(带答案)高中数学第四章指数函数与对数函数基础知识点归纳总结

（每日一练）高中数学第四章指数函数与对数函数基础知识点归纳总结

高中数学第四章指数函数与对数函数基础知识点归纳总结

单选题

1、若％不是二次函数y=/—5%+6的两个零点，则的值为（）

X1x2

A.-jB.-jC.I

答案：D

分析：解方程可得小二2,乃二3,代入运算即可得解.

由题意，令/-5%+6=0,解得%二2或3,

不妨设.二29二3,代入可得g+g弓+

X]X2Zoo

故选：D.

2、将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了

使商家利润有所增加，则售价Q（元/个）的取值范围应是（）

A.90<a<100B.90<a<110C.100<a<HOD.80<a<100

答案：A

分析：首先设每个涨价%元，涨价后的利润与原利润之差为y元，结合条件列式，根据y>o,求％的取值范围、

即可得到a的取值范围.

设每个涨价“元，涨价后的利润与原利润之差为y元，

则a=x+90,y-(10+x)-(400-2Ox)-10x400--20x2+200x.

要使商家利润有所增加，则必须使y>0,即/一10%VO,得0VxV10,，90V%+90V100,所以a的取值

为90<a<100.

故选：A

3、设m,n都是正整数，且n>l,若a>0,则不正确的是()

A..(az+a-z)2=a+a-1

m[

c.a-n=衙D.a0=1

答案：B

解析：由指数运算公式直接计算并判断.

由m,ri都是正整数，且九>1,。>0,、

得(成+a-2)2=(az)2+2成•a~+(a-2)2=a+a-1+2,

故B选项错误，

故选：B.

(x~2,x€(-oo,0)

4、已知函数f(%)={lnx,xG(0,1),若函数g(%)=f(x)-m恰有两个零点，则实数勿不可熊是

(-X2+4x—3,xe[l,+oo)

()

A.-IB.OC.ID.2

答案：D

解析：依题意画出函数图象，函数9(%)=/(%)-m的零点，转化为函数y=f(%)与函数y=血的交点，数形结

合即可求出参数m的取值范围；

x~2,xe(—oo,o)

lnx,xe(0,1),画出函数图象如下所示，

(—X2+4%—3,%G[1,4-00)

2

函数0(%)=f3)-血的有两个零点，即方程9(%)=/'(%)-根=。有两个实数根，即/'(%)=m,即函数y=

f(%)与函数y=m有两个交点，由函数图象可得m<0或m=1,

故选：D

小提示：函数零点的求解与判断方法：

⑴直接求零点：令*x)=0,如果能求出解，则有几个解就有几个零点.

⑵零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间臼句上是连续不断的曲线，且/(分*功<0,还必须结合函数

的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.

⑶利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值,

就有几个不同的零点.

5、化简皿•砺的结果为()

A.-.—y/—CL

C.，—aD.\[a

答案:A

分析：结合指数鬲的运算性质，可求出答案.

3

由题意，可知QNO,

V-a-Va=(―a)3•加=—加•而=一凉+力=—di=-y/a.

故选：A.

6、若ln2=a,ln3=b,贝Ijlog818=()

.a+3bca+2b-a+2b_.a+3b

A.—.--C.-^-D.——

a33aa33a

答案：B

分析：先换底，然后由对数运算性质可得.

.Inl8In(32x2)21n3+ln22b+a

故选：B

7、设4a=3。=36,则卡=()

A.3B.IC.-ID.-3

答案：B

分析：先求出Q=log436,b=log336,再利用换底公式和对数的运算法则计算求解.

因为4。=3》=36,

所以a=log436,b=Iog336,

贝哈=1唯6好=1呜69,

所以则十+：=Iog364+log369=log3636=1.

故选：B.

8、已知Q=lg2,106=3,则1强6=()

4

1+a1-a1+a1-a

答案：B

分析：指数式化为对数式求从再利用换底公式及对数运算性质变形.

a=lg2,10。=3,

・•・b=lg3,

i,lg6Ig2x3Ig2+lg3a+b

A10ge6=--=-io-=----------=-------.

65lg5Igyl-lg21-a

故选：B.

9、已知f(x)=ar(a>0,且”1)，且*-2)>*-3),则a的取值范围是()

A.a>0B.a>l

C.avlD.0<a<l

答案：D

分析：把4-2),4-3)代入解不等式，即可求得.

因为汽一2)=&；/(-3)=Z/(-2)>/(-3),即解得：0<a<l.

故选：D

10、我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段.已知这种新药在

注射停止后的血药含量c(t)(单位：mg/L)随着时间t(单位：h)的变化用指数模型c(t)=。。/"描述，

假定某药物的消除速率常数上=0.1(单位：-1),刚注射这种新药后的初始血药含量C。=2000mg/L,且这

种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，

则该新药对病人有疗效的时长大约为()(参考数据：也2«0.693,ln3«1.099)

A.5.32hB.6.23hC.6.93hD.7.52h

答案：C

5

分析：利用已知条件c（t）=coe-"t=2000e-a£该药在机体内的血药浓度变为1000mg/L时需要的时间为",

转化求解即可.

解：由题意得：

kt-ou

c（t）=cQe~=2OOOe

设该要在机体内的血药浓度变为1000mg/L需要的时间为口

c（tj=2OOOe-oltl>1000

1

e-0K1>-

tt-O.lt>-ln2,t<^«6.93

故该新药对病人有疗效的时长大约为6.93/1

故选：C

多选题

11、下列各选项中，值为1的是（）

A.log：610g瞄.Iog2+logtA

C.（2+（2-73）^.（24--（2-V3）1

答案：AC

解析：对选项逐一化简，由此确定符合题意的选项.

对于A选项，根据logab•logb。=1可知，A选项符合题意.

对于B选项，原式=log6（2x4）=log68Hl,B选项不符合题意.

对于C选项，原式=［（2+8）•（2-6）1=6=1,C选项符合题意.

对于D选项，由于［（2+遮）久（2-b）1=2+百+2-6-2（2+百R（2-V3）：=4-2=2H1,D

6

选项不符合题意.

故选：AC

小提示：本小题主要考查对数、根式运算，属于基础题.

12、已知函数/(#)=lnx+ln(2-#),则()

A.〃%)在(0,2)单调递增

B.f(x)在(0,1)单调递增，在(1,2)单调递减

C.y=f(x)的图象关于直线％=1对称

D.y=/(%)的图象关于点(1,0)对称

答案：BC

分析：由题可得函数的定义域，化简函数fa)=lnH2-%)=ln(-/+2%),分析函数的单调性和对称性，从

而判断选项.

函数的定义域满足I：；；。，即0<%<2,

即函数的定义域是{%|0V%V2},

•"(x)=lnx(2-x)=ln(-x2+2x),

设£=-M+2x=-a-l)2+l,则函数在(0,1)单调递增，在(1,2)单调递减，

又函数y=]nt单调递增，

由复合函数单调性可知函数八%)在(0,1)单调递增，在(L2)单调递减，故A错误，B正确;

因为/(I+x)=ln(l+x)+ln(l—x),f(l—x)=ln(l—x)+ln(l+x),

所以/(l-K)=f(l+x),即函数y=f(x)图象关于直线x=l对称，故C正确；

X/Q)=ln1+ln(2-1)=ln^,/(1)=ln1+In(2-1)=ln^,

7

所以/(3=/值)=】W，所以D错误.

故选：BC.

13、已知函数f(%)=|lgr|,则()

A.f(%)是偶函数B./•(%)值域为［0,+8)

C.〃为在(0,+8)上递增D.fS)有一个零点

答案：BD

分析：画出/•(%)的函数图象即可判断.

画出/(%)=|lgx|的函数图象如下：

由图可知，人切既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；

值域为［0,+8),故B正确；

f(%)在(0,1)单调递减，在(1,+8)单调递增,故C错误;

f(%)有一个零点1,故D正确.

故选：BD.

14、已知函数f(x)=W，下面说法正确的有()

A.f。)的图象关于y轴对称

8

B.f(x)的图象关于原点对称

C.f(x)的值域为

D.Vxltx2ER,且打工小，八必)v0恒成立

xl-x2

答案：BC

解析：判断fQ)的奇偶性即可判断选项AB,求/(%)的值域可判断C证明f(x)的单调性可判断选项D,即可得

正确选项.

〃“)=W的定义域为R关于原点对称，

〃一切=急=*需=W=-"x)，所以/(“)是奇函数，图象关于原点对称，

故选项A不正确，选项B正确；

/(%)=表|=陛詈=1一品，因为2%>0,所以所以0<舟<1,

-2<^<0,所以一IV1-品<1,可得f(x)的值域为(一1,1),故选项C正确；

设任意的/<久2，

XX

则f(力)-f(亚)=1—晟一(1一嬴)=£2_2(21-22)

2*1+1-(2肛+1)(2*2+1)'

因为2为+1>0,2必+1>0,2右一2均<0,所以不缁忌八〈°，

即/'(%)-f(%2)V0,所以>0故选项D不正确；

小一文2

故选：BC

小提示：方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法

(1)取值：设必,％2是该区间内的任意两个值，且与<%2；

(2)作差变形：即作差，即作差八不)-/。?)，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号

9

的方向变形;

(3)定号：确定差/(%])-f(%2)的符号；

(4)下结论：判断，根据定义作出结论.

即取值—作差---变形----定号---下结论.

15、(多选)下列函数中，既是偶函数又在(0,+8)上单调递增的函数是()

A.y=/B.y=|x-l|C.y=|x|-lD.y=2X

答案:AC

分析：由偶函数的定义及单调性依次判断选项即可.

易得四个函数定义域均为R,对于A,令/(%)=/,贝=(-%)2=/=/(%),且在(0,+8)上单调递增.

A正确；

对于B,令g(%)=|%-1|,g(-x)=|-x-1|=|x+1|g(x),B错误；

对于C,令/i(x)=\x\-1,/i(-r)=|-x|-1=|x|-1=/i(x),且在(0,+8)上单调递增，C正确；

对于D,令m(x)=2X,m(-x)=2~xWm(x),D错误.

故选：AC.

填空题

16、已知函数fa)=ln(VT/-x)-l,若/•(2%-1)+〃4一/)+2>0,则实数%的取值范围为.

答案：％V—1或%>3

分析：令9(%)=/(%)+1=In(后巨-%)，分析出函数g(x)为R上的减函数且为奇函数，将所求不等式变形

为g(/2—4)Vg(2x-1),可得出关于X的不等式，解之即可.

令g(x)=fM+1=ln(Vx2+1-x),对任意的％eR,Vx2+1-x>|x|-x>0,

故函数g(x)的定义域为R,

10

因为g(x)+9(-%)=ln(Vx2+1—x)4-ln(Vx2+14-x)=ln(x24-1—x2)=0,

则g(一乃=一。(初所以,函数gQ)为奇函数，

当％W0时，令U=+/一%由于函数％=*和n2=-%在(-8,0］上均为减函数，

故函数n=x/1+N-％在(-8,0］上也为减函数,

因为函数y=hui在(0,+8)上为增函数，故函数g(x)在(-8,0］上为减函数，

所以，函数g(x)在［0,+8)上也为减函数，

因为函数gQ)在R上连续，则g(x)在R上为减函数，

由/(2%-1)+/(4-x2)+2>。可得g(2x-1)+g(4-x2)>0,即g(2-4)Vg(2x-1),

所以，X2-4>2X-1,即%2-2%-3>0,解得或x>3.

所以答案是:x<—1或%>3.

17、牛奶中细菌的标准新国标将最低门槛(允许的最大值)调整为200万个/毫升，牛奶中的细菌常温状态下

大约20分钟就会繁殖一代，现将一袋细菌含量为3000个/毫升的牛奶常温放置于空气中，经过_______分钟就

不宜再饮用.(参考数据：lg2«0.301,lg3«0.477)

答案：188

分析：根据题意列出不等式计算即可.

设经过%个周期后细菌含量超标,

BP3000x2x>2000000,即2%：>等,

吆怆

所以%>log2等2000-3_lg2+3-lg3«9.4,

3Ig2

而20x9.4=188,因此经过188分钟就不宜再饮用.

所以答案是：188.

11

18、函数fGr)=矿一】+2(Q>0,QH1)的图象恒过定点.

答案：(1.3)

分析：根据指数函数的性质，即可得答案.

令％-1=0,可得％=1,

所以/(1)=。°+2=3,即f(%)图象恒过定点(1.3).

所以答案是：(1.3)

解答题

19、