2024-2025学年北师大版八年级数学上册复习：几何综合 压轴题（考点梳理与题型分类讲解）解析版

几何综合压轴题分类专题

第一部分【考点目录】

【考点1]特殊平行四边形与相似综合

【考点1】矩形性质与判定与图形相似综合.......................................1

【考点2】菱形性质与判定与图形相似综合.......................................7

【考点3】正方形性质与判定与图形相似综合....................................10

【考点2】特殊四边形几何变换中的相似

【考点4】图形相似中的平行四边形几何变换....................................14

【考点5】图形相似中的矩形几何变换..........................................19

【考点6】图形相似中的菱形几何变换.........................................27

【考点7】图形相似中的正方形几何变换........................................33

第二部分【考点展示与方法点拨】

【考点11矩形性质与判定与图形相似综合

[1-1](24-25九年级上•陕西渭南•期中)【问题探究】

(1)如图1,在矩形中，点£、尸分别是/反2c边的中点，连接2DEF,求证:

△BCDsAFBE；

【问题拓展】

(2)如图2,在四边形4BCD中，AD//BC,NBCD=90°,点E是48的中点，点、F是BC边上一点,

连接£尸，班交于点G,AD=2CF.

①试说明G8=GF；

②若2AD=3CD,EF±AB,求空的值.

1

【分析】问题探究：根据矩形的性质可得48=CD,NEBF=NC=90°,根据点E,尸分别是48,3C的

RFRF1

中点，可得爷=g=；，即可求证；

ABBC2

问题拓展：①取BD的中点连接£"、HC,得E”是的中位线，根据已知条件可得E77平行且

等于FC,进而可得石尸。7是平行四边形，得EF〃HC,则NG尸3=根据直角三角形中斜边上的

中线等于斜边的一半得出郎=〃C,进而可得=等量代换可得/GAF=/GE8,等角对等边,

即可得证；

②过点尸作万NL4D,则四边形是矩形，连接/G、/F,^：CD=MF=4x,则4D=6x,

CF=MD=3x,可得/M=3x,AF=5x,又可得£F垂直平分AB,得至Ij/G=8G,AF=BF,即可证明

尸G空尸G(SSS),得到/G/E=/G3/，NGFA=NGFB,进而由①3G=FG,可得

ZGAF=NGBF=ZGFB=AGFA,设NGAF=NGBF=NGFB=AGFA=a,则ZBGE=2a,

ZAFB=2a,即可由4D〃BC得到乙BGE=NM4/=2a,即可证明ABEGSA^A表1,得至|」空=也，即

AMFA

/口GEAM3x3

GBFA5x5

解：问题探究：四边形/BCD是矩形，

AB=CD,NEBF=NC=9Q0,

■■E,尸分别是/ABC的中点，

BEBF\

"AS-SC-2)

BEBF1

即----=-----=—,

CDBC2

△BCDsAFBE；

问题拓展：如图所示，取BO的中点X,连接E/八HC,

又・.・AD=2CF,

；,EH=CF,

AD//BC,

2

.-.EH//FC,

・•・四边形EHCF是平行四边形，

••.EF〃CH,

・•.ZGFB=ZHCB,

又・・•/BCD=90。,〃是8。的中点，

：.HC=-BD=BH,

2

4HBe=/HCB,

；"GBF=/GFB,

・•.GB=GF；

②如图所示，连接4G、AF,过点尸作尸则四边形，CD是矩形，/FMA=90。,

I)

HFC

VAD=2CF,2AD=3CD,

CD=MF=4x,贝ij4D=6x,CF=MD=3x,

・•.AM=AD-MD=6x-3x=3xf

••AF=yjMF2+AM2=J(4X『+(3X)2=5x,

・•.ZBEF=9Q°,

・•・EFLAB,

又・・・E是43的中点，

・・・£F垂直平分48,

AG=BG,AF=BF,

vFG=FG,

.•.△4G/也A5G尸(SSS),

ZGAF=ZGBF,AGFA=ZGFB,

由①，BG=FG,

:"GBF=ZGFB,

・•・NGAF=ZGBF=ZGFB=AGFA,

3

设NGAF=NGBF=NGFB=NGFA=a,贝lJ/BG£=2a,NAFB=2a,

AD//BC,

ZMAF=ZAFB=la,

:"BGE=ZMAF,

又；ZBEG=ZFMA=90°,

ABEGSAFMA,

EGBG

GEAM3x3

【点拨】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，三角形中位线的

性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质,

平行线的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键.

[1-2]（24-25九年级上,山西运城•阶段练习）如图，矩形中，AB=6,3c=3.点E在边AS上,

点尸在边CD上，点G、〃在对角线/C上.若四边形是菱形，则4E的长是（）

【答案】C

【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用定理是

解题的关键.连接即交4C于。，由四边形EG五段是菱形，得到即C,OE=OF,由于四边形ABC。

是矩形，得到NB=ND=90。，AB//CD,通过△。「。之△/后。，得到NO=C。，求出4。=，/。=』君,

22

根据即可得到结果.

解；连接ER交/C于O,

4

・・•四边形EGFH是菱形,

:.EF1AC,OE=OF,

・・•四边形/5CZ）是矩形,

AB=AD=90°,AB//CD,

ZACD=NCAB,

在尸O与中,

ZFCO=ZOAB

ZFOC=ZAOE,

OF=OE

/.△CFO之△/EO(AAS),

...AO=CO,

AC=y/AB2+BC2=762+32=375，

13

:.AO=-AC=-

22

・1/CAB=/CAB,ZAOE=ZB=90°,

:.AAOESAABC,

AO_AE

~AB~~AC

.-.i£

636

AE=—

4

故选：c

[1-3]（24-25九年级上•山东济南•阶段练习）如图，在矩形/5CD中，DE平分NADC,交BC于点E,

EFVAE,交CD于点、F,以ZE,斯为边，作矩形ZE尸G,尸G与。4相交于点〃.若CE=3,AH=4,则

AE=

【答案】2G

5

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质、矩形的性质和正方形的判定与

性质，首先证明RMEC尸也RtA/8E(ASA),推导出/£=砂，结合矩形NE尸G,推导出四边形NEFG为正

方形，然后利用ZG=ZC,推导出AGNWACEF,=进而得至U/G在=N〃-CE,

AHEF

代入数据得到4万2=4x3=12,进而即可得出答案.

解：•・・四边形力是矩形，

AD||BC,CD=AB,ZB=ZC=90°,

；,/AEB+/EAB=90。,

-EFLAE,

・•.NAEF=9Q。,ZAEB+ZCEF=90°,

/.ZEAB=ZCEF,

•••QE平分N4OC,

・•.ZCDE=-ZADC=45°,

2

在中，CE=CD=AB,

在RLECF和Rt^ABE中，

ZB=ZC

<CE=AB,

EAB=ZCEF

RMEC尸物ASA),

・•・AE=EF,

在矩形4EFG中，AG=EF=AE,

・•・四边形ZEFG为正方形，

・・.NG=90。，

・•・AGIIEF,

・•・NGAH=ZFEC,

又・.•NG=NC,

小GAHs^CEF,

AGCE

,•质―茄’

.•・AGEF=AHCE,

•••AE2=4x3=12,

6

故答案为：2vL

【考点2】菱形性质与判定与图形相似综合

[2-1](24-25九年级上•四川成都•阶段练习)如图，在菱形中，点G在边CD上，连线/G并延

长交2C的延长线于点尸，连结3。交居于点£,连结CE.

(2)若48=6,—=3,求CF的长.

EG

【答案】⑴见解析⑵12

【分析】本题主要考查菱形的性质以及相似三角形的判定和性质，

(1)由菱形的性质可证明N"E=NDCE=N尸，即可证明AFECSACEG,可得出结论；

PCFFCG

(2)由AFECSACEG可得一=—=—=3,设GC=x,则C/=3x,DG=6-x,证明

EGECCF

AADGS/CG,得出方程求解即可.

(1)证明：••・四边形是菱形，

ZADE=ZCDE,AD=CD,AD//BC,

DE=DE,

,-.AADE=ACDE(SAS)f

/./DAE=ZDCE.

•・•AD//BC,

:.ZDAE=NF,

・•.ZDAE=/DCE=NF,

ZFEC=ZCEG,

••・小FECs小CEG,

.ECEF

一商一衣,

EC?=EF♦EG；

7

（2）解：,・•四边形/5CQ是菱形，AB=6,

;.AB=AD=CD=BC=6,

由（1）可知△FECS^CEG,

EC_EFCG

,•拓一法―

CE「

,**=3,

EG

EC_EFCG

'^G~^C~~CF~'

设GC=x,贝!JC尸=3x,DG=DC-CG=6-x,

XvZDAE=ZF,ZDGA=ZCGF,

・•・AADGS*CG,

.ADDG

'lr~~CG，

.66—x

3xx'

解得％=4,

经检验，x=4是分式方程的解，

CF=3x=12.

[2-2]（24-25九年级上,黑龙江哈尔滨,阶段练习）如图，点£、尸分别在菱形4BCD的边48、40上,

S.AE=DF,BF交DE于点、G,延长即交CO的延长线于点//,若AF=2DF,则当的值为（）

【答案】D

［分析】本题考查菱形性质，相似三角形判定及性质等.根据题意设。尸=x，则/E=。尸=x,/尸=3E=2x,

AB=3x,证明,△HDG—ABEG,继而得到本题答案.

解：••・四边形是菱形，

AB=BC=CD=AD,

-：AF=2DF,AE=DF,

・,・设。方=X,则/E=DF=x,AF=BE=2x,AB=3x,

8

-HD//AB,

.・.ZH=/GBE,ADGH=/BGE,ZHFD=ZAFB,

AHFD^/\BFA,AHDGsABEG,

HD_DFHF

,AB~AF~FB~2"

：.HD=1.5x,

HD_DG_1.5x_3

故选：D.

[2-3]（24-25九年级上广东中山•阶段练习）如图，菱形的对角线NC与a）分别为8,6,过点。

作0E〃AD交AB于点E,连接交/C于点尸，过点尸作产G〃4D交48于点G,则GE=.

【答案】|

【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质等知识，解题的

关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.利用菱形的性质以及勾股定理求出8C=5,再证明

AG:GE=AF:0F=AD:0E=2,可得结论.

解：；四边形/BCD是菱形，

AC±BD,。/=。。=口。=4,OB=OD=：BC=3,AD=BC=AB,

BC=4OB2+OC~=A/32+42=5，

/.AB=BC=5,

•••OE11BC,

.AO_AE

,~OC~~EB"

AO=OC,

AE=EB,

:.OE=-BC=~,

22

OE口BC,BC//AD,

/.OE//AD,

9

:.AAFDS^OFE

•OFOE_\

'AF~AD~2"

-FG//OE,

.4G_4F“

GEFO

:.GE=-AB=-.

33

故答案为：—.

【考点3】正方形性质与判定与图形相似综合

[3-1](2024・湖北武汉•模拟预测)如图1,在正方形48。中，E是对角线。延长线上的一点，线段

BE统同B顺时针旋转90°至BG,连接CG.

(1)求证：AE=CG；

⑵如图2,连接EG交出于点尸，并延长与8C的延长线相交于点H,若FD=CG,

①求证：FD2=AD-AF;

②直接写出工的值.

【答案】⑴见解析(2)①见解析；②二=士且

BE2

【分析】(1)利用SAS证明△EA4名△G8C,即可得出结论；

AR4FRF

(2)①根据正方形的性质，证明△3/ES^E//，得==

AEAFEF

BPAE2=AB-AF,由(1)证得2E=CG=FD,即可得到ED?=4尸；

②设阳=无，AD=m(x>Q,m>Q),则/尸=根据ED?尸，列出方程，解得土=二1及

m2

进而解决问题.

(1)证明：如图1,由旋转的性质，得BE=BG,NEBG=90°,

ZEBA+ZABG=90°,

••・四边形4BCD是正方形,

10

AB=BC=AD,ZABC=90°,

:.ZABG+ZGBC=90°,

ZEBA=AGBC,

在LEBA和AGBC中，

BE=BG

<NEBA=ZGBC,

AB=BC

:.AEBA知GBC(SAS),

/.AE=CG；

(2)解：①由旋转的性质可得N石5G=90。，BE=BG,

.•.△EBG是等腰直角三角形，

NBEF=45。,

ZBEA+ZAEF=45°f

在正方形488中，vZDAC=ZBAC=45%

，/EAB=/EAF=135。,/AFE+/AEF=45。,

:.ZBEA=ZAFE,

：ABAES八EAF,

.AB_AE_BE

''AE~AF~EF'

即AE2=AB-AF，

由(1)证得/E=CG,

又•：FD=CG,

AE=FD,

:.FD2=AD-AF,

②设FZ)=x,AD=m(x>0,m>0),贝！］4F=»j-x,

x2=m(m-x),

整理得x2+mx—m2=0，

f—+--1=0,

解得上=上6(负值舍去)，

m2

11

即空=T+0

AB2

,AE-1+V5

•.-=-------,

AB2

,EFAE-1+V5

BE~AB2'

【点拨】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，一元二次方程，全

等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.综合性较强，属于中考

压轴题.

[3-2]（23-24九年级上•江苏无锡•期中）如图，在正方形480中，48=5,点E是。边上一点，且

2

一=刀，点/是8D上一点，若NF4E=45°,则肝的长为（)

CA3

9

D.

2

【答案】B

【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，由正方形的性质得到

CD=AB=AD=5,NBAC=NACD=NABD=45。,ZABC=ZADE=90°,则由勾股定理得到/°=5板，

________AF5AF

求出。石=2,则原=〃£）2+。屈=扬,再证明△ZB尸得到=,即=即可

ACAE572729

得到4尸=返.

2

解：如图所示，连接

•••四边形是正方形,

CD=AB=AD=5,ABAC=AACD=ZABD=45°,ZABC=ZADE=90°,

••AC=YIAB2+BC2=5V2，

DE_2

3

：.CE=-CD=3,

•*-DE=2,

•••AE=dAD?+DE?=V29

12

•・,/FAE=NBAC=45。,

.・.ZBAF=/CAE,

又•・•/ABF=ZACE=45。,

・•.△ABFs/\ACE,

AB_AF5二AF

■■^C"AE''572-V29

故选：B.

/

BC

[3-3]（24-25九年级上•四川成都,阶段练习）如图，正方形4BCZ）中，P为AD上一点、,PELBP交BC

的延长线于点£,交CD于点尸，若4B=4,AP=3,则即的长为.

【答案】部3

【分析】此题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上

知识点.

_4P20

首先根据勾股定理求出BP=^AB2+AP2=5，然后证明出ABAPSAEPB,得到—,代数求出PE=',

然后证明出A氏尸。尸，得至汁黑二空，代数求出尸尸=3,进而利用线段的和差求解即可.

PDPF4

解：•・・四边形是正方形，

・•・NZ=/ABC=ZD=90°,

vAB=4,AP=3,

•*-BP=dAB?+AD?=5，

-BE//AP,

13

/EBP=/APB,

•；PE1BP,

.,./A=NBPE=90。,

；."APs八EPB,

AB_AP日口4_3

,~PE~~BP'、。港―S'

：.PE=—,

3

•••4D=4B=4,AP=3f

；.PD=AD—AP=\,

•••ZABP+/APB=ZFPD+/APB=90°,

ZABP=ZFPD,

又•・•ZA=ZD=90°,

ABAPS^PDF,

ABBP45

---=---,即R一二---,

PDPF1PF

：.PF=-,

4

：.EF=PE-PF=—.

12

故答案为：—.

12

【考点4】图形相似中的平行四边形几何变换

[4-1]（2023•陕西西安・模拟预测）数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答.问题

情境：在平行四边形ABCD中，点尸是边4D上一点，将△PDC沿直线尸C折叠，点。的对应点为E.

数学思考：

E

图1图2图3

（1广兴趣小组”提出的问题是：如图1,若点尸与点N重合，过点£作E尸〃4D,与尸。交于点尸，连接

DF,则四边形NEFD是菱形.请你证明“兴趣小组"提出的问题；

拓展探究：

14

(2)"智慧小组"提出的问题是：如图2,当点尸为40的中点时，延长CE交48于点尸，连接P尸.试判断尸尸

与PC的位置关系，并说明理由；

问题解决：

⑶"创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图3,当点E恰好落在边上时，

AP=6,PD=8,DC=20,求的长.

【答案】⑴见解析(2)尸尸J_PC,见解析(3)5

【分析】(1)由折叠的性质可知，AD=AE,DF=EF,NDAF=NEAF,再根据平行线的性质推出

ZEFA=ZEAF,则胡=E尸，进而推出40=DR=ER=/£,即可证明四边形NE五D是菱形；

(2)连接由折叠的性质可知，PD=PE,APEC=ZPDC,ZDPC=ZEPC,由

NADC+/D4B=180。,ZPEC+ZPEF=180°,得到/D43=/P£户；由点P是4D的中点，得到

PA=PD=PE,贝U,进一步证明,得到/尸=£7"证明尸丝/XPEF,

得到ZAPF=ZEPF,再根据平角的定义得到NFPC=90°,则PFLPC-,

(3)延长C尸交"的延长线于点T.设/E=x.由折叠的性质可知，NPCD=NPCE,CD=CE=20,再

证明NT=NPCE,得到EC=ET=20,AT=20-x,证明,得到9=丝二二，即可求出

820

AE=5.

(1)证明：由折叠的性质可知，AD=AE,DF=EF,ZDAF=ZEAF,

-EF//AD,

：.ZDAF=ZEFA,

：.AEFA=AEAF,

：.EA=EF,

；・AD=DF=EF=AE,

二四边形/£2口是菱形；

(2)解：结论：PF1PC.

理由：连接故.由折叠的性质可知，PD=PE,NPEC=NPDC,ZDPC=ZEPC,

•.•四边形ABCD是平行四边形,

15

・•.ZADC+ZDAB=m0,

:/PEC+/PEF=180。,

・•・ZDAB=ZPEF,

・・,点尸是3的中点，

：.PA=PD=PE,

：./PAE=ZPEA,

・•・ZDAB-ZPAE=ZPEF-/PEA,

：.ZAEF=ZEAF,

：.AF=EF,

;PF=PF,

AAPAF^APEF(SSS),

・•・ZAPF=/EPF,

「ZDPC+ZCPE+/EPF+ZAPF=180。，

2ZCPE+2ZFPE=180°,

・・・ZFPC=90°,

：.PF1PC；

(3)解：延长。尸交R4的延长线于点T.设=

由折叠的性质可知，/PCD=/PCE,CD=CE=20,

丁CD//BT,

NT=ZDCP,

・・・NT=ZPCE,

EC=ET=20,AT=20-x,

♦:AT//CD,

：.APDCsMAT,

16

・AP-AT

••访一而‘

.620-x

..一=----,

820

•・x=5,

AE=5.

【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质

与判定，菱形的判定，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键.

[4-2]（23-24九年级上•陕西西安•开学考试）已知：如图1,在平行四边形N8CD中，^5=3cm,

BC=5cm,A/C。沿4c的方向以速度为lcm/s匀速平移得到APMN；同时，点。从点C出发,

沿方向匀速运动速度为lcm/s,当APMN停止平移时，点。也停止运动，如图2,设运动时间为

心）（0</<4）,贝卜的值为（）s时，S&QMC-S四边必吵=1:3.

A.f=1B.t=4C.t=5D.t不存在

【答案】D

【分析】作PE，2c于点凡相，8c于点E,利用面积法求ZE的长，利用勾股定理计算CE的长，证明

△CPFSACAE,列式可表示P尸的长，根据面积公式计算△0CM是面积；根据同底等高的两个三角形面积

相等得：S&PQC~S&MQC，由已知得：SAM0C：S“8C=14,然后得到关于/一元二次方程求解即可.

解：作尸尸，5c于点RAE上BC于点、E,

AB=3cm,BC=5cm,AC±AB,

AC=V52—32=4，

•:S4A.I„5cL=2-ABxAC2^-AExBC,

17

.\—x3x4=—x5AE,

22

则由勾股定理得：CE=^AC2-AE2=16

5

•・•作Pb_LBC,AEVBC,

・•・AE〃PF,

/.KPFs&CAE,

CPCFPF

''~CA~~CE~^E'

4—tCFPF

即丁=叵=叵，

TT

解得：小=乜丁，CF=164£

由平移的性质得，PM//BC,

12-3

到5C的距离〃=尸产二二一，

是面积=Lc0x〃」x/x^^=—』*+3；

225105

-PM//BC,

S^PQC=S^MQC,

.,.^SZ\QMC二1：3,

.v-v—i-4

•,DAMQC2AABC—5,

则41-〃+2453，

整理得，3f2-12/+15=0,

•••A=(-12)2-4X3X15<0,

该方程无实数根，

二不存在某一时刻t,^£\QMC:S四边形尸=1：3.

故选D.

【点拨】本题考查了平移，勾股定理、相似三角形的性质和判定，一元二次方程根的判别式，熟练掌握平

移的性质和相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.

18

[4-3]（20-21九年级上•全国•单元测试）如图，将平行四边形ABCD绕点D旋转，点C落在BC上的点H

处，点B恰好落在点A处，得平行四边形DHAE,若BH=2,CH=3,贝|DC=.

【答案】而

【分析】由题意可求AD=BC=5,NC=NDHC=NADH=NAHD,BPRfffiAADH-ADCH,可得丝=里，即可求

DCHC

DC的长.

解：vBH=2,CH=3,

.-.BC=5,

•・•四边形ABCD是平行四边形，

.-.AD=BC=5,AD||CB,

・・・4ADH;Z.DHC,

,•,将平行四边形ABCD绕点D旋转，

.'.DH=DC,ZC=ZAHD,

•••DH=DC,

.­.ZC=ZDHC,且NADH=Z.DHC,ZC=ZAHD,

.♦ZC=NDHC=NADH=NAHD,

,•,△ADH-ADCH,

AD_DH

,•京―京，

.-.DC2=15,

.•.DC=V15,

故答案为：后

【点拨】本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用这些性质，判

定进行推理是本题的关键.

【考点5】图形相似中的矩形几何变换

19

[5-1](2020・四川眉山•模拟预测)如图，矩形/3C0中，点C在x轴上，点/在y轴上，点2的坐标

是(-12,16),矩形/3CO沿直线8。折叠，使得点N落在对角线02上的点£处，折痕与O/、x轴分别交

于点。、F.

⑴直接写出线段08的长；

(2)求直线AD解析式；

⑶若点N在直线5D上，在x轴上是否存在点使以M、N、£、。为顶点的四边形是平行四边形？若

存在，请求出一个满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)20(2)y=-1x+10(3)存在，M(8,0)

【分析】(1)由点的坐标的特点可得CO=12,3C=16,由矩形的性质可得/8CO=90。，再利用勾股定理

即可求出02的长；

(2)设0D=x,由矩形的性质得出/D=16-x,由折叠的性质得出根据全等三角形的性

质得出48=52=12,4。=。5=16-》，NBAD=90。=/BED,再结合勾股定理求出。点坐标，最后利用

待定系数法求解即可；

(3)过点E作轴与点G,过点E作交x轴于点过点〃■作〃m，交直线瓦)

于点N,此时，四边形AWDE是平行四边形，EM//DE,通过证明AEOG*80。，利用相似三角形的性

质可求出点E的坐标，再利用待定系数法求出直线EN解析式即可求解.

解:(1)•.•在矩形/8C0中，点2的坐标是(T2,16),

：.CO=n,BC=\6,ZBCO=90°,

:.OB=^CO2+BC2=20；

(2)•.•四边形48co是矩形，

/.AB=OC=12,AO=BC=16,Z.BAO=90°,

设OD=x,

AD=16-x,

20

•・•矩形ABCO沿直线5。折叠，使得点A落在对角线05上的点E处,

:ABDA=ABDE,

/.AB=EB=12,AD=DE=16-x,ABAD=90°=ABED,

/./DEO=90°,

：.DE2+OE2=OD2,

•••OB=20,

：.OE=OB—EB=8,

.-.(16-X)2+82=/,

解得x=10,

.-.D(0,10),

设直线班解析式为丁=h+6,

把5(—12,16),0(0,10)代入，得60人，

k=--

解得2,

6=10

二直线8D解析式为y=-；x+10；

(3)过点E作轴与点G,过点、E作EM〃BD,交x轴于点过点M作〃N〃m，交直线BD

于点N,

VZEOG=NBOC

...△石OGfBOC

EOEG_OG

~BO~^C~~OC

21

EO=8,5。=20,BC=16,OC=12

8EGOG

20

3224

...EG=——,0G=——

55

•••直线8D解析式为y=-；x+10,

.•.设直线窗/解析式为y=-^x+t,

把点代入，得方32二一31义24

+t

52

解得f=4,

直线血解析式为了=-夫+4,

当＞=0时，x=8,

【点拨】本题主要考查了四边形综合问题，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，平行四边形

的性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟知矩形的性质，折叠的问题利用勾股定理构造直角三角

形进行求解，分情况讨论平行四边形的边及对角线的情况.

[5-2]（2022•四川绵阳,二模）如图，在平面直角坐标系中，直线》=-；x-2与x轴，y轴分别交于点

M,点、N,矩形的顶点4。分别在x轴，V轴上，对角线80〃x轴，已知4（2,0）,。（0,4）.现将

直线"N向上平移加个单位长度，使平移后的直线恰好平分矩形N8CO的面积，则加的值为（）

22

【答案】A

【分析】作轴于E,连接/C,交班）于点尸，则尸是助的中点，根据矩形的中心对称性可知当经

过点尸时，平移后的直线恰好平分矩形/夕。的面积，求出点N的坐标和平移后的直线解析式，再求出平

22

移后的直线解析式与歹轴的交点纵坐标，从而得到冽的值.

解：作轴于E,连接NC,交BD于点、P,则尸是3。的中点,

•・•对角线8。〃x轴，^（2,0）,£>（0,4）,

.,.OA=2,BE=OD=4,

•・•ZBAD=ZAOD=90°f

/ADO+/DAO=/DAO+/BAE=90°,

；,/ADO=/BAE,

•；/AOD=/BEA=90。,

\ADO-ABAE,

AEBE口口AE4

・••——=——，即——=一,

ODOA42

/.AE-8,

OE=8+2=10,

•••5（10,4）,

；.尸（5,4）,

当x=0时，,=_万％_2=—2,

••・N（0,-2）,

设平移后的直线为歹=-；龙+左，

••・当经过点P时，平移后的直线恰好平分矩形N3CD的面积,

4=—x5+左，

2

13

解得左=彳，

2

113

・•・平移后的直线为>=-y+

当x=o时，了=-9+蜉=蜉，

222

13（八17

2v72

・•・加的值为1蓝7，

故选：A.

23

【点拨】本题考查了一次函数的图象与几何变换，坐标与图形性质，一次函数图象上点的坐标特征，相似

三角形的判定和性质，中心对称的性质等知识，明确直线经过矩形对角线的交点时平分矩形的面积是解题

的关键.

[5-3]（2022•四川绵阳•二模）如图，在平面直角坐标系中，直线尸-夫-2与x轴，V轴分别交于点

M,悬N,矩形/BCD的顶点4。分别在x轴，V轴上，对角线80〃x轴，已知/（2,0）,。（0,4）.现将

直线向上平移机个单位长度，使平移后的直线恰好平分矩形的面积，则机的值为（）

A.—B.8C.9D.—

22

【答案】A

【分析】作轴于E,连接NC,交BD于点P,则尸是助的中点，根据矩形的中心对称性可知当经

过点尸时，平移后的直线恰好平分矩形/8CO的面积，求出点N的坐标和平移后的直线解析式，再求出平

移后的直线解析式与y轴的交点纵坐标，从而得到m的值.

解：作BE,无轴于E,连接/C,交BD于点、P,则P是3D的中点，

•.•对角线8O〃x轴，/（2,0）,。（0,4）,

,-.OA=2,BE=OD=4,

"BAD=ZAOD=90°,

ZADO+NDAO=ZDAO+NBAE=90°,

ZADO=ZBAE,

•••ZAOD=NBEA=90°,

24

KADO-ABAE,

AEBERnAE4

——二——，即一T=K

ODOA42

AE=8,

OE=8+2=10,

•••5（10,4）,

/（5,4）,

当x=0时，y=_；x_2=_2,

••・N（0,-2）,

设平移后的直线为y=-3x+3

••・当经过点尸时，平移后的直线恰好平分矩形N8CZ）的面积,

,10,

.,.4=—x5+左,

2

13

解得左二万，

・•・平移后的直线为蚱-京1+]13,

……11313

当X=°时，y=--X+-.=-.i

-2（）2，

加的值为17:，

【点拨】本题考查了一次函数的图象与几何变换，坐标与图形性质，一次函数图象上点的坐标特征，相似

三角形的判定和性质，中心对称的性质等知识，明确直线经过矩形对角线的交点时平分矩形的面积是解题

的关键.

25

[5-3]（2023•河南信阳•二模）如图，瓦＞为矩形/5C。的对角线，AB=5,BC=—,把8绕点。旋

转，点。的对应为点E,当。石〃AD时，的长为.

【答案】厢或3厢

【分析】分两种情况讨论，通过证明△瓦CS45S,由三角形的性质可求CE,斯的长，由勾股定理即

可求解.

解：如图，当绕点。顺时针旋转，过点E作跖于尸，如图所示:

:"EFC=/BCD=90。,CE=CD=5,

BD//CE,

/.ZFCE=ZBDC,

.•△EFCs/\BCD,

15

.EF_BC_3,

*CF-cF-T-4

:CE=5,

EF=3,CF=4,

:.DF=CD-CF=1,

DE=^EF2+DF2=A/32+12=VlO.

当CD绕点C逆时针旋转，过点。作D尸，直线CE'于广,

26

•「CD=CE,

:.S=-xDC-EF^-xCE-DF',

AZnJC/SF22

DF'=EF=3,

DF=EF'=\,

E'F=10-l=9,

DE'=yjF'D2+E'F'2=3而，

故答案为：3瓦或

【点拨】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这

些性质解决问题是解题的关键.

【考点6】图形相似中的菱形几何变换

[6-1](24-25九年级上•山西运城•阶段练习)综合与探究

问题情境

在课外小组活动中，创新小组以"菱形纸片中的图形变换"为主题开展数学活动.如图1,边长为12cm的菱

形纸片Z8CD(/BAD>9Q°),对角线NC=8cm.

实践探究

(1)成员甲：将图1中的a/BC折叠，使点8落在线段2c的延长线上的点G处，得到折痕/〃，如图2,

求折痕4/的长；

(2)成员乙：将图1中菱形纸片ABCD(ABAD>90°),沿对角线AC剪开，得到△4SC和"CD.再将“ACD

以点/为旋转中心，按逆时针方向旋转角使a=2/8/C,得到如图3所示的AZE尸，点C、D的对应

点分别为点E、F,连接EB、EC,得到四边形3CEF,请判断四边形3CE尸的形状，并证明；

⑶小组组长根据图3,在成员乙发现结论的基础上，提出一个平移问题：将A/E尸沿着射线£8方向平移

acm,得到连接89，CE',使四边形BCE'F恰好为正方形，直接写出a的值.

图1图2图3

【答案】(1)/〃=个四加；⑵四边形BCE尸是矩形，见解析；⑶亚T2)cm或后+12]cm.

27

【分析】(1)过点5作交/C于川，根据菱形的性质可知/W=CM=；/C=4cm,根据勾股定

理，利用等面积法求解即可；

(2)利用旋转的性质结合菱形的性质得出，四边形5CE尸是平行四边形，进而得出四边形2CE尸是矩形；

(3)首先求出CC的长，分别利用①点中在边EC上，②点/在EC的延长线上，求出a的值.

解：(工)解：过点5作3M'1/C,交/C于/,

AD

由题意可知，48=BC=12cm,

■：BMVAC,

AM=CM=^AC=4cm,由勾股定理可得：BM=-CE2=8后cm，

由折叠可知，AHIBC,

,:SAABC=^ACBM=^BC-AH,

ACBM8x8啦16nr

・••AH=-------------=-----------=——A/2cm；

BC123

(2)证明：如图，

作石于点N,

•・•四边形是菱形，

；,BA=BC,

/.ZBCA=ABAC,

/CAN=/BCA,

/.AN//BC,同理可得：AN\\EF,

：.BC//EF.

28

又「BC=EF,

.•・四边形BCEF是平行四边形.

■.■AN//BC,ZCNA=90°,

•••NBCE=180°-Z.CNA=90°,

.•・四边形3CE尸是矩形；

(3)如图，过点3作垂足为

由(1)可知，BM=8V2cm,

在和ACBM中，

•••ZCAN=ZBCM,ZCNA=ZBMC=90°,

“CNS&CBM,

CNAC-8

/.---=----,BQ尸'一,

BMBC8V212

解得：CN=I，'cm，

3

•:AC=AE,ANICE