安徽省高三二模数学试卷

安徽省高三二模数学试卷一、选择题

1.若函数$f(x)=x^2-4x+3$，则其顶点坐标为：

A.(2,-1)

B.(1,2)

C.(2,-2)

D.(1,-1)

2.下列函数中，有最小值的是：

A.$y=x^3-3x^2+4x-1$

B.$y=-x^2+2x-3$

C.$y=x^3+2x^2-3x-4$

D.$y=x^3-2x^2-3x+4$

3.已知等差数列$\{a_n\}$中，$a_1=3$，$d=2$，则$a_{10}$的值为：

A.21

B.19

C.17

D.15

4.在等比数列$\{b_n\}$中，$b_1=2$，$b_3=8$，则公比$q$的值为：

A.2

B.1/2

C.4

D.1/4

5.设集合$A=\{x|x^2-3x+2=0\}$，$B=\{x|x^2-4x+3=0\}$，则$A\cupB$的元素个数为：

A.2

B.3

C.4

D.5

6.若$|x-2|+|x-1|=3$，则$x$的取值范围是：

A.$1\leqx\leq2$

B.$1<x<2$

C.$x\geq1$或$x\leq2$

D.$x<1$或$x>2$

7.设$z=\sqrt{x^2+y^2}$，则$\frac{\partialz}{\partialx}$和$\frac{\partialz}{\partialy}$的值分别为：

A.$\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$，$\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$

B.$\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$，$-\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$

C.$-\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$，$\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$

D.$-\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$，$-\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$

8.设$A$，$B$，$C$是单位圆$x^2+y^2=1$上的三点，且$\angleAOB=60^\circ$，$\angleBOC=120^\circ$，则$\angleAOC$的度数为：

A.$60^\circ$

B.$120^\circ$

C.$150^\circ$

D.$180^\circ$

9.若向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow{b}=(2,3)$，则$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$的值为：

A.5

B.7

C.9

D.11

10.设函数$f(x)=\ln(x+1)$，则$f'(x)$的值为：

A.$\frac{1}{x+1}$

B.$\frac{1}{x-1}$

C.$\frac{1}{x}$

D.$\frac{1}{x-1}$

二、判断题

1.在三角形中，两边之和大于第三边，这是三角形的基本性质。（）

2.如果一个函数的导数在某个区间内为正，那么这个函数在该区间内是增函数。（）

3.等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$d$是公差。（）

4.向量的模长是指向量的长度，可以用向量的坐标表示。（）

5.在复数域中，任何两个复数相乘的结果都是实数。（）

答案：

1.×

2.×

3.√

4.√

5.×

三、填空题

1.若函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像开口向上，且顶点坐标为$(h,k)$，则$a$的取值范围是________。

2.已知等差数列$\{a_n\}$的第一项$a_1=5$，公差$d=3$，则第10项$a_{10}=$________。

3.在三角形ABC中，若$\angleA=45^\circ$，$\angleB=30^\circ$，则$\angleC=$________。

4.向量$\overrightarrow{a}=(3,4)$，向量$\overrightarrow{b}=(-2,1)$，则$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=$________。

5.若函数$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，则$f'(0)=$________。

答案：

1.$a>0$

2.28

3.105°

4.-5

5.-2

四、简答题

1.简述函数的极值和拐点的概念，并举例说明如何判断一个函数的极值点和拐点。

2.如何利用向量的坐标运算来求出两个向量的和、差、模长以及向量积？

3.简述解析几何中直线和圆的位置关系，并举例说明如何判断直线和圆的相交、相切或相离。

4.解释什么是数列的收敛性和发散性，并给出一个收敛数列和一个发散数列的例子。

5.请简述微积分中导数的概念，并说明导数在函数图像上的几何意义。

五、计算题

1.计算定积分$\int_0^1(3x^2-2x+1)\,dx$。

2.已知数列$\{a_n\}$是等比数列，且$a_1=2$，$a_2=4$，求该数列的公比$q$和前10项的和$S_{10}$。

3.设函数$f(x)=x^3-6x^2+9x-1$，求$f'(x)$和$f''(x)$，并找出函数的极值点。

4.在直角坐标系中，已知直线$y=2x-3$与圆$x^2+y^2=9$相交，求两交点的坐标。

5.已知向量$\overrightarrow{a}=(2,3)$，$\overrightarrow{b}=(4,-1)$，求向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角$\theta$，并计算$\cos\theta$和$\sin\theta$。

六、案例分析题

1.案例分析：某公司销售部门为了分析产品销量与促销活动的关系，收集了以下数据：在促销期间，公司销售了1000件产品，销售额为100000元；在非促销期间，公司销售了800件产品，销售额为80000元。请根据这些数据，分析促销活动对产品销量的影响，并计算促销期间每件产品的平均销售额与非促销期间每件产品的平均销售额。

2.案例分析：某班级有学生30人，其中男生15人，女生15人。在一次数学考试中，男生平均分为85分，女生平均分为90分。班级平均分为87分。假设每个学生的成绩分布呈正态分布，请根据这些信息，分析该班级学生的成绩分布情况，并估算班级中成绩低于80分的学生人数。

七、应用题

1.应用题：一个长方体的长、宽、高分别为$2x$、$3x$、$4x$，求长方体的体积$V$以及表面积$S$，并写出体积和表面积关于$x$的函数表达式。

2.应用题：某工厂生产一种产品，每生产一个单位的产品，需要投入成本5元，并且每个单位产品的销售价格为10元。如果工厂每天生产的产品数量为$Q$个，求工厂每天的利润函数$P(Q)$，并求出使利润最大化的生产数量$Q$。

3.应用题：一个质点做匀速圆周运动，半径为$R$，速度为$v$。求质点在运动过程中，任意时刻的角速度$\omega$和线速度$v$之间的关系。

4.应用题：一个班级有40名学生，其中30名学生的成绩在80分以上，10名学生的成绩在60分以下。如果要将班级分成两个小组，每组20人，如何分组才能使得每个小组中成绩在80分以上的学生人数尽可能接近？请给出具体的分组方案。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题

1.A

2.A

3.A

4.A

5.B

6.C

7.A

8.C

9.A

10.A

二、判断题

1.×

2.×

3.√

4.√

5.×

三、填空题

1.$a>0$

2.28

3.105°

4.-5

5.-2

四、简答题

1.函数的极值是函数在某个区间内取得的最大值或最小值。拐点是函数曲线的凹凸性改变的地方。判断极值点的方法是求函数的一阶导数，令其为零，并判断导数在极值点附近的符号变化。拐点可以通过求函数的二阶导数，令其为零，并判断二阶导数的符号变化来确定。

2.向量的坐标运算包括向量的加法、减法、数乘、点积和叉积。向量的和是两个向量头尾相接后，从第一个向量的起点到第二个向量的终点的向量。向量的差是两个向量头尾相接后，从第一个向量的终点到第二个向量的起点的向量。向量的模长是向量与其自身的点积的平方根。向量积是垂直于两个向量的向量，其模长是两个向量模长的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。

3.解析几何中，直线和圆的位置关系有相交、相切和相离。如果直线的方程是$Ax+By+C=0$，圆的方程是$x^2+y^2=r^2$，则可以通过计算直线到圆心的距离$d$与圆的半径$r$的关系来判断。如果$d<r$，则直线与圆相交；如果$d=r$，则直线与圆相切；如果$d>r$，则直线与圆相离。

4.数列的收敛性是指数列的项随着$n$的增加趋向于某个极限。如果存在一个实数$L$，使得对于任意小的正数$\epsilon$，都存在一个正整数$N$，使得当$n>N$时，$|a_n-L|<\epsilon$，则数列$\{a_n\}$收敛于$L$。如果不存在这样的$L$，则数列发散。例如，数列$\{a_n\}=\frac{1}{n}$是收敛的，因为它的极限是0；而数列$\{a_n\}=(-1)^n$是发散的，因为它没有极限。

5.导数是函数在某一点处的瞬时变化率。导数在函数图像上的几何意义是，函数在某一点处的切线斜率等于该点的导数。如果函数$f(x)$在点$x=a$处的导数$f'(a)$存在，那么函数在点$(a,f(a))$处的切线斜率为$f'(a)$。

五、计算题

1.$\int_0^1(3x^2-2x+1)\,dx=\left[x^3-x^2+x\right]_0^1=1^3-1^2+1-(0^3-0^2+0)=1$

2.公比$q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{4}{2}=2$，$S_{10}=\frac{a_1(1-q^{10})}{1-q}=\frac{2(1-2^{10})}{1-2}=2046$

3.$f'(x)=3x^2-12x+9$，$f''(x)=6x-12$。令$f'(x)=0$得$x=1$，$f''(1)=-6$，所以$x=1$是极大值点。

4.将直线方程代入圆的方程得$x^2+(2x-3)^2=9$，解得$x=0$或$x=3$，对应的$y$值为$y=-3$或$y=3$，所以交点坐标为$(0,-3)$和$(3,3)$。

5.$\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{2\cdot(-2)+3\cdot(-1)}{\sqrt{2^2+3^2}\cdot\sqrt{(-2)^2+1^2}}=\frac{-7}{\sqrt{13}\cdot\sqrt{5}}$，$\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}$。

六、案例分析题

1.促销期间每件产品的平均销售额为$100000/1000=100$元，非促销期间每件产品的平均销售额为$80000/800=100$元。因此，促销活动并没有改变每件产品的平均销售额。

2.利润函数$P(Q)=10Q-5Q=5Q$。利润最大化时，$P'(Q)=5=0$，解得$Q=0$。但是生产数量不能为零，所以需要考虑实际生产的可行性。由于销售价格固定，生