2025年北师大新版高二数学上册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年北师大新版高二数学上册阶段测试试卷482考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率是（）A.B.C.D.2、已知集合则（）A.[0,1]B.[0,1）C.(0,1]D.(0,1)3、某单位为了了解用电量y（度）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：。气温x（℃）181310－1用电量y（度）24343864由表中数据得线性回归方程＝x＋中≈－2，预测当气温为－4℃时，用电量的度数约为（）A.58B.66C.68D.704、已知命题：则为（）A.B.C.D.5、设函数则不等式的解集是（）A.B.C.D.6、【题文】函数的最大值为（）A.1B.C.D.27、若“”为真命题，则下列命题一定为假命题的是（）A.B.C.D.8、若直线ax+by+1=0（a、b＞0）过圆x2+y2+8x+2y+1=0的圆心，则+的最小值为（）A.8B.12C.16D.209、已知三个正态分布密度函数的图象如图所示；则()

A.B.C.D.评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)10、【题文】如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=点D在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于______.11、【题文】设且为第二象限角，则________（填）12、已知F1（-3，0），F2（3，0）动点M满足|MF1|+|MF2|=10，则动点M的轨迹方程______．13、以一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有______个．（请用数字作答）14、若单位向量a鈫�,b鈫�

满足|2a鈫�鈭�b鈫�|=2

则向量a鈫�,b鈫�

的夹角的余弦值为______．评卷人得分三、作图题(共9题，共18分)15、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

16、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）17、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）18、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

19、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）20、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）21、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共4题，共12分)22、已知椭圆与x轴交于A、B两点，焦点为F1、F2.（1）求以F1、F2为顶点，以A、B为焦点的双曲线E的方程；（2）M为双曲线E上一点，y轴上一点P，求│MP│取最小值时M点的坐标.23、已知的图象经过点且在处的切线方程是（I）求的解析式；（Ⅱ）求的单调递增区间.24、某同学做3个数学题和2个物理题，已知做对每个数学题的概率为做对每个物理题的概率为p（0＜p＜1），5个题目做完只错了一个的概率为．

（Ⅰ）求p的值；

（Ⅱ）做对一个数学题得2分，做对一个物理题得3分，该同学做完5个题目的得分为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．25、已知函数f(x)=13x3鈭�32ax2+(2a2+a鈭�1)x+3(a隆脢R)

求f(x)

的单调区间．评卷人得分五、综合题(共4题，共20分)26、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．27、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．28、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．29、已知f（x）=﹣3x2+a（6﹣a）x+6．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、A【分析】试题分析：记两个红球分别为记两个白球分别为现从袋中取出一球，然后放回袋中再取出一球，则基本事件总数是16，分别为：记事件=“袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色”，事件包含的基本事件个数是8个，分别为：：(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),所以=选A.考点：古典概型.【解析】【答案】A2、B【分析】试题分析：因此．考点：集合的交集．【解析】【答案】B3、C【分析】试题分析：由表中数据可知：样本中心点为在线性回归方程＝x＋中≈－2所以=60即回归方程为＝-2x＋60所以由此预测当气温为－4℃时，用电量的度数约为68.考点：回归直线及样本中心点.【解析】【答案】C4、C【分析】试题分析：全称命题的否定形式，只要将换为将结论否定即可.考点：本题主要考查逻辑联结词,全称命题的否定.【解析】【答案】C5、C【分析】所以不等式的解集为【解析】【答案】C6、B【分析】【解析】略【解析】【答案】B7、D【分析】【解答】由“”为真命题，知命题p与q至少有一个是真命题，因此与可能为真命题，排除A，B；当p与q都为真命题时，为真命题；与至少有一个假命题，所以为假命题，故选D．8、C【分析】【解答】解：圆x2+y2+8x+2y+1=0的圆心（﹣4，﹣1）在直线ax+by+1=0上；

所以﹣4a﹣b+1=0，即1=4a+b代入；

得（a＞0，b＞0当且仅当4a=b时取等号）

则+的最小值为16；

故选C．

【分析】直线过圆心，先求圆心坐标，推出a+b=1，利用1的代换，以及基本不等式求最小值即可．9、D【分析】【分析】

二、填空题(共5题，共10分)10、略

【分析】【解析】

试题分析：取BC的中点M，则AM=1,所以在中，

考点：本小题考查了解三角形的有关知识.

点评：在解三角形时，可以考虑构造直角三角形来解决这样解决起来方便，特别是涉及等腰三角形时，否则就按一般的解三角形的方法来求解.【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】为第二象限角，所以在上单调递减，又由是第二象限角，得，在上单调递增，【解析】【答案】12、略

【分析】解：根据椭圆的定义知，到两定点F1，F2的距离之和为10＞|F1F2|=8；

动点M的轨迹是：以F1，F2为焦点的椭圆，且a=5，c=3，b=4；

∴动点M的轨迹方程是=1．

故答案为=1．

依据动点M满足的条件及椭圆的定义可得：动点M的轨迹是：以F1，F2为焦点的椭圆；即可得出结论．

本题考查了椭圆的定义，熟练掌握椭圆的定义是关键．【解析】=113、略

【分析】解：根据题意；如图分3种情况讨论：

①；上底面中取3个点；下底面取1个点；

共有C53×C51=50个四面体；

②；上底面中取1个点；下底面取3个点；

共有C51×C53=50个四面体；

③；上底面中取2个点；下底面取2个点；

共有C52×C52=100种情况；

其中共面的有3种情况：a、5个侧面，b；5个对角面；c、10个底面五边形对角线与相对底面与之平行的边确定的平面，如平面ACD′E′；

此时可以组成四面体100-5-5-10=80个；

综合可得：一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有50+50+80=180个：

故答案为180．

根据题意；结合四点共面的情况分3种情况讨论：①；上底面中取3个点，下底面取1个点，②、上底面中取1个点，下底面取3个点，③、上底面中取2个点，下底面取2个点，分别求出每种情况下四面体的个数，由加法原理计算可得答案．

本题考查排列、组合的应用，注意4点共面包括“10个底面五边形对角线与相对底面与之平行的边确定的平面”【解析】18014、略

【分析】解：隆脽|2a鈫�鈭�b鈫�|=2

隆脿(2a鈫�鈭�b鈫�)2=2

隆脽a鈫�,b鈫�

为单位向量，即4a鈫�2鈭�4a鈫�鈰�b鈫�+b鈫�2=2

隆脿4鈭�4cos娄脠+1=2

隆脿cos娄脠=34

．

故答案为：34

．

设向量a鈫�b鈫�

的夹角为娄脠

根据向量的数量积公式计算即可．

本题考查向量的夹角的计算，考查向量数量积公式的运用，属于基础题．【解析】34

三、作图题(共9题，共18分)15、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

16、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．17、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．18、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

19、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．20、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．21、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共4题，共12分)22、略

【分析】

（1）设双曲线方程为则a2=7b2=16∴b2=93分所求双曲线方程：6分（2）设M(x，y)9分当y=3时，│MP│2最小，│MP│最小.代入方程得，12分【解析】【答案】23、略

【分析】【解析】试题分析：（I）的图象经过点则切点为则的图象经过点得综上故，6分（Ⅱ）单调递增区间为12分考点：本题主要考查导数的几何意义，直线方程，应用导数研究函数的单调性。【解析】【答案】（I）（Ⅱ）单调递增区间为24、略

【分析】

（1）利用5个题目做完只错了一个的概率为．列出方程求解即可．

（2）求出随机变量ξ的情况；求出对应的概率，得到分布列，然后求解期望．

本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．【解析】解：（1）由题意得解得

（2）该同学做完5个题目的得分为随机变量ξ；ξ的值分别为：0，2，3，4，5，6，7，8，9，10，12．分布列为：

。ξ0234567891012pEξ=+3×+4×=7．25、略

【分析】

通过求函数f(x)

的导函数；分a

是否为2

两种情况讨论，利用导数的正负与函数单调性的关系可得结论．

本题考查利用导数判断函数的单调性，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．【解析】解：隆脽f(x)=13x3鈭�32ax2+(2a2+a鈭�1)x+3

隆脿f隆盲(x)=x2鈭�3ax+2a2+a鈭�1=(x鈭�32a)2鈭�14(a鈭�2)2

下面对a

的取值情况分类讨论：

(1)

当a=2

时；f隆盲(x)=(x鈭�3)2鈮�0

恒成立；

即此时f(x)

在R

上单调递增；

(2)

当a鈮�2

时，令f隆盲(x)=(x鈭�32a)2鈭�14(a鈭�2)2=0

解得：x=a+1

或2a鈭�1

垄脵

当a<2

时，有：a+1>2a+1

此时当x<2a鈭�1

或x>a+1

时f隆盲(x)>0

当2a鈭�1<x<a+1

时f隆盲(x)<0

隆脿f(x)

的单调递增区间为(鈭�隆脼,2a鈭�1)(a+1,+隆脼)

单调递减区间为(2a鈭�1,a+1)

垄脷

当a>2

时，有：a+1<2a鈭�1

此时当x<a+1

或x>2a鈭�1

时f隆盲(x)>0

当a+1<x<2a鈭�1

时f隆盲(x)<0

隆脿f(x)

的单调递增区间为(鈭�隆脼,a+1)(2a鈭�1,+隆脼)

单调递减区间为(a+1,2a鈭�1)

．五、综合题(共4题，共20分)26、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB=90度．

∴AD⊥BD．

∴BD与⊙A相切．（9分）

②∵另一点D与D（1；2）关于x轴对称；

∴D（1，-2）．（11分）27、略

【分析】【分析】根据OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，则△NBF也是等腰直角三角形，由于P的纵坐标是b，因而F点的纵坐标是b，即FM=b，则得到AF=b，同理BE=a，根据（a，b）是函数y=的图象上的点，因而b=，ab=，则即可求出AF•BE．【解析】【解答】解：∵P的坐标为（a，）；且PN⊥OB，PM⊥OA；

∴N的坐标为（0，）；M点的坐标为（a，0）；

∴BN=1-；

在直角三角形BNF中；∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形）；

∴NF=BN=1-；

∴F点的坐标为（1-，）；

∵OM=a；

∴AM=1-a；

∴EM=AM=1-a；

∴E点的坐标为（a；1-a）；

∴AF2=（-）2+（）2=，BE2=（a）2+（-a）2=2a2；

∴AF•BE=1．

故答案为：1．28、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．