2025年沪教新版高一数学下册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年沪教新版高一数学下册月考试卷548考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、已知向量满足且则等于()A.B.C.D.2、【题文】若函数是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（）A.B.C.D.3、【题文】正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此棱锥的体积为（）A.B.C.D.4、下列是映射的是（）

A.（1）（2）（3）B.（1）（2）（5）C.（1）（3）（5）D.（1）（2）（3）（5）5、已知定义在上的函数满足下列三个条件：①对于任意的都有②对于任意的都有③函数的图象关于y轴对称，则下列结论正确的是()A.B.C.D.评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)6、下列几个命题：

①函数是偶函数；但不是奇函数．

②函数f（x）的定义域为[-2；4]，则函数f（3x-4）的定义域是[-10，8]．

③函数f（x）的值域是[-2；2]，则函数f（x+1）的值域为[-3，1]．

④设函数y=f（x）定义域为R且满足f（1-x）=f（x+1）则它的图象关于y轴对称．

⑤一条曲线y=|3-x2|和直线y=a（a∈R）的公共点个数是m；则m的值不可能是1．

其中正确的有____．7、已知且则与的夹角大小是_____________.8、【题文】函数的定义域为R，且定义如下：（其中是非空实数集）．若非空实数集满足则函数的值域为____．9、【题文】若的值在两个连续整数与之间，则=____．10、【题文】A、B是非空集合，定义若

则=____．11、角度制与弧度制的互化：210°=______；-______．12、函数y=2sinx-cosx的最大值为______．13、设向量a鈫�b鈫�

不共线，(娄脣a鈫�+b)鈫�

与(a鈫�+2b鈫�)

共线，则实数娄脣

的值为______．评卷人得分三、作图题(共5题，共10分)14、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．15、作出函数y=的图象．16、请画出如图几何体的三视图．

17、某潜艇为躲避反潜飞机的侦查，紧急下潜50m后，又以15km/h的速度，沿北偏东45°前行5min，又以10km/h的速度，沿北偏东60°前行8min，最后摆脱了反潜飞机的侦查．试画出潜艇整个过程的位移示意图．18、已知简单组合体如图；试画出它的三视图（尺寸不做严格要求）

评卷人得分四、解答题(共1题，共4分)19、【题文】求经过两圆x2+y2+6x－4=0和x2+y2+6y－28=0的交点，并且圆心在直线x－y－4=0上的圆的方程。（8分）评卷人得分五、证明题(共2题，共16分)20、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．21、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．评卷人得分六、综合题(共2题，共8分)22、已知抛物线y=x2+4ax+3a2（a＞0）

（1）求证：抛物线的顶点必在x轴的下方；

（2）设抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右边），过A、B两点的圆M与y轴相切，且点M的纵坐标为；求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为P，抛物线与y轴交于点C，求△CPA的面积．23、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点A（1；-3），B（3，-3），C（-1，5），顶点为M点．

（1）求该抛物线的解析式．

（2）试判断抛物线上是否存在一点P；使∠POM=90°．若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标．

（3）试判断抛物线上是否存在一点K，使∠OMK=90°，若不存在，说明理由；若存在，求出K点的坐标．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、B【分析】,且解得则等于【解析】【答案】B2、D【分析】【解析】要使函数是R上的增函数，需使解得故选D【解析】【答案】D3、A【分析】【解析】

考点：棱柱；棱锥、棱台的体积．

专题：计算题．

分析：先求正三棱锥的侧棱长；然后求出体积．

解答：解：由题意正三棱锥的底面边长为2；侧面均为直角三角形；

可知：侧棱长为三条侧棱两两垂直；

所以此三棱锥的体积为××××=

故选A．

点评：本题考查棱锥的体积，考查学生的空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题．【解析】【答案】A4、A【分析】【解答】解：由映射的定义可知：（1）（2）（3）是映射；

故选：A．

【分析】直接利用映射的定义判断即可．5、A【分析】【解答】由①②③三个条件知函数的周期是4；在区间[0，2]上是增函数且其对称轴为x=2；

∴f（5)=f（1)；f（15.5)=f（3.5)=f（2+1.5)=f（2-1.5)=f（0.5)；

f（6.5)=f（2.5)=f（2+0.5)=f（2-0.5)=f（1.5)；

∵0＜0.5＜1＜1.5＜2；函数y=f（x)在区间[0，2]上是增函数；

∴f（0.5)＜f（1)＜f（1.5)，即f（15.5)＜f（5)＜f（6.5)，故选A．二、填空题(共8题，共16分)6、略

【分析】

函数=0；既是偶函数，又是奇函数．故①不正确；

函数f（x）的定义域为[-2，4]，则函数f（3x-4）的定义域是]．故②不正确；

函数f（x）的值域是[-2；2]，则函数f（x+1）的值域为[-2，2]．故③不正确；

设函数y=f（x）定义域为R且满足f（1-x）=f（x+1）则它的图象关于x=1对称．故④不正确；

一条曲线y=|3-x2|和直线y=a（a∈R）的公共点个数是m；则m的值不可能是1．故⑤正确．

故答案为：⑤．

【解析】【答案】函数=0，既是偶函数，又是奇函数；函数f（x）的定义域为[-2，4]，则函数f（3x-4）的定义域是]；函数f（x）的值域是[-2，2]，则函数f（x+1）的值域为[-2，2]；设函数y=f（x）定义域为R且满足f（1-x）=f（x+1）则它的图象关于x=1对称；一条曲线y=|3-x2|和直线y=a（a∈R）的公共点个数是m；则m的值不可能是1．

7、略

【分析】试题分析：设的夹角为则所以两向量的夹角为考点：平面向量的数量积.【解析】【答案】8、略

【分析】【解析】

试题分析：解：根据题意：当时，=

当时，=

当时，=

综上可知，对于任意

所以答案应填：

考点：函数的概念与分段函数.【解析】【答案】9、略

【分析】【解析】

试题分析：因为

考点：本小题主要考查数的大小的比较.

点评：解决本小题的关键在于估计出2013大约是谁的平方，再验证即可.【解析】【答案】4410、略

【分析】【解析】由定义知【解析】【答案】11、略

【分析】解：∵180°=π；

∴1

则210°=210×=

．

故答案为：-450°．

直接由180°=π换算得答案．

本题考查角度制与弧度制的互化，是基础题．【解析】-450°12、略

【分析】解：y=2sinx-cosx=sin（x+φ）≤

故答案为：

利用辅角公式对函数解析式化简整理；利用正弦函数的性质求得其最大值．

本题主要考查了三角函数的最值．要求能对辅角公式能熟练应用．【解析】13、略

【分析】解：隆脽

向量a鈫�b鈫�

不共线，(娄脣a鈫�+b)鈫�

与(a鈫�+2b鈫�)

共线；

隆脿娄脣a鈫�+b鈫�=k(a鈫�+2b鈫�)

隆脿{1=2k位=k

解得娄脣=12

．

故答案为：12

．

利用共线向量的性质直接求解．

本题考查向量平行的性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．【解析】12

三、作图题(共5题，共10分)14、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．15、【解答】图象如图所示。

【分析】【分析】描点画图即可16、解：如图所示：

【分析】【分析】由几何体是圆柱上面放一个圆锥，从正面，左面，上面看几何体分别得到的图形分别是长方形上边加一个三角形，长方形上边加一个三角形，圆加一点．17、解：由题意作示意图如下；

【分析】【分析】由题意作示意图。18、

解：几何体的三视图为：

【分析】【分析】利用三视图的作法，画出三视图即可．四、解答题(共1题，共4分)19、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】五、证明题(共2题，共16分)20、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．21、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．六、综合题(共2题，共8分)22、略

【分析】【分析】（1）判定抛物线的顶点必在x轴的下方；根据开口方向，二次函数只要与x轴有两个交点即可．

（2）利用垂径定理；勾股定理可以求出

（3）利用三角形面积公式，以CD为底边，P到y轴的距离为高，可以求出．【解析】【解答】（1）证明：抛物线y=x2+4ax+3a2开口向上；且a＞0

又△=（4a）2-4×3a2=4a2＞0

∴抛物线必与x轴有两个交点

∴其顶点在x轴下方

（2）解：令x2+4ax+3a2=0

∴x1=-a，x2=-3a2

∴A（-a；0），B（-3a，0）

又圆M与y轴相切；

∴MA=2a

如图在Rt△MAC中，MA2=NA2+NM2即（2a）2=a2+（）2

∴a=±1（负值舍去）

∴抛物线的解析式为y=x2+4x+3

（3）解：P（-2；-1），A（-1，0），C（0，3）

设直线PA的方程：y=kx+b，则-1=-2k+b

0=-k+b

∴k=1

b=1

∴y=x+1；令x=0得y=1

∴D（0；1）

∴S△CPA=S△PCD-S△CAD=×2×2-×2×1=123、略

【分析】【分析】（1）将A（1，-3），B（3，-3），C（-1，5）三点坐标代入y=ax2+bx+c中，列方程组求a、b；c的值；得出抛物线解析式；

（2）抛物线上存在一点P，使∠POM=90˚．设（a，a2-4a）；过P点作PE⊥y轴，垂足为E；过M点作MF⊥y轴，垂足为F，利用互余关系证明Rt△OEP∽Rt△MFO，利用相似比求a即可；

（3）抛物线上必存在一点K，使∠OMK=90˚．过顶点M作MN⊥OM，交y轴于点N，在Rt△OMN中，利用互余关系证明△OFM∽△MFN，利用相似比求N点坐标，再求直线MN解析式，将直线MN解析式与抛物线解析式联立，可求K点坐标．【解析】【解答】解