2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市东方红中学高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市东方红中学高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x2−4x<0}，B={x|−1≤x≤1}，则A∪B=A.[−1,1] B.[−1,4) C.(0,1] D.(0,4)2.已知i是虚数单位，则复数5+3i4−i的共轭复数是(

)A.1−i B.−1+i C.1+i D.−1−i3.若cos(α+π)=−23，则sinA.23 B.−23 C.4.某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为300，200，400，为了了解学生的课业负担情况，该校采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取18名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取人数分别是(

)A.6，4，8 B.6，6，6 C.5，6，7 D.4，6，85.已知a=log0.50.4，b=0.40.6，A.a<b<c B.c<b<a C.b<c<a D.a<c<b6.在空间直角坐标系O−xyz中，点(1,−2,3)关于y轴的对称点为(

)A.(−1,−2,−3) B.(−1,2,−3) C.(−1,−2,3) D.(1,2,3)7.若点P(1,2)为圆x2+y2=8的弦AB的中点，则弦A.x+2y−5=0 B.2x+y−4=0 C.x−2y+3=0 D.2x−y=08.已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1，双曲线C2：x2A.2x±5y=0 B.5x±2y=0 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在正方体ABCD−A1B1A.(AA1+AD+AB)2=3AB2

B.A110.已知圆C1：(x−3)2+yA.若C1和C2外离，则a>23或a<−23

B.若C1和C2外切，则a=±4

C.当a=2时，C1和C211.如图，已知棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1，动点M是△AA.动点M在运动的过程中，三棱锥M−ACD1的体积是定值

B.对于任意M，A1M⊥平面DB1C

C.动点M到直线CD的距离最小值为2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若x>0，则x2+2x+4x13.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=AA1=2，AB=314.已知F1，F2是椭圆x225+y29=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量a=(1,2,2)，b=(−2,1,−1)．

(Ⅰ)求a⋅b；

(Ⅱ)求|2a−b|；

(16.(本小题15分)

已知函数f(x)=2sin(ωx+π3)(ω>0)的最小正周期为π．

(1)求f(π6)的值；

17.(本小题15分)

圆x2+y2=8内有一点P(−1,2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦．

(1)当α=3π4时，求AB的长；

(2)当弦AB18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BCA=60°，AP=AC=AD=2，E为CD的中点，M在AB上，且AM=2MB．

(1)求证：EM//平面PAD；

(2)求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值；

(3)求点M到平面PCD19.(本小题17分)

在直角坐标系xOy中，点P到两点(−3,0)，(3,0)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，过点(0,2)且斜率为k的直线l与C交于不同的两点A，B．

(1)求轨迹C的方程；

(2)求斜率k的取值范围；

(3)当k=−1时，求参考答案1.B

2.A

3.A

4.A

5.C

6.A

7.A

8.A

9.ABC

10.BD

11.ACD

12.[6,+∞)

13.1814.20

8

15.解：(Ⅰ)a⋅b=1×(−2)+2×1+2×(−1)=−2；

(Ⅱ)因为a=(1,2,2)，b=(−2,1,−1)，

所以|a|=3，|b|=6，

所以|2a−b|=16.解：(1)因为函数f(x)=2sin(ωx+π3)(ω>0)的最小正周期为π，

所以π=2πω，可得ω=2，可得f(x)=2sin(2x+π3)，

所以f(π6)=2sin(2×π6+π3)=3；

(2)由(1)可得f(x)=2sin(2x+π17.解：(1)圆x2+y2=8的圆心O(0,0)，半径r=22，

因为α=3π4，所以直线AB的斜率kAB=tan3π4=−1，

所以AB：y−2=(−1)×[x−(−1)]，即AB：x+y−1=0，

所以圆心O到AB的距离d=|0+0−1|12+12=22，

所以|AB|=2r218.(1)证明：由题意知，AD，AC，AP两两垂直，

故以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,2,0),B(−32,32,0),E(1,1,0)，P(0,0,2)，

由AM=2MB，得M(−33,1,0)，

所以EM=(−33−1,0,0)，

易知平面PAD的一个法向量为m=(0,1,0)，

所以EM⋅n=(−33−1)×0+0×1+0×0=0，即EM⊥m，

又EM⊄平面PAD，

所以EM/​/平面PAD．

(2)解：由(1)得PC=(0,2,−2),BC=(32,12,0)，

设平面PBC的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅PC=2y−2z=0n⋅BC=32x+12y=0，

令x=−1，得y=3,z=19.解：(1)设M(−3,0),N(3,0)，

根据题意可知|PM|+|PN|=4>23=|MN|，

所以点P的轨迹为以M，N为焦点的椭圆，

且2a=4，2c=23，

所以a=