2025届高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第7讲离散型随机变量及其分布列创新教学案含解析新人教版

PAGE第7讲离散型随机变量及其分布列[考纲解读]1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．2．能确定随机变量，求出随机变量发生的概率，正确列出分布列．(重点、难点)3．理解超几何分布，并能进行简洁的应用．[考向预料]从近三年高考状况来看，本讲始终是高考中的热点内容．预料2024年将会考查：①与排列组合及统计学问结合的分布列；②与独立重复事务结合的分布列．试题以解答题的形式呈现，以现实生活中的事例为背景进行考查，试题难度不大，属中档题型.1.离散型随机变量随着试验结果改变而改变的变量称为eq\o(□,\s\up1(01))随机变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．全部取值可以一一列出的随机变量，称为eq\o(□,\s\up1(02))离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn称为离散型随机变量X的eq\o(□,\s\up1(01))概率分布列，简称为X的eq\o(□,\s\up1(02))分布列，有时为了表达简洁，也用等式eq\o(□,\s\up1(03))P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．(2)离散型随机变量的分布列的性质①eq\o(□,\s\up1(04))pi≥0(i＝1,2，…，n)；②eq\o(□,\s\up1(05))eq\i\su(i＝1,n,p)i＝1.3．常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布若随机变量X听从两点分布，即其分布列为X01P1－pp，其中p＝eq\o(□,\s\up1(01))P(X＝1)称为胜利概率．(2)超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝eq\o(□,\s\up1(02))eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.X01…mPeq\o(□,\s\up1(03))eq\f(C\o\al(0,M)C\o\al(n－0,N－M),C\o\al(n,N))eq\o(□,\s\up1(04))eq\f(C\o\al(1,M)C\o\al(n－1,N－M),C\o\al(n,N))…eq\f(C\o\al(m,M)C\o\al(n－m,N－M),C\o\al(n,N))假如随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X听从超几何分布．1．概念辨析(1)抛掷匀称硬币一次，出现正面的次数是随机变量．()(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事务是彼此互斥的．()(3)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X听从超几何分布．()(4)若随机变量X的分布列由下表给出，X25P0.30.7则它听从两点分布．()答案(1)√(2)√(3)√(4)×2．小题热身(1)已知8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量ξ，那么ξ的可能取值为()A．0,1 B．1,2C．0,1,2 D．0,1,2,3答案C解析由于只有2件次品，所以ξ的可能取值为0,1,2.(2)设随机变量X的分布列如下．X12345Peq\f(1,12)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,6)p则p为()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,12)答案C解析由分布列的性质得，eq\f(1,12)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＋p＝1，解得p＝eq\f(1,4).(3)设某项试验的胜利率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的胜利次数，则P(X＝0)等于()A．0 B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)答案C解析P(X＝1)＝2P(X＝0)，且P(X＝1)＋P(X＝0)＝1.所以P(X＝0)＝eq\f(1,3).故选C.(4)从4名男生和2名女生中任选3人参与演讲竞赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________．答案eq\f(4,5)解析设所选女生人数为x，则x听从超几何分布，其中N＝6，M＝2，n＝3，则P(x≤1)＝P(x＝0)＋P(x＝1)＝eq\f(C\o\al(0,2)C\o\al(3,4),C\o\al(3,6))＋eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(4,5).题型一离散型随机变量分布列的性质1．(2024·乐山三模)设随机变量X的概率分布表如表，X1234Peq\f(1,6)eq\f(1,4)meq\f(1,3)则P(|X－2|＝1)＝()A.eq\f(7,12) B.eq\f(1,2)C.eq\f(5,12) D.eq\f(1,6)答案C解析由|X－2|＝1，可解得x＝3或x＝1，再由分布列的性质可得m＝1－eq\f(1,6)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,3)＝eq\f(1,4)，∴P(|X－2|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝3)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,4)＝eq\f(5,12).2．设随机变量ξ的分布列Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(k,5)))＝ak(k＝1,2,3,4,5)．(1)求常数a的值；(2)求Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ≥\f(3,5)))；(3)求Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)<ξ<\f(7,10))).解由已知分布列如下．ξeq\f(1,5)eq\f(2,5)eq\f(3,5)eq\f(4,5)eq\f(5,5)Pa2345(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝eq\f(1,15)(2)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ≥\f(3,5)))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(3,5)))＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(4,5)))＋P(ξ＝1)＝eq\f(3,15)＋eq\f(4,15)＋eq\f(5,15)＝eq\f(4,5).eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ≥\f(3,5)))＝1－P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ≤\f(2,5)))＝1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,15)＋\f(2,15)))＝\f(4,5).))(3)因为eq\f(1,10)<ξ<eq\f(7,10)只有ξ＝eq\f(1,5)，eq\f(2,5)，eq\f(3,5)满意，故Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)<ξ<\f(7,10)))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(1,5)))＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(2,5)))＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(3,5)))＝eq\f(1,15)＋eq\f(2,15)＋eq\f(3,15)＝eq\f(2,5).结论探究在本例中的条件下，求5ξ－1的分布列．解由举例说明解析得ξ的分布列如下．ξeq\f(1,5)eq\f(2,5)eq\f(3,5)eq\f(4,5)eq\f(5,5)Peq\f(1,15)eq\f(2,15)eq\f(1,5)eq\f(4,15)eq\f(1,3)所以5ξ－1的分布列如下．5ξ－101234Peq\f(1,15)eq\f(2,15)eq\f(1,5)eq\f(4,15)eq\f(1,3)1．分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事务概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性．(2)随机变量X所取的值分别对应的事务是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．提示：求分布列中的参数值时，要保证每个概率值均为非负数．2．随机变量X的线性组合的概率及分布列问题(1)随机变量X的线性组合η＝aX＋b(a，b∈R)是随机变量．(2)求η＝aX＋b的分布列可先求出相应随机变量的值，再依据对应的概率写出分布列.1．设X是一个离散型随机变量，其分布列如下．X－101Peq\f(1,3)2－3qq2则q的值为()A．1 B.eq\f(3,2)±eq\f(\r(33),6)C.eq\f(3,2)－eq\f(\r(33),6) D.eq\f(3,2)＋eq\f(\r(33),6)答案C解析由分布列的性质知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－3q≥0，,q2≥0，,\f(1,3)＋2－3q＋q2＝1，))解得q＝eq\f(3,2)－eq\f(\r(33),6).2．(2024·曲靖二模)已知随机变量ξ的分布列如下．ξ－2－10123Peq\f(1,12)eq\f(3,12)eq\f(4,12)eq\f(1,12)eq\f(2,12)eq\f(1,12)若P(ξ2<x)＝eq\f(11,12)，则实数x的取值范围是()A．4<x≤9 B．4≤x<9C．x<4或x≥9 D．x≤4或x>9答案A解析由随机变量ξ的分布列，得ξ2的可能取值为0,1,4,9，且P(ξ2＝0)＝eq\f(4,12)，P(ξ2＝1)＝eq\f(3,12)＋eq\f(1,12)＝eq\f(4,12)，P(ξ2＝4)＝eq\f(1,12)＋eq\f(2,12)＝eq\f(3,12)，P(ξ2＝9)＝eq\f(1,12)，由P(ξ2<x)＝eq\f(11,12)，所以实数x的取值范围是4<x≤9.题型二求离散型随机变量的分布列(2024·长春模拟)长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广阔家长和学生的高度赞誉，在推出的其次季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行了统计：点击量[0,1000](1000,3000](3000，＋∞)节数61812(1)现从36节云课中采纳分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3000的节数；(2)为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间[0,1000]内，则须要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间(1000,3000]内，则须要花费20分钟进行剪辑，点击量超过3000，则不须要剪辑，现从(1)中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑，求剪辑时间X的分布列．解(1)依据分层抽样可知，选出的6节课中点击量超过3000的节数为eq\f(12,36)×6＝2.(2)由分层抽样可知，(1)中选出的6节课中点击量在区间[0,1000]内的有1节，点击量在区间(1000,3000]内的有3节，故X的可能取值为0,20,40,60.P(X＝0)＝eq\f(1,C\o\al(2,6))＝eq\f(1,15)，P(X＝20)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),C\o\al(2,6))＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5)，P(X＝40)＝eq\f(C\o\al(1,2)＋C\o\al(2,3),C\o\al(2,6))＝eq\f(5,15)＝eq\f(1,3)，P(X＝60)＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(2,6))＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5)，则X的分布列如下．X0204060Peq\f(1,15)eq\f(2,5)eq\f(1,3)eq\f(1,5)离散型随机变量分布列的求解步骤(1)明确取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义．(2)求概率：要弄清晰随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率．(3)画表格：按规范要求形式写出分布列．(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确．提示：求随机变量某一范围内取值的概率，要留意它在这个范围内的概率等于这个范围内各概率值的和.抛掷一枚质地匀称的硬币3次．(1)写出正面对上次数X的分布列；(2)求至少出现两次正面对上的概率．解(1)X的可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,3),23)＝eq\f(1,8)；P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3),23)＝eq\f(3,8)；P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3),23)＝eq\f(3,8)；P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3),23)＝eq\f(1,8).所以X的分布列如下．X0123Peq\f(1,8)eq\f(3,8)eq\f(3,8)eq\f(1,8)(2)至少出现两次正面对上的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(3,8)＋eq\f(1,8)＝eq\f(1,2).题型三超几何分布2024年8月的台风“利奇马”对我国多个省市的财产造成了重大损害，据统计干脆经济损失达537.2亿元．某青年志愿者组织调查了某地区的50个农户在该次台风中造成的干脆经济损失，将收集的损失数据分成5组：[0,2000]，(2000,4000]，(4000,6000]，(6000,8000]，(8000,10000](单位：元)，得到如图所示的频率分布直方图．(1)试依据频率分布直方图估计该地区每个农户的平均损失(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；(2)台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户捐款帮扶，现从这50户中损失超过4000元的农户中随机抽取2户进行重点帮扶，设抽出损失超过8000元的农户数为X，求X的分布列．解(1)记每个农户的平均损失为eq\o(x,\s\up6(－))元，则eq\o(x,\s\up6(－))＝(1000×0.00015＋3000×0.00020＋5000×0.00009＋7000×0.00003＋9000×0.00003)×2000＝3360.(2)由频率分布直方图，得损失超过4000元的农户共有(0.00009＋0.00003＋0.00003)×2000×50＝15(户)，损失超过8000元的农户共有0.00003×2000×50＝3(户)，随机抽取2户，则X的可能取值为0,1,2；计算P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,12),C\o\al(2,15))＝eq\f(22,35)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,12)·C\o\al(1,3),C\o\al(2,15))＝eq\f(12,35)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,15))＝eq\f(1,35)，所以X的分布列如下．X012Peq\f(22,35)eq\f(12,35)eq\f(1,35)1．超几何分布的两个特点(1)超几何分布是不放回抽样问题．(2)随机变量为抽到的某类个体的个数．2．超几何分布的应用条件(1)考察对象分两类．(2)已知各类对象的个数．(3)从中抽取若干个个体，考察某类个体个数ξ的概率分布．3．求超几何分布的分布列的步骤已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采纳分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠足够，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列；②设A为事务“抽取的3人中，既有睡眠足够的员工，也有睡眠不足的员工”，求事务A发生的概率．解(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采纳分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．(2)①随机变量X的全部可能取值为0,1,2,3.P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,4)·C\o\al(3－k,3),C\o\al(3,7))(k＝0,1,2,3)．所以，随机变量X的分布列如下．X0123Peq\f(1,35)eq\f(12,35)eq\f(18,35)eq\f(4,35)②设事务B为“抽取的3人中，睡眠足够的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事务C为“抽取的3人中，睡眠足够的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A＝B∪C，且B与C互斥，由①知，P(B)＝P(X＝2)，P(C)＝P(X＝1)，故P(A)＝P(B∪C)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＝eq\f(6,7).所以，事务A发生的概率为eq\f(6,7).组基础关1．抛掷两颗骰子，所得点数之和为ξ，那么“ξ＝4”A．一颗是3点，另一颗是1点B．两颗都是2点C．两颗都是4点D．一颗是3点，另一颗是1点或两颗都是2点答案D解析A，B中表示的随机试验的结果，随机变量均取值4；而D是ξ＝4代表的全部试验结果．故选D.2．设离散型随机变量ξ的分布列如下．ξ01234Peq\f(1,5)eq\f(1,10)eq\f(1,10)eq\f(3,10)eq\f(3,10)则|ξ－1|的分布列为()A.|ξ－1|123Peq\f(2,5)eq\f(3,10)eq\f(3,10)B.|ξ－1|123Peq\f(3,10)eq\f(2,5)eq\f(3,10)C.|ξ－1|0123Peq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(3,10)eq\f(3,10)D.|ξ－1|0123Peq\f(1,10)eq\f(3,10)eq\f(3,10)eq\f(3,10)答案D解析由已知得，|ξ－1|的全部可能取值为0,1,2,3.P(|ξ－1|＝0)＝P(ξ＝1)＝eq\f(1,10)，P(|ξ－1|＝1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝2)＝eq\f(3,10)，P(|ξ－1|＝2)＝P(ξ＝3)＝eq\f(3,10)，P(|ξ－1|＝3)＝P(ξ＝4)＝eq\f(3,10).所以|ξ－1|的分布列为D.3．某一随机变量ξ的概率分布如下，且m＋2n＝1.2，则m－eq\f(n,2)＝()ξ0123p0.1mn0.1A．－0.2 B．0.2C．0.1 D．－0.1答案B解析由m＋n＋0.2＝1，m＋2n＝1.2，可得m＝n＝0.4，所以m－eq\f(n,2)＝0.2.故选B.4．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝i)＝a·eq\f(1,3)i，i＝1,2,3，则a＝()A．1 B.eq\f(9,13)C.eq\f(11,13) D.eq\f(27,13)答案D解析P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝1，即a[eq\f(1,3)＋（eq\f(1,3)）2＋（eq\f(1,3)）3]＝1，解得a＝eq\f(27,13).故选D.5．一个盒子里装有大小相同的10个黑球、12个红球、4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于eq\f(C\o\al(1,22)C\o\al(1,4)＋C\o\al(2,22),C\o\al(2,26))的是()A．P(0＜X≤2) B．P(X≤1)C．P(X＝1) D．P(X＝2)答案B解析由题意可知，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,22)C\o\al(1,4),C\o\al(2,26))，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,22),C\o\al(2,26))，eq\f(C\o\al(1,22)C\o\al(1,4)＋C\o\al(2,22),C\o\al(2,26))表示取1个白球或者一个白球都没有取得，即P(X≤1)．6．若随机变量X的分布列如下，X－2－10123P0.10.20.20.30.10.1则当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是()A．(－∞，2] B．[1,2]C．(1,2] D．(1,2)答案C解析由随机变量X的分布列，知P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，则当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1,2]．故选C.7．离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝eq\f(a,nn＋1)(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P（eq\f(1,2)<X<eq\f(5,2)）的值为()A.eq\f(2,3) B.eq\f(3,4)C.eq\f(4,5) D.eq\f(5,6)答案D解析由（eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＋eq\f(1,4×5)）×a＝1，得eq\f(4,5)a＝1，解得a＝eq\f(5,4).故P（eq\f(1,2)<X<eq\f(5,2)）＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq\f(1,2)×eq\f(5,4)＋eq\f(1,6)×eq\f(5,4)＝eq\f(5,6).8．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的(至少运用过一次)，从盒子中任取3个球来用，用完即为旧的，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为________．答案eq\f(27,220)解析由题意，得X＝4是指取出的3个球中有2个旧的1个新的，所以P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(1,9)C\o\al(2,3),C\o\al(3,12))＝eq\f(27,220).9．从含有2个红球和4个黑球的盒子中随意摸出4个球，假设每个球被摸到的可能性相同，记摸出的4个球中黑球数与红球数的差的肯定值为ξ，则ξ的分布列为________．答案ξ024Peq\f(2,5)eq\f(8,15)eq\f(1,15)解析由题意，得ξ的可能取值为0,2,4，则P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(2,4),C\o\al(4,6))＝eq\f(2,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(3,4),C\o\al(4,6))＝eq\f(8,15)，P(ξ＝4)＝eq\f(C\o\al(0,2)C\o\al(4,4),C\o\al(4,6))＝eq\f(1,15)，所以ξ的分布列如下．ξ024Peq\f(2,5)eq\f(8,15)eq\f(1,15)10．一个匀称小正方体的六个面中，三个面上标有数字0，两个面上标有数字1，一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积X的分布列为________．答案X0124Peq\f(3,4)eq\f(1,9)eq\f(1,9)eq\f(1,36)解析随机变量X的可能取值为0,1,2,4，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,3)＋C\o\al(1,3)C\o\al(1,3)＋C\o\al(1,3)C\o\al(1,3),C\o\al(1,6)C\o\al(1,6))＝eq\f(3,4)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,2),C\o\al(1,6)C\o\al(1,6))＝eq\f(1,9)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,1)＋C\o\al(1,1)C\o\al(1,2),C\o\al(1,6)C\o\al(1,6))＝eq\f(1,9)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,1),C\o\al(1,6)C\o\al(1,6))＝eq\f(1,36)，所以分布列为X0124Peq\f(3,4)eq\f(1,9)eq\f(1,9)eq\f(1,36)组实力关1．(2024·长沙质检)一个不透亮的袋内装有m个白球，n－m个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，下列概率等于eq\f(n－mA\o\al(2,m),A\o\al(3,n))的是()A．P(X＝3) B．P(X≥2)C．P(X≤3) D．P(X＝2)答案D解析当X＝2时，即前2个取出的是白球，第3个是黑球，前2个取出白球，有Aeq\o\al(2,m)种取法，再随意取出1个黑球即可，有Ceq\o\al(1,n－m)种取法，而这3次取球可以认为按依次排列，此排列依次即可认为是依次取球的依次，即Aeq\o\al(3,n)，P(X＝2)＝eq\f(A\o\al(2,m)C\o\al(1,n－m),A\o\al(3,n))＝eq\f(n－mA\o\al(2,m),A\o\al(3,n)).2．(2024·西安质检)已知随机变量ξ的分布列如下，ξ012Pabc其中a，b，c成等差数列，则函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点的概率为()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(5,6)答案B解析由题意，知a，b，c∈[0,1]，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c，,a＋b＋c＝1，))解得b＝eq\f(1,3)，又函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点，故对于方程x2＋2x＋ξ＝0，Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，所以P(ξ＝1)＝eq\f(1,3).3．已知某一离散型随机变量X的分布列如下，X0123P0.1m4n0.1则eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值为________．答案eq\f(45,4)解析由题意，得m＋4n＋0.2＝1，m＞0，n＞0.即m＋4n＝eq\f(4,5)，eq\f(5,4)(m＋4n)＝1.所以eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝eq\f(5,4)(m＋4n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(1,n)))＝eq\f(5,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(4n,m)＋\f(m,n)))≥eq\f(5,4)(5＋2eq\r(4))＝eq\f(45,4)，当且仅当eq\f(4n,m)＝eq\f(m,n)即m＝2n，n＝eq\f(2,15)，m＝eq\f(4,15)时，“＝”成立．4．若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)．在某次数学趣味活动中，每位参与者需从全部的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参与者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)写出全部个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参与活动，求甲得分X的分布列．解(1)个位数字是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345.(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为Ceq\o\al(3,9)＝84，随机变量X的取值为0，－1,1，因此P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,9))＝eq\f(2,3)，P(X＝－1)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,9))＝eq\f(1,14)，P(X＝1)＝1－eq\f(1,14)－eq\f(2,3)＝eq\f(11,42).所以X的分布列如下．X0－11Peq\f(2,3)eq\f(1,14)eq\f(11,42)组素养关1．(2024·长春二模)某探讨机构随机调查了A，B两个企业各100名员工，得到了A企业员工收入的频数分布表以及B企业员工收入的统计图如下．A企业：工资人数[2000,3000)5[3000,4000)10[4000,5000)20[5000,6000)42[6000,7000)18[7000,8000)3[8000,9000)1[9000,10000]1B企业：(1)若将频率视为概率，现从B企业中随机抽取一名员工，求该员工收入不低于5000元的概率；(2)①若从A企业收入在[2000,5000)的员工中，按分层抽样的方式抽取7人，而后在此7人中随机抽取2人，求这2人收入在[3000,4000)内的人数X的分布列；②若你是一名即将就业的高校生，依据上述调查结果，并结合统计学相关学问，你会选择去哪个企业就业，并说明理由．解(1)由饼状图知，工资不低于5000元的有68人，故从B企业中随机抽取一名员工，该员工收入不低于5000元的概率为0.68.(2)①A企业员工收入在[2000,3000)，[3000,4000)，[4000,5000)三个不同层次的人数比为1∶2∶4，即依据分层抽样的方式所抽取的7人收入在[3000,4000)的人数为2.X的可能取值为0,1,2，因此P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(2,7))＝eq\f(10,21)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,2),C\o\al(2,7))＝eq\f(10,21)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,7))＝eq\f(1,21)，得X的分布列如下，X012Peq\f(10,21)eq\f(10,21)eq\f(1,21)②A企业的员工平均收入为eq\f(1,100)×(2500×5＋3500×10＋4500×20＋5500×42＋6500×18＋7500×3＋8500×1＋9500×1)＝5260，B企业的员工平均收入为eq\f(1,100)×(2500×2＋3500×7＋4500×23＋5500×50＋6500×16＋7500×2)＝5270.参考答案一：选B企业，由于B企业员工的平均收入高．参考答案二：选A企业，A企业员工的平均收入只比B企业低10元，但是A企业有高收入的团体，说明发展空间较大，获得8000元以上的高收入是有可能的．参考答案三：选B企业，由于B企业员工平均收入不仅高，且低收入人数少．(如有其他状况，只要理由充分，也可给分)2．某班级50名学生的考试分数x分布在区间[50,100)内，设考试分数x的分布频率是f(x)且f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n,10)－0.4，10