2022届上海市闵行区高三数学一模试卷 附答案

2021学年第一学期高三年级质量调研考试数学试卷第4页共4页闵行区2021学年第一学期高三年级质量调研考试数学试卷考生注意：1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页．2．作答前，考生在答题纸正面填写学校、姓名、考生号，粘贴考生本人条形码．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在草稿纸、试卷上作答一律不得分．4．用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．函数的定义域为___________．2．已知集合，，若，则___________．3．已知复数的虚部为，且，则在复平面内所对应的点到虚轴的距离为___________．4．若函数的反函数为，则方程的根为___________．5．函数的最小正周期为___________．6．已知等差数列的前项和为，若，，则___________．7．若的二项展开式中的常数项为，则实数___________．8．已知椭圆的右焦点为，其中，则___________．9．若点与点关于直线对称，则___________．10．某学校为落实“双减”政策，在每天放学后开设拓展课程供学生自愿选择，开学第一周的安排见下表．小明同学要在这一周内选择编程、书法、足球三门课，不同的选课方案共___________种．周一周二周三周四周五演讲、绘画舞蹈、足球编程、绘画舞蹈、足球编程、书法舞蹈、足球书法、演讲舞蹈、足球书法、演讲舞蹈、足球注：每位同学每天最多选一门课，每一门课一周内最多选一次11．已知，若对任意，恒成立，则实数的取值范围为___________．A12．已知，数列满足，．若对任意正实数，总存在和相邻两项，使得成立，则实数的最小值为___________．A二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．若直线的一个方向向量为，则的法向量可以是（）（A）（B）（C）（D）14．在空间中，直线平行于直线，直线、为异面直线，若，则异面直线、所成角的大小为（）（A）（B）（C）（D）15．已知实数满足，则三个数中，大于1的个数最多是（）（A）（B）（C）（D）16．设函数，，对于实数、，给出以下命题：命题：；命题：；命题：．下列选项中正确的是（）（A）、中仅是的充分条件（B）、中仅是的充分条件（C）、都不是的充分条件（D）、都是的充分条件三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，圆锥的底面直径与母线长均为，是圆锥的高，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点．（1）求该圆锥的体积；（2）求直线与平面所成角的大小．18．（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知，，．（1）设，求函数的解析式及最大值；（2）设的三个内角的对边分别为，当时，，且，求的面积．19．（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，某飞行器研究基地在指挥中心的正北方向千米处，小镇在的正西方向千米处，小镇在的正南方向千米处．已知一新型飞行器在试飞过程中到点和到直线的距离始终相等，该飞行器产生一定的噪音污染，距离该飞行器千米以内（含边界）为级噪音，每远离飞行器千米，噪音污染就会减弱级，直至级为无噪音污染（飞行器的大小及高度均忽略不计）．OAEBF（1）判断该飞行器是否经过线段OAEBF并判断小镇是否会受到该飞行器的噪音污染？（2）小镇受该飞行器噪音污染的最强等级为多少级？20.（本题满分16分，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分）如图，在平面直角坐标系中，、分别为双曲线的左、右焦点，点为线段的中点，直线过点且与双曲线右支交于、两点，延长、，分别与双曲线交于、两点.xyMNQDF1OF2PxyMNQDF1OF2P（2）求证：；（3）若直线、的斜率都存在，且依次设为、.试判断是否为定值，如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）将有穷数列中部分项按原顺序构成的新数列称为的一个“子列”，剩余项按原顺序构成“子列”．若各项的和与各项的和相等，则称和为数列的一对“完美互补子列”．（1）若数列为，请问是否存在“完美互补子列”？并说明理由；（2）已知共项的等比数列为递减数列，且，公比为．若存在“完美互补子列”，求证：；（3）数列满足，（）．设共有对“完美互补子列”，求证：当和时，都存在“完美互补子列”，且．2021学年第一学期高三年级质量调研考试数学试卷第4页共4页闵行区2021学年第一学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准一、1．；2．；3．；4．；5．；6．；7.；8.；9.；10.；11.；12..二、（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13．C；14．B；15．C；16．D．三、（本大题满分76分）17．本题共有2个小题,第1小题满分6分，第2小题满分8分．[解]（1）由题意，，，，…………2分圆锥的体积为…6分（2）显然平面，连接，即为直线与平面所成角，……8分因为，又，…10分于是，……………12分因此直线与平面所成角的大小为．…14分18．（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分，第2小题满分8分．[解]（1）由题意…2分，…4分所以，函数的最大值为，当且仅当，即时，取到最大值．………………6分（2）由题意…8分所以，，因为为三角形内角，所以，所以，…10分由余弦定理：得解得或，…12分所以或．…14分19．（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分，第2小题满分8分．[解]（1）该飞行器是经过线段的中点，………2分因与飞行器距离（单位：千米），为10级噪音，，为9级噪音，……，，为1级噪音，因此飞行器的噪音污染半径为10千米，当飞行器经过点时，，……4分因此，小镇是会受到该飞行器的噪音污染；……6分（注：只需在飞行轨迹上恰当地选取一点，与的距离小于10即可）y2-2OFxAEB（2）如图所示，以线段的垂直平分线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，则点，由题意，该飞行器的运动轨迹为以点为焦点、直线为准线的抛物线，其方程为，………………9y2-2OFxAEB在轨迹上任取点，则，…………11分因此，当时，，…13分此时，小镇受该飞行器噪音污染最强，等级为3级．…14分20.（本题满分16分，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分）[解]（1）已知点，由题意可知，,，点的坐标为，得直线的方程为，即……………2分所以点到直线的距离为……………5分（2）由题意可知，、，由、、三点共线，……8分得，即.………………10分（3）直线的方程为，代入双曲线方程得，即即，…12分由韦达定理得，，故，,………………14分同理，，,则，所以是定值，.………………16分21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）[解]（1）因为数列各项的和为，…2分为奇数，显然不存在各项和相等的一对“子列”，即不存在“完美互补子列”．…4分（2）证法一：由题意，，各项的和为，………………7分若存在“完美互补子列”，则必在某“子列”中，由于，故，…9分即，所以，综上可得，；……………10分证法二：由题意，，假设结论不成立，即，各项的和为，…………7分则，…9分因为存在“完美互补子列”，所以必在某“子列”中，因此各项的和大于等于，矛盾！假设不成立，故．…10分（3）①当时，，可将数列中的项按照上述等式两两配对分成组，任取其中组按照中顺序构成，其余组按照中顺序构成，这样和是一对“完美互补子列”，…12分②当时，对此数列的前项，可构造出对“完美互补子列”和．（下面只需将后三项分别放入上述子列和中，其中至少有三种放法）放法1：将和放到所在的子列，同时将该子列中的取出，将和放到另外一个子列中，此时所得到的两个子列是时，的一对“完美互补子列”．存在性得证．………………14分放法2：将和放到所在的子列，同时将该子列中的取出，将和放到另外一个子列中，此时所得到的两个子列也是时，的一对“完美互补子列”．…………16分放法3