2023年中考数学 热点试题

热点试题

一、单选题

1.（2022•浙江衢州•模拟预测）为贯彻落实觉中央、国务院关于推进城乡义务教育一体化发展的部署，教育

部会同有关部门近五年来共新建、改扩建校舍186000000平方米，其中数据186000000用科学记数法表示

是（）

A.1.86xl07B.18.6xl08C.1.86xl08D.1.86xl09

【答案】C

【解析】

【分析】

科学记数法的表示形式为axion的形式，其中k|a|<10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，

小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值210时，n是非负数；当原数的

绝对值<1时，n是负数.

【详解】

将186000000用科学记数法表示为：1.86X108.

故选C.

【点睛】

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axion的形式，其中k|a|<10,n为整数，表

示时关键要正确确定a的值以及n的值.

2.（2022•江苏,江阴市周庄中学一模）一2022的相反数是（）

【答案】B

【解析】

【分析】

根据相反数的定义求解即可.

【详解】

解：-2022的相反数是2022,故B正确.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键.

3.（2022•上海•模拟预测）二次根式67两与6是同类二次根式，则x的最小正整数为（）

【答案】A

【解析】

【分析】

把x=4、5、6、-1分别代入后百进行计算并且化简，根据同类二次根式的定义和题目要求即可得到答

案.

【详解】

解:A.x=4时，y/5x+8=728=277,与V7是同类二次根式，故此项正确，符合题意；

B.x=5时，而两=屈，与正是不同类二次根式，故此项错误，不符合题意；

C.x=6时，&7聪=回，与正是不同类二次根式，故此项错误，不符合题意；

D.%=时，而两=近，与近是不同类二次根式，但-g不是正整数，故此项错误，不符合题意.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了同类二次根式的定义，化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二

次根式，理解同类二次根式的定义是解答关键.

4.（2022•湖北鄂州•模拟预测）中国在夏代就出现了相当于祛码的"权"，此后的4000多年间，不同朝代有不

同形状和材质的"权"作为衡量的量具.下面是一个"C"形增坨祛码,其俯视图如下图所示，则其主视图为（）

【答案】A

【解析】

【分析】

根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案.

【详解】

从正面看中间的矩形的左右两边是虚的直线，

故选：A.

【点睛】

本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图.

5.（2022・河南•模拟预测）下列计算正确的是（

A.a2-«4=asB.（。匕3）=C

C.（a+2b）（a-2b）=-26~D.（a+Z?）=a2+b2

【答案】B

【解析】

【分析】

根据同底数幕相乘，底数不变指数相加；幕的乘方，底数不变指数相乘；平方差公式；完全平方公式对各

选分析后利用排除法求解.

【详解】

解：A、°2.°4=/原计算错误，该选项不符合题意；

B、正确，该选项符合题意；

C、-26）=片一4"原计算错误，该选项不符合题意；

D、（。+6）2="+2。6+廿原计算错误，该选项不符合题意；

故选:B.

【点睛】

本题考查了同底数基的乘法的性质，累的乘方的性质，平方差公式，完全平方公式，熟记各运算性质与公

式是解题的关键.

6.（2022•江苏南通•模拟预测）已知a〃儿将等腰直角三角形ABC按如图所示的方式放置，其中锐角顶点B,

直角顶点C分别落在直线a,b上，若Nl=15。，则N2的度数是（）

【解析】

【分析】

利用等腰直角三角形的定义求N3,再由平行线的性质求出N2即可.

【详解】

如图，

VAABC是等腰直角三角形,

Zl+Z3=45",

"1=15°,

AZ3=30°,

；a〃b,

AZ2=Z3=30",

故选C.

【点睛】

本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识.

7.（2022・江苏•模拟预测）如果。、b是方程x2-3x+l=0的两根，那么代数式。2+2〃一3匕的值为（）

A.6B.-6C.7D.-7

【答案】A

【解析】

【分析】

根据。与b为方程的解，利用根与系数的关系求出a+b与ab的值，且将x=b代入方程得到b2-3b的值，原

式变形后将各自的值代入计算即可求出值.

【详解】

解：：。、b是方程x2-3x+l=0的两根，

.,.a+b=3,ab=l,且b2-3b=-l,

则原式=。2+62+62-36=（a+b）2-2ab+b2-3b=9-2-l=6.

故选A.

【点睛】

此题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，熟练掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数

的值是解题的关键.

8.（2022•福建宁德•一模）如图，在AABC中，AB=AC=5,BC=8,D是线段BC上的动点（不含端点B,C）.若

线段AD长为正整数，则点D的个数共有（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

【答案】C

【解析】

【详解】

试题分析：过A作AE_LBC于E,：AB=AC=5,BC=8,二BE=EC=4,二AE=3,D是线段BC上的动点（不含

端点B,C）,.'.AE<AD<AB,即34AD<5,：AD为正整数，AD=3或AD=4,当AD=4时，E的左右两边各

有一个点D满足条件，.•.点D的个数共有3个.故选C.

考点：等腰三角形的性质；勾股定理.

9.（2022•广东江门•模拟预测）函数>=工和丁=履-左（k*0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）

【答案】B

【解析】

【分析】

假设法和排除法：若则k>0,根据反比例函数的图象所处的象限、一次函数图象的特征一一加以排除，

剩下的一个则是正确的；若还不能一一加以排除，再假设再逐一排除即可.

【详解】

若-k<0,k>0,

则反比例函数的图象分别在第二、四象限，故可排除A、B、C选项；

一次函数片kx-k随自变量的增大而增大，所以A、C、D选项可排除；不合题意；

若-k>0,k<0,

则反比例函数的图象分别在第一、三象限，故可排除D选项；

一次函数y=kx-k随自变量的增大而减小，所以C选项可排除；

当x=0时，y=kx-k=-k,即直线与y轴的交点为（0,-k）,此点在y轴的正半轴上，故A选项可排除；

因而B选项正确.

故选：B

【点睛】

本题根据一次函数和反比例函数的解析式确定一次函数的图象和反比例函数的图象，关键是熟练掌握两类

函数的性质.

10.（2022•北京市师达中学模拟预测）图书馆将某一本书和某一个关键词建立联系，规定：当关键词4出

现在书切中时，元素助=1,否则。「=0（3_/为正整数）.例如：当关键词4出现在书中时，ai4=l,

否则如4=0.根据上述规定，某读者去图书馆寻找书中同时有关键词幺2,4,4”的书，则下列相关表述错

误的是（）

A.当。2[+。5]+。6]=3时，选择&这本书

B.当022+052+062<3时，不选择B2这本书

C.当可，a5j,aej全是1时，选择Bj这本书

D.只有当句+<75/+<旬=0时，才不能选择8/这本书

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意的的值要么为1,要么为0,当关键词4出现在书B/中时，元素前•=1,否则丽=05/为正整

数），按照此规定对每个选项分析推理即可.

【详解】

解：根据题意的的值要么为工，要么为0,

A、021+051+061=3,说明。21=1,a51=1,061=1,故关键词幺2,4,4”同时出现在书&中，而读者去图书

馆寻找书中同时有关键词"4，4,4”的书，故A表述正确；

B、当。22+。52+。62<3时，则<722、。52、。62时必有值为0的，即关键词以2,As,4”不同时具有，从而不选择

历这本书，故B表述正确；

C、当c/2j,a5j,。「全是1时，则函=1,g=l,⑻=1,故关键词"4,As,4"同时出现在书句中，则选

择B/这本书，故C表述正确；

D、根据前述分析可知，只有当。2/+。可+。。=3时，才能选择B/这本书，而/的值可能为0、1、2、

3,故。表述错误，符合题意.

故选：D.

【点睛】

本题考查了推理与论证，读懂题意，按照规定进行计算与推理是解题的关键.

二、填空题

11.（2022•浙江•舟山市普陀第二中学一模）2021年5月7日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超

导量子计算机"祖冲之"号的相关研究成果.祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率乃

精确到小数点后第七位的人，他给出万的两个分数形式：y22（约率）和三355|（密率）.同时期数学家何承天

发明的"调日法"是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近

似值分别为2和«（即有其中a,b,c,d为正整数），则*是x的更为精确的近似值.例

acaca+c

如：已知1※57（万<2彳2，则利用一次〃调日法〃后可得到万的一个更为精确的近似分数为：?15?7+彳22=1詈79；由

50750+757

于1者79。3.1404<»,再由3179<亍22，可以再次使用〃调日法〃得到乃的更为精确的近似分数……现已知

1<V2<|,则使用两次“调日法"可得到0的近似分数为.

17

【答案】H

【解析】

【分析】

根据"调日法”的定义，第一次结果为：y,近似值大于0,所以（<3<义，根据第二次“调日法”进行

计算即可.

【详解】

解：<A/2<-|

••・第一次"调日法"，结果为：

5+27

V—»1.4286>V2

7

.7r-10

57

第二次"调日法"，结果为：靠=3

故答案为：

【点睛】

本题考查无理数的估算，根据定义，严格按照例题步骤解题是重点.

12.（2022•江苏盐城•一模）函数y=中，自变量x的取值范围是.

【答案】x>2

【解析】

【分析】

根据被开方式是非负数列式求解即可.

【详解】

解：依题意，得x-220,

解得：x>2,

故答案为xN2.

【点睛】

本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式

是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0;③当函数解析式是二

次根式时，被开方数为非负数.④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，

还要保证实际问题有意义.

13.(2022•上海模拟预测)计算(。-1)(“+1乂42+1)(/+1)的过程为：

原式=(片-1)(1+1)(/+1)=("-1)(/+1)=48一1；根据上面的解题过程，说出下面算式的计算结果:

(a-l)(a+l)(a2+l)(a4+l)(a8d-l)..^64+1)=.

【答案】«128-1

【解析】

【分析】

原式依次利用平方差公式计算即可求解.

【详解】

解：原式=(4-1)(/+l)(a4+l)(a8+l)...(a64+l)

=(a4-l)(a4+l)(a8+l)...(a64+l)

=(a64-l)(a64+l)

=a128-l，

故答案为：«128-1.

【点睛】

本题考查平方差公式，解题的关键是熟练掌握并运用平方差公式.

14.(2022•湖北鄂州•模拟预测)如图，三角形ABC中，ZC=90°,AC=a,BC=2a,分别以AC,8c为直径

的半圆交于C，D两点，。点恰好在43上.则图中阴影部分的面积是.

【答案】臣T卜

【解析】

【分析】

利用阴影部分的面积为两个半圆的面积之和减去三角形的面积计算即可.

【详解】

，一1c2

8J

故答案为:^-11,2

8J

【点睛】

本题主要考查不规则图形的面积，能够找到阴影部分的面积之和为两个半圆的面积减去三角形的面积是解

题的关键.

15.（2022•河南•模拟预测）如图，点E是加ABC斜边AC上一点，A8=4,BC=2,将△ABE沿BE翻折,

得到.A3E,再在AC边上取点F,使点C关于BF的对称点。恰好落在上，连接EC,当△AEC是直

角三角形时，AE的长是,

竽或斯

【答案】

【解析】

【分析】

由题意,可知当△4EC是直角三角形时，可分ZA'EC'=90°和NECA=90°两种情况进行讨论.

【详解】

在RfABC中，AC==2底cosA二七

由轴对称的性质，可得/归=A'F,A'B=AB=4,BC'=BC=2,NA=NA',

AC=AB-BC=2.

①当NAZC'=90°时，点。在AC上，如解图1所示,

A'E_245

则cosA=

A'C5

解得考

②当ZACE=90°时，如解图2所示,

A'C2^/5

则cosA=

A'E5

解得AE=5

综上所述，AE的长是乎或君.

图1图2

故答案为：竽或占.

【点睛】

本题考查了解直角三角形，轴对称的性质，熟练运用直角三角形的边角关系是解题的关键.

16.（2022•江苏泰州•一模）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七"盈不足”中题目译文如下："今有人合伙

买羊，每人出5钱，还差45钱；每人出7钱，还差3钱.问合伙人数、羊价各是多少？"设合伙人数为x人，

根据题意可列一元一次方程为.

【答案】5x+45=7x+3

【解析】

【分析】

根据题意列一元一次方程即可；

【详解】

解：根据题意歹U方程5x+45=7x+3；

故答案为：5x+45=7x+3.

【点睛】

本题主要考查了一元一次方程的应用，准确分析列方程是解题的关键.

17.（2022•江苏•模拟预测）如图①，在平行四边形ABCD中，AD=9cm,动点P从A点出发，以lcm/s的速

度沿着AfBfCfA的方向移动，直到点P到达点A后才停止，已知4%。的面积y（单位：cm?）与点p移

动的时间x（单位：s）之间的函数关系如图②所示，则b—a的值为.

图①图②

【答案】17

【解析】

【分析】

△%。的面积变化主要分三个阶段，分别为点P在AB上运动，在BC上运动，和在CA上运动，根据运动的

变化及』力D的面积y与点P移动的时间x之间的函数图象，可得的长，进而可求出a和b的值，可得

到答案.

【详解】

故a=10+9=19,

当x=10时，点P到达点B处，因为P的运动速度是lcm/s,故/\B=10cm,

此时的面积为:AO-BF=36cm2,A0=9cm,可得BF=8cm,

在直角三角形ABF中，AF=-JAB2-BF2=6cm,

因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=DC,BC〃AD,又8F_LA。，CG1AD,

所以8F=CG,可证RtAABF0△RtAOCG,所以CG=BF=8cm,0G=AF=6cm,

贝UAG=15cm,

在RMACG中，ACZcG?+AG?="cm,故b=19+17=36,

所以b-a=36-19=17,

故答案为17.

【点睛】

本题考查动点问题的函数图象，正确识别图象信息，并根据信息作出辅助线是解题的关键.

18.（2022・福建•厦门大学附属科技中学九年级阶段练习）如图，等腰」ABC中，CA=CB=4,ZACB=120°,点

D在线段AB上运动（不与A、B重合），将.CAD与CBD分别沿直线CA、CB翻折得到CAP与—CBQ,给

出下列结论：

①CD=CP=CQ；

②NPCQ的大小不变；

③，PCQ面积的最小值为迪；

5

④当点D在AB的中点时，PDQ是等边三角形，其中所有正确结论的序号是

【答案】①②④.

【解析】

【分析】

【详解】

①：将ACAD与ACBD分别沿直线CA、CB翻折得到ACAP与ACBQ,

；.CP=CD=CQ,.•.①正确；

②：将ACAD与ACBD分另I］沿直线CA、CB翻折得到ACAP与ACBQ,；.NACP=/ACD,ZBCQ=ZBCD,

/.ZACP+ZBCQ=ZACD+ZBCD=ZACB=120°,

ZPCQ=360°-(ZACP+BCQ+ZACB)

=360°-(120°+120°)

=120°,

；.NPCQ的大小不变；.•.②正确；

③如图，过点Q作QELPC交PC延长线于E,

VZPCQ=120°,

；.NQCE=60",

在RtAQCE中，tanZQCE=—,

CE

QE=CQxtanZQCE=CQxtan60°=qCQ,

VCP=CD=CQ,

2

SAPCQ=|CPXQE=|CPX^CQ=咚CD,

；.CD最短时,SAPCQ最小,即：CD_LAB时，CD最短，

过点C作CFLAB,此时CF就是最短的CD,

VAC=BC=4,ZACB=120°,

AZABC=30",

ACF=|BC=2,即：CD最短为2,

/.SAPCQ最小二—CZ)2=—X22=2^,・•・③错误;

22

④;将ACAD与ZkCBD分别沿直线CA、CB翻折得到ACAP与△CBQ,

.-.AD=AP,ZDAC=ZPAC,

VZDAC=30°,

.*.ZAPD=60°,

AAPD是等边三角形，

；.PD=AD,ZADP=60°,同理：ABDQ是等边三角形，

；.DQ=BD,ZBDQ=60°,

/.ZPDQ=60",

•.•当点D在AB的中点，

/.AD=BD,

PD=DQ,

•••△DPQ是等边三角形，

.•.④正确，

故答案为①②④.

考点：几何变换综合题；定值问题；最值问题；综合题；翻折变换（折叠问题）.

19.（2022•江苏南通•模拟预测）某飞机模型的机翼形状如图所示，其中AB〃OC,ZBAE=90°,根据图中

的数据计算CO的长为cm（精确到1c机）（参考数据：sin37°«0.6,cos37°«0.8,tan37。〜0.75）.

50cm

【答案】22

【解析】

【分析】

如下图，过点D作DMJ_AN于点M,由题意可得NBCN=37。，CN=50cm,在RtABCN中，利用/BCN的正切

函数即可计算出BN的长，由AN=AB+BN即可得到AN的长；再证AADM是等腰直角三角形即可得到

AM=MD=NC=50cm,即可由AB=AN-BN计算出AB的长.

【详解】

作DMJ_AB于M,如图所示，则由题意可知：ZBCN=37°,四边形MDCN是矩形，

,BN

；.tan/BCN=—=0.75,MD=CN=50cm,

CN

：.BN=CN»tan37°=50x0.75=37.5(cm),

AN=AB+BN=34+37.5=71.5cm,

VZDAE=45°,ZBAE=90°,

.\ZDAM=45°,

.•.△ADM是等腰直角三角形，

/.AM=DM=50cm,

ACD=MN=AN-AM=71.5-50=22(cm).

答：根据图中的数据求CD的长约为22cm.

【点睛】

本题主要考查矩形的判定及性质，解直角三角形，等腰直角三角形的判定及性质，掌握矩形的性质及锐角

三角函数的定义是解题的关键.

三、解答题

20.(2022・四川巴中•模拟预测)

(1)计算:2cos30°+|tan600-2|

x+1x—3

---------------11

⑵解不等式组:<32

2(3x-2)+l>3x

⑶先化简，再求值：卜广：:,其中x=0-4.

Vx-2Jx-4x+4

【答案】⑴-2

（2）l<x<5

【解析】

【分析】

（1）分别计算特殊角的三角函数值，绝对值，负整数指数塞，二次根式以及零指数塞，然后进行加减计算

即可；

（2）先分别求出两个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可；

（3）先通分，因式分解，然后进行除法运算得到化简结果，最后代值求解即可.

（1）

=A/3+2-V3-4

=一2；

（2）

也工］①

解：32

2（3x-2）+1>3x（2）

解不等式①晋-F21

去分母得：2（x+l）-3（x-3）>6

去括号得：2x+2-3^+9>6

移项合并得：-5

系数化为1得：%<5

解不等式②2（3x-2）+l>3x

去括号得：6x-4+l>3x

移项合并得：3x>3

系数化为1得：%>1

，原不等式组的解集为1<XW5.

⑶

解：原式=—x-2-2十（x+/4）（一x-4）

2

x-4(x-2)

x-2(x+4)(x-4)

x—2

x+4

・•・当x=0—4时，原式=：一4一2=g=「30.

V2+4-4V2

【点睛】

本题考查了特殊角的三角函数值，绝对值，负整数指数塞，二次根式以及零指数累，解一元一次不等式组，

分式的化简求值.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.

21.(2022,河南•模拟预测)健身是一种生活态度，健康的健身方式可以帮助人们塑造完美的身材，增强身

体的免疫力，还可以愉悦心情，所以说合理健身对个人生活乃至精神面貌都是非常有帮助的.某小区物业

为了解本小区居民的健身活动情况，从本小区居民中随机抽取了50名进行问卷调查，调查问卷如下.

健身活动时长调查问卷

最近一周内你健身活动的总时长为.

A.0〜0.5小时B.0.5〜1小时C.1〜1.5小时D.1.5小时及以上

(每组含最小值，不含最大值)请根据实际情况选择最符合的一项，感谢参与！

收集数据：将随机抽取的50名居民的调查问卷结果记录如下：

ACBBBACBDBCDBDDABDDABCBBC

BCBCABCBCABADBADBABBBCDBA

整理数据：整理这组数据，并绘制了如下尚不完整的统计图.

调查结果条形统计图

根据以上信息，解答下列问题：

⑴请将条形统计图补充完整.

(2)若根据调查结果绘制出扇形统计图，则在扇形统计图中，选项C所在扇形的圆心角度数为

⑶若该小区共有居民5000人，估计该小区全体居民中最近一周内健身活动总时长低于1小时的人数；

⑷根据调查结果，请对该小区居民健身活动情况作出评价，并提出一条合理化的建议.

【答案】（1）图见解析

（2）72°

（3）3100人

⑷见解析

【解析】

【分析】

（1）根据题意可得出选项C的人数有10人，从而即可补全统计图；

（2）求出选项C所占百分比再乘360。即可；

（3）求出随机抽取的50名居民中一周内健身活动总时长低于1小时的人数所占百分比，再乘该小区居民

总数即可；

（4）写出评价，给出一条合理化建议即可.（开放性试题，合理即可）

（1）

解：根据题意可知选项C的人数有10人,

故补全的条形统计图如图所示：

调查结果条形统计图

（2）

360°x—=72°,

50

在扇形统计图中，选项C所在扇形的圆心角度数为72。.

故答案为：72。；

⑶

1+^5000=3100（人）.

50

答：估计该小区全体居民中最近一周内健身活动总时长低于1小时的人数约为3100人.

⑷

评价：①该小区居民中最近一周内健身活动时长在0.5〜1小时的人数最多；②整体来看，该小区超过一半

的居民最近一周内健身活动时长低于1小时，健身氛围不够浓烈.（答案不唯一，写出一条即可）

建议：①小区物业可以在小区宣传栏里多多进行健身宣传；②举办一些促进居民健身的体育活动，比如羽

毛球比赛、篮球比赛等.（答案不唯一，写出一条即可）

【点睛】

本题考查补全条形统计图，求扇形统计图某项的圆心角度数，用样本估计总体.读懂题意，在题干中找到

必要的信息和数据是解题关键.

22.（2022,江苏•模拟预测）有一个不透明口袋，装有分别标有数字1,2,3,4的4个小球（小球除数字不

同外，其余都相同），另有3张背面完全一样、正面分别写有数字1,2,3的卡片.小敏从口袋中任意摸出

一个小球，小颖从这3张背面朝上的卡片中任意摸出一张，然后计算小球和卡片上的两个数的积.

（1）请你求出摸出的这两个数的积为6的概率；

（2）小敏和小颖做游戏，她们约定：若这两个数的积为奇数，小敏赢；否则，小颖赢.你认为该游戏公平

吗？为什么？如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平.

【答案】（1）见解析；（2）不公平，理由见解析；游戏规则可改为：若积为3的倍数，小敏赢，否则，小

颖赢.

【解析】

【详解】

解：（1）列表如下：

1234

11234

22468

336912

总结果有12种，其中积为6的有2种,

126

（2）游戏不公平，因为积为偶数的有8种情况，而积为奇数的有4种情况.

游戏规则可改为：若积为3的倍数，小敏赢，否则，小颖赢.

23.（2022•福建宁德•一模）如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD,将AABC沿BC方向平移，使点B

移到点C,得到ADCE.

（1）求证：AACD之△£口（：；

（2）请探究ABDE的形状，并说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）ABDE是等腰三角形；理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）由矩形的性质得出AB=DC,AC=BD,AD=BC,ZADC=ZABC=90°,由平移的性质得：DE=AC,CE=BC,

ZDCE=ZABC=90°,DC=AB,得出AD=EC,由SAS即可得出结论；

（2）由AC=BD,DE=AC,得出BD=DE即可.

【详解】

证明：（1）二•四边形ABCD是矩形，

；.AB=DC,AC=BD,AD=BC,ZADC=ZABC=90°,

由平移的性质得：DE=AC,CE=BC,NDCE=NABC=90°,DC=AB,

；.AD=EC,

AD=EC

在AACD和AEDC中，＜/ADC=ZDCE,

CD=DC

AACD^AEDC（SAS）；

（2）ABDE是等腰三角形；理由如下：

VAC=BD,DE=AC,

；.BD=DE,

.•.△BDE是等腰三角形.

考点：1、矩形的性质；2、全等三角形的判定与性质；3、平移的性质

24.（2022•北京市师达中学模拟预测）下面是小石设计的"过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.

已知：如图1,直线/及直线/上一点P.

求作：直线PQ,使得PQL.

作法：如图2：

①以点P为圆心，任意长为半径作弧，交直线/于点48:

②分别以点4B为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧在直线/上方交于点Q；

③作直线PQ.

所以直线PQ就是所求作的直线.

根据小石设计的尺规作图过程：

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接QA,QB.

•・・Q4=,PA=,

：.PQ±I（）（填推理的依据）.

---------P------------------14p]B1

图1图2

【答案】（1）见解析；（2）QB,PB,等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合.

【解析】

【分析】

（1）根据作图过程即可补全图形；

（2）根据等腰三角形的性质即可完成证明.

【详解】

解：（1）补全的图形如图2所示：

（2）证明：连接QA,QB.

：QA=QB,PA=PB,

：.PQ±I（等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合）.

故答案为：QB；PB；等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合.

【点睛】

本题考查了作图-基本作图、等腰三角形的性质，解决本题的关键掌握等腰三角形的性质.

25.（2022•广东江门•模拟预测）疫情期间，某药店计划从一口罩厂采购同一品牌的甲型口罩和乙型口罩，

已知购买2盒甲型口罩和3盒乙型口罩，需花费34元，购买5盒甲型口罩和2盒乙型口罩，需花费41元.

⑴求采购该品牌一盒甲型口罩、一盒乙型口罩各需要多少元？

（2）经商谈，口罩厂给予该药店采购一盒该品牌乙型口罩即赠送一盒该品牌甲型口罩的优惠，如果药店需要

甲型口罩的盒数是乙型口罩盒数的2倍还多6盒，且该药店采购甲型口罩和乙型口罩的总费用不超过680

元，那么该药店最多可购买多少盒该品牌乙型口罩？

【答案】（1）购买该品牌一盒甲型口罩需要5元，一盒乙型口罩需要8元.

（2）该药店最多可采购50盒该品牌乙型口罩.

【解析】

【分析】

（1）设购买一盒甲型口罩需要x元，一盒乙型口罩需要y元，根据"购买2盒甲型口罩和3盒乙型口罩，需

花费34元，购买5盒甲型口罩和2盒乙型口罩，需花费41元”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解

之即可得出甲、乙两型口罩的进价；

（2）设该药店购买a盒该品牌乙型口罩，则购买了（2a+6-a）盒该品牌甲型口罩，利用总价=单价x数量，

结合总价不超过680元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再取其中的最

大整数值即可得出最多可采购100盒该品牌乙型口罩.

（1）

解：设购买一盒甲型口罩需要x元，一盒乙型口罩需要y元，

「2x+3y=34

依题意得：</…

[5x+2y=41

[x-5

解得：。,

U=8

答：购买该品牌一盒甲型口罩需要5元，一盒乙型口罩需要8元.

（2）

解:设该药店购买a盒该品牌乙型口罩，则购买了（2a+6-a）盒该品牌甲型口罩，

依题意得：5（2a+6-a）+8a<680,

解得：a450.

为整数，

：.a的最大值为50.

答：该药店最多可采购50盒该品牌乙型口罩.

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确

列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式.

26.（2022•浙江衢州•模拟预测）如图，已知。0的直径CD=6,A,B为圆周上两点，且四边形0ABe是平行

四边形.过A点作直线EF〃BD,分别交CD,CB的延长线于点E,F,AO与BD交于G点.

（1）求证：EF是。O的切线；

（2）求AE的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）36.

【解析】

【详解】

解：（1）证明：：CD为直径，

/.ZDBC=90°,

•.•四边形OABC是平行四边形，

.,.AO/7BC,

.".BDXOA,

VEF/7BD,

.".OAXEF,

；.EF是。0的切线;

(2)解：连接0B,如图，

四边形OABC是平行四边形，

AOA=BC,

而OB=OC=OA,

.*.OB=OC=BC,

AAOBC为等边三角形，

.*.ZC=60°,

AZAOE=ZC=60°,

AE

在RtAOAE中，VtanZAOE=—,

OA

；.AE=3tan60°=36.

27.（2022•四川巴中•模拟预测）如图①，抛物线与x轴交于点A（-2,0）和3（6,0）,与y轴交于点C,且。C

=6,连接BC.

图①图②

⑴求抛物线的解析式；

⑵点M是直线BC下方抛物线上一点，过点/W作MN_LBC于点N,若线段皿=迫。4,求点M的坐标；

8

⑶如图②，若点P是对称轴右侧抛物线上一点，点Q是x轴下方对称轴上一点，是否存在点P、Q,使得ACPQ

为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案]⑴yf-j

⑵或3,一3

⑶存在，P（4,-6）或尸（2+20,-4）或尸（1+遥,一5-遥）

【解析】

【分析】

（1）根据题意设抛物线的解析式为y=a（尤+2）红-6）,将C点坐标代入求a,进而可得抛物线解析式；

（2）如图1,过点M作轴交BC于点D,NOBC=NOCB=45。,由轴，MN1BC,可得

ZDMN=ZMDN=NOCB=45。,知△DMN是等腰直角三角形，有DMfMN，求出DM的值，待定系数

法求直线BC的解析式为y=x-6,设加（九；病-2租-6）,（0<m<6）,则。（m,加一6）,则有

777-6-—Z/Z2+2/^+6=-,求解机的值，进而可得M的点坐标；

22

（3）设尸其中力>2,由题意知，分3种情况求解：①当/CQP=90。时，QC=QP,如图

2,Q作，y轴交y轴于N,作PM，肱V于/，由VCQP是等腰直角三角形可知ZCQP=90°,CQ=PQ,

证明-CQNg_QPM（A4S）,贝i]CN=QM,NQ=MP,NQ=MP=2,可得M一2〃一6+21,

N（0,gw2-2〃-6+2],CN=QW即;〃2-2〃-6+2-（-6）=〃-2,求出满足条件的解，进而可得尸点坐标；

②当/QCP=90。时，CQ=CP,如图3,过点Q作轴于E,过点P作「尸，V轴于F,证明

CEQ^PFC(AAS),CF=EQ即、2-2〃-6+6=2,求出满足条件的解，进而可得尸点坐标；③当NCPQ

=90。时，PC=PQ,如图4,过点P作P尸轴于F,交对称轴于点E,同理可得CF=EP即

-6--n2+2n+6=n-2,求出满足条件的解，进而可得P点坐标.

2

(1)

解：设抛物线的解析式为y=o(x+2Xx-6)

OC=6,

/.C(0,-6)

将C(0,-6)代入解析式得ax2x(-6)=-6,解得：a=；

y=^(x+2)(x-6)=-^x2—2x—6

...抛物线的解析式为y=；V-2x-6.

(2)

解：如图1,过点M作MD〃y轴交BC于点。

图1

OB=6=OC

：.ZOBC=ZOCB=45°

VMD//y^,MNIBC

：.ZDMN=ZMDN=ZOCB=45°

.-.△D/W/V是等腰直角三角形，

DM=拒MN

•.•脑7=述04且0A=2,

8

：.DM=-

2

6左+b=0

设直线BC的解析式为>=丘+匕，将B、C点坐标代入得

b=-6

,[k=l

解得八A

・,・直线BC的解析式为y=%-6

设M（根,；加2一2根一6）,（0<m<6）,则_D（m,zn—6）

m-6-—m2+2m+6=—

22

解得吗=1，m2=5

•・•小一口或、一口

⑶

解：存在.

设P卜;〃2-2〃-6）,其中”>2,由题意知，分3种情况求解：

①当NCQP=90。时，QC=QP,如图2,。作MN_Ly轴交y轴于N,作PAf_LMN于以

・.・VCQP是等腰直角三角形

AZCgP=90°,CQ=PQ

•：ZCQN+ZQCN=90°=ZCNQ+ZPQM

.・・ZQCN=ZPQM

在△CQN和3M中

ZQCN=ZPQM

•.・<ZCNQ=ZQMP=90°

CQ^PQ

:..CQNaQPM(AAS)

：.CN=QM,NQ=MP

：.NQ=MP=2

M^n,^n2-2n-6+2^,N（0,；一2〃一6+2

,.・CN=QM

整理得/-6〃+8=0

解得"=2（不合题意，舍去），〃2=4

・•.此时存在，P（4,-6）；

②当NQCP=90。时，CQ=CP,如图3,过点Q作轴于E,过点P作尸尸，y轴于F

VZECQ+ZEQC=90°,ZECQ+ZPCF=90°,

：.ZEQC=ZPCF

在VCEQ和△尸尸C中

ZEQC=ZPCF

•；lzCEQ=ZPFC=9Q°

CP=CQ

；._