2025年牛津译林版高一数学上册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年牛津译林版高一数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、正方体各棱长为1；它的表面积与体积的数值之比为（）

A.1：6

B.6：1

C.4：1

D.1：4

2、【题文】已知M,N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若则（）A.MB.NC.ID.3、【题文】当时，函数的值总大于1，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.4、已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=且f（x+2）=f（x），g（x）=则方程f（x）=g（x）在区间[﹣5，1]上的所有实根之和为（）A.﹣8B.﹣7C.﹣6D.05、下列函数中是偶函数的是（）A.y=2|x|﹣1，x∈[﹣1，2]B.y=x2+xC.y=x3D.y=x2，x∈[﹣1，0）∪（0，1]6、如果圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴相切于原点，则（）A.E≠0，D=F=0B.D≠0，E≠0，F=0C.D≠0，E=F=0D.F≠0，D=E=07、计算的结果为（）A.1B.2C.4D.8评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)8、已知函数y=x2+2x在闭区间[a，b]上的值域为[-1，3]，则满足题意的有序实数对（a，b）在坐标平面内所对应点组成图形的长度为____．9、已知函数f（x）=cos+sin（x∈R），给出以下命题：①函数f（x）的最大值是2；②周期是③函数f（x）的图象上相邻的两条对称轴之间的距离是④对任意x∈R，均有f（5π-x）=f（x）成立；⑤点（）是函数f（x）图象的一个对称中心．其中正确命题的序号是____．10、函数x∈[-2π，2π]的单调递增区间是____．11、为了解某校教师使用多媒体辅助教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校200名授课教师中抽取20名教师，调查了解他们上学期使用多媒体辅助教学的次数，结果用茎叶图表示（如图所示），据此可估计该校上学期200名教师中，使用多媒体辅助教学的次数在[15，25）内的人数为_________．12、【题文】某个几何体的三视图如下，单位：cm，则此几何体的体积为____.13、【题文】若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如图所示，则这个棱柱的表面积为____.____14、【题文】设函数若对于任意不等式恒成立，则实数的取值范围是____15、已知函数f（x）=x2﹣2kx+1在区间[1，3]上是增函数，则实数k的取值范围为____16、已知数列{an}的通项公式an=（）n（3n+13），则使得an取最大值时的n=______．评卷人得分三、证明题(共9题，共18分)17、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．18、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．19、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．20、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．21、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．22、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．23、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．24、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．25、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．评卷人得分四、作图题(共1题，共5分)26、作出函数y=的图象．评卷人得分五、解答题(共2题，共16分)27、已知抛物线y2=4ax（a＞0且a为常数）；F为其焦点．

（1）写出焦点F的坐标；

（2）过点F的直线与抛物线相交于P、Q两点，且求直线PQ的斜率；

（3）若线段AC；BD是过抛物线焦点F的两条动弦；且满足AC⊥BD，如图所示．求四边形ABCD面积的最小值S（a）．

28、【题文】如图，过锐角△的重心作面且使．

求证：△和△都是直角三角形．

。评卷人得分六、综合题(共2题，共12分)29、设L是坐标平面第二；四象限内坐标轴的夹角平分线．

（1）在L上求一点C，使它和两点A（-4，-2）、B（5，3-2）的距离相等；

（2）求∠BAC的度数；

（3）求（1）中△ABC的外接圆半径R及以AB为弦的弓形ABC的面积．30、已知△ABC的一边AC为关于x的一元二次方程x2+mx+4=0的两个正整数根之一，且另两边长为BC=4，AB=6，求cosA．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、B【分析】

正方体各棱长为1；它的表面积为6×1×1=6

体积为1×1×1=1；表面积与体积的数值之比6：1

故选B

【解析】【答案】利用正方体表面积；体积公式分别求出表面积与体积的数值；再做比值即可．

2、A【分析】【解析】

试题分析：因为所以故选A.

考点：1、集合的关系；2、集合的运算.【解析】【答案】A3、C【分析】【解析】本题考查指数函数的性质.

指数函数的函数值总大于1，所以即

故选C【解析】【答案】C4、B【分析】【解答】由题意知g（x）==2+函数f（x）的周期为2；

则函数f（x）；g（x）在区间[﹣5，1]上的图象如右图所示：

由图形可知函数f（x）；g（x）在区间[﹣5，1]上的交点为A，B，C，易知点B的横坐标为﹣3，若设C的横坐标为t

（0＜t＜1）；则点A的横坐标为﹣4﹣t，所以方程f（x）=g（x）在区间[﹣5，1]上的所有实数根之和为﹣3+（﹣4﹣t）+t=﹣7．

故选：B．

【分析】化简g（x）的表达式，得到g（x）的图象关于点（﹣2，1）对称，由f（x）的周期性，画出f（x），g（x）的图象，通过图象观察[﹣5，1]上的交点的横坐标的特点，求出它们的和5、D【分析】【解答】解：A中的函数定义域关于原点不对称；故函数为非奇非偶函数。

B：y=x+x2为非奇非偶函数。

C：y=x3为奇函数。

D：y=x2；x∈[﹣1，0）∪（0，1]的定义域关于原点对称且满足f（﹣x）=f（x），即函数f（x）为偶函数。

故选D

【分析】A中的函数定义域关于原点不对称；函数为非奇非偶函数。

B：y=x+x2为非奇非偶函数。

C：y=x3为奇函数。

D：y=x2，x∈[﹣1，0）∪（0，1]的定义域关于原点对称且满足f（﹣x）=f（x）6、A【分析】【分析】圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴相切于原点，说明圆心到x轴距离为半径且原点坐标适合圆的方程，所以E≠0，D=F=0，故选A。7、A【分析】解：

=×1+×（）2-+（）2

=+-+

=1．

故选：A．

直接利用特殊角的三角函数求值即可．

本题考查三角函数的化简求值，特殊角的三角函数值的求法．【解析】【答案】A二、填空题(共9题，共18分)8、略

【分析】

∵y=（x+1）2-1；∴可画出图象如图所示．

由x2+2x=3，解得x=-3或x=1；又当x=-1时，（-1）2-2=-1．

①当a=-3时，b必须满足-1≤b≤1，可得点（a，b）在坐标平面内所对应点组成图形的长度为|AB|=1-（-1）=2；

②当-3＜a≤-1时，b必须满足b=1，可得点（a，b）在坐标平面内所对应点组成图形的长度为|BC|=（-1）-（-3）=2．

如图2所示：∴|AB|+|BC|=2+2=4．

故答案为4．

【解析】【答案】由已知函数y=x2+2x在闭区间[a，b]上的值域为[-1，3]，画出图象可得a、b满足的条件；进而可求出答案．

9、略

【分析】

∵函数f（x）=cos+sin=sin（）（x∈R），故其最大值等于周期等于=5π，两条相邻的对称轴之间的距离是

故①②不正确；③正确．

令=kπ+k∈z，可得x=+k∈z，故函数f（x）的对称轴为x=+k∈z，故函数不关于x=对称；故④不正确．

当x=时，函数f（x）=sin（+）=sinπ=0，故点（）是函数f（x）图象的一个对称中心；故⑤正确．

综上；只有③⑤正确；

故答案为：③⑤．

【解析】【答案】利用两角和差的正弦公式化简函数f（x）=sin（）；由此确定函数的对称性；周期性、最值，从而得到答案．

10、略

【分析】

由2kπ-π≤x-≤2kπ，k∈Z，解得4kπ-≤x≤4kπ+k∈Z；

因为x∈[-2π，2π]，所以函数的单调增区间为：（-）；

故答案为：（-）．

【解析】【答案】利用余弦函数的单调增区间求出函数的单调增区间即可．

11、略

【分析】试题分析：由茎叶图可知：在抽取的20名教师中使用多媒体辅助教学的次数在[15，25）内的频数是8,所以其频率为:据此我们估计该校的200名授课教师中使用多媒体辅助教学的次数在[15，25）内的概率为0.4,所以该校的200名授课教师中使用多媒体辅助教学的次数在[15，25）内的人数约为:2000.4=80人;故应填入:80人.考点：茎叶图．【解析】【答案】80人12、略

【分析】【解析】

试题分析：该几何体是一个长方体截去一角；长方体底面边长分别为2,4，高为2；

所以，此几何体的体积为

考点：三视图；几何体体积计算。

点评：简单题，三视图问题，已成为高考必考题目，结合几何体的特征，考查面积、体积计算。【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱柱，其高已知，底面正三角形的高为3，故先解三角形求出底面积，再由体积公式求解其体积即可．【解析】【答案】14、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】15、（﹣∞，1]【分析】【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2kx+1

∴对称轴为x=k

∵函数f（x）=x2﹣2kx+1在区间[1；3]上是增函数；

∴k≤1

故答案为：（﹣∞；1]

【分析】对称轴为x=k，函数f（x）=x2﹣2kx+1在区间[1，3]上是增函数，k≤1，求解即可．16、略

【分析】解：假设an是数列{an}的项取最大值；

则（）n+1（3n+16）≤（）n（3n+13）；

且（）n-1（3n+10）≤（）n（3n+13）；

即n≥且n≤

∵n是整数；

∴n=6；

故答案为：6

假设an是数列{an}的项取最大值，根据条件建立不等式进行求解即可．

本题主要考查数列的函数的性质的应用，根据条件建立不等式的关系是解决本题的关键．【解析】6三、证明题(共9题，共18分)17、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．18、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．19、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．20、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．21、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．22、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．23、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．24、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．25、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．四、作图题(共1题，共5分)26、【解答】图象如图所示。

【分析】【分析】描点画图即可五、解答题(共2题，共16分)27、略

【分析】

（1）∵抛物线方程为y2=4ax（a＞0）；∴焦点为F（a，0）．

（2）设满足题意的点为P（x，y）、Q（x1，y1）．

∵

∴．

又y12=4ax1，y2=4ax；

∴．

∴．

（3）由题可知；直线AC既不平行x轴，也不平行y轴（否则AC，BD与抛物线不会有四个交点）；

于是，设直线AC的斜率为kAC=k（k≠0）；则AC的方程为：y=k（x-a）．

联立方程组化简得k2x2-2a（k2+2）x+k2a2=0（设点A（x1，y1）、C（x2，y2））；

则x1、x2是此方程的两个根．

∴．

∴弦长

=

=

=．

又∴．

于是，弦长．

∴

=（当且仅当即k=±1时，等号成立）．

∴S（a）=32a2．

【解析】【答案】（1）根据抛物线的性质可知p=2a；进而焦点坐标为F（a，0）．

（2）假设点为P（x，y）、Q（x1，y1），然后表示出再根据可以得到（a-x，-y）=2（x1-a，y1），再由y12=4ax1，y2=4ax，可确定进而可得x=2a，y2=4ax=8a2，即然后表示出直线PQ的斜率代入即可得到答案．

（3）设直线AC的斜率为kAC=k（k≠0），可得到AC的方程然后与抛物线联立得到两根之和、两根之积，根据弦长公式表示出|AC|并化简，然后根据直线AC的斜率可得到直线BD的斜率求出|BD|的弦长，再表示出S四边形ABCD运用基本不等式可确定答案．

28、略

【分析】【解析】连结为△垂心，．

又面

又面．

△是直角三角形．

同理可证△是直角三角形．【解析】【答案】证明见