2023年新高考数学一轮复习：直线与圆的位置关系（知识点讲解）

专题9.2直线与圆的位置关系(知识点讲解)

【知识框架】

求国的方程

圆的方程经合应月

直线与圆相切

直线与图相交及弦长

靠考题型L

国与匈的位置关系

直线.圆的综合应用

轨酢］题【核心素养】

1.考查圆的方程，凸显数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养.

2.考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系，凸显数学运算、直观想象的核心素养.

3.与圆锥曲线相结合考查，凸显数学运算、直观想象、数学应用的核心素养.

【知识点展示】

一.圆的方程

1.圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆.

2.圆的标准方程

⑴若圆的圆心为C(a,6),半径为％则该圆的标准方程为：(x-a)2+(y-6)2=厂2.

⑵方程(％-。)2+('-6)2=厂2表示圆心为©(06),半径为厂的圆.

3.圆的一般方程

(1)任意一个圆的方程都可化为：基+)；2+。%+与+/=0.这个方程就叫做圆的一般方程.

(2)对方程：X2+y2+£)x+Ey+歹=。.①若£)2+石2—4/〉。，则方程表示以(-■亍，一爹)为圆心,

-g+E2-4尸为半径的圆；

2

②若D2+E2—4F=0,则方程只表示一个点(-彳,--)；

③若。2+E2-4/<。，则方程不表示任何图形.

4.点y)与。C的位置关系

00

(l)Mq<70点4在圆内=(%—。)2+(%—b)2<厂2；

(2)P4C|=70点/在圆上=(「一。)2+(%—6)2=r2.

(3)uq>70点A在圆外=(%—。)2+(%—。)2>n.

二.圆的方程综合应用

1.圆的标准方程为：(x-a)2+(y-b)2=厂2

2.圆的一般方程.：X2+y2+Dx+Ey+b=0(D2+£2-4F>0).

IAx+By+Cl

3.点P(x,y)到直线/：4+£y+C=。的距离：d=\~nn1.

°0°y/A2+B2

三.直线与圆相切

1.直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点；

2.几何法：圆心到直线的距离等于半径，即1=「；

3.代数法：4=0,方程组有一组不同的解.

四.直线与圆相交及弦长

1.直线与圆相交：直线与圆有两个公共点；

2.几何法：圆心到直线的距离小于半径，即d<r；

3.代数法：A>0,方程组有两组不同的解.

五.圆与圆的位置关系

设两圆的圆心分别为C、C,圆心距为d=|CC|,半径分别为R、r(R〉r).

(1)两圆相离：无公共点；d>R+r,方程组无解.

⑵两圆外切：有一个公共点；d=R+r,方程组有一组不同的解.

(3)两圆相交：有两个公共点；R-r<d<R+r,方程组有两组不同的解.

(4)两圆内切：有一公共点；d=R-r,方程组有一组不同的解.

(5)两圆内含：无公共点；°Wd<R-r,方程组无解.特别地，d=0时，为两个同心圆.六.常用结论

1.圆的三个性质

(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；

(2)圆心在任一弦的中垂线上；

(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线.

2.以/(X/%)，B(X2,%)为直径端点的圆的方程为(x—Z)+(7—%)(y—%)=0・

3.当两圆相交(切)时，两圆方程(X2,严项的系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在的直线方程.

4.直线与圆相交时，弦心距"，半径心弦长的一半夕满足关系式厂2=出土

5.圆的切线方程常用结论

(1)过圆x2+y2=r2上一点尸(%，凡)的圆的切线方程为x^±y^=n.

(2)过圆(x—a)2+(y_b)2=r2上一点尸(/，4)的圆的切线方程为&一a)(x—a)+(%一6)&—6)=72

(3)过圆x2+y2=r2外一点Ma。，%)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为晞无十%

【常考题型剖析】

题型一：求圆的方程

例1.(202。•山东高考真题)已知圆心为(-2,1)的圆与y轴相切，则该圆的标准方程是()

A.G+2>+(y-l)2=1B.(x+2>+(y-l>=4

C.(x-2>+(y+l)=1D.(x-2)2+(y+l»=4

例2.(重庆•高考真题(文))圆心在y轴上，半径为1,且过点(1,2)的圆的方程是()

A.x2+(y_21=lB.尤2+(y+2>=l

C.(x-l>+(y-3>=1D.尤2+(y-3»=l

例3.(2022•全国•高考真题(文))过四点(0,0),(4,0),(f1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为.

【规律方法】

求圆的方程，主要有两种方法：

(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理.如：①圆心在过切点且与切线垂直的直

线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线.

(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量.一般地，与圆心

和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式.不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三

个独立等式.题型二：圆的方程综合应用

例4.(2023•全国•高三专题练习)当圆C:x2+y2-4x+6y-3=0的圆心到直线/：e+y+，"-l=0的距离最

大时，加=()

、3434

A.-B.-C.——D.—

4343

例5.（2016・天津•高考真题（文））已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M（0,6）在圆C上，且圆心到直

线2x-y=。的距离为生5,则圆C的方程为

5

【总结提升】

涉及圆的方程问题，常用到圆的以下几何性质：

①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；

②圆心在任一弦的垂直平分线上.

题型三：直线与圆相切

例6.（2020•全国•高考真题（理））若过点（2,1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2尤-y-3=。的

距离为（）

A.逅B.毡C・孚D.竽

55

例7.【多选题】（2021•全国•高考真题）已知直线/:ax+by-r：=0与圆C:整+y2=厂，点A（a,6）,则下列

说法正确的是（）

A.若点/在圆C上，则直线/与圆C相切B.若点/在圆C内，则直线/与圆C相离

C.若点/在圆C外，则直线/与圆C相离D.若点N在直线/上，则直线/与圆C相切

例8.（2020•浙江・高考真题）设直线/:〉=立+。/>0）与圆x2+y2=1和圆（x-4”+尸=1均相切，贝也=

b=.

【规律方法】

判断直线与圆的位置关系常见的方法

（1）几何法：利用d与r的关系.

（2）代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用八判断.

（3）点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.

提醒：上述方法中最常用的是几何法.

题型四：直线与圆相交及弦长

例9.（2023・全国•高三专题练习）过圆C:（x-l»+y2=l外一点尸作圆C的两条切线，切点分别为4,B.若

△口3为等边三角形，则过。（2,1）的直线/被尸点轨迹所截得的最短弦长为.

例10.（2022・天津•高考真题）若直线尸尸根功（机>°）与圆（XT»+6T>=3相交所得的弦长为加，则

m=

【规律方法】

1.弦长的两种求法

（1）代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式△>0的前提下,

利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.

⑵几何方法：若弦心距为d,圆的半径长为r,则弦长1=2而二豆.

题型五：圆与圆的位置关系

例11.（2022•广西桂林•模拟预测（文））圆C:x2+y2rl4尤=0与圆C：（x-3"+0-4）2=15的位置关系为

12

（）

A.相交B.内切C.外切D.相离

例12.（2022•全国•高考真题）写出与圆m+尹=1和（x-3"+（y-4）2=16都相切的一条直线的方程

【规律方法】

1.判断两圆位置关系的方法

常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法.

2.两圆公共弦长的求法

两圆公共弦长，先求出公共弦（两圆方程相减即得公共弦方程）所在直线的方程，转化为直线与圆相交的

弦长问题.

3.公共弦长要通过解直角三角形获得.

题型六：直线、圆的综合应用

例13.（2020•全国•高考真题（理））已知x2+y2-2x-2y-2=0,直线/：2x+y+2=0,P为/上的

动点，过点P作口〃的切线P4PB,切点为A,8,当IPMLIABI最小时，直线的方程为（）

A.2x-y-l=0B.2x+y-1=0C.2x-y+1=0D.2x+y+l=0

例14.（2022•全国•高考真题）设点4（-2,3）,8（0,a）,若直线A5关于y=。对称的直线与圆（尤+3"+（y+2”=1

有公共点，则a的取值范围是.

例15.（2022•河南•郑州四中高三阶段练习（文））已知圆C：X2+声-4x-2y+l=0,点尸是直线y=4上的

动点，过尸作圆的两条切线，切点分别为4B,则|A5|的最小值为.

例16.（2023•全国•高三专题练习）已知线段的端点8的坐标是（5,1）,端点/在圆C:（x-l>+（y-3”=4

1

上运动.

y

(1)求线段的中点P的轨迹C?的方程;

⑵设圆q与曲线c2的两交点为“，N,求线段皿的长；

⑶若点C在曲线C?上运动，点。在X轴上运动，求|AQ|+|CQ|的最小值.

【规律方法】

(一)最值问题

1.与圆有关的最值问题的三种几何转化法

(1)形如〃=三|形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题.

(2)形如t=ax+by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题.

(3)形如加=(无一。)2+。一6)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.

2.求解形如下M+FN(其中M,N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：

(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离.

(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.

(-)求与圆有关的轨迹问题的四种方法

(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解.

(2)定义法：根据圆的定义列方程求解.

(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解.

⑷代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解.

注：从高考命题看，与圆相关轨迹问题，往往与圆锥曲线有关.(三)几何法解决直线与圆的综合问题

(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形.

(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题.

专题9.2直线与圆的位置关系(知识点讲解)

【知识框架】

求国的方程

园的方程综合应用

直送与圆相切

直线与圆相交及弦长

常考题型

园与园的位置关系

直线.圆的综合应用

粤粤【核心素养】

1.考查圆的方程，凸显数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养.

2.考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系，凸显数学运算、直观想象的核心素养.

3.与圆锥曲线相结合考查，凸显数学运算、直观想象、数学应用的核心素养.

【知识点展示】

一.圆的方程

1.圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆.

2.圆的标准方程

⑴若圆的圆心为C(a,6),半径为％则该圆的标准方程为：(x-a)2+(y-6)2=厂2.

⑵方程(％-。)2+('-6)2=厂2表示圆心为©(06),半径为厂的圆.

3.圆的一般方程

(1)任意一个圆的方程都可化为：X2+尸+Dx+与+尸=0.这个方程就叫做圆的一般方程.

(2)对方程：X2+y2+Dx+Ey+b=。.①若。2+七2一4/＞。，则方程表示以(一号，一多为圆心,

L^D2+E2-4F为半径的圆；

2

②若D2+E2—4F=0,则方程只表示一个点(一爹，--)；

③若。2+E2—4歹<0,则方程不表示任何图形.

4.点y)与。C的位置关系

00

(1)MC|49点N在圆内0(%—。)2+(小一①2<厂2.

(2)磔。|=厂=点/在圆上0(%—。)2+(4—6)2=厂2.

(3)MG>rO点A在圆外=(%—。)2+(、0—。)2>r2.

二.圆的方程综合应用

1.圆的标准方程为：(x-a)2+(y-b)2=厂2

2.圆的一般方程.：X2+y2+Dx+Ey+F(D2+£2-4F>0).

\Ax+By+Cl

3.点P(x,y)到直线I：Ax+By+C=0的距离：d=J,'()].

000必2+B2

三.直线与圆相切

1.直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点；

2.几何法：圆心到直线的距离等于半径，即1=「；

3.代数法：4=0,方程组有一组不同的解.

四.直线与圆相交及弦长

1.直线与圆相交：直线与圆有两个公共点；

2.几何法：圆心到直线的距离小于半径，即d<J

3.代数法：A>0,方程组有两组不同的解.

五.圆与圆的位置关系

设两圆的圆心分别为C、C,圆心距为d=|CC|,半径分别为R、r(7?>r).

(1)两圆相离：无公共点；d>R+r,方程组无解.

⑵两圆外切：有一个公共点；d=R+r,方程组有一组不同的解.

(3)两圆相交：有两个公共点；R-r<d<R+r,方程组有两组不同的解.

(4)两圆内切：有一公共点；d=R-r,方程组有一组不同的解.

(5)两圆内含：无公共点；UWd<R-r,方程组无解.特别地，d=0时，为两个同心圆.六.常用结论

1.圆的三个性质

(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上;

(2)圆心在任一弦的中垂线上；

(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线.

2.以/(X],%),B(X2,%)为直径端点的圆的方程为(x—工2)+&—%)。一为)=0・

3.当两圆相交(切)时，两圆方程(X2,严项的系数相同)相遮便可得公共弦(公切线)所在的直线方程.

4.直线与圆相交时，弦心距力半径厂，弦长的一半,满足关系式-2=心+&。]

5.圆的切线方程常用结论

(1)过圆X2+y2=r2上一点尸(%,了0)的圆的切线方程为彳森十20匕=22.

(2)过圆(X—a)2+(y—b)2=r2上一点P(xQ,凡)的圆的切线方程为。9二q)(土二一。)土以二也)。.二6)=.4

(3)过圆X2+y2=r2外一点新(尤0,%)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为苫8+%"=厂2.

【常考题型剖析】

题型一：求圆的方程

例1.(2020•山东高考真题)已知圆心为(-2,1)的圆与y轴相切，则该圆的标准方程是()

A.(x+2)+(y-l>=1B.(x+2>+G-l>=4

C.(x-2>+(y+l)=1D.(x-2)2+(y+l»=4

【答案】B

【分析】

圆的圆心为(-2,1),半径为2,得到圆方程.

【详解】

根据题意知圆心为(-2,1),半径为2,故圆方程为：(x+2)2+(y—l)2=4.

故选：B.

例2.(重庆•高考真题(文))圆心在y轴上，半径为1,且过点(i，2)的圆的方程是()

A.X2+(y_2)=lB.X2+(y+2»=l

C.(x-l>+(y-3>=1D.x2+(y-3»=l

【答案】A

【解析】

【分析】根据圆心的位置及半径可写出圆的标准方程，然后将点(L2)代入圆的方程即可求解.

【详解】

因为圆心在y轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为(0,6),贝U圆的方程为X2+(y-b)2=l,又点(1,2)在圆上,

所以1+(2-砂=1,解得b=2.

故选：A

例3.(2022・全国•高考真题(文))过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为,

【答案】G—2>+（y—3）=13或Q—2>+（y—=5或1—吟或（x—|j+（y―1>=舞

【解析】

【分析】

设圆的方程为举+/+6+4+/=0,根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可;

【详解】

解：依题意设圆的方程为％2+广+m+或+/=0，

F=0[尸=0

若过(0,0),(4,0),(-1,1),则16+4。+/=0,解得。=—4,

l+l-D+E+F=0[E=-6

所以圆的方程为X2+>2一4%一6y=0,即(x-2)2+(y—3»=13；

F=0[尸=0

若过（0,0）,（4,0）,（4,2）,则16+40+/=0,解得。=—4,

16+4+4。+25+/=0[E=-2

所以圆的方程为％2+丫2一4%一2y=0,即(x—2)2+(y—l>=5；

尸=0

午二0

若过(0,0),(4,2),(-1.1),财l+l-r）+E+F=0,解得，D=--

J

16+4+4D+2E+F=0

L14

1E=--3

所以圆的方程为加+W―|x—9y=0,若过(fl),(4,0),(4,2),则

l+l-D+E+F=0

<16+40+/=0解得<D=,

16+4+40+25+b=0

E=-2

所以圆的方程为尤2+y2-3x_2y_j=0

故答案为：(尤一2>+(了一3)=13或6-2>+6-1)2=5或[苫一[[+1｝；一,)=获或(工一|]+(>一1>=翳.

【规律方法】

求圆的方程，主要有两种方法：

(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理.如：①圆心在过切点且与切线垂直的直

线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线.

(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量.一般地，与圆心

和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式.不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三

个独立等式.

题型二：圆的方程综合应用

例4.(2023•全国•高三专题练习)当圆C:x2+y2-4x+6y-3=0的圆心到直线/:皿+y+机-1=0的距离最

大时，m=()

3434

A.—B.—C.—D.—

4343

【答案】C

【解析】

【分析】

求出圆心坐标和直线过定点，当圆心和定点的连线与直线/垂直时满足题意，再利用两直线垂直，斜率乘积

为-1求解即可.

【详解】

解：因为圆C:x2+y2-4x+6y-3=0的圆心为C(2,-3),半径R=4,

又因为直线/："叱+y+："T=。过定点A(-l,l),

43

故当C4与直线/垂直时，圆心到直线的距离最大，此时有左=-1,=解得加=-二.

ACi34

故选：C.

例5.(2016•天津•高考真题(文))已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点加(0,一)在圆C上，且圆心到直

线2x-y=。的距离为递，则圆C的方程为

5

【答案】(x-2)2+J2=9.

【解析】

【详解】

试题分析：设C(a,O)(a>0),则=4fna=2,r=422+(6)2=3,

故圆C的方程为（x-2"+y2=9.

【总结提升】

涉及圆的方程问题，常用到圆的以下几何性质：

①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；

②圆心在任一弦的垂直平分线上.

题型三：直线与圆相切

例6.（2020•全国•高考真题（理））若过点（2,1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2尤-丫-3=。的

距离为（）

A.逅B.毡C.蛙D.逑

5555

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为Q,。）,。＞0,可得圆的半径为。，写出圆的标准方程，利用点

（2,1）在圆上，求得实数。的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线2x-y-3=。的距离.

【详解】

由于圆上的点（2,1）在第一象限，若圆心不在第一象限，

则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限,

设圆心的坐标为Q，a）,则圆的半径为

圆的标准方程为（x-+（y-=〃2.由题意可得（2-+（1-=〃2,

可得〃2一6a+5=0,角牟得a=1或。=5,

所以圆心的坐标为（1,1）或（5,5）,

圆心(1,1)到直线2x-y-3=0的距离均为4=,义1"3=¥.

圆心（5.5）到直线2x-y-3=0的距离均为《=内法-可=卓

圆心到直线2尤一y-3=0的距离均为d=£!=拽，

下5

所以，圆心到直线2x-y-3=0的距离为2石.

5

故选：B.

例7.【多选题】（2021•全国•高考真题）已知直线/:办+力-72=0与圆C:x2+y2=。，点A（a,b）,则下列

说法正确的是（）

A.若点/在圆C上，则直线/与圆C相切B.若点/在圆C内，则直线/与圆C相离

C.若点4在圆C外，则直线/与圆C相离D.若点N在直线/上，则直线/与圆C相切

【答案】ABD

【解析】

【分析】

转化点与圆、点与直线的位置关系为。2+拉/2的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即

可得解.

【详解】

圆心c（o,o）到直线I的距离d=r2,

皿2+/72

若点A（Q,Z?）在圆。上，则Q2+Z?2=r2,所以d=1r2,二卜|,

\Ja2+/?2

则直线/与圆。相切，故A正确；

若点A（a,b）在圆C内，则02+拉＜二，所以d=-^=＞M，则直线/与圆C相离，故B正确；

+Z?2

若点A（a,6）在圆C外，则42+从＞厂2,所以d==：＜|r|,

yja2+匕2

则直线/与圆c相交，故c错误；

若点A（Q,b）在直线/上，则Q2+Z?2-厂2=0即Q2+Z?2=f2,

所以d=一=卜|，直线/与圆。相切，故D正确.

\Ja2+/72

故选：ABD.

例8.(2020•浙江•高考真题)设直线/:》=丘+6/>0)与圆12+>2=1和圆(x—4)2+”=1均相切，贝也=：

b=.

【答案】在一记

33

【解析】

【分析】

由直线与两圆相切建立关于左，6的方程组，解方程组即可.

【详解】

IAI\4k+b\

设C：X2+》=1,c:(x-4)2+产=1,由题意，C,C到直线的距离等于半径，即/=1,/=],

1212

，左2+12>/左2+12

所以1次=|4左+4,所以上=0(舍)或者6=-2左,

解得％=立/=一型.

33

故答案为：&「空

33

【规律方法】

判断直线与圆的位置关系常见的方法

(1)几何法：利用d与r的关系.

(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用△判断.

(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.

提醒：上述方法中最常用的是几何法.

题型四：直线与圆相交及弦长

例9.(2023・全国•高三专题练习)过圆。：6-1>+产=1外一点尸作圆。的两条切线，切点分别为4,B.若

△R4B为等边三角形,则过。(2,1)的直线/被尸点轨迹所截得的最短弦长为.【答案】2#

【解析】

【分析】

先根据/ZPC=30。，可得尸点轨迹方程为圆，再数形结合可知当/与。垂直时，/被圆所截得的弦长最短，

结合垂径定理计算即可

【详解】

由题意知C（1,O）,连接尸C,因为△以台为等边三角形，所以//PC=30。，所以|3|=」^=2,所以P点

sin30

轨迹的方程为（x-l>+y2=4.因为（2-11+12=2<4,所以点。（2,1）在圆（x—1）2+产=4的内部.连接CD,

结合图形可知，当/与CD垂直时，/被圆0-1»+山=4所截得的弦长最短，最短弦长为

2"-C江=2J匚2=2点

例10.（2022・天津•高考真题）若直线苫7+"?=°（心°）与圆（无一1>+。一）=3相交所得的弦长为巴则

m=.

【答案】2

【解析】

【分析】

计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于他的等式，即可解得机的值.

【详解】

圆（x-+（y-=3的圆心坐标为（1,1）,半径为上，

圆心到直线x-y+机=0（机>。）的距离为与翼=若，由勾股定理可得1%Tj=3,

因为7">0,

解得m=2.

故答案为：2.

【规律方法】

1.弦长的两种求法

（1）代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式公>0的前提下,

利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.

（2）几何方法：若弦心距为d,圆的半径长为r,则弦长1=2亚二豆.

题型五：圆与圆的位置关系

例11.(2022•广西桂林•模拟预测(文))圆C:x2+y2-14x=0与圆C：(x-3”+(y-4”=15的位置关系为

12

()

A.相交B.内切C.外切D.相离

【答案】A

【解析】

【分析】

根据两圆的位置关系的判定方法，即可求解.

【详解】

由C:+y2—14元=0与圆。:(%-3)2+(y-4)2=15,

12，

可得圆心c(7,0),C(3,4),半径R=7,R=屈，

1212

则C|=—3)2+(0—4)2=4>/2,且R—R=7—^5,R+R=7+yjl5,

所以R一R<|CC|</?+R,所以两圆相交.

21112121

故选：A.

例12.(2022•全国•高考真题)写出与圆史+山=1和(x-3"+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程

35725

【答案】y=或y尤-或x=-L

442424

【解析】

【分析】

先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】

圆x2+y2=1的圆心为。(0,0),半径为1,圆(尤-3"+(y-4”=16的圆心q为(3,4),半径为4,

两圆圆心距为出2+42=5，等于两圆半径之和，故两圆外切，

如图，

当切线为/时，因为左=4-,所以％=-3=,设方程为y=-：3x+&>。)

oot3/44

d=J"=[535

。到/的距离-「丁一，解得♦==，所以/的方程为『-=无+=，

vl+—444

当切线为时，设直线方程为丘+y+P=。，其中P>。，k<0,

725

由题意＜，解得—x-----

件+4+人,2424

P---

24

当切线为〃时，易知切线方程为x=-l,

故答案为：「白3+^5或『小7-皂25或x=T.

442424

1.判断两圆位置关系的方法

常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法.

2.两圆公共弦长的求法

两圆公共弦长，先求出公共弦（两圆方程相减即得公共弦方程）所在直线的方程，转化为直线与圆相交的

弦长问题.

3.公共弦长要通过解直角三角形获得.

题型六：直线、圆的综合应用

例13.（2020•全国•高考真题（理））已知□跖x2+y2-2x-2y-2=0,直线/：2x+y+2=0,尸为/上的

动点，过点尸作口河的切线切点为48,当IPMWABI最小时，直线A3的方程为（）

A.2A'-y-1=0B.2尤+y-1=0C.2x-y+l=QD.2x+y+1=0

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点A,P,B,M共圆，且根据

|PMHAB|=4S—=4|明可知，当直线MP，/时，最小，求出以MP为直径的圆的方程，根据

圆系的知识即可求出直线AB的方程.

【详解】

圆的方程可化为(尤-D+Q-DUL点M到直线/的距离为"=吗上斗=逐>2,所以直线/与圆相

02+12

离.

依圆的知识可知，四点AP,四点共圆，且AS，,所以1PM.\AB\=4S”M=4x：x\PA\x\AM\=4\PA\,

而|P4|=^|MP|2-4,

当直线MP，/时，|MP|=75,照=1,此时|尸叫・|神|最小.

minmin

11

MP:y-l=i(x-l)BPy=~x1V=—x+一x--\

—,由《,22解得,

2y=0

2x+y+2=0

所以以M尸为直径的圆的方程为G-l)G+l)+y(y-1)=0,即X2+y2-y-l=0,

两圆的方程相减可得：2x+y+l=0,即为直线A3的方程.

故选：D.

例14.(2022•全国•高考真题)设点4-2,3),8(0,a),若直线.关于y=。对称的直线与圆(尤+3)2+(>+2”=1

有公共点，则a的取值范围是.

「13'

【答案】【解析】

【分析】

首先求出点A关于>=。对称点A的坐标，即可得到直线/的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得

到不等式，解得即可；

【详解】

解：4(-2,3)关于〉=。对称的点的坐标为4(-2,24-3),2(0,。)在直线〉=。上，

所以所在直线即为直线/,所以直线/为丫=二二工+。，即(a-3)x+2y-2a=0；

圆C:(x+3)2+(y+2》=1,圆心。(一3,-2),半径r=l,

,3(a—3)—4—24]

-3»+22

-13

即（5—«（〃—3>+2?,解得即3-2-

-

「13"

故答案为：

例15.（2022・河南•关B州四中局三阶段练习（文））已知圆。：举+”―4x—2y+l=0点尸是直线y=4上的

动点，过尸作圆的两条切线，切点分别为4B,则的最小值为.

【答案】至##±遥

33

【解析】

【分析】

根据圆的切线的性质，结合三角形面积s=2卢川与s=：|4B||CP|,化简可得|4叫=程，

四边形APBC11四边形AP5C2\CP\

进而得到|4叫=4『^,根据|AB|最短时，|CP|最短求解即可

【详解】

圆C:12+产一4%—2〉+1=0,即（x—2>+（j-1）2=4,

由于私心分别切圆。于点4B,则|PA|=|P回，

CALPA,CBLPB,所以S=2S=|G4||PA|,