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文档简介
专题16三角函数与四类特殊图形
(相似三角形、圆、抛物线、双曲线)
目录
解题知识必备.....................................................................1
压轴题型讲练....................................................................2
类型一、三角函数与相似三角形....................................................2
类型二、三角函数与圆............................................................4
类型三、三角函数与抛物线........................................................6
类型四、三角函数与双曲线........................................................8
压轴能力测评...................................................................10
X解题知识必备”
解题
名称定义几何语育1
在RtA4»C中,4C=900.乙4
在RtA4^C中,
的对边与斜边的比叫做乙4的
Z.C=90°tsinA=
正弦正弦.记作sin4,即sinA=
a
乙4的对边
斜边
在RtAABC中,Z_C=90°,44
在RtAABC中,
的邻边与斜边的比叫做乙A的,/必a,,斜边
Z.C=90°,cosA=4人的对边。
余弦余弦,记作cosA,即cosA=
bCbA
乙4的邻边
c的邻边
斜边4Z
■
在RtAABC中,ZLC=90°,44
在RtZ\48C中,
的对边与邻边的比叫做乙4的
Z-C=90°,tanA=
正切正切,记作tanA.即tanA=
a
44的对边
Z.A的我边
1.30。,45。,60。角的三角函数值
如下表:
6001
锐角a
30°45°
三角函数
1巨
sinaT____?____
1
cosa
2T
tana叵1)3
3..;
2.记忆30。,45。,60。角的三角函数值的方法
(1)数形结合记忆法:由定义结合图形可得特殊角的三角函数值•
(2)特殊值记忆法:30。,45。,60。角的正弦值依次为当孝,李
30。,45。,60。角的余弦值依次为与,专专.
30。,45。,60。角的正切值依次为,,亭,冬
(3)口诀记忆法2.3:3.2,1;3.9,27;弦比2,切比3,分子根号别忘添.
“压轴题型讲练♦♦
类型一、三角函数与相似三角形
把锐角三角函数与相似三角形的判定与性质结合考察,掌握相似三角形的判定与性质.平行线分线段成比
例定理,勾股定理,锐角三角函数定义等进行求线段长或者比例问题。
例.如图,点E是矩形ABC。中边上一点,将0ADE沿AE折叠,点。恰好落在BC边F处.
⑴写出图中一定相似的三角形,并证明.
⑵若图中的相似三角形超过2对,试求这样的矩形两邻边,即哭的值.
【变式训练如图,已知MBC,0BAC=9O-
(1)尺规作图:过点A作一条直线交BC于D,使其将国ABC分成两个相似三角形(保留作图痕迹,不写作
法);
4
(2)若AD=4,tanEIBAD=-,求CD的长
3
【变式训练2].如图,0AOB=9O°,OA=OB,C为的中点,。为A。上点,连结AC、BD交于点P,
过点C作CE//交2D于点E.
(1)问题发现
Ap
当。为A。的中点时,通过图中的相似三角形,可以发现正(填数值);
(2)拓展探究
当强=*求:
①整的值,
②直接写出tanBBPC的值.
A
【变式训练3】.在七年级第二学期14.7这一章节的课后练习部分,我们学习了以平习题,如图,己知2、
C、E在一直线上,VA2C和△£)色都是等边三角形,联结AE、3D,试说明A4CE和△3CD全等的现由.现
在我们已经学习了相似三角形、锐角的三角比这两章节的内容.在此基础上我们继续探究:已知,
ACE=BCD,AC与BD交于点F.
(2)若3C=3,CE=6,求/AB尸的正弦值.
类型二、三角函数与圆
圆的性质、三角形外角的性质、全等三角形判定与性质、勾股定理、平行线等分线段定理等,在涉及比例
问题时,往往把比例和三角函数的概念结合。求三角函数值也会结合相似三角形,当然也离不开直角三角
形,需要构造时进行作垂线、连直径等方法构造。
例.如图,在VABC中,=圆。是VA3C的外接圆,B0的延长线交边AC于D
⑴当△BCD是等腰三角形时,求:NBCD的余弦值;
(2)当4D=2,CD=3时,求:边的长.
【变式训练1】.如图,已知反比例函数y=±(x>0)与正方形ABCO交于点M,NQ,®,连接ON,以
X
点。为圆心,ON长为半径作四分之一圆,分别交x轴,y轴正半轴于点。,E.
(1)求反比例函数的解析式;
⑵求证:BM=BN;
⑶如图所示,阴影部分面积和:Sl+s2+s3=
【变式训练2].如图,中,ZACB=90°,在边AC上取一点。,以。为圆心,A0为半径作圆,
分别交AB、AC于点。、E,连接DE、DC,ZDCB=2ZA.
(2)若tanA=;,BC=5,求△DBC的面积.
【变式训练3].如图,A3是,:。的直径,点C是圆上的一点,CDJ_AT(于点。,A。交;。于点连接
AC,若AC平分过点/作FG1AB于点G,交AC于点H,延长AB,DC交于点E.
(1)求证:CD是一。的切线;
(2)求证:AFAC=AEAH-,
⑶若sin/。E4=2,求空的值.
5FH
类型三、三角函数与抛物线
锐角三角函数在于二次函数结合考察时,有时是直接根据图形求三角函数值,只需要直接找出或者转化等
角的三角函数值;还有一种是根据三角函数的思想求出线段的长,往往和相似进行结合较多。
例.如图,直线/:y=x+6与坐标轴分别交于点A,c,抛物线L:y="2-2%+C经过点3(2,0)和点C,
其顶点为M,对称轴与x轴交于点H,点尸是抛物线工上的一点,设点P的横坐标为加
»niM
(1)求抛物线L的解析式,并经过计算判断抛物线L是否经过点A.
(2)若点尸介于点M,B之间(包括端点),点。与点尸关于对称轴对称,作DE〃y轴,交/于点E.
①当m=1时,求。E的长;
②若OE的长随机的增大而增大,求机的取值范围.
⑶若点P在第二象限,京季写出点尸与直线/距离的最大值.
【变式训练11.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=+6X+C与X轴交于点A。。)和点2,与y
轴交于点。(0,-4),点尸是抛物线上的动点(不与点A,8,C重合).设点尸的横坐标为见过点尸作
轴,垂足为点D
⑴求这条抛物线的函数解析式;
⑵若点P在第三象限,且tan/CPD=2,求机的值;
⑶连接PC,直线尸。交直线BC于点E,当点E关于直线PC的对称点引落在y轴上时,求机的值.
【变式训练2】.如图1,一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置。4,A处的喷头向外喷水,
水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,按如图所示的直角坐标系,水流喷出的高度y(m)与水平
(1)柱子。4的高度是多少米?若不计其他因素,水池的半径至少为多少米,才能使喷出的水流不至于落在池
外?
(2)如图2,为了吸引更多的游客前来参观游玩,准备在水池的边缘增设彩光灯,彩光灯的底座为RtZXBCD形
状,其中BC边在地面上,点C离柱子的距离为2.1米,NCBD=90°,灯孔尸在CD边上,灯孔尸离地面的距
离为:米,若水流恰好落在灯孔尸处,求tan/OCB的值.
【变式训练3】.如图,已知抛物线>=依2+灰+5经过4(一5,0)、-3)两点,与x轴的另一个交点为C,
顶点为£>,连接CD,点P为抛物线上一动点.
⑴求抛物线的表达式.
(2)若点P在直线2C的下方运动时,过点尸作PEL3c交于点E,过点尸作y轴的平行线交直线BC于点尸.求
!PEF周长的最大值及此时点尸的坐标.
⑶在该抛物线上是否存在点P,使得NP3C=NBCD若存在,求出所有点尸的坐标;若不存在,请说明理由.
类型四、三角函数与双曲线
三角函数与双曲线进行结合的时候,往往根据三角函数的比例求线段长;当然也离不开直角三角形
的,利用直角三角形结合锐角三角函数进行求值。
4
例.已知直线y=]X+4a(a〉0)与x轴交于点A,与y轴交于点B.
⑴直接写出A、B两点的坐标(用含有〃的代数式表示);
(2)当。=1时,在双曲线y=3位于直线43下方的图象上找一点。,使得5血0=4,求出点。的坐标;
X
⑶点C在y轴上,坐标为(o,na),且直线y=区+怖左-7(%#0)过一定点(%-7),试判断WC-2NtMC的
值是否会发生变化.若不变化,请求出该值;若变化,请说明理由.
【变式训练1】.如图,直线%=区+6与双曲线必=@相交于&、2两点,直线与%轴相交于点C,点2
X
3
的坐标是(3帆m),Q4=5,E为x轴正半轴上一点,且cosNAOEng.
⑴双曲线力的解析式是_,直线力的解析式是
(2)求证:S/XAOB=3s△C08.
⑶当时,X的取值范围是
【变式训练21.如图,在平面直角坐标系xOv中,点4(1,2)在双曲线%=彳(女产0)上,点3在双曲线
%=坛化。。)上,且满足Q4~LO5,连接A3.
⑴求双曲线X=勺左尸0)的表达式;
(2)右tanNOA5=,求%2的值.
【变式训练3】.如图,抛物线丁=尔+云+3与%轴交于A、3两点(A在3的左边),与y轴交于C,
tanZC4B=3;双曲线y="(左w0)经过抛物线丁=〃X2+"+3的顶点。,点。的横坐标为1.
x
⑴求抛物线和双曲线的解析式.
(2)点尸为抛物线上一动点,且在第一象限,连接3RCP,求当四边形ABPC取得最大值时,点P的坐标,
并求出这个最大值.
⑶若在此抛物线和双曲线上存在点。,使得。=。。,请求出点。的坐标.
”压轴能力测评“
1.如图,直线y=x+6的双曲线y=:(x<0)交于点A(-l,-5),并分别与x轴、y轴交于点C、B.
(1)求b、m的值
⑵连接求一。钻的正切值;
⑶点。在无轴的正半轴上,若以点。、C、B组成的三角形与△Q4B相似,试求点。的坐标.
2.如图,一次函数>=履+2的图象与x轴交于点A(-4,0),与反比例函数>='的图象交于点C(-6,c).
⑴求反比例函数的表达式及点8的坐标;
⑵当代+时,直接写出x的取值范围;
⑶在双曲线y='上是否存在点尸,使是以点A为直角顶点的直角三角形?若存在,求出点尸的坐标;
X
若不存在,请说明理由.
3.如图所示,直线>=尤彳+。与双曲线y=2交于A、8两点,已知点8的纵坐标为-6,直线与x轴交
X
于点C,与,轴交于点£>(O,-4),Q4=26,tanZAOC=1.
(1)求直线的解析式;
(2)若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点,AOCP的面积是的面积的2倍,求点P的坐标;
⑶直接写出不等式5+%<$的解集.
X
4.如图,在平面直角坐标系中,直线、=履+2与无轴交于点力(一4,0),与y轴交于点B,抛物线y=ad+方无+。
经过48两点,与无轴的另一个交点为C(1,O).
图1备用图
(1)求抛物线的解析式.
(2)D为直线AB上方抛物线上一动点.
①连接交A3于点E,若DE:DO=3:7,求点。的坐标;
②是否存在点。,使得乙阳4的度数恰好是的2倍?如果存在,请求出点。的坐标;如果不存在,
请说明理由.
5.如图,已知抛物线y=依2+3%+°经过40,4)和8(*-§两点,与x轴交于M、N两点(N在M的右侧),
直线A3与x轴相交于点C,尸是直线A3上方的抛物线上的一个动点,轴交AB于点。.
⑴求该
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