2025年人教新课标高一数学上册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年人教新课标高一数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、已知集合A＝{x|x＜}，B＝{x|1＜x＜2}，且则实数的取值范围A.≤2B.＜1C.≥2D.＞22、已知角A是三角形的一个内角，若（x＜-1）；则sinA的值为（）

A.

B.

C.

D.

3、在体积为15的斜三棱柱ABC-A1B1C1中，S是C1C上的一点，S-ABC的体积为3，则三棱锥S-A1B1C1的体积为（）

A.1

B.

C.2

D.3

4、已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是（）A.4B.5C.8D.15、y=cos（2x+）的最小正周期是（）A.B.C.πD.2π评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)6、已知单位向量的夹角为那么|-|=____．7、已知α且sinα=则sin（）-=____．8、【题文】长方体中,则与平面所成角的正。

弦值为____.9、设全集A={0，1，2}，B={﹣1，0，1}，则A∪B=____．10、已知若则m=____________．11、已知关于x的不等式组有唯一实数解，则实数k的取值集合______．评卷人得分三、证明题(共6题，共12分)12、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．13、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．14、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．15、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．16、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．17、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．评卷人得分四、计算题(共2题，共20分)18、（1）sin30°+cos45°；

（2）sin260°+cos260°-tan45°．19、若直线y=（m-2）x+m经过第一、二、四象限，则m的范围是____．评卷人得分五、解答题(共2题，共18分)20、如图，在正三棱柱中，点在边上，（1）求证：平面（2）如果点是的中点，求证：//平面21、已知函数f（x）=2sin2x+sin2x-1；x∈R

（1）求f（x）的最小正周期及f（x）取得最大值时x的集合．

（2）在平面直角坐标系中画出函数f（x）在[0，π]上的图象（在图上标明关键点的坐标）评卷人得分六、综合题(共2题，共10分)22、如图，△ABC中，AB=5，BC=6，BD=BC；AD⊥BC于D，E为AB延长线上的一点，且EC交AD的延长线于F．

（1）设BE为x；DF为y，试用x的式子表示y．

（2）当∠ACE=90°时，求此时x的值．23、如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果；那么称直线l为该图形的黄金分割线．

（1）研究小组猜想：在△ABC中；若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？

（2）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、C【分析】试题分析：若则考点：集合的混合运算【解析】【答案】C2、C【分析】

设t=-x，可得x=-t，tanA===

∴sinA==．

故选C

【解析】【答案】设t=-x；得到x=-t，代入已知的等式中变形后，利用万能公式表示出sinA，将t=-x代入，计算即可得到结果．

3、C【分析】

∵三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=15；

三棱锥S-ABC的体积与三棱锥S-A1B1C1的体积和为V=5

∵三棱锥S-ABC的体积为3；

∴三棱锥S-A1B1C1的体积2

故选C

【解析】【答案】由棱柱的体积与棱锥体积的关系，由于三棱锥S-ABC三棱锥S-A1B1C1的底面全等，高之和等于棱柱的高，我们可得棱锥S-ABC的体积与三棱锥S-A1B1C1的体积和为V（其中V为斜三棱柱ABC-A1B1C1的体积），进而结合三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=15；三棱锥S-ABC的体积为3，得到答案．

4、A【分析】【解答】解：由扇形的面积公式得：

因为扇形的半径长为面积为所以扇形的弧长．

设扇形的圆心角的弧度数为

由扇形的弧长公式得：且

所以扇形的圆心角的弧度数是4．故选A．

【分析】扇形的圆心角的弧度数为半径为弧长为面积为由面积公式和弧长公式可得到关于和的方程，进而得到答案．本题属于基本题。5、C【分析】【解答】解：函数y=cos（2x+）的最小正周期是=π；

故选：C．

【分析】根据y=Acos（ωx+φ）的周期等于得出结论．二、填空题(共6题，共12分)6、略

【分析】

===．

故答案为．

【解析】【答案】利用向量数量积的性质可得=代入计算即可．

7、略

【分析】

∵已知α且sinα=∴cosα=-

∴sin（）-=cosα+cosα=cosα==．

故答案为．

【解析】【答案】利用同角三角函数的基本关系及α的范围求出cosα，由诱导公式化简要求的式子为cosα+cosα；运算求得结果．

8、略

【分析】【解析】解：因为长方体中,则作出与平面所成角，结合直角三角形可知其正弦值为【解析】【答案】9、{﹣1，0，1，2}【分析】【解答】解：∵A={0；1，2}，B={﹣1，0，1}，则A∪B={0，1，2}∪{﹣1，0，1}={﹣1，0，1，2}．

故答案为：{﹣1；0，1，2}．

【分析】直接利用并集运算得答案．10、略

【分析】解：∵

=(4；m-2)

•=0

即(-1；2)(4，m-2)=0；

解得-4+2m-4=0；m=4

故答案为4【解析】411、略

【分析】解：若k=0，不等式组1≤kx2+2x+k≤2可化为：1≤2x≤2；不满足条件．

若k＞0，则若不等式组1≤kx2+2x+k≤2，=2时；满足条件．

此时解得：k=

若k＜0，则若不等式组1≤kx2+2x+k≤2，=1时；满足条件。

此时解得：k=

所以：实数k的取值集合{}

故答案为{}．

根据不等式ax2+bx+c≤M（a＜0）有唯一实数解，即最大值=M；不等式ax2+bx+c≤M（a＞0）有唯一实数解？最小值=M；可以判断实数k的取值，要对参数k进行分类讨论，以确定不等式的类型，在各种情况中分别解答后，综合结论即得最终结果．

本题考查了不等式ax2+bx+c≤M（a＜0）有唯一实数解，最大值=M；不等式ax2+bx+c≤M（a＞0）有唯一实数解，最小值=M．属于基础题．【解析】{}三、证明题(共6题，共12分)12、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．13、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．14、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=15、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．16、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．17、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．四、计算题(共2题，共20分)18、略

【分析】【分析】本题中所给的两个题中的三角函数都是特殊角的三角函数，其三角函数值已知，将其值代入，计算即可．【解析】【解答】解：由题意（1）sin30°+cos45°=+=

（2）sin260°+cos260°-tan45°=+-1=+-1=019、略

【分析】【分析】若函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0，由此可以确定m的取值范围．【解析】【解答】解：∵直线y=（m-2）x+m经过第一；二、四象限；

∴m-2＜0；m＞0；

故0＜m＜2．

故填空答案：0＜m＜2．五、解答题(共2题，共18分)20、略

【分析】试题分析：（1）证明线面垂直，关键证明线线垂直.已知所以还需再找一组线线垂直.平面（2）证明线面平行，关键证明线线平行.本题有中点条件，所以从中位线寻找平行条件.因为平面所以从而是中点.连接////平面证：（1）平面7分(2)因为平面所以从而是中点.连接////平面14分考点：线面平行判定定理，线面垂直判定定理【解析】【答案】（1）详见解析，（2）详见解析.21、略

【分析】

（1）化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式；即可求出f（x）的最小正周期及f（x）取得最大值时x的集合．

（2）直接在平面直角坐标系中画出函数f（x）在[0；π]上的图象．

本题是中档题，考查三角函数的化简求值，周期的求法，图象的作法，考查计算能力，作图能力．【解析】解．（1）函数f（x）=2sin2x+sin2x-1=sin2x-cos2x=sin（2x-）（3分）

所以f（x）的最小正周期是π；（4分）

当2x-=2kπk∈Z；

即x=kπ+k∈Z，时，sin（2x-）取得最大值1；

从而f（x）取得最大值

所以f（x）取得最大值时x的集合为．（8分）

（2）图象如图所示．（12分）六、综合题(共2题，共10分)22、略

【分析】【分析】（1）过B作BG∥AF交BCEC于G，则可以得到△CDF∽△CBG，接着利用相似三角形的性质得到，在Rt△ABD中，利用勾股定理可得；又△EGB∽△EFA，由此利用相似三角形的性质即可求出y与x的函数关系；

（2）当∠ACE=90°时，则有∠FCD=∠DAC，由此得到Rt△ADC∽Rt△CDF，接着利用相似三角形的性质得到