2023年中考数学压轴题专练：二次函数与公共点及交点综合问题（全国原卷版）

专题17二次函数与公共点及交点综合问题

典例剖析.

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【例1】.(2022•大庆)已知二次函数y=/+6x+%图象的对称轴为直线x=2,将二次函

数y=x2+6x+加图象中y轴左侧部分沿x轴翻折，保留其他部分得到新的图象C.

(1)求6的值；

(2)①当加<0时，图C与x轴交于点M,在N的左侧)，与了轴交于点P.当

△MVP为直角三角形时，求加的值；

②在①的条件下，当图象C中-4Wy<0时，结合图象求x的取值范围；

(3)已知两点/(-I,-1),2(5,-1),当线段与图象C恰有两个公共点时，

直接写出比的取值范围.

3咻

--------------------------►----------------------

OxO

备用图

【例2】.(2022•湖北)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=/-2x-3的顶点为/,

与y轴交于点C,线段C2〃x轴，交该抛物线于另一点2.

(1)求点2的坐标及直线/C的解析式；

(2)当二次函数y=/-2x-3的自变量x满足机WxW加+2时，此函数的最大值为°,

最小值为4，且〃-g=2,求机的值；

(3)平移抛物线y=/-2x-3,使其顶点始终在直线NC上移动，当平移后的抛物线与

射线8/只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为"，请直接写出〃的取值范

围.

备用图

【例3】.(2022•张家界)如图，已知抛物线＞="2+1+3(aWO)与x轴交于N(1,0),B

(4,0)两点，与〉轴交于点C,点。为抛物线的顶点.

(1)求抛物线的函数表达式及点。的坐标；

(2)若四边形2C所为矩形，CE=3.点M以每秒1个单位的速度从点C沿CE向点E

运动，同时点N以每秒2个单位的速度从点E沿斯向点尸运动，一点到达终点，另一

点随之停止.当以〃、E.N为顶点的三角形与△BOC相似时，求运动时间f的值；

(3)抛物线的对称轴与x轴交于点P,点G是点P关于点。的对称点，点。是x轴下

方抛物线上的动点.若过点。的直线/：＞=履+加(因＜9)与抛物线只有一个公共点,

【例4】.(2022•沈阳)如图，在平面直角坐标系中，抛物线＞=a/+6x-3经过点2(6,0)

和点。(4,-3),与x轴的另一个交点为/,与y轴交于点C,作直线ND

(1)①求抛物线的函数表达式；

②直接写出直线的函数表达式；

(2)点£是直线4D下方的抛物线上一点，连接交AD于点凡连接3D,DE,△

2。厂的面积记为Si，△。斯的面积记为S2，当必=2$2时，求点E的坐标；

(3)点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方的部分沿x轴向上翻折，与抛物线

剩下的部分组成新的曲线记为C1，点C的对应点为。，点G的对应点为G’，将曲线

Q沿y轴向下平移〃个单位长度（0<n<6）.曲线Ci与直线8c的公共点中，选两个公

共点记作点P和点。，若四边形C'G'0尸是平行四边形，直接写出点P的坐标.

满分训练.

一.解答题（共20小题）

1.（2022•钟楼区校级模拟）如图，已知二次函数y=」丫2+"a+加+_1的图象与x轴交于点

22

A.B（点/在点8的左侧），与y轴交于点C（0,-»）,P是抛物线在直线/C上方图

2

象上一动点.

（1）求二次函数的表达式；

（2）求△尸/C面积的最大值，并求此时点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，抛物线在点/、2之间的部分（含点/、B）沿x轴向下翻折，

得到图象G.现将图象G沿直线/C平移，得到新的图象〃与线段尸C只有一个公共点,

请直接写出图象M的顶点横坐标〃的取值范围.

2.（2022•保定一模）如图，关于x的二次函数了=/-2%+於+2「5的图象记为2,点P是L

上对称轴右侧的一点，作尸。，>轴，与工在对称轴左侧交于点。；点8的坐标分别

为(1,0),(1,1),连接

(1)若，=1,设点P,0的横坐标分别为"2,",求"关于"2的关系式;

(2)若乙与线段有公共点，求才的取值范围；

(3)当2f-3<x<2—1时，了的最小值为-2L,直接写出/的值.

4

3.(2022•广陵区校级二模)在平面直角坐标系中，已知函数为=2x和函数以=-x+6,不

论x取何值，为都取为与乃二者之中的较小值.

(1)求函数为和乃图象的交点坐标，并直接写出为关于x的函数关系式；

(2)现有二次函数y=x2-8x+c,若函数为和y都随着x的增大而减小，求自变量x的

取值范围；

(3)在(2)的结论下，若函数则和y的图象有且只有一个公共点，求c的取值范围.

4.(2022•金华模拟)在平面直角坐标系中，二次函数-2%x+6加(xW2”,加为常数)

的图象记作G,图象G上点A的横坐标为2m.

(1)当加=1,求图象G的最低点坐标；

(2)平面内有点C(-2,2).当/C不与坐标轴平行时，以/C为对角线构造矩形

ABCD,与x轴平行，2c与/轴平行.

①若矩形/BCD为正方形时，求点/坐标；

②图象G与矩形/2CD的边有两个公共点时，求心的取值范围.

5.(2022•清镇市模拟)在平面直角坐标系中，抛物线>=办2-2*x+l(.WO)与y轴交于

点/,过点/作x轴的平行线与抛物线交于点及

(1)抛物线的对称轴为直线尤=;(用含字母a的代数式表示)

(2)若/3=2,求二次函数的表达式；

(3)已知点P(a+4,1),Q(0,2),如果抛物线与线段P。恰有一个公共点，求a的

取值范围.

6.（2022•五华区三模）已知抛物线＞="2-zwx+2加-3经过点N（2,-4）.

（1）求a的值；

（2）若抛物线与y轴的公共点为（0,-1）,抛物线与x轴是否有公共点，若有，求出

公共点的坐标；若没有，请说明理由；

（3）当24W4时，设二次函数y=ax2-mx+2m-3的最大值为M,最小值为N,若旦=

N

工，求加的值.

8

7.（2022•秦淮区二模）在平面直角坐标系中，一个二次函数的图象的顶点坐标是（2,1）,

与y轴的交点坐标是（0,5）.

（1）求该二次函数的表达式；

（2）在同一平面直角坐标系中，若该二次函数的图象与一次函数y=x+〃（〃为常数）的

图象有2个公共点，求”的取值范围.

8.（2022•盐城二模）若二次函数y=a/+Zw+a+2的图象经过点/（1,0）,其中a、6为常

数.

（1）用含有字母a的代数式表示抛物线顶点的横坐标；

（2）点3（-工，1）、C（2,1）为坐标平面内的两点，连接3、C两点.

2

①若抛物线的顶点在线段8C上，求。的值；

②若抛物线与线段2c有且只有一个公共点，求a的取值范围.

Ay

BC

-----------•--------------------►

OAx

9.（2022•滑县模拟）如图，已知二次函数y=x2+2x+c与x轴正半轴交于点8（另一个交点

为/）,与了轴负半轴交于点C,且OC=3O3.

（1）求抛物线的解析式；

（2）设直线NC的解析式为＞=辰+6,求点N的坐标，并结合图象写出不等式/+2x+c》

kx+b的解集；

（3）已知点尸（-3,1）,Q（2,2汁1）,且线段尸0与抛物线y=/+2x+c有且只有一个

公共点，直接写出/的取值范围.

10.（2022春•龙凤区期中）如图，二次函数了=-/-2》+4-/的图象与一次函数＞,=-2%

的图象交于点/、8（点8在右侧），与y轴交于点C,点/的横坐标恰好为a,动点P、

Q同时从原点O出发，沿射线OB分别以每秒灰和2代个单位长度运动，经过/秒后,

以PQ为对角线作矩形PMQN,且矩形四边与坐标轴平行.

（1）求。的值及f=l秒时点尸的坐标；

（2）当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间t的取值范围；

（3）在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R,作关于原点（0,0）的对称点为R',

当点M恰在抛物线上时，求必〃长度的最小值，并求此时点R的坐标.

11.（2022春•鼓楼区校级期末）在平面直角坐标系了帆中，已知抛物线y=a/-2Q+1）

X+Q+2（aW0）.

（1）当。=-工时，求抛物线的对称轴及顶点坐标；

8

（2）请直接写出二次函数图象的对称轴是直线（用含。的代数式表示）及二次函数图象

经过的定点坐标是.

（3）若当1WXW5时，函数值有最大值为8,求二次函数的解析式；

（4）已知点/（0,-3）、B（5,-3）,若抛物线与线段只有一个公共点，请直接写

出a的取值范围.

12.（2022•绥江县二模）已知二次函数-3a（a<0）的图象经过（3,0）.

（1）求二次函数的对称轴；

（2）点/的坐标为（1,0）,将点/向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度

后得到点3,若二次函数的图象与线段N8有公共点，求a的取值范围.

13.（2022•南京一模）已知二次函数y=a（x-1）（x-1-a）（a为常数，且aWO）.

（1）求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点；

（2）若点（0,乃），（3,y2）在函数图象上，比较为与”的大小；

（3）当0<x<3时，y<2,直接写出a的取值范围.

14.（2022•余姚市一模）己知：一次函数为=2x-2,二次函数竺=-J+6x+c（6,c为常

数），

（1）如图，两函数图象交于点（3,“），5,-6）.求二次函数的表达式，并写出当为

<为时X的取值范围.

（2）请写出一组b,c的值，使两函数图象只有一个公共点，并说明理由.

15.（2022•花溪区模拟）已知二次函数>="2+及+。（aWO）的图象经过/（-2,1）,B

（2,-3）两点

（1）求分别以/（-2,1）,B（2,-3）两点为顶点的二次函数表达式；

（2）求6的值，判断此二次函数图象与x轴的交点情况，并说明理由；

（3）设（加，0）是该函数图象与x轴的一个公共点.当-3<m<-1时，结合函数图象,

写出。的取值范围.

•A

16.(2022•无锡模拟)在平面直角坐标系中，A,8两点的坐标分别是(0,-3),(0,4),

点、P(加，0)(加W0)是X轴上一个动点，过点/作直线于点。，直线NC与X

轴交于点C,过点尸作尸£〃》轴，交/C于点£.

(1)当点尸在x轴的正半轴上运动时，是否存在点P,使△08与△OAD相似？若存

在，请求出加的值；若不存在，请说明理由.

(2)小明通过研究发现当点尸在x轴上运动时，点E(x,y)也相应的在二次函数y=

a^+bx+c(a#0)的图象上运动，为了确定函数解析式小明选取了一些点尸的特殊的位

请填写表中空格，并根据表中数据求出二次函数的函数解析式；

(3)把(2)中所求的抛物线向左平移"个单位长度，把直线y=-2x-4向下平移〃个

单位长度，如果平移后的抛物线对称轴右边部分与平移后的直线有公共点，那么请直接

写出〃的取值范围.

17.(2022•朝阳区校级一模)在平面直角坐标系中，二次函数＞=-/+2加x-6加(xW2m,

加为常数)的图象记作G,图象G上点/的横坐标为2根.平面内有点C(-2,-2).当

NC不与坐标轴平行时，以NC为对角线构造矩形4BCD,与x轴平行，3c与y轴平

行.

(1)当"?=-2,求图象G的最高点坐标；

(2)若图象G过点(3,-9),求出加的取值范围；

(3)若矩形/3CD为正方形时，求点/坐标；

(4)图象G与矩形/BCD的边有两个公共点时，直接写出加的取值范围.

18.(2022•如东县一模)定义:若两个函数的图象关于某一点尸中心对称，则称这两个函

数关于点P互为“伴随函数”.例如，函数＞=/与＞=-x2关于原点。互为“伴随函

数”.

(1)函数y=x+l关于原点。的“伴随函数”的函数解析式为,函数＞=(X-

2)2+1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为；

(2)已知函数y=/-2x与函数G关于点P(加，3)互为“伴随函数”.若当机＜x＜7

时，函数y=，-2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，求加的取值范围；

(3)已知点/(0,1),点B(4,1),点C(2,0),二次函数-2G-3a(a＞0)

与函数N关于点C互为“伴随函数”，将二次函数y=ox2-2ax-3a(a＞0)与函数N的

图象组成的图形记为少，若图形沙与线段恰有2个公共点，直接写出。的取值范

围.

19.(2022•南京模拟)对于平面直角坐标系x0中的图形N,给出如下定义：P为图形

M