2024秋高中数学第三章统计案例3.1第2课时线性回归分析达标练习含解析新人教A版选修2-3

PAGE6-第三章统计案例3.1回来分析的基本思想及其初步应用第2课时线性回来分析A级基础巩固一、选择题1．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做试验，并用回来分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表所示：分类甲乙丙丁r0.820.780.690.85m106115124103则哪位同学的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性()A．甲 B．乙C．丙 D．丁解析：r越接近1，相关性越强，残差平方和m越小，相关性越强，所以选D正确．答案：D2．已知回来方程eq\o(y,\s\up6(^))＝2x＋1，而试验得到一组数据是(2，4.9)，(3，7.1)，(4，9.1)，则残差平方和是()A．0.01 B．0.02 C．0.03 D．0.04解析：因为残差eq\o(e,\s\up6(^))i＝yi－eq\o(y,\s\up6(^))i，所以残差的平方和为(4.9－5)2＋(7.1－7)2＋(9.1－9)2＝0.03.答案：C3．若某地财政收入x与支出y满意线性回来模型y＝bx＋a＋e(单位：亿元)，其中b＝0.8，a＝2，|e|<0.5，假如今年该地区财政收入10亿元，年支出预料不会超过()A．10亿元B．9亿元C．10.5亿元D．9.5亿元解析：x＝10时，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.8×10＋2＝10.因为|e|<0.5，所以年支出预料不会超过10.5亿元．答案：C4．下列说法中正确的是()①相关系数r用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，|r|越接近于1，相关性越弱；②回来直线eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))肯定经过样本点的中心(x，y)；③随机误差e满意E(e)＝0，其方差D(e)的大小用来衡量预报的精确度；④相关指数R2用来刻画回来的效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好．A．①② B．③④ C．①④ D．②③解析：①线性相关关系r是衡量两个变量之间线性关系强弱的量，|r|越接近于1，这两个变量线性相关关系越强，|r|越接近于0，线性相关关系越弱，①错误；②回来直线eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))肯定通过样本点的中心(x，y)，②正确；③随机误差e是衡量预报精确度的一个量，它满意E(e)＝0，③正确；④用相关指数R2用来刻画回来的效果，R2越大，说明模型的拟合效果越好，④错误．答案：D5．如图所示，5个(x，y)数据，去掉D(3，10)后，下列说法错误的是()A．相关系数r变大B．残差平方和变大C．相关指数R2变大D．说明变量x与预报变量y的相关性变强解析：由散点图知，去掉D后，x与y的相关性变强，且为正相关，所以r变大，R2变大，残差平方和变小．答案：B二、填空题6．若一组观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)之间满意yi＝bxi＋a＋ei(i＝1，2，…，n)，且ei恒为0，则R2为________．解析：由ei恒为0，知yi＝eq\o(y,\s\up12(^))i，即yi－eq\o(y,\s\up12(^))i＝0，答案：17．依据如下样本数据得到的回来方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，若eq\o(a,\s\up6(^))＝5.4，则x每增加1个单位，估计y________个单位．x34567y42.5－0.50.5－2解析：由题意可得，x＝5，y＝eq\f(1,5)(4＋2.5－0.5＋0.5－2)＝0.9，因为回来方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，若eq\o(a,\s\up6(^))＝5.4，且回来直线过点(5，0.9)，所以0.9＝5eq\o(b,\s\up6(^))＋5.4，解得eq\o(b,\s\up6(^))＝－0.9，所以x每增加一个单位，估计y削减0.9个单位．答案：削减0.98．已知方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85x－82.71是依据女高校生的身高预报她的体重的回来方程，其中x的单位是cm，eq\o(y,\s\up6(^))的单位是kg，那么针对某个体(160，53)的残差是________．解析：将x＝160代入eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85x－82.71，得eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85×160－82.71＝53.29，所以残差eq\o(e,\s\up6(^))＝y－eq\o(y,\s\up6(^))＝53－53.29＝－0.29.答案：－0.29三、解答题9．(2024·全国卷Ⅱ)下图是某地区2000年到2024年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图．为了预料该地区2024年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回来模型．依据2000年至2024年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…，17)建立模型①：eq\o(y,\s\up6(^))＝－30.4＋13.5t；依据2010年至2024年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…，7)建立模型②：eq\o(y,\s\up6(^))＝99＋17.5t.(1)分别利用这两个模型，求该地区2024年的环境基础设施投资额的预料值；(2)你认为用哪个模型得到的预料值更牢靠？并说明理由．解：(1)利用模型①，该地区2024年的环境基础设施投资额的预料值为eq\o(y,\s\up6(^))＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元)．利用模型②，该地区2024年的环境基础设施投资额的预料值为eq\o(y,\s\up6(^))＝99＋17.5×9＝256.5(亿元)．(2)利用模型②得到的预料值更牢靠．理由如下：方法一从折线图可以看出，2000年至2024年的数据对应的点没有随机散布在直线y＝－30.4＋13.5t上下．这说明利用2000年至2024年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的改变趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2024年的数据对应的点位于一条直线的旁边，这说明从2010年起先环境基础设施投资额的改变规律呈线性增长趋势，利用2010年至2024年的数据建立的线性模型eq\o(y,\s\up6(^))＝99＋17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的改变趋势，因此利用模型②得到的预料值更牢靠．方法二从计算结果看，相对于2024年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预料值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预料值的增幅比较合理．说明利用模型②得到的预料值更牢靠．10．关于x与y有以下数据：x24568y3040605070已知x与y线性相关，由最小二乘法得eq\o(b,\s\up12(^))＝6.5.(1)求y与x的线性回来方程；(2)现有其次个线性模型：eq\o(y,\s\up12(^))＝7x＋17，且R2＝0.82.若与(1)的线性模型比较，哪一个线性模型拟合效果比较好，请说明理由．解：(1)依题意设y与x的线性回来方程为eq\o(y,\s\up12(^))＝6.5x＋eq\o(a,\s\up12(^)).eq\o(\s\up7(—),\s\do3(x))＝eq\f(2＋4＋5＋6＋8,5)＝5，eq\o(\s\up7(—),\s\do3(y))＝eq\f(30＋40＋60＋50＋70,5)＝50，因为eq\o(y,\s\up12(^))＝6.5x＋eq\o(a,\s\up12(^))经过(eq\o(\s\up7(—),\s\do3(x))，eq\o(\s\up7(—),\s\do3(y)))，所以y与x的线性回来方程为eq\o(y,\s\up12(^))＝6.5x＋17.5.所以50＝6.5×5＋eq\o(a,\s\up12(^)).所以eq\o(a,\s\up12(^))＝17.5.(2)由(1)的线性模型得yi－yi与yi－eq\o(\s\up7(—),\s\do3(y))的关系如下表所示：yi－yi－0.5－3.510－6.50.5yi－eq\o(\s\up7(—),\s\do3(y))－20－1010020由于Req\o\al(2,1)＝0.845，R2＝0.82知Req\o\al(2,1)＞R2，所以(1)的线性模型拟合效果比较好．B级实力提升1．依据如下样本数据：x34567y4.02.5－0.50.5－2.0得到的回来方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a，若a＝7.9，则x每增加1个单位，y就()A．增加1.4个单位 B．削减1.4个单位C．增加1.2个单位 D．削减1.2个单位解析：易知＝eq\f(1,5)×(3＋4＋5＋6＋7)＝5，＝eq\f(1,5)×(4＋2.5－0.5＋0.5－2)＝0.9，所以样本点中心为(5，0.9)，所以0.9＝5b＋7.9，所以b＝－1.4，所以x每增加1个单位，y就削减1.4个单位．故选B.答案：B2．若某函数型相对一组数据的残差平方和为89，其相关指数为0.95，则总偏差平方和为________，回来平方和为________．解析：因为R2＝1－eq\f(残差平方和,总偏差平方和)，0．95＝1－eq\f(89,总偏差平方和)，所以总偏差平方和为1780；回来平方和＝总偏差平方和－残差平方和＝1780－89＝1691.答案：178016913．某运动员训练次数与成果之间的数据关系如下：次数x3033353739444650成果y3034373942464851(1)作出散点图；(2)求出回来方程；(3)作出残差图；(4)计算相关指数R2；(5)试预料该运动员训练47次及55次的成果．解：(1)作出该运动员训练次数(x)与成果(y)之间的散点图，如图所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系．(2)eq\o(\s\up7(—),\s\do3(x))＝39.25，eq\o(\s\up7(—),\s\do3(y))＝40.875,＝13180，eq\o(a,\s\up12(^))＝eq\o(\s\up7(—),\s\do3(y))－eq\o(b,\s\up12(^))eq\o(\s\up7(—),\s\do3(x))＝－0.00388.所以回来方程为eq\o(y,\s\up12(^))＝1.04