锐角的三角比这两章节的内容.在此基础上我们继续探究：已知，

ACE=BCD,AC与BD交于点F.

(2)若3C=3,CE=6,求/AB尸的正弦值.

类型二、三角函数与圆

圆的性质、三角形外角的性质、全等三角形判定与性质、勾股定理、平行线等分线段定理等，在涉及比例

问题时，往往把比例和三角函数的概念结合。求三角函数值也会结合相似三角形，当然也离不开直角三角

形，需要构造时进行作垂线、连直径等方法构造。

例.如图，在VABC中，=圆。是VA3C的外接圆，B0的延长线交边AC于D

⑴当△BCD是等腰三角形时，求：NBCD的余弦值;

(2)当4D=2,CD=3时，求：边的长.

【变式训练1】.如图，已知反比例函数y=±(x>0)与正方形ABCO交于点M,NQ,®,连接ON,以

X

点。为圆心，ON长为半径作四分之一圆，分别交x轴，y轴正半轴于点。，E.

(1)求反比例函数的解析式；

⑵求证：BM=BN；

⑶如图所示，阴影部分面积和：Sl+s2+s3=

【变式训练2].如图，中，ZACB=90°,在边AC上取一点。，以。为圆心，A0为半径作圆,

分别交AB、AC于点。、E,连接DE、DC,ZDCB=2ZA.

(2)若tanA=；,BC=5,求△DBC的面积.

【变式训练3].如图，A3是，：。的直径，点C是圆上的一点，CDJ_AT(于点。，A。交；。于点连接

AC,若AC平分过点/作FG1AB于点G,交AC于点H,延长AB,DC交于点E.

(1)求证：CD是一。的切线；

(2)求证：AFAC=AEAH-,

⑶若sin/。E4=2,求空的值.

5FH

类型三、三角函数与抛物线

锐角三角函数在于二次函数结合考察时，有时是直接根据图形求三角函数值，只需要直接找出或者转化等

角的三角函数值；还有一种是根据三角函数的思想求出线段的长，往往和相似进行结合较多。

例.如图，直线/：y=x+6与坐标轴分别交于点A,c,抛物线L：y="2-2%+C经过点3(2,0)和点C,

其顶点为M，对称轴与x轴交于点H,点尸是抛物线工上的一点，设点P的横坐标为加

»niM

(1)求抛物线L的解析式，并经过计算判断抛物线L是否经过点A.

(2)若点尸介于点M,B之间(包括端点)，点。与点尸关于对称轴对称，作DE〃y轴，交/于点E.

①当m=1时，求。E的长；

②若OE的长随机的增大而增大，求机的取值范围.

⑶若点P在第二象限，京季写出点尸与直线/距离的最大值.

【变式训练11.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=+6X+C与X轴交于点A。。)和点2,与y

轴交于点。(0，-4),点尸是抛物线上的动点(不与点A,8,C重合).设点尸的横坐标为见过点尸作

轴，垂足为点D

⑴求这条抛物线的函数解析式；

⑵若点P在第三象限，且tan/CPD=2,求机的值；

⑶连接PC,直线尸。交直线BC于点E,当点E关于直线PC的对称点引落在y轴上时，求机的值.

【变式训练2】.如图1,一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置。4,A处的喷头向外喷水,

水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平

(1)柱子。4的高度是多少米？若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池

外？

(2)如图2,为了吸引更多的游客前来参观游玩，准备在水池的边缘增设彩光灯，彩光灯的底座为RtZXBCD形

状，其中BC边在地面上，点C离柱子的距离为2.1米，NCBD=90°,灯孔尸在CD边上，灯孔尸离地面的距

离为:米，若水流恰好落在灯孔尸处，求tan/OCB的值.

【变式训练3】.如图，已知抛物线>=依2+灰+5经过4（一5,0）、-3）两点，与x轴的另一个交点为C,

顶点为£>,连接CD,点P为抛物线上一动点.

⑴求抛物线的表达式.

（2）若点P在直线2C的下方运动时，过点尸作PEL3c交于点E,过点尸作y轴的平行线交直线BC于点尸.求

!PEF周长的最大值及此时点尸的坐标.

⑶在该抛物线上是否存在点P,使得NP3C=NBCD若存在，求出所有点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

类型四、三角函数与双曲线

三角函数与双曲线进行结合的时候，往往根据三角函数的比例求线段长；当然也离不开直角三角形

的，利用直角三角形结合锐角三角函数进行求值。

4

例.已知直线y=]X+4a（a〉0）与x轴交于点A,与y轴交于点B.

⑴直接写出A、B两点的坐标（用含有〃的代数式表示）；

（2）当。=1时，在双曲线y=3位于直线43下方的图象上找一点。，使得5血0=4,求出点。的坐标；

X

⑶点C在y轴上，坐标为（o,na）,且直线y=区+怖左-7（%#0）过一定点（%-7）,试判断WC-2NtMC的

值是否会发生变化.若不变化，请求出该值；若变化，请说明理由.

【变式训练1】.如图，直线%=区+6与双曲线必=@相交于&、2两点，直线与％轴相交于点C，点2

X

3

的坐标是（3帆m）,Q4=5,E为x轴正半轴上一点，且cosNAOEng.

⑴双曲线力的解析式是_，直线力的解析式是

（2）求证：S/XAOB=3s△C08.

⑶当时，X的取值范围是

【变式训练21.如图，在平面直角坐标系xOv中，点4（1,2）在双曲线％=彳（女产0）上，点3在双曲线

%=坛化。。）上，且满足Q4~LO5,连接A3.

⑴求双曲线X=勺左尸0）的表达式;

（2）右tanNOA5=,求％2的值.

【变式训练3】.如图，抛物线丁=尔+云+3与％轴交于A、3两点（A在3的左边），与y轴交于C,

tanZC4B=3；双曲线y="（左w0）经过抛物线丁=〃X2+"+3的顶点。，点。的横坐标为1.

x

⑴求抛物线和双曲线的解析式.

(2)点尸为抛物线上一动点，且在第一象限，连接3RCP,求当四边形ABPC取得最大值时，点P的坐标,

并求出这个最大值.

⑶若在此抛物线和双曲线上存在点。，使得。=。。，请求出点。的坐标.

”压轴能力测评“

1.如图，直线y=x+6的双曲线y=:(x<0)交于点A(-l,-5),并分别与x轴、y轴交于点C、B.

(1)求b、m的值

⑵连接求一。钻的正切值；

⑶点。在无轴的正半轴上，若以点。、C、B组成的三角形与△Q4B相似，试求点。的坐标.

2.如图，一次函数>=履+2的图象与x轴交于点A(-4,0),与反比例函数>='的图象交于点C(-6,c).

⑴求反比例函数的表达式及点8的坐标；

⑵当代+时，直接写出x的取值范围;

⑶在双曲线y='上是否存在点尸，使是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点尸的坐标;

X

若不存在，请说明理由.

3.如图所示，直线>=尤彳+。与双曲线y=2交于A、8两点，已知点8的纵坐标为-6,直线与x轴交

X

于点C,与，轴交于点£>(O,-4),Q4=26，tanZAOC=1.

(1)求直线的解析式；

(2)若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点，AOCP的面积是的面积的2倍，求点P的坐标;

⑶直接写出不等式5+%<$的解集.

X

4.如图，在平面直角坐标系中，直线、=履+2与无轴交于点力(一4,0),与y轴交于点B,抛物线y=ad+方无+。

经过48两点，与无轴的另一个交点为C(1,O).

图1备用图

(1)求抛物线的解析式.

(2)D为直线AB上方抛物线上一动点.

①连接交A3于点E,若DE:DO=3:7,求点。的坐标；

②是否存在点。，使得乙阳4的度数恰好是的2倍？如果存在，请求出点。的坐标；如果不存在,

请说明理由.

5.如图，已知抛物线y=依2+3%+°经过40,4)和8(*-§两点，与x轴交于M、N两点(N在M的右侧),

直线A3与x轴相交于点C,尸是直线A3上方的抛物线上的一个动点，轴交AB于点。.

⑴求该