2025年仁爱科普版高二数学下册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年仁爱科普版高二数学下册阶段测试试卷527考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、正方体ABCD-A1B1C1D1中AB的中点为M，DD1的中点为N，则异面直线B1M与CN所成的角是（）

A.0°

B.45°

C.60°

D.90°

2、若的和所对应的点在实轴上，则为（）Ａ．-1Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．33、【题文】在△ABC中，角A，B，C的对边为若则角A=（）A.30°B.30°或105°C.60°D.60°或120°4、【题文】已知△ABP的顶点A、B分别为双曲线C：的左右焦点，顶点P在双曲线C上，则得值等于（）

（A）(B)(C)(D)5、在等比数列{an}中，若a1a2a3＝2，a2a3a4＝16，则公比q＝()A.B.2C.D.8评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)6、正方体ABCD-A1B1C1D1的棱线长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且则三棱锥A-BEF的体积为____．

7、《广告法》对插播广告的时间有一定的规定，某人对某台的电视节目做了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率为那么该台每小时约有____分钟的广告．8、海上有两个小岛A，B相距10海里，从A岛望B岛和C岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C两岛之间的距离是____海里．9、【题文】不等式a+bx+1≥0的解集是[-1,3],a+b＝__________；10、【题文】____11、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=4，则a+c的最大值为____12、已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，x∈[-2，2]表示过原点的曲线，且在x=±1处的切线的倾斜角均为有以下命题：

①f（x）的解析式为f（x）=x3-4x；x∈[-2，2]．

②f（x）的极值点有且只有一个．

③f（x）的最大值与最小值之和等于零．

其中正确命题的序号为______．评卷人得分三、作图题(共6题，共12分)13、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

14、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）15、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）16、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

17、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）18、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共4题，共32分)19、证明：方程x2+mx+m+3=0有两个不相等的实数解的充要条件是m＜-2或m＞6．20、抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．21、如图；直线PA为⊙O的切线，切点为A，PO交⊙O于E，F两点，直径BC⊥OP，连接AB交PO于点D．

（1）若PA=4；PE=2，求⊙O直径的长度．

（2）证明：PA=PD．22、已知AB

两地的距离是120km

按交通法规规定，AB

两地之间的公路车速应限制在50隆芦100km/h

假设汽油的价格是6

元/

升，以xkm/h

速度行驶时，汽车的耗油率为(4+x2360)L/h

司机每小时的工资是36

元，那么最经济的车速是多少？如果不考虑其他费用，这次行车的总费用是多少？评卷人得分五、计算题(共3题，共30分)23、如图，已知正方形ABCD的边长是8，点E在BC边上，且CE=2，点P是对角线BD上的一个动点，求PE+PC的最小值．24、如图，正三角形ABC的边长为2，M是BC边上的中点，P是AC边上的一个动点，求PB+PM的最小值．25、1.（本小题满分12分）已知投资某项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中价格下降的概率都是．设该项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，记产品价格在一年内的下降次数为对该项目每投资十万元，取0、1、2时，一年后相应的利润为1.6万元、2万元、2.4万元．求投资该项目十万元，一年后获得利润的数学期望及方差．评卷人得分六、综合题(共1题，共5分)26、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S3=0．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、D【分析】

去AA1的中点E，连接EN，BE角B1M于点O；

则EN∥BC；且EN=BC

∴四边形BCNE是平行四边形。

∴BE∥CN

∴∠BOM就是异面直线B1M与CN所成的角；

而Rt△BB1M≌Rt△ABE

∴∠ABE=∠BB1M，∠BMB1=∠AEB；

∴∠BOM=90°．

故选D．

【解析】【答案】根据异面直线所成角的定义，把直线CN平移和直线B1M相交，找到异面直线B1M与CN所成的角；解三角形即可求得结果．在平移直线时经常用到遇到中点找中点的方法．

2、A【分析】试题分析：∵所对应的点在实轴上，∴1+a=0，解得a=-1．故选D．考点：复数的代数表示法及其几何意义．【解析】【答案】A3、D【分析】【解析】

试题分析：因为，三角形中，

所以，由正弦定理得，

故角A为或选D.

考点：正弦定理【解析】【答案】D4、A【分析】【解析】

试题分析：由题意得|PB-PA|=8，|AB|=2=10，再利用正弦定理故选C.．

考点：双曲线的性质。

点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要熟练掌握双曲线的性质，注意正弦定理的合理运用．【解析】【答案】A5、B【分析】【解答】先把a1a2a3和a2a3a4相比，约分后求得公比的立方的倒数，进而求解得到。因为故选B.

【分析】解题的关键是对等比数列基础知识如通项公式，等比中项，以及求和公式的熟练掌握．属于基础题.二、填空题(共7题，共14分)6、略

【分析】

∵B1D1∥平面ABCD，又E、F在直线D1B1上运动；

∴EF∥平面ABCD．

∴点B到直线B1D1的距离不变，故△BEF的面积为=．

∵点A到平面BEF的距离为

∴VA-BEF==．

故答案为：．

【解析】【答案】计算三角形BEF的面积和A到平面BEF的距离；即可求出所求几何体的体积．

7、略

【分析】

设该台每小时约有t分钟的广告；则有（60-t）分钟不是广告；

由几何概型，可得任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率为

根据题意，有=

解可得；t=6；

故答案为：6．

【解析】【答案】设该台每小时约有t分钟的广告，则由几何概型，可得任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率为根据题意，可得=解可得答案．

8、略

【分析】

∠C=180°-60°-75°=45°

根据正弦定理得∴BC==故答案为：

【解析】【答案】先根据∠A和∠B求出∠C；进而根据正弦定理求得BC．

9、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】310、略

【分析】【解析】原式【解析】【答案】11、8【分析】【解答】解：∵在△ABC中

∴（2a﹣c）cosB=bcosC；

∴（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC；

∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA；

约掉sinA可得cosB=即B=

由余弦定理可得16=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac；

∴ac≤16；当且仅当a=c时取等号；

∴16=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac，可得：（a+c）2=16+3ac≤64；解得a+c≤8，当且仅当a=c时取等号．

故答案为：8．

【分析】由已知式子和正弦定理可得B=再由余弦定理可得ac≤16，即可求得a+c的最大值．12、略

【分析】解：f′（x）=3x2+2ax+b；

由题意得f（0）=0，f′（-1）=f′（1）=tan=-1．

∴∴a=0，b=-4；c=0．

∴f（x）=x3-4x；x∈．故①正确．

由f′（x）=3x2-4=0得x1=-x2=．

根据x1，x2分析f′（x）的符号；f（x）的单调性和极值点．

。x-2（-2，-）-（-）（2）2f′（x）+0-0+f（x）0↗↘↗0∴x=-是极大值点也是最大值点．x=是极小值点也是最小值点．

f（x）min+f（x）max=0．

∴②错；③正确；

故答案为：①③．

求出函数f（x）的导数，得到关于a，b，c的方程组，解出a，b；c的值，从而求出函数f（x）的单调区间，求出函数f（x）的最小值和最大值即可得到答案．

本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及切线问题，是一道中档题．【解析】①③三、作图题(共6题，共12分)13、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

14、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．15、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．16、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

17、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．18、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共4题，共32分)19、略

【分析】

根据一元二次方程的根的判别式；建立关于m的不等式，求出m的取值范围．

本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．若题目再加上根的范围，则要借助于根与系数的关系来解决．【解析】证明：∵x2+mx+m+3=0有两个不相等的实数解；

∴△=m2-4（m+3）＞0；

∴（m+2）（m-6）＞0．

解得m＜-2或m＞6．

∴方程x2+mx+m+3=0有两个不相等的实数解的充要条件是m＜-2或m＞6．20、略

【分析】

依题意，设抛物线方程为y2=2px，可求得过焦点且倾斜角为135°的直线方程为y=-x+p，利用抛物线的定义结合题意可求得p，从而可求得抛物线方程；同理可求抛物线方程为y2=-2px时的结果．

本题考查抛物线的标准方程，突出抛物线定义得应用，考查方程组思想与化归思想的综合运用，考查分析与运算能力，属于中档题．【解析】解：如图所示，依题意，设抛物线方程为y2=2px，则直线方程为y=-x+p．设直线交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点；过A；B分别作准线的垂线，垂足分别为C、D．

则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|

=x1++x2+（4分）

即x1++x2+=8．①

又A（x1，y1）、B（x2，y2）是抛物线和直线的交点；

由消去y，得x2-3px+=0；

∵△=9p2-4×=8p2＞0．

∴x1+x2=3p．

将其代入①得p=2；

∴所求抛物线方程为y2=4x．

当抛物线方程设为y2=-2px（p＞0）时；

同理可求得抛物线方程为y2=-4x．

故所求抛物线方程为y2=4x或y2=-4x．（8分）21、略

【分析】

（1）利用切割线定理；即可求⊙O直径的长度；

（2）连结AC；由已知条件推导出∠BAP=∠ADP，即可证明PA=PD．

本题考查线段相等的证明，考查切割线定理，是中档题，解题时要认真审题，注意弦切角定理的合理运用．【解析】解：（1）∵直线PA为⊙O的切线；切点为A，PO交⊙O于E，F两点；

∴PA2=PE•PF；

∵PA=4；PE=2；

∴42=2•（2+EF）；

∴EF=6；

即⊙O直径的长度为6；

证明：（2）连结AC．

∵直径BC⊥OP；连接AB交PO于点D，BC是直径；

∴∠C+∠B=90°；∠ODB+∠B=90°；

∴∠C=∠ODB；

∵直线PA为圆O的切线；切点为A；

∴∠C=∠BAP；

∵∠ADP=∠ODB；

∴∠BAP=∠ADP；

∴PA=PD．22、略

【分析】

设汽车以xkm/h

行驶时，列出行车的总费用y=[36+6鈰�(4+x2360)]鈰�120x=7200x+2x50鈮�x鈮�100

通过函数的导数，转化求解函数的最值即可．

本题考查函数的实际应用，函数的导数求解函数的最值，考查转化思想以及计算能力．【解析】解：设汽车以xkm/h

行驶时，行车的总费用y=[36+6鈰�(4+x2360)]鈰�120x=7200x+2x50鈮�x鈮�100

所以y隆盲=鈭�7200x2+2

令y隆盲=0

解得x=60(km/h)

容易得到；x=60

是函数y

的极小值点，也是最小值点，即当车速为60km/h

时，行车总费用最少；

此时最少总费用y=720060+2隆脕60=240(

元)

答：最经济的车速约为60km/h

如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约为240

元．五、计算题(共3题，共30分)23、略

【分析】【分析】要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求