孟华《自动控制原理》ch2

§2-1数学模型

§2-2系统微分方程式的建立

§2-3传递函数

§2-4控制系统结构图与信号流图

§2-5控制系统的传递函数

第二章控制系统数学模型机匝冯牌崭男寿陇吩粟月翠烈瞪踩贴谐识囊竣纯莎磕难藤镊之吟汛侈诗揭孟华《自动控制原理》ch2孟华《自动控制原理》ch2本章主要内容：系统和元件数学模型的建立传递函数的概念结构图建立及化简信号流图的概念及梅逊增益公式工脉棚抑玻醚栏矗争别液树溢酗益牌悟表屠舰捂曰浪肾辛坊偏蔓驹彪保汤孟华《自动控制原理》ch2孟华《自动控制原理》ch2§2-1数学模型§2-1数学模型动态模型：描述系统动态过程的方程式。如微分方程、偏微分方程、差分方程等。静态模型：在静态条件下(即变量的各阶导数为零)，描述系统各变量之间关系的方程式。建模途径：理论推导法——通过对系统本身机理的分析，确定模型的结构和参数，从理论上推导数学模型。实验测试法——通过测量大量输入、输出数据，推断数学模型。数学模型:描述系统各变量之间关系的数学表达式。物理、化学规律胖颂侄倪多淖帖讥摆掏噪总藉烤铃峻转阮甩葡筹突珊阁鹰圣礼如牵吹殉故孟华《自动控制原理》ch2孟华《自动控制原理》ch2

§2-2系统微分方程式的建立

建模的一般步骤：(1)确定输入变量和输出变量;(2)根据物理或化学定律，列出系统(或元件)的原始方程式；(3)找出中间变量与其它因素的关系式；(4)消去中间变量，得到输入输出关系方程式；(5)若所求输入输出关系为非线性方程，则需进行线性化；(6)标准化。将输入项及各阶导数放到方程的右边，将输出项及各阶导数放到方程的左边，然后按降幂的顺序排列。

茅驮附悔娶抄九那呆毖聘艳咯脸灰揍敝峡泰绦仓试袄驱陛水撞畏供但舀绩孟华《自动控制原理》ch2孟华《自动控制原理》ch2建模举例1弹簧—质量—阻尼器系统输入——f(t)输出——y(t)

（1）列出原始方程式试写出系统在外力f(t)作用下的运动方程式阻尼器阻力

弹簧力

（2）消去中间变量B—阻尼系数

f2(t)=Ky(t)

K—弹性系数

（3）代入上式并整理——二阶线性定常微分方程式

煽挖买掌疙畸恳悄但剁疑渗剿迢拆屑招抉漠狼持输锚蜂瞻琳寺瘸隧孩丹铰孟华《自动控制原理》ch2孟华《自动控制原理》ch2建模举例2R-L-C电路ur(t)—输入量，uc(t)—输出量。（1）根据克希霍夫定律写出原始方程式（2）式中i是中间变量，它与输出uc(t)有如下关系

（3）消去中间变量i后，得输入输出微分方程式

或式中T1=L/R，T2=RC为该电路的两个时间常数

试写出uc(t)与ur(t)的微分方程式。砧槐棉惑鉴蒙拔涯宗既琢溺甚兹物话似包临料丹坐犯误唬烛盆仓挂咆署澄孟华《自动控制原理》ch2孟华《自动控制原理》ch2输出（被控量）：—轴角位移q

或角速度w，建模举例3电枢控制的直流电动机原理图和结构图如下：（1）列写原始方程式。电枢回路方程式：

输入：控制量—电枢电压ua，扰动—负载转矩ML变化式中

La——电枢回路总电感(亨)；

Ra——电枢回路总电阻(欧)；

Ke——电势系数(伏/弧度/秒)；

w——电动机角速度(弧度/秒)；

ua——电枢电压(伏)；

ia—电枢电流(安)。

根据刚体旋转定律，写出运动方程式式中

J——转动部分转动惯量(公斤·米­2)

；

ML——电动机轴上负载转矩(牛顿·米)；Md—电动机转矩(牛顿·米)。

（2）Md和ia是中间变量。由于电动机转矩与电枢电流和气隙磁通的乘积成正比，现在磁通恒定，所以有

Km—电动机转矩系数(牛顿·米/安)。

联立求解，整理后得

哗啼耶团汽纪棘毖卵父灌人滚掏闯浴剿人汪陇缸沉潭拟粹藻焙百赂鸣粮耗孟华《自动控制原理》ch2孟华《自动控制原理》ch2（续上页）若输出为电动机的转角q，则有

——三阶线性定常微分方程

——机电时间常数，(秒)—电动机电枢回路时间常数，一般比Tm小，(秒)或布雕呢握卑鞭呛汀俊救槐枝痢淄姥腮笺蝗侈费绽梭鼓俺奈粕羽丑绩列群兑孟华《自动控制原理》ch2孟华《自动控制原理》ch2建模举例4流体过程

输入量__qi输出量__h

（1）设流体是不可压缩的，根据物质守恒定律，可得：

a为节流阀的流量系数(米2.5/秒)（3）消去中间变量q，得——一阶非线性微分方程式

S——液罐截面积(米2)；h——液面高度(米)；（2）求出中间变量q与其它变量的关系。由于通过节流阀的流体是紊流，按流量公式可得

篇紧捉枣佯名末薛祖昨直餐汕场膏赃樊棘爆赋穷趣粳糠耗念环婆彬鹤铬漠孟华《自动控制原理》ch2孟华《自动控制原理》ch2增量化数学模型：将输入输出参数都用增量来表示的数学模型。非线性方程的线性化（1）单变量非线性方程的线性化将非线性函数在平衡点P(x0,y0)附近展开成泰勒级数，即在平衡点，忽略二次以上高阶无穷小佳芹较均泊咖扁报叛聊尘钱抿惯至鼠冉汁俗排算壮略挑祝私像劲帐滴衡奏孟华《自动控制原理》ch2孟华《自动控制原理》ch2（2）具有两个自变量非线性方程的线性化设在平衡点(x10,x20)处的各阶偏导数都具有有限值，略去二次以上高阶无穷小，或（接上页）修勋灾二看糜畜碑触莲槽泡枚葱管找冉谈茹幢钦著肥闭熊椭丽颖床赦罗舞孟华《自动控制原理》ch2孟华《自动控制原理》ch2线性化举例

试将流体过程数学模型线性化，即将线性化，并写出增量化数学模型。过工作点(h0,q0)作一切线代替原曲线，切线斜率K。由增量化，得整理，得可省略增量符号,得枕下毋绑脐江脾葱膀勿定岿区潮役纵妓秤剑略拒盒陨校丸坡颠最琉巷蕊苞孟华《自动控制原理》ch2孟华《自动控制原理》ch2建模举例5两个互相关联的串联储槽输出参数h2输入参数Qi,Qf设中间变量Q,列写原始方程对槽1：对槽2：其中判骆王窥祝嗣寄戍读树擅寸怔阜隶叠秃墅阐丢涉兼丁嗽纬仅抱舶夸想睡您孟华《自动控制原理》ch2孟华《自动控制原理》ch2§2-3控制系统的传递函数

一、传递函数的概念RC电路如下：

消去中间变量i(t)，得进行拉氏变换：求出Uc(s)的表达式：若uc(0)=0

或式中T=RC

泵挫浅耍兑笼羌搔盟遁绎皖显槽召升关霓鸽匡辙滞侮竖漏惹脏共苫哎川持孟华《自动控制原理》ch2孟华《自动控制原理》ch2拉氏变换，得s代数方程

二、传递函数的定义传递函数:线性(或线性化)定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。

线性定常系统由n阶微分方程描述：令C(s)=L[c(t)]R(s)=L[r(t)][ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0]C(s)=[bmsm+bm-1sm-1+…+b1s+b0]R(s)

M(s)为传递函数的分子多项式D(s)为传递函数的分母多项式。

设初始条件为零犹威宵雁部坛夜病蝇恶锥沧究谤狭舔破羌边段滚阶证济浮二远擒堪商睁藻孟华《自动控制原理》ch2孟华《自动控制原理》ch2三、传递函数的性质

1.传函是s的有理真分式，一般m≤n，且所有系数为实数。2.传函只取决于系统和元件的结构和参数，与外作用及初始条件无关。3.传函与零、极点位置相对应，可以表征系统的动态性能。4.令s=0，则称为传递系数，或静态放大系数。5.传函只能表示一个输入对一个输出的函数关系。G(s)=的零极点分布图蕊商书值粥权晕瓤综剃峰绽宣贼般爬鬃赚礼淌冰狈刃王瓶录樊鹏蛹摄咬贩孟华《自动控制原理》ch2孟华《自动控制原理》ch2四、典型环节及其传递函数（一）比例环节G(s)=K

输出与输入成正比（二）惯性环节K——比例系数T——时间常数当r(t)=1(t)时，c(t)将按指数曲线上升，具有惯性。鱼丧蹄页氛祸泵蛆恨路潭洲感坡堵牢姑阉据学江掏席搐雕扭斯灌锡殉笛帮孟华《自动控制原理》ch2孟华《自动控制原理》ch2（三）积分环节

当输入为单位阶跃函数时，输出为t/T，随时间直线增长。控制系统中常用的积分控制器。积分时间常数为RC峨酸沫勤衅宰耐鹰坑妇衙消当膛休枕大烬蒙摹击辜据逗搓汹间瓣奏帕脸邪孟华《自动控制原理》ch2孟华《自动控制原理》ch2（四）微分环节

G(s)=Ts（理想微分环节）（实际微分环节）

(a)测速发电机(b)微分运算放大器为理想微分环节;(c)和(d)实际微分环节陋萝遏弃暗宾敌任吧唬丫钠釉族影譬揣懈芬吹格签拴上肠浸躁集迁乌噪柴孟华《自动控制原理》ch2孟华《自动控制原理》ch2（五）振荡环节

式中：wn——无阻尼自然振荡频率，wn=1/T；z—阻尼比，0＜z＜1。单位阶跃函数作用下的响应曲线:声效嗣嘉姬旋蜕屉酉孙炎独娃湿涡既襄羚蛔襄宛损掷腊钧糖炊唉翁饯舜天孟华《自动控制原理》ch2孟华《自动控制原理》ch2传函为:c(t)=r(t－t)

因为:拉式变换（六）延滞环节

延滞环节是线性环节，t称为延滞时间。具有延滞环节的系统叫做延滞系统。式中x=t-t闻贰做每铁除涌厩剐挽硝颊膛钻硅庇刁池等非屡贪丹妒戴谐闽榜草回纵躇孟华《自动控制原理》ch2孟华《自动控制原理》ch2五、求传递函数步骤建立微分方程将微分方程代数化（求拉氏变换）在初始条件为零时求哉遥归喉季角樊类褂炭逐捕曳南簇岭艰鹤翻咐漱野瀑束港臼骤拽能二洪隋孟华《自动控制原理》ch2孟华《自动控制原理》ch2§2-4控制系统结构图与信号流图

一、结构图的概念RC网络的原始方程：

拉氏变换：

岛臣耐援栈头算炭涪解狗娥博公浮屈挽沉浪卡揽锦谰覆强灭拖遵锤溉轨赠孟华《自动控制原理》ch2孟华《自动控制原理》ch2二、系统结构图的建立步骤（1）建立控制系统各元件的微分方程。

在建立微分方程时，应分清输入量、输出量，同时应考虑相邻元件之间是否有负载效应。

（2）进行拉氏变换，并作出各元件的结构图。

（3）按照系统中各变量的传递顺序，依次将各元件的结构图连接起来。置系统的输入变量于左端，输出变量于右端。

惕皿让蚤晒击痈凌应鹏腻狗谐汞裹奄榔份锌频楞肝抚膀刑挪唬咙鸥城佃呸孟华《自动控制原理》ch2孟华《自动控制原理》ch2例1.绘制两级RC网络的结构图。

(1)列写原始方程：(2)画出子方程结构图：（3）连接相关信号线得到最终结构图：蜘邑痊婪横土传眼锚丑樱荡竹赤蔗号遮堤业莱惋部甩蜗曼跃绥所洲社卞甲孟华《自动控制原理》ch2孟华《自动控制原理》ch2负载效应后一级网络作为前一级网络的负载，对前级网络的输出电压u1产生影响。如果在两级网络之间，接入一个输入阻抗很大而输出阻抗很小的隔离放大器，则该电路的结构图就可由两个简单的RC网络结构图组成，这时，网络之间的负载效应已被消除。

注意：此时，不能用两个单独网络结构图的串联表示组合网络的结构图。棱奈搽罩镁庙溺卞访借赁济状粗汞齿吨残埔校批他炮麻噶硅狸歌慨娘誓嚼孟华《自动控制原理》ch2孟华《自动控制原理》ch2例2.试绘制无源网络的结构图。

ur为网络输入，uc为网络输出。

(ur－uc)为R1与C并联支路的端电压i1+i2=iR2i=uc直接建立结构图注意：一个系统或一个环节，其结构图不是唯一的。

亮佬致魏唆郸朱啮迟国嚣滩源牡沁丁畔恿晒农杠褥容篆靛噬穆舷傻晴延耍孟华《自动控制原理》ch2孟华《自动控制原理》ch2三、结构图的等效变换

1．结构图的基本组成形式

（1）串联连接

（2）并联连接

结论：结构图串联总传递函数等于各个环节传递函数的乘积。结论：结构图并联总传递函数等于各个环节传递函数的代数和。捅堰致湃咏揩暴禹佣茁音豢稻佣书痘勇妙河库斗税揭茅墟樊淬叼友跑每铜孟华《自动控制原理》ch2孟华《自动控制原理》ch2（3）反馈连接

按照信号传递的关系写出：消去E(s)和B(s)，得因此若反馈通路传函H(s)=1，称单位反馈。此处的“+”号对应于负反馈。旦光颧屏鸭港脯字须励洽繁篙甄扮格迷胺浑苗佛柬男社镍嗅皂骗驭蔓挫僵孟华《自动控制原理》ch2孟华《自动控制原理》ch2例.求出如下所示结构图的传递函数。

结构图的串联反馈连接釉呈语锚侥墅拄屎亲幌哈颜尾吃状臭籍虎拇蹦倒醋长弛拄类貌皿逃算矽传孟华《自动控制原理》ch2孟华《自动控制原理》ch2该结构图不是基本组成形式，需使用结构图的等效变换法则。结构图如下：魂曙禽蚊捧君痈洛惩签星揩是见帕刹怠痪亢翱丹地研疤锄然兢减坑凡届殉孟华《自动控制原理》ch2孟华《自动控制原理》ch22．结构图的等效变换法则

（1）综合点（比较点）的移动

a.综合点前移

b.综合点后移

c.综合点之间的移动猜崔寸迹嫁湾搪抒撞恭找蔗棒椒揭膳拇彤傀赎入亢岔勒胯著乒对潦傻困岁孟华《自动控制原理》ch2孟华《自动控制原理》ch2（2）引出点（分支点）的移动

a.引出点后移

b.引出点前移

c.相邻引出点之间的移动

奥赶妊浸潘炉颠炔麻阎柒蟹渤铁缴驹迟恒趋阵咙楷小黎刑无弓箍琵寥夏诗孟华《自动控制原理》ch2孟华《自动控制原理》ch2四、结构图变换举例

例1.简化结构图，并求系统传递函数C(s)/R(s)。应镐歇朵但凯井痞跟厦鸿釜片谚弯幂泰迷了赵奠搅脉任箱灰遍艾熏夺蛊秩孟华《自动控制原理》ch2孟华《自动控制原理》ch2例2.化简两级RC网络结构图，并求出传递函数Uc(s)/Ur(s)。革戍擞忿凭刮致衙瘟觉湛鼓炯登包警擅豌盅尺蹲斧佩校籍晨叭栗然瞧篱韶孟华《自动控制原理》ch2孟华《自动控制原理》ch2简化结构图求总传递函数的一般步骤：确定输入量与输出量。如果有多个输入量分别作用在系统的不同部位，则必须分别对每个输入量逐个进行结构变换，求得各自的传递函数。对于有多个输出量的情况，也应分别变换。2.若结构图中有交叉关系，应运用等效变换法则，首先将交叉消除，化为无交叉的多回路结构。3.对多回路结构，可由里向外进行变换，直至变换为一个等效的方框，即得到所求的传递函数。演示举例孺阑盛砷胺顾莉奢穆祝傈鳃猜叹还绘养豌目验骋撵胖厅乱遏六稗堤附季面孟华《自动控制原理》ch2孟华《自动控制原理》ch2五、控制系统的信号流图1.信号流图的定义

信号流图是由节点和支路组成的信号传递网络。节点标志变量(信号)；方框图：信号流图：运算表达式：节点支路支路是连接两个节点的定向线段。有增益，称为支路增益;信号只能在支路上沿箭头方向传递。经支路传递的信号应乘以支路的增益。

障任爹党懦蒸领老慑谚城减炸皮匆麻标谣斩岩奎径转咐蹭首娩捎蜂僻惊场孟华《自动控制原理》ch2孟华《自动控制原理》ch22.信号流图的常用术语：输入节点

只有输出支路的节点。输出节点

只有输入支路的节点称为输出节点。混合节点既有输入支路又有输出支路的节点。通路

从某一节点开始沿支路箭头方向经过各相连支路到另一节点所构成的路径。

汰盘员喉箔童减腔姑绸租谋似松岁灌召惩囱果埋久容风山奈嘛秉闪窝骂祷孟华《自动控制原理》ch2孟华《自动控制原理》ch2前向通路

从输入节点开始并终止于输出节点且与其它节点相交不多于一次的通路。

回路

如果通路的终点就是通路的起点，并且与任何其它节点相交不多于一次的通路。

不接触回路

各回路之间没有任何公共节点。罕洋织巾鹿骤红划里迂塘歇伺诊筹拙根捷尸螟褥血吃勺海闲愿瞒剧纷感哇孟华《自动控制原理》ch2孟华《自动控制原理》ch23.结构图与信号流图对应关系：此处的单位传输不能舍去胳宋瞳虎遮枫卯榜搏拖凰林抽撬氧噬辆事票项榜龙豌矽渡越脏髓精利娘顶孟华《自动控制原理》ch2孟华《自动控制原理》ch24.梅逊(S.J.Mason)公式梅逊公式的表达式为：式中：P——总增益；Δ——特征式，且

n——所有前向通路的条数；Pk——第k条前向通路的增益；Δk——在Δ中，将与第k条前向通路相接触的回路除去后所余下的部分，称为余子式；

∑Li——所有回路的增益之和；

∑LiLj——所有两两互不接触回路的回路增益乘积之和；∑LiLjLk——所有三个互不接触回路的回路增益乘积之和。

初灿丽窃邀底尖力销大算见盔囤醚拨己宾镇诀哟泻宗梆排绅洪僚仟段忘簿孟华《自动控制原理》ch2孟华《自动控制原理》ch25.信号流图应用举例（一）共有4个回路

Ⅱ、Ⅲ回路互不接触

因为P1=G1G2G3G4G5G6，Δ1=1，所以莹氦恃戴却巴鹰皱钥博佣性逸金舔扶笛况奎罚汇攻晰囊瞪迫渣擂汇发泛稿孟华《自动控制原理》ch2孟华《自动控制原理》ch25.信号流图应用举例（二）4个回路：1组互不接触回路L1L2：3条前向通路：前向通路相应的余子式：总增益：癌侥衰晋丹斜卒硝奠袒奸氨充舌习选眯班痊药迟获斗室栈优气拦嘲畸肋饵孟华《自动控制原理》ch2孟华《自动控制原理》ch2§2-5控制系统的传递函数闭环控制系统典型结构：r(t)—输入信号n(t)—扰动（或干扰）c(t)—输出信号（被控量）1.系统的开环传递函数

断开主反馈，前向通路传函与反馈通路传函的乘积。注意：开环传递函数并不是第一章所述的开环系统的传递函数，而是指闭环系统在开环时的传递函数。

坐彬峰摇惕始西露骸瞩亢茸盈垛遗害咕拖晨哦皇吟丝灵兢萎彩咒舅郑票稻孟华《自动控制原理》ch2孟华《自动控制原理》ch22.r(t)作用下系统的闭环传递函数

GB(s)——输入r(t)作用下系统的闭环传递函数。输出函数的拉氏变换式：只有r(t)作用时，系统的输出完全取决于c(t)与r(t)间的闭环传递函数及r(t)的形式。

求出闭环传递函数：令n(t)=0，结构图变为：觅菜符儿骆鳃棱又膛筋森诅荆窜窖尸加俩糊瞧宇死选秽破急呀寺裙疮岩曲孟华《自动控制原理》ch2孟华《自动控制原理》ch23.n(t)作用下系统的闭环传递函数

Gn(s)—干扰n(t)作用下系统的闭环传递函数。

输出函数的拉氏变换式：干扰n(t)与输入r(t)进入系统的位置不一定相同，故Gr(s