2019届北京专用高考数学一轮复习第二章函数第九节函数模型及其应用讲义文

第九节函数模型及其应用总纲目录教材研读1.几种常见的函数模型考点突破2.三种增长型函数模型的图象与性质3.解函数应用题的步骤（四步八字）考点二函数y=ax+

的模型考点一一次函数与二次函数模型考点三指数函数、对数函数模型考点四分段函数1.几种常见的函数模型教材研读2.三种增长型函数模型的图象与性质3.解函数应用题的步骤(四步八字)(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用

数学知识建立相应的数学模型;(3)求模:求解数学模型,得出数学结论;(4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.以上过程用框图表示如下:1.下表是函数值y随自变量x变化的一组数据,它最可能的函数模型是

()A.一次函数模型

B.幂函数模型C.指数函数模型

D.对数函数模型x45678910y15171921232527答案

A根据已知数据可知,自变量每增加1,函数值增加2,因此函数

值的增量是均匀的,故为一次函数模型.A2.某种细菌在培养过程中,每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个),这种

细菌由1个繁殖成4096个需经过

()A.12小时

B.4小时

C.3小时

D.2小时答案

C设需经过t小时,由题意知24t=4096,即16t=4096,解得t=3.C3.(2015北京西城二模)某工厂更新设备,已知在未来x年内,此设备所花

费的各种费用总和y(万元)与x之间的函数关系式为y=4x2+64,若欲使此

设备的年平均花费最低,则此设备的使用年限x为

()A.3

B.4

C.5

D.6答案

B设该设备的年平均花费为z万元,则z=

=

=4x+

≥32,当且仅当4x=

,即x=4时,z取最小值,故选B.B4.用长度为24的材料围一矩形场地,且中间有两道隔墙(如图),要使矩形

的面积最大,则隔墙的长度为

.

答案3解析设隔墙的长度为x,矩形的面积为S,则S=(12-2x)x=-2x2+12x=-2(x-

3)2+18,∴当x=3时,S取最大值.3典例1某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的一

段抛物线.已知跳水板AB的长为2m,跳水板距水面CD的高BC为3m.为

安全和空中姿态优美,训练时跳水运动员应在离起跳点A的水平距离为

hm(h≥1)的一处达到距水面最大高度4m.规定:以C为原点,CD所在直

线为横轴,BC所在直线为纵轴建立直角坐标系.(1)当h=1时,求跳水曲线所在的抛物线方程;(2)当跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果,求此

时h的取值范围.考点一一次函数与二次函数模型考点突破解析(1)由题意知最高点为(2+h,4),h≥1,设抛物线方程为y=a[x-(2+h)]2+4,当h=1时,最高点为(3,4),抛物线方程为y=a(x-3)2+4,将A(2,3)代入,得3=a(2-3)2+4,解得a=-1,所以当h=1时,跳水曲线所在

的抛物线方程为y=-(x-3)2+4.(2)将点A(2,3)代入y=a[x-(2+h)]2+4,得ah2=-1.由题意知方程a[x-(2+h)]2+4=0在区间[5,6]内有一解.令f(x)=a[x-(2+h)]2+4=-

[x-(2+h)]2+4,则f(5)=-

(3-h)2+4≥0,且f(6)=-

(4-h)2+4≤0.解得1≤h≤

.故所求h的取值范围是

.方法技巧对于实际生活中的二次函数问题(如面积、利润、产量问题等),可根据

已知条件确定二次函数模型,结合二次函数的图象、单调性、零点解

决,解题时一定要注意函数的定义域.1-1

(2016北京西城二模)某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)

满足关系f(x)=

已知某家庭今年前三个月的煤气费如下表:月份用气量煤气费一月份4m34元二月份25m314元三月份35m319元若四月份该家庭使用了20m3煤气,则其煤气费为

()A.11.5元

B.11元

C.10.5元

D.10元A解析

A由题表知一月份、二月份、三月份煤气费分别为4元,14元,19元,这三个月煤气费的计算有以下2种情况:(1)这三个月的煤气费均由f(x)=C+B(x-A)(x>A)计算得到.故

由①②得B=

.由②③得B=

.矛盾.故不可能为此种情况.(2)一月份的煤气费由f(x)=C(0<x≤A)计算得到,二月份、三月份的煤气费由f(x)=C+B(x-A)(x>A)计算得到.∴

∴

∴f(x)=

当x=20时,f(20)=4+

×(20-5)=11.5.故选A.考点二函数y=ax+ 的模型典例2某养殖场需定期购买饲料,已知该场每天需要饲料200千克,每

千克饲料的价格为1.8元,饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03

元,购买饲料每次支付运费300元.求该场多少天购买一次饲料才能使平

均每天支付的总费用最少.解析设该场x(x∈N*)天购买一次饲料可使平均每天支付的总费用最

少,平均每天支付的总费用为y元.因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03=6(元),所以x天

饲料的保管费与其他费用共是6(x-1)+6(x-2)+……+6=(3x2-3x)(元).从而有y=

(3x2-3x+300)+200×1.8=

+3x+357≥417,当且仅当

=3x,即x=10时,y有最小值.故该场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的

总费用最少.方法指导应用函数f(x)=ax+

模型的关键点(1)明确对勾函数是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)=

叠加而成的.(2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)=ax+

的模型,有时可以将所列函数关系式转化为f(x)=ax+

的形式.(3)利用模型f(x)=ax+

求解最值时,要注意自变量的取值范围,及取得最值时等号成立的条件.2-1利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间,年生产的总成本y

(万元)与年产量x(吨)之间的关系可近似地表示为y=

-30x+4000,则每吨的成本最低时的年产量为

()A.240吨

B.200吨

C.180吨

D.160吨答案

B依题意,得每吨的成本为

=

+

-30,则

≥2

-30=10,当且仅当

=

,即x=200时取等号,因此,当每吨成本最低时,年产量为200吨.B考点三指数函数、对数函数模型典例3(1)(2016北京西城期末)某食品的保鲜时间t(单位:小时)与储藏

温度x(恒温,单位:℃)满足函数关系t=

且该食品在4℃的保鲜时间是16小时.①该食品在8℃的保鲜时间是

小时;②已知甲在某日上午10时购买了该食品,并将其遗放在室外,且此日的

室外温度随时间变化如图所示,那么到了此日13时,甲所购买的食品是

否过了保鲜时间

.(填“是”或“否”)

(2)(2015四川,8,5分)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:

℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该

食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食

品在33℃的保鲜时间是

()A.16小时

B.20小时

C.24小时

D.28小时答案(1)①4②是(2)C解析(1)①∵食品在4℃的保鲜时间是16小时,∴24k+6=16,解得k=-

.∴t(8)=2-4+6=4.②由题图可知在12时时,温度为12℃,此时该食品的保鲜时间为2-6+6=20=

1小时.∴到13时,该食品已过保鲜时间.(2)由已知得192=eb,①48=e22k+b=e22k·eb,②将①代入②得e22k=

,则e11k=

,当x=33时,y=e33k+b=e33k·eb=

×192=24,所以该食品在33℃的保鲜时间是24小时.故选C.方法技巧一般地,涉及增长率问题、存蓄利息问题、细胞分裂问题等,都可以考

虑用指数函数的模型求解.求解时注意指数式与对数式的互化,指数函

数的值域的影响以及实际问题中的条件限制.3-1

(2016四川,7,5分)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.

若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研

发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200

万元的年份是

()(参考数据:lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30)A.2018年

B.2019年

C.2020年

D.2021年B答案

B设第n(n∈N*)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万

元.根据题意得130(1+12%)n-1>200,则lg[130(1+12%)n-1]>lg200,∴lg130+(n-1)lg1.12>lg2+2,∴2+lg1.3+(n-1)lg1.12>lg2+2,∴0.11+(n-1)×0.05>0.30,解得n>

,又∵n∈N*,∴n≥5,∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年.故选

B.典例4国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数在30或30以

下,飞机票每张收费900元;若每团人数大于30,则给予优惠:每多1人,机

票每张减少10元,直到达到规定人数75为止.每团乘飞机,旅行社需付给

航空公司包机费15000元.(1)写出飞机票的价格关于人数的函数;(2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?考点四分段函数解析(1)设旅行团人数为x,由题意得0<x≤75(x∈N*),飞机票价格为y

元,则y=

(x∈N*),即y=

(x∈N*).(2)设旅行社获利S元,则S=

(x∈N*),即S=

(x∈N*).因为S=900x-15000在区间(0,30]上为单调增函数,故当x=30时,S取最大

值12000元,又S=-10(x-60)2+21000的定义域为(30,75],所以当x=60时,S取得最大值21000.故当x=60时,旅行社可获得最大利润.方法技巧(1)在很多实际问题中,变量间的关系不能用一个关系式表示,这时就需

要构建分段函数模型,如出租车的收费与路程的关系.(2)求函数的最值

常利用基本不等式、导数、函数的单调性等.在求分段函数的最值时,

应先求每一段上的最值,然后比较得最大值、最小值.4-1某旅游景点预计2019年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单

位:万人)与x的关系近似为p(x)=

x(x+1)·(39-2x)(x∈N*,且x≤12).已知第x个月的人均消费额q(x)(单位:元)与x的关系近似是q(x)=

(1)写出2019年第x个月的旅游人数f(x)(