重难点27 对角互补半角模型

重难点27对角互补半角模型第131天直角相对证全等1.在正方形中,点为线段上的动点,点为线段上的动点,连接,作交直线于点.(1)如图(1),当点与线段的中点重合时,三条线段之间的数量关系为(2)如图(2),点在的延长线上,且,点分别在线段的延长线和线段的延长线上,请写出三条线段之间的数量关系,并说明理由;(3)点在线段上,若正方形的边长为,当时,请直接写出的长.1.解:关系可不是看出来的,而是一点一点证出来的,是吗,大兄弟们.但是这个关系,小鹿感觉与有关,你不会以为我有第六感吧!;(2);理由如下:如解图(1),过点作,交的延长线于点,在正方形中,为对角线,则,∴为等腰直角三角形,,∵,∵,∴,在等腰中,,即,又∵，∴.(3)亲爱的你们可以直接输出答案,但小鹿可不行,小鹿还是要准备解析过程.的长为2或.【解法提示】(1)如解图（2),当点在边上,时,连接交于点,过点作交于点正方形边长为,又在中,为等腰直角三角形,∴,由可得;(2)如解图(3),当点在延长线上,时,连接交于点,过点作交于点正方形边长为6,由1得,为等腰直角三角形,∴,由可得.第132天角平分线最关键2.已知是等边三角形,点是的中点,点在射线上,点在射线上,.(1)如图(1),若点与点重合,求证:;(2)如图(2),若点在线段上,点在线段上,探究线段之间的数量关系,并证明;(3)若,求的度数.2.(1)证明:出题人怎么舍得多给条件呢,但凡给出的,都有用武之地.∵为等边三角形,.∵点为的中点,∴平分,∴.∵,∴;(2)解:说起探究题,有没有很兴奋,从已知一点点推出结论,这种成就感，十个馒头都不换.;证明如下:如解图(1),过点作,交于点,∵为等边三角形,∴.∵∴,∴,∴是等边三角形,∴.∵点为的中点,∴.∵,∴,∴.∵,∴,∴,∴.∵为的中位线,∴,∴;(3)①当点在的延长线上时,如解图(2),在上截取,连接,过点作于点,∵是等边三角形,点是的中点,∴.∵∴SAS,∴.∵.∵∴.∵,∴在中,,∵∴∴,∴;(2)当点在的延长线上时,如解图③,在上截取,连接,过点作于点,同理:,∴.综上所述,的度数为或.爱笑的少年,运气总不会太差,这不就完胜.欧耶.第133天套路好用不嫌陋3.四边形为正方形,点分别是上的动点,.(1)如图(1),点分别在正方形的边上,把绕点逆时针旋转至,使与重合,求线段和之间的数量关系;(2)如图(2),点分别在正方形的边的延长线上,,试猜想(1)中的结论是否仍然成立,若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由.3.解：(1)无论怎么旋转,总能一眼看透,没办法,爱的多一点的一方总这样.∵把绕点逆时针旋转至,使与重合,∴,∵,∴三点共线.∵,∴,∴,即.∵,∴,∵即;(2)不成立,.太帅了,墙都不服,就服敢于说的,爱了爱了.理由如下:把绕点逆时针旋转至,使与重合,则在上,由旋转得:.∵.∵,∴.∵∴,∴.即.第134天等边半角常相遇4.(1)如图,在等腰中,,以为边向下方作等边,点分别是边上的动点,且.(1)试判断之间的数量关系,并说明理由;(2)试判断当点的位置变化时,的周长是否发生变化,若变化,试说明怎么变化;若不发生变化,请直接写出的周长.(2)在的条件下,以为边向上方作等边,点分别是边上的动点,且,当是直角三角形时,请求出的长度.4.解:(1)(1);理由如下:没有条件,就要创造条件,路是自己一脚一脚踏出来的.小鹿掐指一算,肯定要用旋转了,如解图(1),将绕点顺时针旋转得到,由旋转的性质得.∵,∴.∵是等边三角形,∴∴,∴三点共线.∵,∴∴.∵,∴,∴.∵,∴;(2)当点的位置发生变化时,的周长不发生变化,恒为12;(2)此路是我开,此树是我栽,要想过此路,请看。如解图(2),分别延长,交于点,交于点为等腰三角形,,为等边三角形,∴.将绕点顺时针旋转,得到,则,∵,∴,∴,∴.∵,∴的周长(1)当时,,设,则,∵的周长为6,∴,解得;(2)当时,,设,则,∵的周长为6,∴,解得.综上所述,的长为或.第135天总结划归半角型5.在四边形中,,点是线段上的点,(1)如图(1),当点在线段上时,试探究线段之间的数量关系;(2)如图(2),旋转到使得点在的延长线上时,(1)中的结论是否依然成立?若成立说明理由;若不成立,试写出相应的结论并给出你的证明.5.解:(1)本周似乎和作图杠上了,别虚,小鹿想起了一种秒招,延长线段,使相等,这个辅助线是不是似曾相识呢!;如解图(1),延长到点.使,连接,∵,∴.∵,∴SAS,∴.∵,∴,∴.∵,∴.∵,即;(2)结论不成立,结论:.理由如下:如解图（2),在上截取,使,连接.∵,∴.∵,∴SAS.∴.∴.∵,∴.∵,∴,∵综合强化训练271.如图,在等边中,点为边上两点.当时,的长为（）A.2B.C.D.41.这个题的图很有特点,让小鹿给你们娓娓道来.C【解析】如解图,在等边三角形中,∵,接下来,可以将沿折叠得,将沿折叠得,过点作交的延长线于点,∴在中,.2.如图,在四边形中,平分,过点作,垂足为点,则四边形的周长是（）A.24B.28C.30D.322.小鹿又来了，我的小伙伴角平分线也来了,怎么作辅助线,就无需我多言了吧.【解析】如解图,过点作交延长线于点平分(四边形内角和等于.又∵.在和中,∵.设,则,所以四边形的周长.3.如图,在中,,点在线段上,点在线段的延长线上,,则的面积为（）A.6B.9C.12D.153.B【解析】在求面积的道路上,越走越顺,直接作全等三角形,怎么样,很少见吧,快记下来.如解图,作,且截取,连接,又∵,又∵在中,,∴的面积.4.如图,在四边形中,,在直线上分别找一点,使得的周长最小时,则的度数为.4.这里,辅助线的作法很重要,对称常常这样子.【解析】如解图,作关于和的对称点,连接,交于点,交于点,则即为的周长最小值.作延长线,且2(.5.如图,在等边中,,点为的中点,点在边上,点在的延长线上,且,过点作于点,若,则.5.【解析】题目已知条件要好好利用起来.等边,中点,貌似又回到了起点,角平分线辅助线作法,不会还没明白吧.作于点是等边三角形,∴是的中点,∴,∴,∴,∴.6.(1)证明:∵四边形是正方形,∴,∴.∵于点,∴,∴.∵线段是由线段绕点顺时针旋转得到的,∴;(2)解:过点作于点.自己动手,丰衣足食.由题意得.∵.∵∴.∵在正方形中,,∴.又:∵是等腰直角三角形,∴;(3)解:正经点,战争马上就要开始了,这是一场没有硝烟的战得.在正方形中,,∴,∵于点,∴,∴.-线段是由线段绕点顺时针旋转得到的,∴.∵旋转角度,即,∴.∴.-线段是由线段绕点顺时针旋转得到的,∴.∵旋转角度,即,∴.∵,四边形是正方形,∴,在中,,根据勾股定理得,∴6.如图,已知四边形是正方形,点分别在射线上,连接且,垂足为点,将线段绕点顺时针旋转,得到线段,连接.(1)如图①,当点在线段上,时,连接,求证:;(2)如图②,在(1)的条件下,求的度数;(3)如图③,当点在的延长线上,时,连接,若,求线段的长.(1)证明四边形ABCD是正方形，于点，,∴线段FG是由线段AF绕点F顺时针旋转得到的，；（2）解：过点G作于点P.自己动