2024秋高中数学第一章导数及其应用1.5.2定积分的概念学案含解析新人教A版选修2-2

PAGE9-1.5.2定积分的概念自主预习·探新知情景引入探讨函数，从量的方面探讨事物运动改变是微积分的基本方法．从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是积分的思想在古代就已经产生了．公元前三世纪，古希腊的阿基米德在探讨解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想．那么定积分是怎样定义的呢？又有哪些性质呢？新知导学1．定积分的概念假如函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式Sn＝eq\i\su(i＝1,n,f)(ξi)Δx＝__eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(b－a,n)f(ξi)__(其中Δx为小区间长度)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的__定积分__，记作eq\i\in(a,b,)f(x)dx，即eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝__eq\o(lim,\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,[)eq\f(b－a,n)f(ξi)]__.这里，a与b分别叫做__积分下限__与__积分上限__，区间[a，b]叫做__积分区间__，函数f(x)叫做__被积函数__，x叫做__积分变量__，f(x)dx叫做__被积式__.2．定积分的几何意义假如在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有__f(x)≥0__，那么定积分eq\i\in(a,b,)f(x)dx表示由__直线x＝a，x＝b(a≠b)__，y＝0和__曲线y＝f(x)__所围成的曲边梯形的面积．3．定积分的性质①eq\i\in(a,b,)kf(x)dx＝__keq\i\in(a,b,)f(x)dx__(k为常数)；②eq\i\in(a,b,)[f1(x)±f2(x)]dx＝__eq\i\in(a,b,)f1(x)dx±eq\i\in(a,b,)f2(x)dx__；③eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝eq\i\in(a,c,)f(x)dx＋__eq\i\in(c,b,)f(x)dx__(其中a<c<b)．定积分的性质③称为定积分对积分区间的可加性，其几何意义是曲边梯形ABCD的面积等于曲边梯形AEFD与曲边梯形EBCF的面积的和．预习自测1．求由曲线y＝ex，直线x＝2，y＝1围成的图形的面积时，若选择x为积分变量，则积分区间为(B)A．[0，e2] B．[0,2]C．[1,2] D．[0,1][解析]解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝ex,y＝1))，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0,y＝1))，所以积分区间为[0,2]，故应选B．2．下列式子中不成立的是(C)A．eq\i\in(a,2π+a,)sinxdx＝eq\i\in(b,2π+b,)cosxdxB．eq\i\in(0,eq\f(π,2),)sinxdx＝eq\i\in(0,eq\f(π,2),)cosxdxC．eq\i\in(0,π,)sinxdxeq\i\in(0,π,)cosxdxD．eq\i\in(0,π,)|sinx|dxeq\i\in(0,π,)|cosx|dx[解析]由定积分的几何意义知eq\i\in(0,π,)sinxdx>0，eq\i\in(0,π,)cosxdx＝0，所以C不成立，故应选C．3．下列值等于1的是(C)A．eq\i\in(0,1,)xdx B．eq\i\in(0,1,)(x＋1)dxC．eq\i\in(0,1,)1dx D．eq\i\in(0,1,)eq\f(1,2)x2dx[解析]由积分的几何意义可知选C．4．不用计算，依据图形，用不等号连接下列各式：(1)eq\i\in(0,1,)xdx__>__eq\i\in(0,1,)x2dx(图1)；(2)eq\i\in(0,1,)xdx__<__eq\i\in(1,2,)xdx(图2)；(3)eq\i\in(0,2,)eq\r(4－x2)dx__<__eq\i\in(0,2,)2dx(图3)．互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶定积分的定义典例1求eq\i\in(0,1,)x3dx.[思路分析]这里的被积函数f(x)＝x3明显是连续函数．现按定义中包含的几个步骤来求eq\i\in(0,1,)x3dx.[解析](1)分割[0,1]：0＜eq\f(1,n)＜eq\f(2,n)＜…＜eq\f(n－1,n)＜eq\f(n,n)＝1.(2)近似代替：作和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))3·eq\f(1,n)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,n)))3·eq\f(1,n)＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,n)))3·eq\f(1,n).＝eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(i,n)))3·\f(1,n))).(因为x3连续，所以ξi可随意取而不影响极限，故我们此处将ξi取为[xi，xi＋1]的右端点)(3)取极限：eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(i,n)))3·\f(1,n)))＝eq\f(1,n4)eq\i\su(i＝1,n,i)3＝eq\f(1,n4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(nn＋1,2)))2＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,n)＋\f(1,n2)))，∴eq\i\in(0,1,)x3dx＝eq\o(lim,\s\do4(n→∞))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,n)＋\f(1,n2)))))＝eq\f(1,4).(此处用到了求和公式13＋23＋…＋n3＝(1＋2＋…＋n)2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(nn＋1,2)))2)因此eq\i\in(0,1,)x3dx＝eq\f(1,4).『规律总结』用定义法求积分的步骤(1)分割：将积分区间[a，b]n等分．(2)近似代替：取点ξi∈[xi－1，xi]，可取ξi＝xi－1或者ξi＝xi.(3)求和：eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(b－a,n)f(ξi)．(4)求极限：eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝eq\o(lim,\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(b－a,n)f(ξi)．┃┃跟踪练习1__■(1)定积分eq\i\in(b,a,)f(x)dx的大小(A)A．与f(x)和积分区间有关，与ξi的取法无关B．与f(x)有关，与区间及ξi的取法无关C．与f(x)及ξi的取法有关，与区间无关D．与f(x)、积分区间和ξi的取法都有关(2)利用定积分的定义计算：eq\i\in(0,1,)x2dx.[解析](2)①分割，将区间[0,1]分成n等份0<eq\f(1,n)<eq\f(2,n)<…<eq\f(n－1,n)<eq\f(n,n)＝1，分割后的小区间长为Δx＝eq\f(i,n)－eq\f(i－1,n)＝eq\f(1,n).②近似代替，第i个小曲边梯形的面积可近似为ΔSi≈ΔS′i＝f(eq\f(i－1,n))·Δx＝(eq\f(i－1,n))2·eq\f(1,n)，(i＝1,2，…，n)．③求和，Sn≈eq\i\su(i＝1,n,Δ)S′i＝eq\i\su(i＝1,n,f)(eq\f(i－1,n))Δx＝eq\i\su(i＝1,n,)(eq\f(i－1,n))2·eq\f(1,n)＝0·eq\f(1,n)＋(eq\f(1,n))2·eq\f(1,n)＋…＋(eq\f(n－1,n))2·eq\f(1,n)＝eq\f(1,n3)·[12＋22＋…＋(n－1)2]＝eq\f(1,6)(1－eq\f(1,n))(2－eq\f(1,n))．④取极限eq\i\in(0,1,)x2dx＝eq\o(lim,\s\do4(n→∞))Sn＝eq\o(lim,\s\do4(n→∞))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,6)1－\f(1,n)2－\f(1,n)))＝eq\f(1,3).命题方向❷利用定积分的几何意义计算定积分典例2说明下列定积分所表示的意义，并依据其意义求出定积分的值：(1)eq\i\in(0,1,)2dx；(2)eq\i\in(eq\f(π,2),eq\f(5,2)π,)(1＋sinx)dx；(3)eq\i\in(－2,2,)eq\r(4－x2)dx.[解析](1)eq\i\in(0,1,)2dx表示的是如图中阴影所示长方形的面积，由于这个长方形的面积为2，所以eq\i\in(0,1,)2dx＝2.(2)函数y＝1＋sinx的图象如图所示，eq\i\in(eq\f(π,2),eq\f(5,2)π,)(1＋sinx)dx＝2S矩形ABCD＝2π.(3)eq\i\in(－2,2,)eq\r(4－x2)dx表示的是图中阴影所示半径为2的半圆的面积，其值为2π，所以eq\i\in(－2,2,)eq\r(4－x2)dx＝2π.『规律总结』利用定积分所表示的几何意义求eq\i\in(a,b,)f(x)dx的值的关键是确定由曲线y＝f(x)，直线x＝a，直线x＝b及x轴所围成的平面图形的形态．常见形态是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．┃┃跟踪练习2__■用定积分的几何意义求：(1)eq\i\in(0,1,)(3x＋2)dx；(2)eq\i\in(eq\f(π,2),eq\f(3π,2),)sinxdx.[解析]如图1，阴影部分面积为eq\f(2＋5×1,2)＝eq\f(7,2)，从而eq\i\in(0,1,)(3x＋2)dx＝eq\f(7,2).(2)如图2，由于A的面积等于B的面积，从而eq\i\in(eq\f(π,2),eq\f(3π,2),)sinxdx＝0.命题方向❸利用定积分的性质求定积分典例3已知eq\i\in(0,1,)x3dx＝eq\f(1,4)，eq\i\in(1,2,)x3dx＝eq\f(15,4)，eq\i\in(1,2,)x2dx＝eq\f(7,3)，eq\i\in(2,4,)x2dx＝eq\f(56,3)，求：(1)eq\i\in(0,2,)3x3dx；(2)eq\i\in(1,4,)6x2dx；(3)eq\i\in(1,2,)(3x2－2x3)dx.[解析](1)eq\i\in(0,2,)3x3dx＝3eq\i\in(0,2,)x3dx＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\i\in(0,1,)x3dx＋\i\in(1,2,)x3dx))＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＋\f(15,4)))＝12.(2)eq\i\in(1,4,)6x2dx＝6eq\i\in(1,4,)x2dx＝6(eq\i\in(1,2,)x2dx＋eq\i\in(2,4,)x2dx)＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)＋\f(56,3)))＝126.(3)eq\i\in(1,2,)(3x2－2x3)dx＝3eq\i\in(1,2,)x2dx－2eq\i\in(1,2,)x3dx＝3×eq\f(7,3)－2×eq\f(15,4)＝－eq\f(1,2).『规律总结』定积分的性质在做题时常常用到，不但可以把未知的问题转化为已知的问题，而且在运算方面更为简便．另外，若函数f(x)的奇偶性已经明确，我们还有下面的结论，若f(x)在[－a，a]上连续，则：(1)若函数f(x)为奇函数，则eq\i\in(－a,a,)f(x)dx＝0；(2)若函数f(x)为偶函数，则eq\i\in(－a,a,)f(x)dx＝2eq\i\in(0,a,)f(x)dx.┃┃跟踪练习3__■已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x∈[0，2，,4－x，x∈[2，3，,\f(5,2)－\f(x,2)，x∈[3，5]，))求f(x)在区间[0,5]上的定积分．[解析]由定积分的几何意义知eq\i\in(0,2,)xdx＝eq\f(1,2)×2×2＝2，eq\i\in(2,3,)(4－x)dx＝eq\f(1,2)×(1＋2)×1＝eq\f(3,2)，eq\i\in(3,5,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－\f(x,2)))dx＝eq\f(1,2)×2×1＝1，所以eq\i\in(0,5,)f(x)dx＝eq\i\in(0,2,)xdx＋eq\i\in(2,3,)(4－x)dx＋eq\i\in(3,5,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－\f(x,2)))dx＝2＋eq\f(3,2)＋1＝eq\f(9,2).学科核心素养利用定积分求平面图形的面积定积分的性质主要涉及定积分的线性运算，这是解确定积分计算问题的重要工具，留意这些性质的正用和逆用及变形应用．主要考查定积分表示平面图形的面积．典例4将下列曲线围成的平面区域的面积用定积分表示．(1)y＝0，y＝eq\r(x)，x＝2；(2)y＝x－2，x＝y2.[思路分析]可先作出函数图象，再依据图象及几何意义把围成的平面区域的面积进行表示．[解析](1)曲线所围成的区域如图(1)所示，设此面积为S，则S＝eq\i\in(0,2,)eq\r(x)dx(2)曲线所围成的平面区域如图(2)所示，S＝A1＋A2，A1由y＝eq\r(x)，y＝－eq\r(x)，x＝1围成；A2由y＝eq\r(x)，y＝x－2，x＝1和x＝4围成．∴A1＝eq\i\in(0,1,)[eq\r(x)－(－eq\r(x))]dx，A2＝eq\i\in(1,4,)[eq\r(x)－(x－2)]dx，∴S＝eq\i\in(0,1,)2eq\r(x)dx＋eq\i\in(1,4,)(eq\r(x)－x＋2)dx.『规律总结』用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤是：(1)精确画出各曲线围成的平面区域；(2)把平面区域分割成简单表示的几部分，同时要留意x轴下方有没有区域；(3)解由曲线方程组成的方程组，确定积分的上、下限；(4)依据定积分的性质写出结果．┃┃跟踪练习4__■(1)由y＝cosx，x＝0，x＝eq\f(π,2)，y＝0所围成的图形的面积表示为定积分的形式是__eq\i\in(0,eq\f(π,2),)cosxdx__.(2)利用定积分的几何意义求eq\i\in(－3,0,)eq\r(9－x2)dx.[解析](1)由定积分的定义和几何意义求解．(2)如图，定积